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东莞青华模具培训学校分享参数化建模与运动仿真
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基于NX渐开线凸轮磨削 装置的参数化建模与运动仿真
齿轮是机械零件中重要的且制造比较复杂的基础件，广泛地应用于常规机械、地面交通、船舶、航空航天机械、兵器精密机床与仪器等领域。齿轮的加工方法可归结为展成加工法和成形加工法。 其中展成运动的实现又分两类：一类是采用钢带和滚圆盘以形成展成运动，一类是采用渐开线凸轮和档块以形成展成运动。后者由于具有较高的传动链刚度和磨齿精度，为超精密齿轮加工所广泛采用。近几年来，随着计算机CAD技术的发展，计算机仿真技术也渗透到了各个领域中，尤其是加工制造业。加工模型的建立与仿真，不仅能够可视化展示整个加工过程，模拟工件或刀具在不同时刻的位置与状态，还能进行误差分析、动力学、运动学分析与磨削热分析等等。目的是为了及时发现加工过程中存在的问题，加强实际加工过程中的预报警机制。东莞青华模具培训学家与大家一起分享
二、磨削装置参数化模型的建立
NX是一款功能强大的CAD/CAE/CAM一体化软件。NX/CAD模块提供了多种建模方法与装配技术，灵活运用这些建模方法与装配技术可以方便实现部件的参数化，便于模型修改。
1．渐开线凸轮磨削装置的工作原理
众所周知，直线在圆上作纯滚动时，直线上的任意一点相对于圆的轨迹就是一条渐开线。因此，只要磨削点位于直线导轨或其延长线上，磨削点相对于作纯滚动基圆的轨迹就是一条渐开线。渐开线凸轮磨削装置有主要有单基圆盘式和双基圆盘式两种，这两种装置虽然都符合渐开线的发生原理，但相较于单基圆盘装置，双基圆盘装置没有模具对导尺和滑板对导尺的阿贝误差，也没有回转系统的轴系误差，并且双基圆盘之间又有误差均化效应，所以，双基圆盘渐开线凸轮磨削装置从磨削原理上来说是的。德国的PTB、哈尔滨量具刃具厂和长春光机所都选用了这一成型方案。其磨削原理示意图如图1所示。
东莞青华模具培训学校
通过磨削装置原理图可以看出，如果砂轮的磨削点在直线导轨的上方，磨出的就是缩短的渐开线；反之，如果磨削点在直线导轨的下方，磨出的就是增长的渐开线。因此，在加工过程中必须保证磨削点准确的位置（若采用端面进行磨削，则必须保证磨削平面与导轨垂直）。另外需要注意的关键问题就是确保基圆盘的纯滚动。这样才能保证磨削点的轨迹相对于转动的基圆是一条渐开线。
2.NX/WAVE技术与参数化装配建模
所谓参数化模型是指通过改动模型某一或某几个参数，自动完成对整个模型相关部份的修改，从而实现了尺寸对模型的驱动。利用NX/WAVE技术建立的模型符合参数化模型的定义。该技术可以实现相关部件间的关联建模，也就是说可以利用一个部件的几何要素（例如点、线、面、体）或特征去设计另一个部件，两部件间存在着几何相关性。当一个部件的尺寸发生变化时，另一个基于该部件的几何要素或特征建立的部件也会相应的发生变化，二者具有同步性和一致性。例如渐开线凸轮与基圆盘、导轨与砂轮、保持架与基圆盘之间均存在关联性。
本文基于NX/WAVE技术与装配上下文设计，采用自顶而下与自下而上相结合的装配建模方法，建立渐开线凸轮磨削装置的参数化模型。具体的建模过程不再赘述，建好的模型经过渲染便得到如图2所示的效果。
改变基圆盘的直径大小，则渐开线凸轮形状、配重的大小、保持架和推杆的位置及运动体（保持架、基圆盘、渐开线凸轮和配重）的初始位置都会随之发生改变，确保了模型的参数化一致性。不同基圆盘的渐开线凸轮磨削装置的建模，只需要修改表达式中基圆盘直径参数即可，操作起来非常方
三、磨削装置理想模型的运动仿真
保存建好的模型后转入运动仿真（MOTION）模块，设置运动仿真的环境变量为动力学仿真，求解器选择ADAMS或RECURDYN均可。然后按照下列步骤完成连杆的定义、运动副及运动驱动的添加及运动仿真。
1.定义表示机构中刚性体的连杆
NX运动仿真仅限于刚性体的的运动，即在运动过程中不考虑杆件内部的弹性变形。连杆的命名要遵循下列原则：
（1）在运动仿真过程中无相对运动的部件作为一个连杆来处理。
（2）一个杆件只能施加一个运动驱动（如转动、滑动），要想得到两个或两个以上的复合运动（如螺旋运动、纯滚动等），必须增加辅助杆件，使单个运动驱动的数量与作用的杆件数保持一致，这样才能保证仿真系统具有确定的相对运动。本仿真模型中连杆的命名如下：
L001：电机定子、减震器、导轨及在仿真中与大地固定的部件；
L002：杯形砂轮、砂轮电机转子、联轴器及与其一起转动的部件；
L003：基圆盘、渐开线凸轮、配重、心轴及与其一起转动的部件；
L004：保持架、推杆及与其一起滑动的部件；
L005：丝杠、直流电机转子及与其一起转动的部件。
2.添加运动副及运动驱动
在添加运动副和运动驱动前，首先要分析渐开线凸轮磨削装置的运动传递关系。整个渐开线凸轮磨削装置运动的传递关系如图3所示，装置中有两个电机，所以模型中至少有两个个驱动。
要实现基圆盘在固定导轨上的纯滚动可考虑以下两种方案：
（1）增加一个辅助杆件，并在其上添加一滑动驱动，速度为v，基圆盘相对于辅助杆件的角速度为，但这两个速度不是相互独立的，它们之间必须满足（其中db为基圆盘直径）才能保证基圆盘的纯滚动。
（2）把基圆盘在直线导轨上的纯滚动看作是齿轮在固定齿条上的啮合运动，运动的比例系数K1的数值大小等于基圆盘的半径。采用后一种方案需要注意的问题是基圆盘（相当于齿轮）和导轨（相当于齿条）必须相对于同一杆件（保持架）作相对运动。由于第二种方案不需要增加辅助杆件及运动驱动，比较复合实际的工作情况，因此选用第二种方案进行运动分析。丝杠与保持架之间的运动采用螺旋副连接，其连接的比例系数K2 ，数值的大小等于丝杠的螺距。由于默认的角度单位为度，需要将电机转速n的单位由&转/分&换成&度/秒&的形式，转换公式为：
直流电机的转速是可调的，在本例中取值为：（度/秒）；砂轮电机的转速则根据选用电机的参数（功率：120W，转速：2920rpm）确定，所以砂轮电机的转速取为：（度/秒）。运动副的添加及类型见表1。
另外还要对保持架的位移进行限定，否则保持架将划出导轨，限定位移为150mm。完成上述操作步骤后的模型如图4所示：
3.仿真模型的后处理
定义解算类型为&常规&，分析类型为&动力学/运动学&，仿真时间设为：&5s&，步数为&200&，点击 确定 后，NX内嵌的求解器便进行运动仿真解算。如果解算无误，点击 播放 按钮就可以直观看到渐开线凸轮的运动轨迹。设置好摄像机的运动轨迹或关键帧，就可以输出视频格式的文件，渐开线凸轮磨削装置的工作过程一目了然。
通过运动仿真可以看出，渐开线凸轮的渐开面与砂轮端面的交线的位置保持不变，即保证了磨削点的位置在整个磨削过程中保持不变，使得仅绕自身旋转的砂轮磨削凸轮渐开面成为可能。
四、改进模型的运动仿真
上述的运动仿真是在理想状态下进行的，即没有考虑零件的加工误差、安装误差及零件的弹性变形等因素的影响。其中基圆盘的圆度误差对加工出的渐开线凸轮的形状误差影响较大，因此，将基圆盘看成不规则的类圆体更贴合实际情况。本节将讨论不规则类圆体的纯滚动仿真问题。
1.纯滚动驱动函数的推导
将基圆盘的轮廓曲线写成含参数t（绕中心转动的角度，单位：rad）的形式：
由于作平面运动的物体具有3个自由度，因此要保证形状不规则的基圆盘在直线导轨上作纯滚动运动，需在基圆盘的任意一点处对其施加3种运动，分别为沿X轴方向的滑动、沿Y轴方向的滑动及绕Z轴的转动。
在基圆盘的中心建立如图5所示的坐标系，任意一点的坐标 ，其斜率的倾角为， 经过纯滚动后，中心点变为，A点变为与导轨相切的一点 。
设变换矩阵为（& 顺时针为正），则有：
代入求解得：
为保证基圆盘的纯滚动，还必须满足：
这样，就可以将x，y整理成只含自变量的函数：
在执行运动仿真时，将&& 写成仿真时间time的函数，那么x，y也将是仿真时间time的单一函数。分别对基圆盘施加x（time），y（time），（time）的位移驱动即可模拟不规则类圆体的纯滚动
2.举例验证
由于加工误差及&弹性蠕滑&等因素的影响，基圆盘的轮廓为近似椭圆的居多。以长轴为X轴，短轴为Y轴，建立图5所示的坐标系，基圆盘的轮廓曲线设为：
利用前面求出的推导公式，得到：
取长轴＝200mm，短轴＝100mm，顺时针转动的角度&＝90O/s，根据公式（8）可写出，方向上的位移驱动函数分别为：
x=200*atan(2*tan((time-1)*90d))-300*sin((time-1)*90d)*cos((time-1)*90d)/sqrt(1 3*sin((time-1)*90d)*sin((time-1)*90d));
Y=100*(sqrt(1 3*sin(time*90d)*sin(time*90d))-1).
执行运动仿真，并跟踪每个时刻椭圆中心点A001的位置，在区间内的仿真结果如图6所示：
x，y方向上的位移驱动函数如图7所示，椭圆中心点a001的轨迹曲线如图8所示
基圆盘轮廓曲线可以通过电感测微仪等精密仪器测点，然后拟合成样条曲线或多项式曲线来处理。
五、小结与展望
参数化建模与装配技术已经成为计算机辅助设计的关键技术。本文将该技术应用到了渐开线磨削凸轮装置的研究中，主要工作有：
1.基于NX/WAVE技术与装配上下文设计，采用自顶而下与自下而上相结合的装配建模方法，建立渐开线凸轮磨削装置的参数化模型。
2.应用NX/MOTION模块对渐开线磨削装置进行了可视化运动仿真，直观展示了磨削装置的整个工作过程。&&&
3.导出了不规则类圆体作纯滚动时的轨迹公式，并进行了运动仿真验证。
本文所做的仿真模型是理想化的，即没有考虑基圆的安置偏心、导轨的直线误差及基圆盘与导轨的&弹性蠕滑&等因素的影响，因此对渐开线凸轮磨削装置的仿真研究仍需做进一步研究。
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近几年来,与解析几何相关的参数取值范围的求取问题经常出现在各级各类考试中。这类问题将几何知识和代数知识有机地结合在一起，不仅涉及知识面广,综合性大,应用性强,而且情景新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质,是历年来高考命题的热点和重点。但学生在处理这类问题时,往往抓不住问题关键,无法有效地解答。其实，这类问题求解的关键在于捕捉已知的或隐含的不等关系,构造相关的不等式,然后求出不等式的解。那么,如何构造不等式呢?笔者根据自己从教几年的思考，介绍以下几种常用的方法。
一、利用已知条件中的不等关系
若已知条件中有不等关系，可直接利用该条件求参数的范围。
例1.（2009湖南卷）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点
为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。
解: （Ⅰ椭圆C的方程为&&&& .
（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，
显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。&&&&& &&&&&&&&&
&&& 如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，
&&&&& 由得.&&&&&&&&&& &&①
由解得.&&& &&②
因为是方程①的两根，所以，于是
&&&&&&&&&&&& =，&&&& .
因为，所以点G不可能在轴的右边，
又直线,方程分别为
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为
&即&亦即&&&&&& &&&&&&&&&
解得，此时②也成立. 21世纪教育网&&&
故直线斜率的取值范围是
点评：本题第二问首先利用判别式得到参数的一个范围，然后利用韦达定理建立起MN的中点横坐标与的关系，再根据已知条件中的&线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）&建立关于的不等式组，再转化为关于的不等式组求解。
例2（2008江西卷）．已知是椭圆的两个焦点．满足&＝0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A．(0，1)&&&&&&&& B．(0，]&&&&& C．(0，)&&&&& D．[，1)
解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为，
&＝0，点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆。
又点总在椭圆内部，即，
点评：本题利用已知条件中的&点总在椭圆内部&，找到和的不等关系，从而建立起不等式来求解参数范围。
二、应用一元二次方程跟的判别式建立不等关系
若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数，得到含有另一个未知数的一个一元二次方程，就能利用判别式和韦达定理建立所含参数的不等式。
例3.(2009湖北卷)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是
A. &&&&&&&&&&&&&&B. &&&&&&&&&
C. &&&&&&&&&&D.
【解析】易得准线方程是&
所以&即所以方程是
联立可得由可解得A
点评：本题将直线与圆锥曲线的交点问题转化为一元二次方程的实根分布问题，利用判别式建立不等式求解。
例4.（2009全国卷Ⅰ）&& 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。（Ⅰ）求r的取值范围
解：（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（1）
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根
∴即。解这个方程组得
点评：本题通过联立方程组、消元的手段将两条曲线的交点问题转化为一元二次方程的实根分布问题，利用判别式和韦达定理建立不等式组求解。
三、根据圆锥曲线的范围建立不等关系
由椭圆的简单几何性质知，椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的，通过有界性就可能找到变量间的不等关系。
例5．（2009重庆卷）已知椭圆 的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为&&&&&&&&&& ．
.&&& 解法1，因为在中，由正弦定理得
则由已知，得，即
设点，由焦点半径公式，得则
记得由椭圆的几何性质知，整理得
解得，故椭圆的离心率
解法2 由解析1知由椭圆的定义知 && &&
由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.
点评：本题解法1先由焦半径公式建立点横坐标与离心率之间的关系，再由椭圆的有界性确定的取值范围，最后转化为关于离心率的不等式求解。解法二则利用椭圆的定义建立与的关系，然后利用椭圆的性质建立不等关系求解。
例6.（2009年辽宁模拟题）已知椭圆，函数的图像与x轴的交点为M，与椭圆的右准线交于点N，且过椭圆短轴的一个端点B，若得面积为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设分别是椭圆的左、右焦点，若C上一点P到其右准线的距离为d，且成等比数列，求实数m的取值范围。
解：（1）椭圆C的方程为或；
（2）当椭圆方程为时，设P点坐标为。由已知得
根据椭圆的第二定义，得
因此有，即，
又，由此解得。
又因为，由，知，解得。
当椭圆方程为时，同理可求得。
点评：本题利用点P在椭圆上这一条件，则点P的横坐标应满足椭圆的有界性，建立不等关系。
四、挖掘圆锥曲线隐含的不等关系
对于一些特殊曲线，它们自身都隐含了一些不等关系。如椭圆长轴长大于短轴长，也大于焦距长；双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长；对于圆与椭圆，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。当然有些情况下，不等关系比较隐蔽，只有认真地分析题设中的条件与结论，才能找到所需的不等式。
例7.（2005年湖北卷）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点
& （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；
点评：本题利用线段AB的中点N必在椭圆内这一隐含条件建立不等关系求解参数范围。
例8．（2009年湖北模拟题）已知直线，抛物线，若抛物线C上存在不同的两点A，B关于直线对称，求实数k的取值范围。
解：设抛物线上两点关于直线对称，AB的中点，
即，，故直线OM的方程为。
解方程组得点。
因为在抛物线的开口内，所以，解得为所求。
点评：本题如果画出图像，则可以知道点M在抛物线内部，由此建立不等关系。
五、利用重要不等式建立不等关系
对于某些与参数范围有关的题目，如果利用上述四种方法不易建立符合题意的不等关系，就看能否利用代数中的基本不等式建立符合题意的不等关系。
例9.（2005年浙江卷）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线l与x轴的交点为M，。
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在直线l上运动，求&F1PF2的最大值。
解析：（1）求得椭圆的方程为
（2）设，则直线的斜率，直线PF2的斜率。
因为，所以为锐角。
当，即时，tan&F1PF2取得最大值，此时&F1PF2最大，故&F1PF2的最大值为。
点评：本题利用夹角公式建立关系，然后利用重要不等式求取最值。
六．利用函数思想求参数范围
例10.（2009陕西卷）已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。21世纪教育网&&&
（I）求双曲线C的方程；
(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。
解法1（Ⅰ）曲线的方程是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为
将P点的坐标代入
又S（1）=2，
当时，面积取到最小值，当当时，面积取到最大值
所以面积范围是
点评：本题第二问利用三角形面积公式建立目标函数，然后求解。
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