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定积分及其应用(精讲精练)
第5章 定积分及其应用 章学习目标理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质. 掌握变上限定积分的导数的计算方法. 熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法. 了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题 中
有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、 性质和微积分基本定理,最后讨论 定积分在几何、物理上的一些简单应用.5.1 定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上， 都有着十分重要的意义， 它是整个高等数学最重 要的内容之一.5.1.1 实例分析1.曲边梯形的面积 在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形 的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决. 所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线 x = a, x = b, y = 0 及曲线 y = f (x ) 所围 成的图形，如图 5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形. yyy bao (a)bxao (b) 图 5.1b xao (c)x现在求 f ( x ) ≥ 0 时，在连续区间 [ a, b] 上围成的曲边梯形的面积 A（如图 5.1(a),(b) 所示） ，用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算： (1)分割――将曲边梯形分割成小曲边梯形 在区间 [ a, b] 内任意插入 n ? 1 个分点：a = x0 & x1 & x 2 & ? ? ? & x n ?1 & x n = b ，把区间1[a, b] 分成 n 个小区间： [ x0 , x1 ], [ x1 , x 2 ],L[ xi ?1, xi ],L , [ x n ?1 , x n ] ，第 i 个小区间的长度为?xi = xi ? xi ?1 (i = 1,? ? ?, n) ，过每个分点作垂直于 x 轴的直线段，它们把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形（图 5.2） ，小曲边梯形的面积记为 ?Ai (i = 1,2,? ? ?n) . ya = x 0 x1 x 2ξioxi ?1 xix n ?1 x n = bx图 5.2 (2)近似――用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积 作以 [ xi ?1 , xi ] 为底， f (ξ i ) 为高的小矩 在小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ξ i (i = 1,2,? ? ?, n) ， 形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则?Ai ≈ f (ξ i )?xi (i = 1,2,? ? ?, n) .(3)求和――求 n 个小矩形面积之和 n 个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和 A ，即A = ?A1 + ?A2 + ? ? ? + ?An ≈ f (ξ1 )?x1 + f (ξ 2 )?x 2 + ? ? ? + f (ξ n )?x n= ∑ f (ξ i )?xi .i =1 n(4)取极限 令 λ = max{?x i } ，当分点 n 无限增多且 λ → 0 时，和式1≤i ≤ n∑ f (ξ )?x 的极限便是曲边i =1 i in梯形的面积 A，即A = lim ∑ f (ξ i )?xi .λ →0i =1n2．变速直线运动的路程 设一物体作变速直线运动， 其速度是时间 t 的连续函数 v = v (t ) ， 求物体在时刻 t = T1 到t = T2 间所经过的路程 S .我们知道，匀速直线运动的路程公式是： S = vt ，现设物体运动的速度 v 是随时间的变 化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算： (1)分割――把整个运动时间分成 n 个时间段2在时间间隔 [T1 , T2 ] 内任意插入 n ? 1 个分点： T1 = t 0 & t1 & ? ? ? & t n ?1 & t n = T2 ，把[T1 , T2 ] 分成 n 个小区间： [t 0 , t1 ], [t1 , t 2 ],? ? ?[t i ?1, t i ],? ? ?, [t n ?1 , t n ] ，第 i 个小区间的长度为?t i = t i ? t i ?1 (i = 1,2,? ? ?n), 第 i 个时间段内对应的路程记作 ?S i (i = 1,2,? ? ?n) .(2)近似――在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程 在 小 区 间 [t i ?1 , t i ] 上 任 取 一 点 ξ i (i = 1,2,? ? ?n) , 用 速 度 v(ξ i ) 近 似 代 替 物 体 在 时 间[t i ?1 , t i ] 上各个时刻的速度，则有?S i ≈ v(ξ i )?t i (i = 1,2,? ? ?, n) .(3)求和――求 n 个小时间段路程之和 将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即S = ?S1 + ?S 2 + ? ? ? + ?S n ≈ v(ξ1 )?t1 + v(ξ 2 )?t 2 + ? ? ? + v(ξ i )?t n= ∑ v(ξ i )?t i .i =1n(4)取极限 令 λ = max{?t i }，当分点的个数 n 无限增多且 λ → 0 时，和式1≤ i ≤ n∑ v(ξ )?t 的极限便是i =1 i in所求的路程 S .即S = lim ∑ v(ξ i )?t iλ →0i =1n从上面两个实例可以看出， 虽然二者的实际意义不同， 但是解决问题的方法却是相同的， 即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似 这样的实际问题还有很多， 我们抛开实际问题的具体意义， 抓住它们在数量关系上共同的本 质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2 定积分的概念定义 5.1 设函数 f (x) 在区间 [a,b]上有定义，任取分点 a = x0 & x1 & x2 & ? ? ? & xn?1 & xn = b 把区间 [a,b]任意分割成 n 个小区间 [ xi ?1 , xi ] ，第 i 个小区间的长度为 ?xi = xi ? xi?1(i =1? ? ?, n) ， , 记 λ = max{?x i } .在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ξ i (i = 1,2,? ? ?, n) 作和式1≤i ≤ n n∑ f (ξ )?x ，i =1 i i in当 λ → 0 时，若极限 limλ →0∑ f (ξ )?x 存在（这个极限值与区间 [a,b]的分法及点 ξ 的取法无i =1 i i3关） ，则称函数 f (x ) 在 [ a, b] 上可积，并称这个极限为函数 f (x ) 在区间 [a, b] 上的定积分， 记作∫b af ( x)dx ，即∫b af ( x)dx = lim ∑ f (ξ i )?xi .λ →0i =1n其中， f (x ) ”称为被积函数， f ( x ) dx ”称为被积表达式， x 称为积分变量， a 称为积 “ “ 分下限， b 称为积分上限， [a, b] 称为积分区间. 根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为： ①曲边梯形的面积 A 是曲线 y = f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分.A = ∫ f ( x)dx ( f ( x) ≥ 0 ).ab②变速直线运动的物体所走过的路程 S 等于速度函数 v = v (t ) 在时间间隔 [T1 , T2 ] 上的 定积分.S = ∫ v(t )dt .T1T2关于定积分的定义作以下几点说明： ⑴闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的. ⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数 f ( x ) 和积分区间 [a, b] ，而与积分变量 使用的字母的选取无关，即有∫b af ( x)dx = ∫ f (t )dt .a a bb⑶在定积分的定义中，有 a & b ，为了今后计算方便，我们规定：∫容易得到f ( x)dx = ? ∫ f ( x)dx .ab∫a af ( x)dx = 0 .5.1.3 定积分的几何意义设 f ( x ) 是 [a, b ] 上的连续函数，由曲线 y = f ( x) 及直线 x = a, x = b, y = 0 所围成的 曲边梯形的面积记为 A .由定积分的定义及 5.1.1 实例 1， 容易知道定积分有如下几何意义： （1）当 f ( x ) ≥ 0 时， （2）当 f ( x ) ≤ 0 时，∫ ∫b a b af ( x)dx = A f ( x)dx = ? A（3）如果 f ( x ) 在 [a, b ] 上有时取正值，有时取负值时，那么以 [a, b ] 为底边，以曲线y = f ( x) 为曲边的曲边梯形可分成几个部分， 使得每一部分都位于 x 轴的上方或下方.这时4定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图 5.3 所示，有∫b af ( x)dx = A1 ? A2 + A3其中 A1 , A2 , A3 分别是图 5.3 中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.例 5.1.1 证利用定积分的几何意义，证明∫1 ?11 ? x 2 dx =π2.令 y = 1 ? x 2 , x ∈ [ ?1,1] ，显然 y ≥ 0 ，则由 y = 1 ? x 2 和直线 x = ?1, x = 1 ， y = 0 所围成的曲边梯形是单位圆位于 x 轴上方的半圆. 如图 5.4 所示.因为单位圆的面积 A = π ， 所以 半圆的面积为π2.由定积分的几何意义知：∫1 ?11 ? x 2 dx =π2.5.1.4 定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质， 其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的. 性质 5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即∫b akf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .a b ab性质 5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫b af ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .ab这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形. 性质 5.1.3（积分的可加性）对任意的点 c ，有∫注意b af ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .a ccbc 的任意性意味着不论 c 是在 [a, b] 之内，还是 c 在 [a, b] 之外，这一性质均成立.5性质 5.1.4 如果被积函数 f ( x ) = c, (c 为常数),则∫b acdx = c(b ? a ) .特别地,当 c = 1 时,有∫b adx = b ? a .b性质 5.1.5（积分的保序性）如果在区间 [a, b] 上,恒有 f ( x ) ≥ g ( x ) ，则∫b af ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx .a性质 5.1.6（积分估值定理）如果函数 f (x ) 在区间 [a, b] 上有最大值 M 和最小值 m ,则m(b ? a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b ? a ).ab性质 5.1.7 (积分中值定理) 如果函数 f ( x ) 在区间 [a, b] 上连续,则在 (a, b) 内至少有一 点 ξ ,使得∫证b af ( x)dx = f (ξ )(b ? a ) ξ ∈ (a, b) .因 f ( x ) 在 [a, b] 内连续，所以 f ( x ) 在 [a, b] 内有最大值 M 和最小值 m ，由性质 5.1.6 知： 从而有 这就说：m(b ? a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b ? a ).abm≤b 1 ∫ a f ( x)dx ≤ M . b?ab 1 f ( x)dx 是介于 m 与 M 之间的一个实数. b ? a ∫a b 1 f ( x)dx = f (ξ ) . b ? a ∫a由连续函数的介值定理 1.10 知：至少存在一点 ξ ∈ ( a, b) ，使得 即∫注b af ( x)dx = f (ξ )(b ? a )ξ ∈ ( a , b) .y性质 5.1.7 的几何意义是:由曲线y = f (x) ,直线 x = a, x = b 和 x 轴所围成曲边梯形的面积等于区间 [a, b] 上某个矩形 的面积,这个矩形的底是区间 [a, b] ,矩形的 高为区间 [a, b] 内某一点 ξ 处的函数值 f (ξ ) ， 如图 5.5 所示. 显然， 由性质 5.1.7 可得 f (ξ ) = o ay = f (x)f (ξ )ξ图 5.5bxb 1 ∫ a f ( x)dx ， f (ξ ) 称为函数 f (x) 在区间 [a,b]上 b?a的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.6性质 5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设 f (x ) 在对称区间 [?a, a] 上连续,则有 ①如果 f (x ) 为奇函数,则 ②如果 f (x ) 为偶函数,则 例 5.1.2 解 估计定积分? x2∫ ∫a ?a a ?a2f ( x)dx = 0 ； f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .0 a∫'1?1e ? x dx 的值.? x2设 f ( x) = e, f ( x) = ?2 xe，令 f ' ( x) = 0 ,得驻点 x = 0 ，比较 x = 0 及区间端点 x = ±1 的函数值,有f (0) = e 0 = 1 , f (±1) = e ?1 =显然 f ( x) = e? x21 . e 1 ,最大值 e在区间 [ ?1,1] 上连续,则 f (x ) 在 [ ?1,1] 上的最小值为 m =为 M = 1 ，由定积分的估值性质,得1 2 2 ≤ ∫ e ? x dx ≤ 2 . ?1 e例 5.1.3 比较定积分 解∫11 0x 2 dx 与 ∫ x 3 dx 的大小.02 31因为在区间 [0,1] 上,有 x ≥ x ,由定积分保序性质,得∫0x 2 dx ≥ ∫ x 3 dx .01定积分定积分的原始思想可以追溯到古希腊．古希腊人在丈量形状不 规则的土地的面积时，先尽可能地用规则图形(例如矩形和三角形) 把要丈量的土地分割成若干小块，并且忽略那些边边角角的不规则 的小块．计算出每一小块规则图形的面积，然后将它们相加，就得到土地面积的近似值．后 来看来，古希腊人丈量土地面积的方法就是面积思想的萌芽． 在十七世纪之前， 数学家们没有重视古希腊人的伟大思想， 当时流行的方法是不可分量 法． 这种方法认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的． 这种方法没有包含 极限概念，也没有采用代数与算数的方法．因此，不可分量的思想没有取得成功．虽然积分 概念未能很好得建立起来，然而，到牛顿那个年代，数学家们已经能够计算许多简单的函数 的积分． 虽然十三世纪就出现了利用分割区间作和式并计算面积的朦胧思想(奥雷姆，法国数学 家)．但是建立黎曼积分(即定积分)的严格定义的努力基本上由柯西开始．他比较早地用函 数值的和式的极限定义积分(他还定义了广义积分)．但是柯西对于积分的定义仅限于连续函 数．1854 年，黎曼指出了积分的函数不一定是连续的或者分段连续的，从而把柯西建立的 积分进行了推广． 他把可积函数类从连续函数扩大到在有限区间中具有无穷多个间断点的函 数．黎曼给出关于黎曼可积的两个充分必要条件．其中一个是考察函数 f (x ) 的振幅；另一7个充分必要条件就是对于区间 [ a, b] 的每一个划分 a = x0 ≤ x1 ≤ L ≤ x n = b ，构造积分上 和与积分下和: : S=∑Mi =1ni ? ?xis=∑mi =1ni? ?xi其中 M i 和 m i 分别是函数 f ( x ) 在每个子区间上的最大值和最小值. f ( x ) 在 [ a, b] 黎曼可积 . 的充分必要条件就是max ?x →0lim ( S ? s ) = 0至今，这个定理仍然经常出现在微积分和数学分析的教科书中． 达布(法国数学家)对于黎曼的积分的定义作了推广．他严格地证明了不连续函数，甚至 有无穷多个间断点的函数， 只要间断点可以被包含在长度可以任意小的有限个区间之内就是 可积分的． 在牛顿和莱布尼兹之前，微分和积分作为两种数学运算、两种数学问题，是分别加以研 究的． 虽然有不少数学家已经开始考虑微分和积分之间的联系， 然而只有莱布尼兹和牛顿(各 自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者之间内在的直接的联系，指出微 分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分的关键所在．牛顿在 1666 年发表的著作 《流数简论》中，从确定面积率的变化入手，通过反微分计算面积，把面积计算看作是求切 线的逆．从而得到了微积分基本定理．在 1675 年，莱布尼兹就认识到，作为求和过程的积 分是微分的逆．他于
年给出了微积分基本定理∫ dx dx =abdff (b) ? f (a)并于 1693 年给出了这个定理的证明． 简单直观并且便于应用，是黎曼积分的优点.黎曼积分的缺点主要是理论方面的．一方 面,黎曼积分的可积函数类太小．基本上是“分段连续函数”构成的函数类．另一方面，黎 曼积分在处理诸如函数级数的逐项积分、 重积分的交换积分顺序以及函数空间的完备性这样 一些重要的理论问题时，存在许多不可克服的障碍于．是在上一世纪末到本世纪初，一种新 的积分理论―勒贝格积分应运而生． 它是黎曼积分的推广， 勒贝格积分的建立是积分学领域 的重大发展． 它在很大程度上克服了黎曼积分在理论上遇到的上述困难． 勒贝格积分是近代 分析数学发展的重要动力和基础． 习题 5.1 1.用定积分表示由曲线 y = x 2 ? 2 x + 3 与直线 x = 1, x = 4 及 x 轴所围成的曲边梯形的 面积. 2.利用定积分的几何意义,作图证明： (1)∫1 02xdx = 11(2)∫ ∫R 0R2 ? x2 =1π4R23.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小. (1)∫1 0xdx , ∫ x 2 dx0(2)1 0e x dx , ∫ e ? x dx208(3)∫∫4 3ln xdx , ∫ ln xdx2 34(4)∫π4 0cos xdx ,∫π4 0sin xdx4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围. (1) (3)1 0e x dx(2)∫2 0x( x ? 2)dx∫2 1x dx 2 x +1n → +∞(4)∫2 05? x dx 9 ? x25.试用积分中值定理证明 lim∫n +1 nsin x dx = 0 . x5.2 定积分的基本公式定积分就是一种特定形式的极限， 直接利用定义计算定积分是十分繁杂的， 有时甚至无 法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具――牛顿―莱布尼兹公式.5.2.1 变上限定积分定义 5.2 设函数 f (x ) 在区间 [ a, b] 上连续， 对于任意 x ∈ [ a, b] ，f (x ) 在区间 [ a, x ] 上 也连续，所以函数 f (x ) 在 [ a, x ] 上也可积.显然对于 [ a, b] 上的每一个 x 的取值，都有唯一 对应的定积分∫x af (t )dt 和 x 对应，因此 ∫ f (t )dt 是定义在 [a, b] 上的函数.记为axΦ( x) = ∫ f (t )dt ， x ∈ [a, b] .ax称 Φ (x ) 叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数. 变上限积分函数的几何意义是： 如果 f ( x ) & 0 ，对 [a, b ] 上任意 x，都 对应唯一一个曲边梯形的面积 Φ (x ) ， 如图 5.6 中的阴影部分.因此变上限 积分函数有时又称为面积函数. 函数 Φ (x ) 具有如下重要性质. 定理 5.1 且 Φ ′( x) = yy = f ( x)Φ( x)o a x 图 5.6 b x如果函数 f (x ) 在区间 [ a, b] 上连续，则 Φ( x ) =∫x af (t )dt 在 [a, b] 上可导，d x f (t )dt = f ( x) dx ∫ a(a ≤ x ≤ b) .证给定函数 Φ (x) 的自变量 x 的改变量 ?x ，函数 Φ ( x ) 有相应的改变量 ?Φ .则9?Φ = Φ ( x + ?x) ? Φ ( x) = ∫x + ?x af (t )dt ? ∫ f (t )dt = ∫axx + ?x xf (t )dt .由定积分的中值定理，存在 ξ ∈ ( x, x + ?x)或( x + ?x, x) ，使 所以 Φ ′( x ) = lim∫x + ?x xf (t )dt = f (ξ )?x 成立.f ( x ) 连续 ?Φ f (ξ ) ?x = lim = lim f (ξ ) = lim f (ξ ) f ( x) . ?x → 0 ? x ?x → 0 ?x → 0 ξ →x ?x由定理 5.1 可知，如果函数 f (x ) 在区间 [ a, b] 上连续，则函数 Φ( x ) =∫x af (t )dt 就是f (x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数.由定理 5.1 我们有下面的结论.定理 5.2 （原函数存在定理） 如果 f (x ) 在区间 [ a, b] 上连续， 则它的原函数一定存在， 且其中的一个原函数为Φ( x) = ∫ f (t )dt .ax注这个定理一方面肯定了闭区间 [ a, b] 上连续函数 f (x ) 的一定有原函数（解决了第四章第一节留下的原函数存在问题） ，另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间 的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础. 例 5.2.1 计算 解d x ?t e sin tdt . dx ∫ 0x d x ?t ?x ?t ∫ 0 e sin tdt = [ ∫ 0 e sin tdt ]′ = e sin x . dx 1 x 例 5.2.2 求 lim 2 ∫ ln(1 + t ) dt . 0 x →0 x 0 解 当 x → 0 时，此极限为 型不定式，两次利用洛必塔法则有 0limx →01 x2∫x0ln(1 + t )dt = limx →0∫x 0ln(1 + t )dt x2= limln(1 + x) x→0 2x1 1 = lim 1 + x = x →0 2 2例 5.2.3 求 解d x2 2 (t + 1)dt . dx ∫12 2注意，此处的变上限积分的上限是 x ，若记 u = x ，则函数∫x2 1(t 2 + 1)dt 可以看成是由 y =∫u 1(t 2 + 1)dt 与 u = x 2 复合而成，根据复合函数的求导法则得d x2 2 d u 2 du 2 ∫1 (t + 1)dt = [ du ∫1 (t + 1)dt ] dx = (u + 1)2 x dx= ( x 4 + 1) 2 x = 2 x + 2 x .5一般地有，如果 g (x ) 可导，则10g ( x) d g (x) [∫ f (t )dt ] = [ ∫ f (t )dt ]′x = f [ g ( x)]g ′( x) . a dx a上式可作为公式直接使用.例 5.2.4 解∫ 求极限 limx →0x2 0sin tdt x4.x2 0 0 0 sin tdt = ∫ sin tdt = 0 ，所以这个极限是 型的未定式， 0 0因为 lim x = 0 ，lim4 x →0x →0∫利用洛必塔法则得limx →0∫x2 0sin tdt x4== limsin x 2 ? 2 x sin x 2 = lim x →0 x→0 2 x 2 4x31 sin x 2 1 lim 2 = . 2 x→0 x 25.2.2 微积分基本公式定理 5.3 如果函数 f (x ) 在区间 [ a, b] 上连续， F (x ) 是 f (x ) 的任意一个原函数， 且 那 么∫b af ( x)dx = F (b) ? F (a ) .证 由定理 5.2 知， Φ( x ) =∫x af (t )dt 是 f (x) 在区间 [a, b] 的一个原函数，则Φ(x) 与 F (x) 相差一个常数 C，即∫又因为 0 =x af (t )dt = F ( x) + C .∫a af (t )dt = F (a ) + C ，所以 C = ? F (a ) .于是有∫所以x a b af (t )dt = F ( x) ? F (a ) . f ( x)dx = F (b) ? F (a ) 成立.bb∫ ∫为方便起见，通常把 F (b) ? F ( a ) 简记为 F ( x) a 或 [ F ( x )] a ，所以公式可改写为b af ( x)dx = F ( x) b = F (b) ? F (a ) a上述公式称为牛顿―莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，又称为微积分基本公式. 定理 5.3 揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系， 它把求定积分的问题转化 为求原函数的问题.确切地说， 要求连续函数 f (x ) 在 [ a, b] 上的定积分， 只需要求出 f (x ) 在 区间 [ a, b] 上的一个原函数 F (x ) ，然后计算 F (b) ? F ( a ) 就可以了.11例 5.2.5 计算 解∫1 0x 2 dx .因为 x dx =2 1 2∫1 3 x + C ，所以 311 3 1 3 1 3 1 ∫ 0 x dx = 3 x 0 = 3 × 1 ? 3 × 0 = 3 .例 5.2.6 求ex ∫?1 1 + e x dx .1解x 1 d (e + 1) ex x 1 dx = ∫ = ln(1 + e ) ∫?1 1 + e x ?1 ?1 1 + e x 1= ln(1 + e) ? ln(1 + e ?1 ) = 1 . 例 5.2.7 求 解∫3?12 ? x dx .2 3 2 3根据定积分性质 5.1.3，得∫3?12 ? x dx = ∫ | 2 ? x | dx + ∫ | 2 ? x | dx = ∫ (2 ? x)dx + ∫ ( x ? 2)dx?12?12= (2 x ?1 2 1 9 1 x ) + ( x 2 ? 2 x) = + = 5 . 2 2 2 ?1 2 223例 5.2.8 求极限 lim 解(1 + 2 3 + 3 3 + L + n 3 ) . n →∞ n4根据定积分定义,得n 1 (1 + 2 3 + 33 + L + n 3 ) 1 i 1 lim = lim ∑ ( ) 3 = ∫ x 3 dx = x 4 4 0 n →∞ n →∞ 4 n i =1 n n101 = . 4牛顿与莱布尼兹牛顿（Newton，Isaac，）英国物理学家，数学家， 天文学 家.经典物 理学理论体系 的建立者. 莱布尼兹（Gottfriend Wilhelm Leibniz,）是 17、18 世纪之交德国最重要的数学 家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才.他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的 科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献. 微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论.实际上，牛顿在微积分方面的 研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿.莱布尼兹在 1684 年 10 月发表的 《教师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早 发表的微积分文献.牛顿在 1687 年出版的 《自然哲学的数学原理》 的第一版和第二版也写道： “十年前在我和最杰出的几何学家 G、W 莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大 值和极小值的方法、 作切线的方法以及类似的方法， 但我在交换的信件中隐瞒了这方法， ……12这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法.他并诉述了他的方法，它 与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外.”（但在第三版及以后再版时， 这段话被删掉了.）因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的.牛顿从 物理学出发， 运用集合方法研究微积分， 其应用上更多地结合了运动学， 造诣高于莱布尼兹. 莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严 密性与系统性是牛顿所不及的.莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的 技巧是数学成功的关键之一.因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入 dx 表示 x 的微 分， ∫表示积分， 等等.这些符号进一步促进了微积分学的发展.1713 年， 莱布尼兹发表了 《微 积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性.你 知道为什么称为牛顿---莱布尼兹公式了吧！习题 5.2 1.求下列函数的导数： (1) F ( x ) =∫x 0t 2 + 1dt1(2) F ( x ) =∫x2 asin t dt t(3) F ( x ) =∫xt 2 e ?t dt(4) F ( x) =∫x2 ?xcos 2 tdt2.求下列函数的极限：∫ (1) limx →0x 0cos 2 tdt x∫ (2) limx →1x 1t (t ? 1)dt( x ? 1) 2x 0∫ (3) limx→0x 0arctan tdt x2x 0∫ (4) limx →0( 1 + t ? 1 ? t )dt x23.求函数 F ( x) =∫t (t ? 2)dt 在区间 [?1,3] 上的最大值和最小值.4.求由曲线 y = ? x 2 + 2 x 与直线 x = 0, x = 2 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积. 5.求下列定积分的值： (1)∫ ∫ ∫2 12 0( x 2 + x ? 1)dx(2)∫ ∫1 02(2 x + x 2 )dx 1 x dx(3)x dx 1+ x2 cos x dx(4)1(5)π0(6)∫2 0xe 2 dx135.3 定积分的积分法在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动 就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式. 5.3.1 定积分的换元积分法 定理 5.4 设函数 f (x ) 在区间 [ a, b] 上连续，并且满足下列条件： （1） x = ? (t ) ，且 a = ? (α ) ， b = ? ( β ) ； （2） ? (t ) 在区间 [α , β ] 上单调且有连续的导数 ? ′(t ) ； （3）当 t 从 α 变到 β 时， ? (t ) 从 a 单调地变到 b . 则有∫b af ( x)dx = ∫ f [? (t )]? ′(t )dtαβ上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点： ①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用 x = ? (t ) 把原积分变 量 x 换成新变量 ? (t ) ， 积分限也必须由原来的积分限 a 和 b 相应地换为新变量 t 的积分限 α 和 β ，而不必代回原来的变量 x ，这与不定积分的第二换元法是完全不同的. ②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新 的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以 直接应用牛顿―莱布尼兹公式求出定积分的值. 例 5.3.1 求∫3 0x1+ xdx .2解 于是令 1 + x = t ，则 x = t ? 1 ，dx = 2tdt ，当 x = 0 时，t = 1 ，当 x = 3 时，t = 2 ，∫3 0x1+ xdx = ∫2 12 t 2 ?1 ? 2tdt = 2 ∫ (t 2 ? 1)dt 1 t= 2[ t ? t ]1 =3 21 38 3例 5.3.2 求 解法一∫π2 0cos 3 x sin xdx .14设 t = cos x ，则 dt = ? sin xdx ， 当 x = 0 时， t = 1 ；当 x =π2时， t = 0 ，于是∫解法二π2 00 1 1 1 cos 3 x sin xdx = ∫ t 3 ? (? dt ) = ∫ t 3 dt = [ t 4 ]1 = . 0 1 0 4 4∫π2 01 1 2 cos 3 x sin xdx = ? ∫ 2 cos 3 xd cos x = [? cos 4 x]0 = . 0 4 4ππ解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变. 例 5.3.3 求 解x∫ln 2 0e x ? 1dx . 2t dt ， x = 0 时，t = 0 ； x = ln 2 当 当 1+ t 2令 e ?1 = t ， x = ln(1 + t 2 ) ，dx = 则时， t = 1 ，于是∫ln 2 0e x ? 1dx = ∫ t ?012 1 2t 1 2t 1 dt = ∫ dt = 2 ∫ (1 ? )dt 2 2 01+ t 0 1+ t 1+ t 21= 2[t ? arctan t ] 0 = 2 ? 例 5.3.4π2.设 f (x ) 在区间 [ ? a, a ] 上连续，证明：（1）如果 f (x ) 为奇函数，则 （2）如果 f (x ) 为偶函数，则∫ ∫a?af ( x)dx = 0 ； f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .0a?aa这结论是定积分的性质 5.1.8，下面我们给出严格的证明. 证 由定积分的可加性知∫ ∫所以a?af ( x)d x = ∫0?af ( x)d x + ∫ f ( x)d x ，0a对于定积分0∫0?af ( x)dx ，作代换 x = ?t ，得0?af ( x)dx = ? ∫ f (?t )dt = ∫ f (?t )dt = ∫ f (? x)dx ，a0 0aa∫a?af ( x)dx = ∫ f (? x)dx + ∫ f ( x)dx0 0aa=∫ [ f ( x) + f (? x)]dx0a（1） 如果 f (x ) 为奇函数， f ( ? x ) = ? f ( x ) ， f ( x ) + f ( ? x ) = f ( x ) ? f ( x ) = 0 ， 即 则 于是∫a?af ( x)dx = 0 .（2）如果 f (x ) 为偶函数，即 f ( ? x ) = f ( x ) ，则15f ( x ) + f ( ? x ) = f ( x) + f ( x ) = 2 f ( x ) ，于是∫a ?af ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .0a例 5.3.5 求下列定积分： （1）∫3 ?x 2 sin x dx 3 1+ x4（2）∫2 ?2x 2 4 ? x 2 dxx 2 sin x 解 （1）因为被积函数 f ( x) = 是奇函数，且积分区间 [? 3 , 3 ] 是对称区间， 1+ x4所以∫3 ?x 2 sin x dx = 0 . 3 1+ x42 2 （2）被积函数 f ( x) = x 4 ? x 是偶函数，积分区间 [ ?2,2] 是对称区间，所以∫2 ?2x 2 4 ? x 2 dx = 2 ∫ x 2 4 ? x 2 dx ，02令 x = 2 sin t ，则 dx = 2 cos tdt ， 4 ? x = 2 cos t ，2当 x = 0 时， t = 0 ；当 x = 2 时， t =π2，于是π∫2?2x 2 4 ? x 2 dx = 2 ∫ 2 16 sin 2t cos 2 tdt = 8∫ 2 sin 2 2tdt0 0π=4 2.分部积分法 定理 5.5∫π2 0(1 ? cos 4t )dt = (4t ? sin 4t ) 02 = 2π .π设函数 u = u (x ) 和 v = v (x ) 在区间 [ a, b] 上有连续的导数，则有∫完全一样. 例 5.3.6b au ( x)dv( x) = [u ( x)v( x)]b ? ∫ v( x)du ( x) . aab上述公式称为定积分的分部积分公式.选取 u (x ) 的方式、方法与不定积分的分部积分法求∫2 1x ln xdx . 1 2 1 1 2 ln xd ( x 2 ) = x 2 ln x ? ∫ x 2 d (ln x) 2 ∫1 2 2 1 12 2解∫2 1x ln xdx =1 2 1 2 3 = 2 ln 2 ? ∫ xdx = 2 ln 2 ? x = 2 ln 2 ? . 2 1 4 1 416例 5.3.7 求 解∫π0x sin xdx .π π π∫π0x sin xdx = ? ∫ xd cos x = ? x cos x 0 + ∫ cos xdx0 0= π + sin x 0 = π . 例 5.3.8 求 解 于是π∫1 0e x dx .2令 x = t ，则 x = t ， dx = 2tdt ,当 x = 0 时， t = 0 ；当 x = 1 时， t = 1 .∫1 0e x dx = 2 ∫ te t dt = 2 ∫ tde t = 2te t0 0111 0? 2 ∫ e t dt01= 2e ? 2et 1 0= 2e ? 2e + 2 = 2 .此题先利用换元积分法，然后应用分部积分法.习题 5.3 1.求下列定积分的值： (1)∫1 + ln x dx 1 xe(2)∫1 0x 1 ? x 2 dx3 0(3)∫2 11 x e dx x2 dx x+ x31(4)∫ ∫dx1+ x +1x ?1 dx x(5)∫ ∫ ∫∫64 1 2 0(6)10 1 1 0(7)x 2 e 2 x dx(8)∫arctan xdxπ(9)e ?10ln( x + 1)dx(10)∫2 0e 2 x cos xdx2.求下列定积分： (1)1?1( x 2 + 3 x + sin x cos 2 x)dx(2)x 3 sin 2 x ∫?1 x 4 + 2 x 2 + 1dx1(3)∫a ?ax2 x2 + a2dx(4)∫1 ?11 + sin x 1? x2dx175.4 定积分的应用由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的， 因而它的应用 非常广泛. 问题 1 在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程 r = a (1 + cosθ )(a & 0) 确定的，要计算该凸轮的面积和体积.问题 2 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长 6m 和 4m，高为 6m,较长的底边与水面 平齐，要计算闸门一侧所受水的压力. 为了解决这些问题， 下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法――微元法， 然后 讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些 具体应用的计算公式，而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法.5.4.1 定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积 A 的方法和步骤： (1)将区间 [ a, b] 分成 n 个小区间，相应得到 n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为?Ai (i = 1,2, L n) ； (2)计算 ?Ai 的近似值，即 ?Ai ≈ f (ξ i ) ?xi （其中 ?xi = xi ? xi ?1 , ξ i ∈ [ xi ?1 , xi ] ） ；(3)求和得 A 的近似值，即 A ≈ (4)对和取极限得 A = limλ →0n∑ f (ξ )?x ；i =1 i i b a i in∑ f (ξ )?x = ∫i =1f ( x)dx .下面对上述四个步骤进行具体分析： 第(1)步指明了所求量（面积 A ）具有的特性：即 A 在区间 [ a, b] 上具有可分割性和可 加性. 第(2)步是关键， 这一步确定的 ?Ai ≈ f (ξ i ) ?xi 是被积表达式 f ( x ) dx 的雏形.这可以从 略下标，得 ?A ≈ f (ξ ) ?x ，用 [ x, x + dx ] 表示 [ a, b] 内的任一小区间，并取小区间的左端点 以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对 ?Ai ≈ f (ξ i ) ?xi 省x 为 ξ ，则 ?A 的近似值就是以 dx 为底，f ( x) 为高的小矩形的面积（如图 5.7y = f (x)y阴影部分） ，即?A ≈ f ( x)dx .通常称 f ( x ) dx 为面积元素，记为 o ax x + dxbx图 5.7 将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在 [ a, b] 上“无限累加” ，就得到面积 A .即dA = f ( x)dx .A = ∫ f ( x)dx .ab一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：18（1）确定积分变量 x ，并求出相应的积分区间 [ a, b] ； （2）在区间 [ a, b] 上任取一个小区间 [ x, x + dx ] ，并在小区间上找出所求量 F 的微元dF = f ( x)dx ；（3）写出所求量 F 的积分表达式 F =∫b af ( x)dx ，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法 定积分的微元法. 定积分的微元法 注 能够用微元法求出结果的量 F 一般应满足以下两个条件： ① F 是与变量 x 的变化范围 [ a, b] 有关的量； ② F 对于 [ a, b] 具有可加性，即如果把区间 [ a, b] 分成若干个部分区间，则 F 相应地分 成若干个分量.5.4.2 定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算 (1)由曲线 y = f (x ) 和直线 x = a, x = b, y = 0 所 围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙 述. (2)求由两条曲线 y = f ( x ), y = g ( x) ， a o yy = f (x)x x + dxy = g (x)图 5.8bx( f ( x) ≥ g ( x)) 及直线 x = a, x = b 所围成平面的面积 A （如图 5.8 所示）.下面用微元法求面积 A . ①取 x 为积分变量， x ∈ [ a, b] .②在区间 [ a, b] 上任取一小区间 [ x, x + dx ] ，该区间上小曲边梯形的面积 dA 可以用高f ( x) ? g ( x) ，底边为 dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素 dA = [ f ( x) ? g ( x)]dx .③写出积分表达式，即A = ∫ [ f ( x) ? g ( x)]dx .ab⑶求由两条曲线 x = ψ ( y ), x = ? ( y ) ， (ψ ( y ) ≤ ? ( y )) 及直线 y = c, y = d 所围成平 面图形（如图 5.9）的面积. 这里取 y 为积分变量， y ∈ [c, d ] ， 用类似 (2)的方法可以推出： y d y+dy yA = ∫ [? ( y ) ? ψ ( y )]dy .cd例 5.4.1 求由曲线 y = x 2 与 y = 2 x ? x 2 所围图形的面积. 解 先画出所围的图形（如图 5.10） 由方程组 ?x = ψ ( y)cox = ? ( y)x图 5.9y = x2 ，得两条曲线的交点为 y = 2x ? x 2 ? ?19O (0,0), A(1,1) ，取 x 为积分变量， x ∈ [0,1] .由公式得A = ∫ (2 x ? x 2 ? x 2 )dx = [ x 2 ?012 3 1 1 x ]0 = . 3 3B(8,4)yy=xA (1,1)2y 4y = x?4y = 2x ? x 2o 图 5.10 1 2 xo -22 A(2,-2)8xy 2 = 2x图 5.11例 5.4.2 求曲线 y 2 = 2 x 与 y = x ? 4 所围图形的面积. 解 画出所围的图形（如图 5.11）.由方程组 ?? y 2 = 2x 得 两 条 曲 线 的 交 点 坐 标 为 A( 2,?2), B(8,4) ， 取 y 为 积 分 变 量 ， ?y = x ? 41 2 y 及x = y + 4 得所求面积为 2y ∈ [?2,4] .将两曲线方程分别改写为 x = A = ∫ (y + 4 ?41 2 y )dy ?2 2 1 1 = ( y 2 + 4 y ? y 3 ) 4 2 = 18 . ? 2 6注本题若以 x 为积分变量，由于图形在 [0,2]和[ 2,8] 两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：A = 2∫2 02 x dx + ∫ [ 2 x ? ( x ? 4)]dx23 2 08=4 2 2 x 3+[2 2 2 1 2 x ? x + 4 x] 8 = 18 . 2 3 23显然，对于例 5.4.2 选取 x 作为积分变量，不如选取 y 作为积分变量计算简便.可见适 当选取积分变量，可使计算简化. 例 5.4.3 求曲线 y = cos x与y = sin x 在区间 [0, π ] 上所围平面图形的面积. 如图 5.12 所示，曲线 y = cos x与y = sin x 的交点坐标为 (解π4,2 ) ，选取 x 作为 2积分变量， x ∈ [0, π ] ，于是，所求面积为20A = ∫ 4 (cos x ? sin x)dx + ∫ π (sin x ? cos x)dx0 4ππ= (sin x + cos x)π4 0+ (? cos x ? sin x)π π4=2 2.yy = sin x0π4图 5.12 2.极坐标系下面积的计算πxy = cos x设曲边扇形由极坐标方程 ρ = ρ (θ ) 与射线 θ = α ,θ = β (α & β ) 所围成（如图 5.13 所 示）.下面用微元法求它的面积 A. 以极角 θ 为积分变量， 它的变化区间是 [α , β ] ， 相应的小曲边扇形的面积近似等于半径 为 ρ (θ ) ，中心角为 dθ 的圆扇形的面积，从而得面积微元为 dA = 于是，所求曲边扇形的面积为1 [ ρ (θ )] 2 dθ 2A=∫β α1 [ ρ (θ )] 2 dθ . 2ρ = ρ (θ )dθOρ = a (1 + cos θ )A12a xβoαx 图 5.13 图 5.14例 5.4.4 解计算心形线 ρ = a (1 + cos θ )( a & 0) 所围图形的面积（如图 5.14）.对于极轴上方部分图形，取 θ 为积分变量， θ ∈ [0, π ] ，由上述公式得：此图形对称于极轴，因此所求图形的面积 A 是极轴上方部分图形面积 A1 的两倍.A = 2 A1 = 2 ×1 π 2 2 ∫ 0 a (1 + cosθ ) dθ 221= a 2 ∫ (1 + 2 cos θ + cos 2 θ )dθ0ππ 3 1 = a 2 ∫ ( + 2 cos θ + cos 2θ )dθ 0 2 2 3 1 3 = a 2 [ θ + 2 sin θ + sin 2θ ] π = πa 2 . 0 2 4 2这个结果就是本节前面问题 1 提到的凸轮横截面的面积， 如果知道凸轮的厚度， 可进一 步求出它的体积，这里不再赘述. 3．定积分求体积 (1)旋转体的体积 旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴. 旋转轴. 旋转体 旋转轴 设旋转体是由连续曲线 y = f ( x )( f ( x ) ≥ 0) 和直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成的曲边 梯形绕 x 轴旋转一周而成（如图 5.15）. 取 x 为积分变量，它的变化区间为 [ a, b] ，在 [ a, b] 上任取一小区间 [ x, x + dx ] ，相应薄 片的体积近似于以 f (x ) 为底面圆半径， dx 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为dV = π [ f ( x)]2 dx ，于是，所求旋转体体积为 V x = π ∫ [ f ( x)]2 dx .a byy = f ( x)oax x+dxbxy d y+dy y y o cx = ? ( y)x图 5.15图 5.16类似地，由曲线 x = ? ( y ) 和直线 y = c, y = d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一 周而成（如图 5.16） ，所得旋转体的体积为V y = π ∫ [? ( y )]2 dy .cd例 5.4.5 求由椭圆x2 y2 + = 1 绕 x 轴及 y 轴旋转而成的椭球体的体积. a2 b2 b a2 ? x2 与 x a解(1)绕 x 轴旋转的椭球体如图 5.17 所示,它可看作上半椭圆 y =轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成.取 x 为积分变量, x ∈ [ ?a, a ] ,由公式所求椭球体的体积 为22a ?b ? Vx = π ∫ ? a 2 ? x 2 ? dx ?a a ? ?2=2πb 2 a2∫a 0(a 2 ? x 2 )dxa2πb 2 = 2 a? 2 x3 ? a x? ? ? 3 ?0 ?4 = πab 2 . 3(2)绕 y 轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆 x =a 2 b ? y 2 与 y 轴围成的平面图形绕 by 轴旋转而成（如图 5.18 所示）,取 y 为积分变量, y ∈ [?b, b] ,由公式所求椭球体体积为?a 2 ? Vy = π ∫ ? b ? y 2 ? dy ?b b ? ?b2ybx=a 2 b ? y2 bx2πa 2 = 2 b 2πa 2 = 2 b∫b0(b 2 ? y 2 )dybo -b 图 5.18? 2 y3 ? b y? ? ? 3 ?0 ?4 = πa 2 b . 3当 a = b = R 时,上述结果为 V =4 3 πR ,这就是大家所熟悉的球体的体积公式. 3(2)平行截面面积为已知的立体体积 设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积. 不妨设直线为 x 轴，则在 x 处的截面面积 A( x ) 是 x 的已知连续函数，求该物体介于x = a 和 x = b(a & b) 之间的体积（如图 5.19）.取 x 为积分变量，它的变化区间为 [ a, b] ，在微小区间 [ x, x + dx ] 上 A( x ) 近似不变，即 把 [ x, x + dx ] 上的立体薄片近似看作A( x) 为底， dx 为高的柱片，从而得到体积元素 dV = A( x ) dx . 于是该物体的体积为oax x+dx bx图 5.1923V = ∫ A( x)dx .ab例 5.4.6 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角α，计算这平面 截圆柱体所得立体的体积.（如图 5.20） 解 取这平面与圆柱体的底面交线为 x 轴 建立如图 5.20 的直角坐标系，则底面圆的 y 方程为 x + y = R .立体中过点 x 且垂直于2 2 2x 轴的截面是一个直角三角形.它的直角边分别为 y, y tan α ，即 R ? x , R ? x tan α .2 2 2 2A (x)因而截面面积为-Rox 图 5.20RxA( x) =1 2 ( R ? x 2 ) tan α . 2R故所求立体体积为1 2 1 1 ? 2 ? V =∫ ( R ? x 2 ) tan αdx = tan α ? R 2 x ? x 3 ? = R 3 tan α . ?R 2 2 3 ? ?R 3 ?R4.定积分在物理上的应用举例 (1)变力作功 由物理学知道,物体在常力 F 的作用下,沿力的方向作直线运动,当物体发生了位移 S 时,力 F 对物体所作的功是 W = FS . 但在实际问题中,物体在发生位移的过程中所受到的力常常是变化的,这就需要考虑变 力作功的问题. 由于所求的功是一个整体量,且对于区间具有可加性,所以可以用微元法来求这个量. 设物体在变力 F = f (x ) 的作用下,沿 x 轴由点 a 移动到点 b ,如图 5.21 所示,且变力方 向与 x 轴方向一致.取 x 为积分变量, F(x) a 间 [ x, x + dx ] ,该区间上各点处的力可 以用点 x 处的力 F (x ) 近似代替.因此功的微元为 x x+dx 图 5.21 b xx ∈ [a, b] .在区间 [a, b] 上任取一小区dW = F ( x)dx ，因此,从 a 到 b 这一段位移上变力 F (x ) 所作的功为W = ∫ F ( x)dx .ab例 5.4.7弹簧在拉伸过程中,所需要的力与弹簧的伸长量成正比,即 F = kx, ( k 为比例系数).已知弹簧拉长 0.01m 时,需力 10 N ,要使弹簧伸长 0.05m ,计算外力所做的功. 解 由题设, x = 0.01m 时, F = 10 N .代入 F = kx ,得 k = 1000 N m .从而变力为24F = 1000 x ,由上述公式所求的功为W =∫(2)液体的压力0.05 01000xdx = 500x 20.05 0= 1.25( J ) .由物理学知道,在液面下深度为 h 处的压强为 p = ρgh ,其中 ρ 是液体的密度, g 是重 力加速度.如果有一面积为 A 的薄板水平地置于深度为 h 处,那么薄板一侧所受的液体压力F = pA .但在实际问题中,往往要计算薄板竖直放置在液体中(如前面问题 2 中的闸门)时，其一 侧所受到的压力.由于压强 p 随液体的深度而变化,所以薄板一侧所受的液体压力就不能用 上述方法计算,但可以用定积分的微元法来加以解决. 设薄板形状是曲边梯形,为了计算方便,建立如图 5.22 所示的坐标系,曲边方程为y = f ( x) .取液体深度 x 为积分变量, x ∈ [a, b] ,在 [a, b] 上取一小区间 [ x, x + dx] ,该区间上小曲边平板所受的压力可近似地看 作长为 y ,宽为 dx 的小矩形水平地放在距液 体表面深度为 x 的位置上时,一侧所受的压力. 因此所求的压力微元为: a x x+dx b x 图 5.22 o ydF = ρghf ( x)dx .于是，整个平板一侧所受压力为bF = ∫ ρghf ( x)dx .a下面我们来看本节前面问题 2 的答案. 例 5.4.8 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长 6m 和 4m，高为 6m,较长的底边与水 面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力. 解 根据题设条件.建立如图 5.23 所示的 坐标系， AB 的方程为 y = ?1 x + 3 .取 x 为 6积分变量, x ∈ [0,6] ,在 x ∈ [0,6] 上任一小区 间 [ x, x + dx ] 的压力微元为1 dF = 2 ρgxydx = 2 × 9.8 × 10 3 x(? x + 3)dx ， 6从而所求的压力为6 1 F = ∫ 9.8 × 10 3 (? x 2 + 6 x)dx 0 325? 1 ? = 9.8 × 10 3 ?? x 3 + 3x 2 ? ? 9 ?0≈ 8.23 × 10 5 N .5.定积分在经济中应用举例 在第 3 章我们研究了导数在经济问题的应用，可以对经济函数进行边际分析和弹性分 析，但在实际中往往还要涉及到已知边际函数或弹性函数，来求原函数的问题，就需要利用 定积分或不定积分来完成，根据导数与积分的关系有： (1)已知边际成本 MC (Q) ，求总成本 C (Q ) . 有 C (Q ) =6∫ ∫Q 0MC ( x)dx + C (0) ，其中 C (0) 是固定成本，一般不为零.(2)已知边际收益 MR (Q ) ，求总成本 R (Q ) . 有 R (Q ) =Q 0MR ( x)dx + R (0) = ∫ MR ( x)dx .其中 R (0) = 0 被称为自然条件，意指0Q当销售量为 0 时，自然收益为 0. 下面通过实例说明定积分在经济方面的应用. 例 5.4.9 已知某产品边际成本函数 MC (Q) = Q + 24 且固定成本为 1000 元，求总成 本函数 C(Q). 解C (Q) = ∫ MC ( x)dx + C (0) = ∫0QQ0?1 ? ( x + 24)dx = ? x 2 + 24 x ? ?2 ?0Q=1 2 Q + 24Q . 2例 5.4.10 某工厂生产某产品 Q （百台）的边际成本为 MC (Q) =2（万元/百台）设固 定成本为 0，边际收益为 MR (Q ) = 7 ? 2Q (万元/百台).求： （1）生产量为多少时，总利润 L 最大？最大总利润是多少？ （2）在利润最大的生产量的基础上又生产了 50 台，总利润减少多少？ 解 （1）因 C (Q ) =Q∫Q0MC ( x)dx + C (0) = ∫ 2dx = 2Q ，0QR (Q) = ∫ MR ( x)dx = ∫ (7 ? 2 x)dx = 7Q ? Q 20 0Q所以利润函数 L(Q ) = R (Q ) ? C (Q ) = 5Q ? Q 2 ，则 L ′(Q ) = 5 ? 2Q ， 令 L ′(Q ) = 0 ，得唯一驻点 Q = 2.5 ，且有 L ′′(Q ) = ?5 & 0 . 故 Q = 2.5 ，即产量为 2.5 百台时，有最大利润，最大利润为L(2.5) = 5 × 2.5 ? (2.5) 2 = 6.25 万元.26（2）在 2.5 百台的基础上又生产了 50 台，即生产 3 百台，此时利润为L(3) = 5 × 3 ? 3 2 = 6 万元.即利润减少了 0.25 万元. 习题 5.4 1.求下列曲线围成平面图形的面积. (1) y = x , y =2x(2) y =(3) y = sin x, y = cos x, x = 0, x = (5) y 2 = 4 + x, x + 2 y = 4π21 , y = x, y = 2 x2(4) y = 4 ? x , y = 0 （6） y = x 2 , y = ( x ? 2) 2 , y = 02.求由直线 y = 0 与曲线 y = x 2 及它在点 (1,1) 处的法线所围成图形的面积. 3.求下列平面图形分别绕 x 轴, y 轴旋转所产生的立体的体积. (1) y + 2 x = 1, x = 0 及 y = 0 (2) y =2 x , x = 1, x = 2 及 y = 04.有一弹簧,用 10 N 的力可以把它拉长 0.005m ,求把弹簧拉长 0.03m 时力所做的功. 5.有一圆柱形贮水桶,高 2m ,底圆半径为 0.8m ,桶内装 1m 深的水,试问要将桶内的水 全部吸出要作多少功? 6.求曲线 r = 2a cos θ 所围成图形的面积. 7.已知物体作变速直线运动的速度为 v(t ) = 2t 2 + t ( m / s ) ,求该物体在前 5 秒内经过的 路程. 8.设一沿 x 轴运动的物体所受的外力是 cosπ3x (牛顿),试问当此物体从 x = 1 (米)处移到 x = 2 (米)处时外力所做的功. 9.一水库闸门的形状为直角梯形,上底为 6m ,下底为 2m ,高为 10m ,求当水面与上底 相齐时,闸门一侧所受的压力. 10.已知某产品的的固定成本为 1 万元， 边际收益和边际成本分别为 （单位： 万元/百台）MR (Q) = 8 ? Q,MC (Q) = 4 +Q . 4(1)求产量由 1 百台增加到 5 百台时，总收益增加了多少？ (2)求产量由 2 百台增加到 5 百台时，总成本增加了多少？ (3)求产量为多少时，总利润最大； (4)求总利润最大时的总收益、总成本和总利润.275.5 广义积分前面讨论定积分的定义时，要求函数的定义域只能是有限区间 [a, b ] ，并且被积函数在 积分区间上是有界的.但是在实际问题中，还会遇到函数的定义域是无穷区间 [a,+∞ ) ，(? ∞, a]或 (? ∞,+∞ ) ，或被积函数为无界的情况.前者称为无限区间上的积分，后者称为无界函数的积分.一般地，我们把这两种情况下的积分称为广义积分，而前面讨论的定积分称 为常义积分.本节将介绍广义积分的概念和计算方法.5.5.1 无穷区间上的广义积分――无穷积分定义 5.3 若极限 lim 设函数 f (x ) 在区间 [ a,+∞ ) 上连续, 取 b & a ，b → +∞∫b af ( x)dx 存在,则称此极限为函数 f (x ) 在 [ a,+∞ ) 上的广义积分,记作 即 此时也称广义积分∫+∞ af ( x)dx ,∫ ∫+∞ a+∞ af ( x)dx = limb → +∞∫b af ( x)dx .+∞ af ( x)dx 收敛 收敛；如果上述极限不存在, 就称 ∫f ( x)dx 发散 发散.类似地，定义 f(x)在区间 (?∞, b] 上的广义积分为 f(x)在(?∞, +∞)上的广义积分定义为∫b ?∞ af ( x)dx = lim f ( x)dx + ∫+∞ aa → ?∞∫b af ( x)dx .∫+∞ ?∞f ( x)dx = ∫?∞f ( x)dx .其中 a 为任意实数.当且仅当上式右端两个积分同时收敛时，称广义积分∫+∞ ?∞f ( x)dx 收敛，否则称其发散. 从广义积分的定义可以直接得到广义积分的计算方法， 即先求有限区间上的定积分， 再 取极限. 例 5.5.1 计算广义积分 解 任取实数 b & 0 ，则∫+∞ 01 dx . 1+ x2∫+∞ 01 dx = lim b 1 dx = lim arctan x b b → +∞ ∫ 0 1 + x 2 b→ +∞ 0 1+ x2= lim (arctan b ? arctan 0) =b → +∞π2.例 5.5.2 计算 解∫+∞ 0x dx . 1+ x2∫+∞ 0b x x 1 b 1 dx = lim ∫ dx = lim ∫ d (1 + x 2 ) 2 2 b → +∞ 0 1 + x b → +∞ 2 0 1 + x 2 1+ x 1 1 = lim ln(1 + x 2 ) b = lim ln(1 + b 2 ) = +∞ . 0 2 b→ +∞ 2 b→ +∞28所以，广义积分∫+∞ 0x dx 是发散. 1+ x2利用极限的性质，可以把定积分的分部积分法、换元积分法推广到广义积分. 例 5.5.3 解 计算∫0?∞xe x dx .∫0?∞xe x dx = lima → ?∞a → ?∞∫0 axe x dx = lim [ xe xa → ?∞0 a? ∫ e x dx]a0= lim [? ae a ? e x 0 ] = lim [? ae a ? 1 + e a ] aa → ?∞= ?1 .注 显然这里的极限 lim (1 ? a)e 是不定式，利用洛必达法则可得其结果为零.a a → ?∞例 5.5.4 判断 解∫0?∞cos xdx 的收敛性.∫0?∞cos xdx = lima → ?∞a → ?∞∫0acos xdx = lim sin xa → ?∞0 a= lim (? sin a ) .显然 a → ?∞ 时, sin a 没有极限,所以广义积分 例 5.5.5 求曲线 y = 解∫0?∞cos xdx 是发散的.1 与直线 x = 1, y = 0 所围成的图形的面积. x2y如图 5.24 所示，阴影部分的面积可以看作函数 f ( x ) =1 在 [1,+∞) 的定积分， x2故所求图形的面积为y=A=∫+∞11 dx x21 x2= limb → +∞∫b11 ? 1? dx = lim ?? ? 2 b → +∞ x ? x ?1bo 图 5.241x1 = lim (1 ? ) = 1 . b → +∞ b例 5.5.6 解 讨论广义积分∫+∞ a1 dx(a & 0) 的敛散性. xp当 p = 1 时，∫+∞ a+∞ 1 1 b dx = ∫ dx = lim ln x a = lim [ln b ? ln a ] = +∞ （发散） ； p a x b → +∞ b → +∞ x当 p ≠ 1 时，29∫+∞ a1 x1? p dx = lim b → +∞1 ? p xpba?+ ∞ p & 1(发散） a 1? p b1? p ? ? . =? + lim = ? 1? p 1 ? p b→+∞ 1 ? p ? a p & （收敛） 1 ? p ?1 ?a 1? p 故 p & 1 时，该广义积分收敛，其值为 ；当 p ≤ 1 时，该广义积分发散. p ?1此广义积分称为 p 积分，牢记它的敛散性，可以直接运用.5.5.2 无界函数的广义积分――瑕积分定义 5.4b设函数 f ( x ) 在区间 (a, b] 上连续，且 lim f ( x ) = ∞ .取 A & a ,如果极限 +x→ aA→ alim+ ∫ f ( x)dx 存在,则称此极限为函数 f (x) 在 (a, b] 上的广义积分,记作 ∫ f ( x)dx ，即A ab∫此时也称广义积分b a b af ( x)dx = lim+ ∫ f ( x)dx .A→ a Ab∫f ( x)dx 收敛，否则就称广义积分 ∫ f ( x)dx 发散.ab类似地，当 x = b 为 f (x ) 的无穷大间断点时， f (x ) 在 [ a, b) 上的广义积分 为：取 B & b ,∫b af ( x)dx∫b af ( x)dx = lim? ∫ f ( x)dx .B →b aB当无穷间断点 x = c 位于区间 [ a, b] 的内部时，则定义广义积分∫b af ( x)dx 为：∫ ∫b ab af ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .a ccb注 上式右端两个积分均为广义积分， 当且仅当右端两个积分同时收敛时， 称广义积分f ( x)dx 收敛，否则称其发散.注 (1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类 似的性质，但不能直接利用牛顿―莱布尼兹公式. (2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限， 定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分； 在求极限时可以利用求极限的一 切方法，包括洛必塔法则. (3)为了方便，利用下列符号表示极限：a → ?∞lim F ( x) a = F ( x) ?∞ ； lim F ( x) a = F ( x) a ；b b b b → +∞ b b B b B →b+∞B →alim+ F ( x) B = F ( x) a ； lim? F ( x) a = F ( x) a .(4)瑕积分与常义积分的记号一样，要注意判断和区别. 例 5.5.7 求∫1 01 1? xdx .30解因为函数 f ( x) =1 1? xdx 在 [0,1) 上连续，且 lim ?x →11 1? x= +∞ ，所以∫1 01 1? xdx 是广义积分，于是 1 1? x 1 1? x∫1 0dx = lim ∫ ?B →1B 0B dx = lim [?2 1 ? x ] 0 ? B →1= lim [2 ? 2 1 ? B ] = 2 . ?B →1例 5.5.8 解 于是求∫1 dx . 0 x1 11 1 1 在 (0,1] 上连续，且 lim = +∞ ，所以 ∫ dx 是广义积分, + 0 x x→0 x x因为函数 f ( x ) =11 1 dx = lim+ ∫ dx = lim+ ln x 1A ∫ 0 x A→ 0 A x A→ 0 1= ? lim+ ln A = ?∞A→0故∫1 dx 发散. 0 x1例 5.5.9 计算 解 因为 lim∫1 dx . ?1 x 211 1 1 = +∞ ，所以 ∫ 2 dx 是广义积分，于是 2 ?1 x x →0 x 1 1 1 1 0 1 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 dx . ∫?1 x 2 0 x ?1 x 0 1 0 1 1 1 由于 ∫ dx = +∞ ，即 ∫ 2 dx 发散，从而 ∫ 2 dx 发散. ?1 x 2 ?1 x ?1 x 1 对于例 5.5.9，如果没有考虑到被积函数 2 在 x = 0 处有无穷间断点的情况，仍然按定 x积分来计算，就会得出如下错误的结果：∫1 1 dx = ? 2 ?1 x x11 ?1= ?2 .例 5.5.10 求积分 解∫1 0ln xdx .+因为被积函数 ln x ，当 x → 0 时无界，所以按瑕积分进行.∫1 0ln xdx = x ln x 0 ? ∫ dx = ?1 ? lim x ln x +1 0 x →01= ?1 ? lim +x →0ln x = ?1 + lim x = ?1 . x →0 + 1 x31例 5.5.11 讨论广义积分∫b adx 的敛散性. ( x ? a) q解当 q = 1 时，∫b dx dx b =∫ = ln( x ? a ) a = ln(b ? a ) ? lim+ ln( x ? a ) = +∞ 发散； q a ( x ? a) a x?a x→ a b当 q ≠ 1 时，dx ( x ? a) ∫ a ( x ? a) q = 1 ? qb1? q b=a( x ? a )1?q (b ? a )1?q ? lim+ x→a 1? q 1? q? (b ? a )1? q q &（收敛） 1 ? ? 1? q =? . ?+ ∞ q & （发散） 1 ? ?(b ? a)1?q 故 q & 1 时，该广义积分收敛，其值为 ；当 q ≥ 1 时，该广义积分发散. 1? q此广义积分称为 q 积分，牢记它的敛散性，可以直接运用. 习题 5.5 1.求下列广义积分： (1) (3) (5)∫0?∞e x dx(2)∫ ∫ ∫ ∫1 dx ?∞ 1 + x 2+∞ 0+∞e ? ax sin bxdx(a & 0)1 dx 1 x2 + ∞ ln x (4) ∫ dx e x + ∞ arctan x (6) ∫ dx 1 1+ x2∫+∞2.判断下列瑕积分的敛散性，如果收敛，计算积分值. (1)1 01xdx(2)∫1 0dx 1? x2(3)2 11 dx x ln x(4)∫ π cos2 41π12x1dxdx (5) ∫ 0 (1 ? x ) 221 x （6） ∫ e dx ?1 x 23.计算 y = e ? x 与直线 y = 0 之间位于第一象限内的平面图形的面积，并这个图形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积.本章小结321.定积分的概念 函数 y = f (x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分是通过部分和的极限定义的：∫b af ( x)dx = lim ∑ f (ξ i )?xi?x →0 i =1n这与不定积分的概念是完全不同的。通过牛顿-莱布尼兹公式，可以利用不定积分来计算定 积分，从而建立了两个概念间的联系. 2.定积分的性质 定积分的性质（见 5.1 性质 5.1.1――5.5.8）在定积分的理论和计算中具有重要的应 用.除了上述性质外，以下结论在积分计算中也有重要应用： （1）定积分的值仅依赖于被积函数和积分区间，与积分变量的选取无关.即∫ ∫特别地，当 a = b 时，有b ab af ( x)dx = ∫ f (t )dta ab（2）交换定积分的上、下限，定积分变号，即f ( x)dx = ? ∫ f ( x)dxb∫ ∫ ∫3.变上限的定积分a ?a a ?aa af ( x)dx = 0（3）对于定义在 [ ? a, a ] 上的连续奇（偶）函数 f ( x ) ，有f ( x)dx = 0 f ( x) 为奇函数a 0f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dxf ( x) 为偶函数如果函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续，则函数Φ ( x) = ∫ f (t )dt ， x ∈ [a, b]ax以 x 为积分上限的定积分的导数等于被积函数在上限 x 处的值.即Φ ′( x) = [ ∫ f (t )dt ]′ = f ( x)ax一般地，如果 g ( x ) 可导，则[∫4.牛顿-莱布尼兹公式g ( x) af (t )dt ]′ = f ([ g ( x)] ? g ′( x))设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续，且 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则∫b af ( x)dx = F (b) ? F (a )33这一公式说明：只需计算 f (x ) 的一个原函数或不定积分，就可以求得 f (x ) 在区间[a, b] 上的定积分.5.定积分的计算 （1）定积分的换元积分法.用换元法计算定积分时，应注意换元后，要换积分的上、下 限. （2）定积分的分部积分法. 6.无限区间上的广义积分 无限区间上的广义积分， 原则上是把它化为一个定积分， 再通过求极限的方法确定该广 义积分是否收敛.在广义积分收敛时，就求出了广义积分的值. 7.定积分的应用 定积分可应用于求平面图形的面积， 或在已知某经济函数的变化率或边际函数时， 求总 量函数或总量函数在一定范围内的增量.综合习题 5一.填空题 1.曲线 y = cos x 与直线 x = 0 ， x = π , y = 0 所围成平面图形面积等于________. 2.函数 f (x) 在 [?1,2] 上连续且其平均值为 ? 3.若2 5 ，则 ∫ f ( x) dx = __________ . ?1 6∫1 0(2 x + k )dx = 2 ，则 k = __________ .4.设可导函数 f (x) 满足条件 f (0) = 1 ， f ( 2) = 3 ， f ′( 2) = 5 ， 则 二.单项选择题 5.∫1 0xf ′′(2 x)dx =___.d x sin t dt = dx ∫ a t sin x A. x（ B.）cos x xC.sin a aD.sin t t（ ）6. [∫b xf (t )dt ]′ =B. f (b) ? f ( x ) C. f ( a ) D. ? f ( x )A. 07.设 f ( x) 在 [a, b] 上连续， F ( x ) =∫x af (t )dt ，则（）A. F ( x) 是 f ( x) 在 [a, b] 上的一个原函数 B. f ( x) 是 F ( x) 在 [a, b] 上的一个原函数 C.是 f ( x) 在 [a, b] 上惟一的原函数 8.设 f ( x) 为连续函数，则 D.是 F ( x) 在 [a, b] 上惟一的原函数 （ ）∫1 0f ( x)dx =34A.∫ ∫π2 0cos xf (sin x)dxB.∫ ∫π2 0sin xf (cos x)dxπ2 0π2 0C.cos xf (cos x)dxD.sin xf (sin x)dx（ ）9.设 f (x) 在 [a, b] 上连续，则下列各式中不成立的是 A. C.∫ ∫b a a af ( x)dx = ∫ f (t )dtabB.∫b af ( x)dx = ? ∫ f (t )dtb b aaf ( x)dx = 0D.若∫f ( x)dx = 0 ，则 f ( x) = 0三.解答下列各题 10.求下列极限：（1） limx→0∫x 0sin tdt x2（2） limx →02∫x2 0arctan t dt x2∫ π sin（3） limx→ 2xtdtπ2x?π2∫ （4） limx → +∞x2 01 + t 4 dt x611.求下列定积分： （1）∫2 11 ( x + )dx x（2）∫π4 0(sin x + cos x)dx（3）∫∫π2 01 ? sin x dx 2ex dx 1 + e2x（4）∫π2 0sin x cos 2 xdx dx x 1 + ln x x dx（5）ln 2 0（6）∫e21（7）∫∫3 11 4?x2dx（8）∫3 01+ x +11（9）2 0x 2 4 ? x 2 dx2（10）x 1? x2 ∫ 0 2 ? x 2 dxln 2 0（11）∫1x2 ?1 dx xln 2（12）∫ ∫e x ? 1dx（13）∫0x 3 e x dx2（14）e1 eln x dx35（15）∫1 2 0arcsin xdx（16）∫ln 2 01 ? e ? 2 x dx12.试求函数 f ( x ) =∫x 0e ?t cos tdt 在区间 [0, π ] 的最大值点.13.设函数 f (x ) 在 [0, a ] 上连续，证明 14.已知 m, n 为自然数，证明 15.设 S1 (t ) 是曲线 x = 曲线 x =∫a 0f ( x)dx = ∫ f (a ? x)dx .0 1 0a∫1 0x m (1 ? x) n dx = ∫ x n (1 ? x) m dx .y 与直线 x = 0及y = t (0 & t & 1) 所围图形的面积. S 2 (t ) 是y 与直线 x = 1及y = t (0 & t & 1) 所围图形的面积， 试求 t 为何值时 S1 (t ) + S 2 (t )最小？最小值是多少？ 16.求抛物线 y = ? x 2 + 4 x ? 3 及其在点(0,-3)各点(3,0)处的切线所围成的图形面积 及此平面图形绕 y 轴旋转所得的旋转体体积. 17.抛物线 y = ax 2 + bx + c 通过点(0,0)，且当 0 & x & 1 时， y & 0 ，它和直线 x=1 及 y=0 所转成的图形面积是 的值应是多少？ 18.已知某类产品总产量 Q 在时刻 t 的变化率为 Q ′(t ) = 250 + 32t ? 0.6t 2 (kg / h) .求 从 t = 2 到 t = 4 这两小时之间的产量. 19.已知物体运动的速度与时间的算术平方根成正比，时间从 t = 0 至 t = 4 秒时，物体 经过的距离是 32 厘米，求距离 s 与时间 t 的函数关系式. 20.一根粗细均匀的绳子，长为 50 米，已知每米长的重量是 0.5（千克） ，若拉着绳子 的一端将其扯到 120 米的高处放好，试求所做的功.4 ，问这个图形绕 x 轴旋转所得的旋转体体积为最小时，a,b 与 c 936
数学精讲精练 第十二章 导数及其应用【知识图解】 平均速度 瞬时速度 基本初等函数导数 公式、导数运算法则 平均变化率 瞬时变化率 导数 微积分基本定理 定积分 (...数学精讲精练 第十二章 导数及其应用【知识图解】 平均速度 瞬时速度 基本初等函数导数 公式、导数运算法则 平均变化率 瞬时变化率 导数 微积分基本定理 定积分 (...数学精讲精练 第十二章 导数及其应用【知识图解】 平均速度 瞬时速度 基本初等函数导数 公式、导数运算法则 平均变化率 瞬时变化率 导数 微积分基本定理 定积分 (...数学精讲精练 第十二章 导数及其应用【知识图解】 平均速度 瞬时速度 基本初等函数导数 公式、导数运算法则 平均变化率 瞬时变化率 导数 微积分基本定理 定积分 (...数学精讲精练 第十二章 导数及其应用【知识图解】 平均速度 瞬时速度 基本初等函数导数 公式、导数运算法则 平均变化率 瞬时变化率 导数 微积分基本定理 定积分 (...6. (理科用)理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题(主要是...第 1 页 【精讲精练】共 12 页 第1课【考点导读】 导数的概念及运算 1....导数的计算 11.导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例 12.定积分的概念与...(给出常见结论,有利于快速运算) ;④、典型例题:精讲精练(一题多解,多题一...讲 导数的简单应用与定积分 第 5 讲 导数的综合应用 第 1 讲 三角函数的...每堂课都要精讲精练,合理分配好讲练时间。 三是发挥学生主体作用问题。课堂中...学生的逻辑思维 能力、运算能力、空间想象能力、运用...(1)、精心设计教学,做到精讲精练,不加重学生的负担...导数的性质及应用 19.函数的综合应用 20.定积分及...(9 月 14～15 日前):集合、简易逻辑与函数, 导数、定积分及其应用,三角恒等...做到精讲精练 活跃课堂气氛而幽默一下是可以的,但要有度, 8)活跃课堂气氛而幽默...
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