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辅助函数的构造方法及其应用微分中值定理证明中辅助函数的构造；1原函数法；此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当；例1：证明柯西中值定理．；分析：在柯西中值定理的结论；f(b)?g(b)?f(b)?g(b)?；f(a)；?g(a)；f'(x)g'(x)；f(b)?g(b)?；f(b)?g(b)?；f(a)；?g(a)；?f'(?g'(；中令??
微分中值定理证明中辅助函数的构造
1 原函数法
此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的?换成x；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F(x)．
例1：证明柯西中值定理．
分析：在柯西中值定理的结论
f(b)?g(b)?f(b)?g(b)?
f'(x)g'(x)
f(b)?g(b)?
f(b)?g(b)?
?f'(?g'(
中令??x，得
，先变形为
?g'(x?)g(a)
f'(x再)两边同时积分得
?g(x)?g(a)
b?)b?)f(a)
F(x)?f(x)?
f(b)?f(a)g(b)?g(a)
?g(x)为所求辅助函数．
例2：若a0,a1,a2,…,an是使得a0?
的实数．证明方程
a0?a1x?a2x?…?anx?0在（0，1）内至少有一实根．
证：由于?(a0?a1x?a2x2?…?anxn)dx?a0x?
并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设
（取C?0），则
1）F(x)在[0，1]上连续 2）F(x)在（0，1）内可导 3）F(0)=0， F(1)?a0?
a12?a23?…?
故F(x)满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在??(0,1使)F'(?)?0，即
)'x???0
亦即a0?a1??a2?2?…?an?n?0．
这说明方程a0?a1x?a2x2?…?anxn?0在（0，1）内至少有实根x??．
对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．
例3：设f(x)在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，f(1)?在??(1,2)使f'(?)?
，f(2)?2．证明存
分析：结论变形为?f'(?)?2f(?)?0，不易凑成F'(x)x???0．我们将?换为x，结论变形为
f'(x)f(x)
?0，积分得：lnf(x)?2lnx?ln
可设辅助函数为F(x)?，有F(1)?F(2)?
．本题获证．
例4：设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，f(a)?f(b)?0．证明存在??(a,b)，使得：f'(?)?f(?)g'(?)?0．
证：将f'(?)?f(?)g'(?)?0变形为f'(?)??f(?)g'(?)?
f'x(f(x)
??g'x(
f'(?)f(?)
??g'(?)，将?换
，则，)两边关于
积分，得：
dx???g'(?dx)?f(x)
ex?(pKex?(p
d[f(x)?]??dg[x(?)]flxn??(g)x?C(，)所以
?x(Kex?pCg(
f(x)?f(x)?
?)Ce?x?p(g
其中K?expC(，)由
(g可得)xK?f(x)exp(g(x))．由上面积分的推导可知，f(x)exp(g(x))
为一常数K，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的?的存在是不成问题的．因而令F(x)?f(x)exp(g(x))，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．
3 几何直观法
此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．
例5：证明拉格朗日中值定理．
分析：通过弦AB两个端点的直线方程为
f(b)?f(a)b?a
(x?a)，则函数f(x)与
直线AB的方程之差即函数
f(b)?f(a)b?a
F(x)?f(x)?[f(a)?
个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．
例6：若f(x)在[a,b]上连续且f(a)?a,f(b)?b．试证在(a,b)内至少有一点?，使f(?)??．
分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数y?f(x)的图形曲线必跨越y?x这一条直线，而两者的交点的横坐标?，恰满足f(?)??．进而还可由图知道，对[a,b]上的同一自变量值x，这两条曲线纵坐标之差f(x)?x构成一个新的函数它满足g(a)&0,g(b)&0,因而符合介值定理的g(x)，
条件．当?为g(x)的一个零点时，g(?)?0恰等价于f(?)??．因此即知证明的关键是构造辅助函数g(x)?f(x)?x．
4 常数k值法
此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点： 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k．
2）恒等变形使等式一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b及f(b)构成的代
3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则把其中一个端点设为x，
相应的函数值改为f(x)．
4）端点换变量x的表达式即为辅助函数F(x)．
例7：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，试证存在一点??(a,b)，(0?a?b)，
使等式f(b)?f(a)?ln?f'(?)成立．
分析：将结论变形为
f(b)?f(a)lnb?lna
??f'(?)
k，令lnab?x，可得辅助函数F(x)?f(x)?klnx．
例8：设f''(x)在[a,b]上存在，在a?c?b，试证明存在??(a,b)，使得
(a?b)(a?c)(b?a)(b?c)
． ?f''(?)
b)2f(b)(b?a)(b?c)
f(a)(a?b)(a?c)
f(c)(c?a)(c?b)
(b?c)f(?a)?(ab)?f(?c)?a)
a，f(?，b)上式为关于?ka?bb
的轮换对称式，令b?x（or：c?x，or：a?x），则得辅助函数
F(x)?(x?c)f(a)?(a?x)f(c)?(c?a)f(x)?k(a?x)(a?c)(x?c)．
分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．
例9：设函数F(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点C，使得F(1)?F(0)?(e1?c?e?c)F'(C)．
分析：所要证的结论可变形为：F(1)?F(0)?(e1?c?e?c)F'(c)?
?F'(c)e
，因此可构造函数G(x)?ex，则对F(x)与G(x)在[0，1]上应用柯
西中值定理即可得到证明．
例10：设函数f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且f(0)=0，对任意x?(0,1)有f(x)?0．证明存在一点??(0,1)使
nf'(?)f(?)
f'(1??)f(1??)
（n为自然数）成立．
分析：欲证其成立，只需证nf'(?)f(1??)?f'(1??)f(?)?0由于对任意x?(0,1)有
，故只需证：
f'(?)f(1??)?f'(1??)(f(?))?0
[(f(x))f(1?x)]
，于是引入辅助函数F(x)?(f(x))nf(1?x)（n为自然数）．
例11：设函数f(x)在区间［0，+?］上可导，且有n个不同零点：（其中，0?x1?x2?…?xn．试证af(x)?f'(x)在[0，+?]内至少有n?1个不同零点．
a为任意实数）
证明：欲证af(x)?f'(x)在[0，+?）内至少有n?1个不同零点，只需证方程
af(x)?f'(x)=0
在[0，+?]内至少有n?1个不同实根．
因为，x?[0,+?)，eax?0，故只需证方程eax[af(x)?f'(x)]?0在[0,+?)内至少有
n?1个不同实根．
引入辅助函数F(x)?eaxf(x)，易验证F(x)在区间[x1,x2]，[x2,x3]，…，[xn?1,xn]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这n?1个区间上应用罗尔定理，得
F'(?1)?F'(?2)?…?F'(?n?1)?00??1??2?…??n?1
，其中?1?(x1,x2),?2?(x2,x3),…?n?1?(xn?1,xn)且
以上说明方程F'(x)?0在[x1,x2]?[x2,x3]?…?[xn?1,xn]?[0，+?]内至少有
n?1个不同实根，从而证明了方程af(x)?f'(x)=0
在[0，+?]内至少有n?1个不同实
6 待定系数法
在用待定系数法时，一般选取所证等式中含?的部分为M，再将等式中一个端点的值b换成变量x，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数?(x)，这样首先可以保证?(b)=0，而由等式关系?(a)=0自然满足，从而保证?(x)满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数M与f'(?)之间的关系．
例12：设f(x)是[a,b]上的正值可微函数，试证存在??(a,b)，使
lnf(b)f(a)
f?'(f?(
b(?a．) )f(b)f(a)
证明：设ln令?(x)?ln?M(b?a)，
?M(x?a)容易验证?(x)在[a,b] 上
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