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高中数学第一章1.2《函数的概念（1）》（必修1）
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《函数的概念（1）》
1、在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？
&& 一次函数：y=kx+b（k≠0）
&& 二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）
&& 反比例函数：y=k/x（k≠0）
2、初中对函数概念是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
3、我们如何从集合的观点认识函数？
知识探究（一）
一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：
&&& h=130t-5t2
思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？试用集合表示？
思考2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
知识探究（二）
近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况。
知识探究（三）
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况。
思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和r的变化范围分别是什么？
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关系是否是函数？
看知识探究（二）：
思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试用集合表示。
&&& 对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作f:A→B。
思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？
&&& 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值。
在一个函数中，自变量x和函数值y的变化范围都是集合。
自变量的取值范围A叫做函数的定义域；函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
值域是集合B的子集。
& 函数&&&&&&&&& 对应法则&&&&&& 定义域&&&&&& 值域
正比例函数&&& y=kx（k≠0）&&&&&&& R&&&&&&&&&& R
反比例函数&&& y=k/x（k≠0）&& {x|x≠0}&&&& {y|y≠0}
&一次函数&&&& y=kx+b（k≠0）&&&&& R&&&&&&&&&& R
&二次函数&&& y=ax2+bx+c（a≠0）&& R&&&& &a＞0时{y|y≥（4ac-b2）/4a}
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& a＜0时{y|y≤（4ac-b2）/4a}
思考3：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
例1：下列对应是否为A到B的函数：
（1）A=R，B={x|x＞0}，f:x→y=|x|
（2）A=Z，B=Z，f:x→y=x2
（3）A=Z，B=Z，f:x→y=√x
归纳：判断一个对应关系是否是函数要从以下几个方面去判断：
（1）A、B必须是非空数集；
（2）A中任一元素在B中必须有元素和它对应；
（3）A中任一元素在B中必须有唯一元素和它对应。
例2：f（x）=x2-2x+3，求f（0）、f（1）、f（-1）、f（a）的值。
注意：f（a）是常量，f（x）是变量。
&&&&& f（a）是函数f（x）中当自变量x=a时的函数值。
例3：在下列各组函数中f（x）与g（x）是否相等？为什么？
（1）f（x）=x/x与g（x）=1；
（2）f（x）=√x2与g（x）=（√x）2；
（3）f（x）=√（x+1）·√（1-x）与g（x）=√1-x2；
（4）f（x）=x2-2x+1与g（x）=t2-2t+1。
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本节主讲老师简介
女，中教高级职称
优秀教师，高级教师职称。善于引导、启发学生，培养学生的逻辑思维，激发孩子对数学学习的兴趣。
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讲师:孙丽芳
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北京博习园教育科技有限公司从初高中衔接的角度浅析初中数学中函数概念的教学_中华文本库
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从初高中衔接的角度浅析初中数学中函数概念的教学
【摘要】将初高中函数概念进行比较，探索在初中教学函数概念时，如何让学生在逻辑上更完善，认识上更容易，寻求简洁的途径，引导学生形成正确的函数概念，为高中函数概念的教学作好铺垫。
【关键词】函数概念教学
函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了整个高中数学的全过程。这部分知识对学生来说，无论是学习掌握，还是实际运用都是一个难点，不少高一学生在学习这部分知识时，一方面由于还不适应高中的教学方式和教学节奏，另一方面由于知识本身的难度，学起来尤为困难。其实学生在初中阶段时，从初二上期就开始学习函数，从整个初中数学阶段看，学生学习的范围已涉及到函数的概念及性质、函数的图象及平移、函数与方程、不等式的关系等，应该说高中阶段函数这部分的学习，是初中的延伸和加深，但许多学生在理解掌握时，衔接得并不是很好。我想如果在初中阶段的函数教学中，教师在某些地方知识上不必加深，但可以多给学生一点提醒点拨，使他们能更加透彻地理解这部分知识，这对他们升入高中的后续学习应该是有帮助的。而从初高中的函数学习中，我们可以发现，函数概念及其应用是中学数学知识的基础，也是初高中数学教学衔接的关键。下面谈一些我个人在教学初中函数概念时的体会。
我们都知道，初高中数学中都给出了函数的定义。高中数学中给
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寻找更多 ""1.2.1《函数的概念》说课稿（第一课时）；说课人：XX；各位专家、评委：大家好！；我说课的题目是“函数的概念”；下面从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法与学；一、教材分析；（1）教学内容；“函数的概念”是人教版普通高中新课程标准实验教科；（2）教材的地位和作用；本节内容是继学生在初中学习了简单的一次函数、反比；（3）教学重难点分析；重点：我将本节课的重
1.2.1《函数的概念》说课稿 （第一课时）
说课人：XX
各位专家、评委：大家好！
我说课的题目是“函数的概念”
下面从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法与学法、教学过程设计、教学效果评价等六个方面进行说明。
一、教材分析
（1）教学内容
“函数的概念”是人教版普通高中新课程标准实验教科书必修１第一章第二节内容，本节课为第一课时，主要讲解函数的概念、定义域、值域、区间等基本内容，现在就来说一说本节课的地位和作用。
（2）教材的地位和作用
本节内容是继学生在初中学习了简单的一次函数、反比例函数、二次函数的基础上发展开的，又是学习函数的性质的理论基础，为后面学习指数函数、对数函数以及三角函数的图像和性质提供了研究方法和理论基础，因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一，同时，这节课内容蕴含着数形结合等丰富的数学思想，是培养学生观察能力、概括能力、探究能力和创新意识的重要题材。
（3）教学重难点分析
重点：我将本节课的重点确定为：函数的概念及其定义域和值域的区间表示。 难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
二、学情分析
从学生知识层面看：学生在初中初步探讨了函数的相关知识，有一定的基础；通过高一
第一节“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数，从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．
从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力．
教学中由实例抽象归纳出函数概念时，要求学生必须通过自己的努力探索才能得出，对学生的能力要求比较高．因此，我认为发展学生的抽象思维能力以及对函数概念本质的理解是本节课的教学难点．
鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标
三、教学目标分析
根据新课标的要求，本节教材的特点，学生的认知规律，确定了以下目标。
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间 的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3、情态与价值：
使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
四、教法与学法选择
任何一堂课都是各种不同教学方法综合作用的结果，但我们认为本堂课有以下主要的教法和学法．
1．问题式教学法：本堂课的特点是概念教学,根据学生的心理特征和认知规律，我采取问题式教学法；以问题串为主线，通过设置几个具体问题情景，发现问题中两个变量的关系，让学生归纳、概括出函数概念的本质,这刚好也符合建构主义的教学理论．
2．探究式学法：新课程要求课堂教学的着力点是尊重学生的主体地位,发挥学生的主动精神,培养学生的创新能力,使学生真正成为学习的主体，结合本堂课的特点，我倡导的是探究式学法；让学生在探究问题的过程中,通过老师的引导归纳概括出函数的概念，通过问题的解决，达到熟练理解函数概念的目的,从而让学生由“被动学会”变成“主动会学”．
五、教学过程设计
(一)．结构分析
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为七个阶段：
回忆旧知 ，引出困惑；创设情境，形成概念；质疑解惑，剖析概念；讨论研究，深化理解；即时训练，巩固新知；总结反思，提高认知；分层作业，自主探究。
(二)．教学过程
日0时14分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功将“鑫诺六号”通信广播卫星送入太空。在“鑫诺六号”飞行期间，我们时刻关注着“鑫诺六号”离地面的距离随时间是如何变化的，数学上可以用
来描述这种运动变化中的数量关系. （函数）
[设计意图]：从身边熟悉的例子入手，便于引起学生的注意，集中学生的精力．
1．回忆旧知，引出困惑
问题一：请举出初中学过的一些函数．
问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么?
在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量．
[设计意图]：通过回忆初中的函数及函数的定义，为探究问题三作好铺垫．
问题三：y=0(x ∈R)是函数吗？
学生活动:先由学生思考回答，对产生的两种意见展开小组讨论，学生可能解决不了．
[设计意图]：由于受认知能力的影响，利用初中所学函数知识很难回答这些问题，形成认知冲突，让学生带着悬念、带着认知冲突学习后面的知识，这样有利于激发学生的学习欲望，从而引出本节课的主题（用幻灯片打出课题）．
2.创设情境，形成概念
实例一：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h-130t-5t.
问题四：１.t的范围是什么？h的范围是什么？
２.t和h有什么关系？这个关系有什么特点？
[设计意图]：引导学生用集合与对应的语言来刻画实例一，同时培养学生分析问题和提取信息的能力.
事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，需求越来越大，对环境的影响也越来越重，下面请同学们自学有关臭氧层空洞的问题和恩格尔系数的问题（课本实例二、三）：
实例二：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．曲线显示了
南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况． (见课本P15图）
实例三：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．（见课本P16表）
通过先对两个实例的学生自学，然后请学生谈感受，老师提问，学生回答，师生共同完成．
问题五：实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？
问题六：以上三个实例有什么相同的特征？
学生活动:让学生分组讨论交流，总结归纳出．
共同特点：①都有两个非空数集BA、；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应.
[设计意图]：由前三个实例，抽象出函数概念的本质，未设计不是函数关系的对应图，这样处理有利于形成知识的正迁移．
通过学生的“观察 -分析 - 比较 - 归纳 - 概括”培养学生抽象思维的能力，同时也培养了学生的创新意识．
问题七：满足以上共同特点的两个数集的对应关系，我们把它叫做什么呢？（先让学生说，老师再做补充）
函数概念：
设A、B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称
个函数，记作 为集合A到集合B的一
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集.
问题八:请同学们根据现在函数的定义判断前面三个实例是否表示两个集合的函数关系？ 问题九: y=0(x∈R)是函数吗?
问题十:用几何画板在平面直角坐标系中画出一段弧，并作平移和旋转，同时叫学生判断这些平移和旋转中的弧是否表示函数图像.
方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？
可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？
[设计意图]:是对函数概念的简单理解,同时也解决了问题三．
3．质疑解惑,辨析概念
问题十一:请同学们勾画出概念中的关键词，并用简洁的语言说明．
通过交流得出以下几点：
① A、B都是非空的数集；
② 任意性与唯一性；
③ 确定的对应关系，对应关系f可以是解析式、图象、表格．
问题十二:函数由几部分组成?
三要素：定义域、值域、对应法则，缺一不可．
问题十三:怎样理解符号f(x)?
在法则f下，x所对应的函数值，并结合生活实例说明．
[设计意图]:目的在于帮助学生巩固函数的概念．
4．讨论研究，深化理解
【例1】已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求f(-3)、f(2/3)的值；
（3）当a&0时，求f(a),f(a-1)的值．
想一想：函数的定义域该怎么求？符号f(a)(a为常数)与f(x)有哪些区别与联系?
（学生先思考、计算，老师提问，师生共同完成）
[设计意图]: 教师引导学生总结常见函数定义域的求法，使学生加深对定义域的认识；重在强化任意自变量的函数值是唯一的,加深对符号f(x)的理解,体会由特殊到一般、具体到抽象的分析问题的方法,同时培养运算能力．这组问题重在加深对函数三要素的理解，以此培养学生观察问题、分析问题的能力．
5．即时训练，巩固新知
练习．已知函数的值；
学生活动:抽两位学生到讲台在黑板上分别完成（其他同学在下面完成），完成后，师生共同评价完善。
[设计意图]:加深对函数三要素：定义域、值域、对应法则的理解．
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函数的发展的发展过程以及初高中函数概念的区别分类:
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纵观数学发展，函数概念是数学概念中最重要的概念。它分别经历了几何观念下的函数、代数观念下的函数、对应关系下的函数以及集合论下的函数四个重要的发展阶段。下面从这四个方面阐述函数的发展过程。
一、几何观念下的函数
早在十七世纪伽俐略曾在《两门新科学》中，提到包含着函数或称为变量的关系这一概念，第一次用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在解析几何中，就已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
二、代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利在莱布尼兹的函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”。后来欧拉又在此基础上给出定义：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数）。
三、对应关系下的函数
1837年狄利克雷认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他说：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”它避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述。但是没有明确对应法则。
四、集合论下的函数
1914年豪斯道夫提出用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。
& 初中对函数的定义是“在某一变化过程中，有两个变量x,y。在某一对应法则的作用下，如果对于x的每一个值，都有唯一的值与其相对应，我们就称y是x的函数”。而高中对函数的定义是“设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数”。从这两个概念中笔者认为它们有以下区别：
1.初中函数概念是从变量的角度展开的，而高中函数的概念则是对应关系；
2.初中函数中x的取值范围是实数集R，而高中函数的定义域并不局限与实数集R，它由R拓展到了任意非空数集。
&&& 纵观函数的发展，我认为它应该朝着更加适用于生活的方向发展。}