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已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图（a）），易证BM＋DN＝MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图（b）），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．（2）当∠MAN绕点A旋转到如图（c）的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明．
主讲：杨朝粉
【思路分析】
（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN-BM=MN．证明方法与（1）类似．
【解析过程】
（1）BM+DN=MN成立．如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线．∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°.又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，AE＝AN，∠EAM＝∠NAM，AM＝AM∴△AEM≌△ANM（SAS）.∴ME=MN.∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN-BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△AMN和△AQN中，AQ＝AM，∠QAN＝∠MANAN＝AN，∴△AMN≌△AQN（SAS）.∴MN=QN，∴DN-BM=MN．
（1）BM+DN=MN；（2）DN-BM=MN
本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．
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京ICP备号 京公网安备已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC于点M,N,1.当∠MAN绕点A旋转,线段BM,DN和MN之间又怎样的数量关系?请直接写出你的猜想并证明
狗急跳墙的睿柔
BM=NM+DN截BP=DN交BM于P易证ABP全等ADN 所以AP=AN 角BAP=角DAN 所以角NAP=90度角NAM=45度 所以角MAP=45度=角MAN 易证ANM全等APM 所以NM=PM因为BM=BP+PM BP=DN PM=NM BM=NM+DN
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扫描下载二维码请阅读下列材料：问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是：延长CB至E使BE=DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN=4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．
（1）BM+DN=MN；（2）DN-BM=MN．理由如下：如图，在DC上截取DF=BM，连接AF．∵AB=AD，∠ABM=∠ADF=90°，∴△ABM≌△ADF （SAS）∴AM=AF，∠MAB=∠FAD．∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．又∠MAN=45°，∴∠NAF=∠MAN=45°．∵AN=AN，∴△MAN≌△FAN．∴MN=FN，即 MN=DN-DF=DN-BM；（3）∵正方形的边长为16，DN=4，∴CN=12．根据（1）可知，BM+DN=MN，设 MN=x，则 BM=x-4，∴CM=16-（x-4）=20-x．在Rt△CMN中，∵MN2=CM2+CN2，∴x2=（20-x）2+122．解得 x=13.6．∴MN=13.6cm．
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（1）根据小聪同学的思路，可证△ABE与△ADN全等，从而证明△AMN与△AME全等，得关系式；（2）在DC上截取DF=BM，得△ABM与△ADF全等；再证明△MAN与△FAN全等，得关系式；（3）运用勾股定理计算．
本题考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
考点点评：
此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，运用截长补短法构造全等三角形是关键．也可运用图形的旋转性质构造全等三角形．
扫描下载二维码已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45度,连接MC、MN、NC.（1）求∠MCN的度数
（2）猜想：线段BM、DN与MN之间的数量关系
笑意amTF45
（1）∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵BM,DN分别平分正方形的两个外角,∴∠CBM=∠CDN=45°,∴∠ABM=∠ADN=135°,∵∠MAN=45°,∴∠BMA=∠NAD,∴△ABM∽△NDA,∴BMAD=ABND∴BM•DN=a2．由上有△ABM∽△NDA可得BM：DA=AB：ND．∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DC,DA=BC,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°．∴BM：BC=DC：ND．∵BM,DN分别平分正方形ABCD的两个外角,∴∠CBM=∠NDC=45°．∴△BCM∽△DNC．∴∠BCM=∠DNC．∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=270°-（∠DNC+∠DCN）=270°-（180°-∠CDN）=135°．（2）线段BM,DN和MN之间的等量关系是BM2+DN2=MN2．证明：：如图,将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接MF．则△ABF≌△ADN． ∴∠1=∠3,AF=AN,BF=DN,∠AFB=∠AND．∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°．∴∠MAF=∠MAN．又∵AM=AM,∴△AMF≌△AMN．∴MF=MN．可得∠MBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°．∴在Rt△BMF中,BM2+BF2=FM2．∴BM2+DN2=MN2．
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