【图文】两条直线的夹角_百度文库
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两条直线的夹角
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平面上斜率乘积等于1的两条直线有什么特征?
特征2：被过其交点且斜率等于-1的直线平分其所夹钝角.\x0d或者可以说：被过其交点且斜率等于1的直线平分其夹角.
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今天面试某公司时，被问道这道题目:
1.传统判断(这是我当时想到的答案):
*求出两条线段所对应的直线的交点(若直线不相交，那么线段肯定不想交)
*若有交点,则判断该交点是否分别在两条线段上，若符合条件，则两条线段相交,否则不想交
这是一个很简单也最容易向导的思路，于是我试着编程实现，结果确实写代码时有点复杂(主要是判断的情况太多就容易混乱)
*分别求出两条线段所在的直线方程(斜率不存在的情况下直线方程为x-b=0)
*分别将一条线段的两个端点坐标代入另外一条线段直线方程,比如L1:ax+by+c=0,则有代入后的方程为result=ax+by+c,若是两个端点的结果的符号相反，则肯定该线段在另外一条直线的两侧。一次将两条线段都判断完。
*如果结果的乘积都为负或者为0(为0代表至少有一个端点在另外一条直线上)，则代表两条线段相交。(这里得排除一种两条直线重合，而线段不相交的情况)
*根据原理:若是点在直线的上方(斜率存在),或者直线左方(斜率不存在)则代入ax+by+c=0.时值为负，反之为正
这种可能刚开始比较难想到，但其实在编程实现时相对简单。(最主要是感觉编写时头脑会更加清晰)
***主要算法代码:(我将这些功能代码封装进入了一个JudgeUtils的类中)
方法1：(判断两条线段是否相交的函数入口为&strong&IsLineIntersection(LineSegment l1,LineSegment l2)//LineSegment是一个自定义的线段类&/strong&)
/**该类里面是一些判断的函数
* 所有的判断函数全在这个类里面
* static型函数供main方法使用
public class JudgeUtils {
/**判断两个点的起始与结束位置的函数，且进行校正
* 两个点如果x2&x1,则P1为起点，如果x2=x1,判断y2&y1,则P1为起点
* 传进去的形参是对象引用，所以可以直接改变值
public static void exchangePoint(Point startP,Point endP)
//记得进行处理，如果x2&x1,则P1为起点，如果x2=x1,判断y2&y1,则P1为起点
//如果P1的起点比终点的x大，交换位置
//在x相等时，判断y,如果P1的起点y比终点Y大，交换值
if((startP.getX()&endP.getX())||((startP.getX()==endP.getX())&&(startP.getY()&endP.getY())))
temp=startP.getX();
startP.setX(endP.getX());
endP.setX(temp);
//交换Y的值
temp=startP.getY();
startP.setY(endP.getY());
endP.setY(temp);
System.out.println(&起点与终点的值已经交换&);
/**判断两条线段是否相交的函数*/
public static boolean IsLineIntersection(LineSegment l1,LineSegment l2)
//默认为不想交，满足一定条件才相交
boolean isIntersection=
//取得l1,l2的交点
Point intersectionPoint=IntersectionOfLines(l1,l2);
/**返回值为空，代表直线没有交点*/
if(intersectionPoint==null)
System.out.println(&直线不是相交状态!&);
/**存在返回值，代表直线存在交点，所以进行下一步判断，判断交点是否在两条线段上*/
System.out.println(&直线存在交点，&);
System.out.println(&交点为:x=&+intersectionPoint.getX()
+&,y=&+intersectionPoint.getY());
System.out.println(&下一步判断是否交点在线段！&);
//如果交点存在与两条线段之间，则代表两条线段相交
if(isPointInLine(l1, intersectionPoint)
&&isPointInLine(l2, intersectionPoint))
isIntersection=
System.out.println(&交点在线段上!&);
return isI
/**取得直线的交点坐标的函数
* 传入的是线段，但是里面会将其计算为直线
* 斜率不存在的情况单独判断
* Y=k1X+b1与Y=k2X+b2进行判断(k2!k1的情况，且斜率存在的情况)
* 解方程式x=(b1-b2)/(k2-k1)
* y=b1+k1*(b1-b2)/(k2-k1)
public static Point IntersectionOfLines(LineSegment l1,LineSegment l2)
Point intersection=
//斜率不存在的情况
//如果l1斜率不存在或l2斜率不存在
if((l1.getEndP().getX()==l1.getStartP().getX())||(l2.getEndP().getX()==l2.getStartP().getX()))
//如果两者的斜率都不存在，肯定不会相交,所以，只有两者存在一个有斜率才有可能相交
if(!((l1.getEndP().getX()==l1.getStartP().getX())&&(l2.getEndP().getX()==l2.getStartP().getX())))
//某条斜率不存在，则另外一条就很好求出交点
if(l1.getEndP().getX()==l1.getStartP().getX())//l1斜率不存在
//通过一个函数得到点
//x=b1与y=k2x+b2的求交点的函数
intersection=IntersectionOfLines(l1.getEndP().getX(),l2);
else if(l2.getEndP().getX()==l2.getStartP().getX())//l2的斜率不存在
//通过一个函数得到点
//x=b2与y=k1x+b1的求交点的函数
intersection=IntersectionOfLines(l2.getEndP().getX(),l1);
else//如果平行,判断是否重合
if(l1.getEndP().getX()==l2.getEndP().getX())//如果重合
System.out.println(&直线重合！取一个特殊交点&);
intersection=new Point(l2.getStartP().getX(),l2.getStartP().getY());
System.out.println(&直线平行!&);
}//斜率不存在处理完毕
//斜率存在时的处理方式
//数学公式辅助值，
double k1,k2,b1,b2;
//计算斜率,k=(y2-y1)/(x2-x1)
k1=(l1.getEndP().getY()-l1.getStartP().getY())/(l1.getEndP().getX()-l1.getStartP().getX());
k2=(l2.getEndP().getY()-l2.getStartP().getY())/(l2.getEndP().getX()-l2.getStartP().getX());
//计算b,b=y-kx
b1=l1.getStartP().getY()-k1*l1.getStartP().getX();
b2=l2.getStartP().getY()-k2*l2.getStartP().getX();
//只有两条直线不平行才有可能相交
if(k2!=k1)
//计算交点
//解方程式x=(b1-b2)/(k2-k1),y=b1+k1*(b1-b2)/(k2-k1)
double tempx=(b1-b2)/(k2-k1);
double tempy=b1+k1*(b1-b2)/(k2-k1);
//得到具体交点
intersection=new Point(tempx,tempy);
else//考虑重合线段
if(b1==b2)
System.out.println(&直线重合!&);
//如果两条重合线段有交点
//只有可能是l2的起点大于l1的起点小于l1的终点
//或者l2的终点大于l1的起点小于l1的终点
if((l2.getStartP().getX()&=l1.getStartP().getX())
&&(l2.getStartP().getX()&=l1.getEndP().getX()))
System.out.println(&重合线段取一个特殊点!&);
//返回一个l2的起点
intersection=new Point(l2.getStartP().getX(),l2.getStartP().getY());
else if((l2.getEndP().getX()&=l1.getStartP().getX())
&&(l2.getEndP().getX()&=l1.getEndP().getX()))
System.out.println(&重合线段取一个特殊交点!&);
//返回一个l2的终点
intersection=new Point(l2.getStartP().getX(),l2.getStartP().getY());
else//直线平行
System.out.println(&直线平行!&);
/**提高代码复用，将求x=b1和y=k2x+b2的交点的代码封装到一个函数里面
* 通过改变参数进行重载
* 返回值是一个Point类型
public static Point IntersectionOfLines(double b1,LineSegment l2)
//现求出l2那条直线的斜率和b
double k2,b2,tempx,
k2=(l2.getEndP().getY()-l2.getStartP().getY())/(l2.getEndP().getX()-l2.getStartP().getX());
b2=l2.getStartP().getY()-k2*l2.getStartP().getX();
//根据y=kx+b,已知的是x=l1.getStartP().x
tempy=tempx*k2+b2;
//得到具体交点
return new Point(tempx,tempy);
/**判断点是否在线段上的函数
* 只需要分别判点p的x值&=l的最小的x而且p的x值&=l的最大的x
* 因为可以确定起始点X的值肯定是&=终止点X的值
* 注意，别判断Y的值，因为有可能起始点的Y比结束点的Y小
* 所以，只有当直线斜率不存在时才判断Y值
public static boolean isPointInLine(LineSegment l,Point p)
boolean isPointInLine=
//直线斜率存在时，只判断X
if((p.getX()&=l.getEndP().getX()&&p.getX()&=l.getStartP().getX())&&(l.getStartP().getX()!=l.getEndP().getX()))
isPointInLine=
//斜率不存在，判断Y
else if((l.getStartP().getX()!=l.getEndP().getX())
&&(p.getY()&=l.getEndP().getY()&&p.getY()&=l.getStartP().getY()))
isPointInLine=
return isPointInL
/**第二种算法
* 分别求出两条线段所在的直线方程，然后分别将一条线段的端点坐标带入另外一条线
*段直线方程，如果符号不同即为该线段在另外一条直线的两侧。两条线段都判断完后，
*根据:若是点在直线的上方。则代入ax+by+c=0.时值为负,在下方则为正
*若是斜率不存在，如x-b=0，点在直线右侧时为证，左侧时为负
public class JudgeUtils2 {
/**判断两个点的起始与结束位置的函数，且进行校正
* 两个点如果x2&x1,则P1为起点，如果x2=x1,判断y2&y1,则P1为起点
* 传进去的形参是对象引用，所以可以直接改变值
public static void exchangePoint(Point startP,Point endP)
//记得进行处理，如果x2&x1,则P1为起点，如果x2=x1,判断y2&y1,则P1为起点
//如果P1的起点比终点的x大，交换位置
//在x相等时，判断y,如果P1的起点y比终点Y大，交换值
if((startP.getX()&endP.getX())||((startP.getX()==endP.getX())&&(startP.getY()&endP.getY())))
temp=startP.getX();
startP.setX(endP.getX());
endP.setX(temp);
//交换Y的值
temp=startP.getY();
startP.setY(endP.getY());
endP.setY(temp);
System.out.println(&起点与终点的值已经交换&);
/**判断两条线段是否相交的函数*/
public static boolean IsLineIntersection(LineSegment l1,LineSegment l2)
boolean isIntersection=
//分别判断l1线段是否在直线l2两侧
//还有l2线段是否在直线l1两侧
//如果有一个线段的结果乘起来是0，则代表这个线段与另条直线有交点
//但是要排除直线重合但是线段不重合的情况
int l2Values=PointBelowLine(l1, l2.getStartP())*PointBelowLine(l1, l2.getEndP());
int l1Values=PointBelowLine(l2, l1.getStartP())*PointBelowLine(l2, l1.getEndP());
if(((l2Values==-1)||l2Values==0)
&&((l1Values==-1)||l1Values==0))
//如果两者都为0，代表至少有一个端点在另外一条线段上,所以这时候要判断为重合的情况
if(l2Values==0&&l2Values==0)
//判断出直线重合但是线段不重合的情况
//l1的终点小于l2的起点，或者是l1的起点大于l2的终点
if(l1.getEndP().getX()&l2.getStartP().getX()
||l1.getStartP().getX()&l2.getEndP().getY())
isIntersection=
System.out.println(&直线重合，但是线段不相交&);
isIntersection=
System.out.println(&线段部分重合或相交!&);
//两条线段相交
isIntersection=
System.out.println(&最终结果为:两条线段相交！&);
System.out.println(&最终结果为:两条线段不是相交关系！&);
return isI
/**判断点是否在直线的下方和(斜率不存在时在直线的右方的函数)返回正
* 若是点在直线的上方，或者(斜率不存在时在直线的左方)则返回-1
* 斜率存在时y=kx+b.k=(y2-y1)/(x2-x1).b=y2-k*x2.
* 斜率不存在时。x=b
public static int PointBelowLine(LineSegment l,Point p)
int rValue=1;//默认值为0
//先求出线段对应的直线
//斜率不存在时
if(l.getStartP().getX()==l.getEndP().getX())
System.out.println(&直线斜率不存在!&);
//直线为x-b=0.
b=l.getStartP().getX();
if(p.getX()-b&0)
else if(p.getX()-b&0)
rValue=-1;
else //斜率存在时
System.out.println(&直线斜率存在！&);
double k,b;
k=(l.getEndP().getY()-l.getStartP().getY())/(l.getEndP().getX()-l.getStartP().getX());
b=l.getEndP().getY()-l.getEndP().getX()*k;
//直线kx-y+b=0.代入kx1-y1+b来测试点和直线的关系，
if(k*p.getX()-p.getY()+b&0)
else if(k*p.getX()-p.getY()+b&0)
rValue=-1;
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如何证明两条直线垂直斜率乘积为一?要详细方法!
清枫媛樢簇
设两条直线的斜率为k1,k2,倾斜角为a,b 如果两条直线垂直,那么它们之间的夹角为90度 所以tan(a-b)=tan90=(tana-tanb)/(1+tanatanb)=无穷大 因为tana=k1,tanb=k2 所以1+tanatanb=1+k1k2=0 因此k1k1=-1
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探讨两直线斜率积差为定值的交点轨迹
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