多项式的定义 多项式的定义是什么
多项式的定义 多项式的定义是什么
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　　多项式以其简单的结构和性质在数值逼近中起到重要的作用,多项式的定义是什么?以下是学习啦小编为大家整理的关于多项式的定义，欢迎大家前来阅读!
　　多项式的定义
　　多项式是代中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。多项式是整式的一种。不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。
　　多项式数学术语
　　多项式 polynomial
　　不含字母的项叫做常数项。如：5X+6，6就是常数项。
　　比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数为正无穷大。单项式和多项式统称为整式。
　　多项式几何特性
　　多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。
　　泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。
　　多项式定理
　　基本定理
　　代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。
　　高斯引理
　　两个本原多项式的乘积是本原多项式。
　　应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式，如果有一个素数p能整除&n-1，&n-2，&，&1，&0，但不能整除&n，且p2不能整除常数项&0，那么&(x)在Q上是不可约的。由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。
　　分解定理
　　F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。
　　当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。
　　当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式&x2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4&с&0。
　　当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的，则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。
　　多项式运算法则
　　加法与乘法
　　有限个单项式之和称为多元多项式，简称多项式。不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。
　　多项式的加法，是指多项式中同类项的系数相加，字母保持不变(即合并同类项)。多项式的乘法，是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。
　　F上x1，x2，&，xn的多项式全体所成的集合F[x1，x2，&，xn]，对于多项式的加法和乘法成为一个环，是具有单位元素的整环。
　　域上的多元多项式也有因式分解惟一性定理。
　　带余除法
　　若 &(x)和g(x)是F[x]中的两个多项式，且 g(x)&0，则在F[x]中有唯一的多项式 q(x)和r(x)，满足&(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。此时q(x) 称为g(x)除&(x)的商式，r(x)称为余式。当g(x)=x-&时，则r(x)=&(&)称为余元，式中的&是F的元素。此时带余除法具有形式&(x)=q(x)(x-&)+&(&)，称为余元定理。g(x)是&(x)的因式的充分必要条件是g(x)除&(x)所得余式等于零。如果g(x)是&(x)的因式，那么也称g(x) 能整除&(x)，或&(x)能被g(x)整除。特别地，x-&是&(x)的因式的充分必要条件是&(&)=0，这时称&是&(x)的一个根。
　　如果d(x)既是&(x)的因式，又是g(x)的因式，那么称d(x)是&(x)与g(x)的一个公因式。如果d(x)是&(x)与g(x)的一个公因式，并且&(x)与g(x)的任一个因式都是d(x)的因式，那么称d(x)是&(x)与g(x)的一个最大公因式。如果&(x)=0，那么g(x)就是&(x)与g(x)的一个最大公因式。当&(x)与g(x)全不为零时，可以应用辗转相除法来求它们的最大公因式。
　　辗转相除法
　　已知一元多项式环F[x] [1]中两个不等于零的多项式&(x)与g(x)，用g(x)除&(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0，则g(x)就是&(x)与g(x)的一个最大公因式。若 r1(x)&0，则用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、余式r2(x)。若r2(x)=0，则r1就是&(x)与g(x)的一个最大公因式。否则，如此辗转相除下去，余式的次数不断降低，经有限s次之后，必有余式为零次(即零次多项式)或余式为零(即零多项式)。若最终余式结果为零次多项式，则原来f(x)与g(x)互素;若最终余式结果为零多项式，则原来f(x)与g(x)的最大公因式是最后一次带余除法的是除式。
　　利用辗转相除法的算法，可将&(x)与g(x)的最大公因式rs(x)表成&(x)和g(x)的组合，而组合的系数是F上的多项式。
　　如果&(x)与g(x)的最大公因式是零次多项式，那么称&(x)与g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推广到几个多项式的情形。
　　如果F[x]中的一个次数不小于1的多项式&(x)，不能表成 F[x] 中的两个次数较低的多项式的乘积，那么称&(x)是F上的一个不可约多项式。
　　任一多项式都可分解为不可约多项式的乘积。
　　多项式应用
　　函数及根
　　给出多项式 f&R[x1，...，xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)&An，我们把 f 中的 xj 都换成 aj，得出一个 A 中的元素，记作 f(a1...an)。如此， f 可看作一个由 An 到 A 的函数。
　　若然 f(a1...an)=0，则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。
　　例如 f=x^2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵，则 f 会无根、有两个根、及有无限个根!
　　例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数，则 f 的零点集是所有 (x，x) 的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。
　　另外，若所有系数为实数多项式 P(x)有复数根Z，则Z的共轨复数也是根。
　　若P(x)有n个重叠的根，则 P&(x) 有n-1个重叠根。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x)，则有 a 是 P&(x)的重叠根且有n-1个。
　　插值多项式
　　在实际问题中，往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关系y=F(x)，通常只给出了F(x)在某些点xi上的函数值yi=F(xi)，j=1，2，&，n+1。即使有时给出了函数F(x)的解析表达式，倘若较为复杂，也不便于计算。因此，需要根据给定点 xi 上的函数值F(xi)，求出一个既能反映F(x)的特性，又便于计算的简单函数&(x)来近似地代替F(x)，此时&(x)称为F(x)的插值函数;x1，x2，&，xn+1，称为插值节点。求插值函数的方法，称为插值法。
　　多项式是一类简单的初等函数，而且任给两组数：b1，b2，&，bn+1和各不相同的 с1，с2，&，сn+1，总有唯一的次数不超过n的多项式&(x)满足&(сi)=bi，i=1，2，&，n+1。因此在实际应用中常常取多项式作为插值函数。作为插值函数的多项式，称为插值多项式。插值多项式在计算数学插值中最常用。
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线性函数、对数函数和指数函数模型
1. 函数来源于实际又服务于实际，客 观世界的变化规律，常需要不同的数学 模型来描述，这涉及到函数的应用问题. 2. 所谓“模型”，通俗的解释就是一 种固定的模式或类型,在现代社会中， 我们经常用函数模型来解决实际问题. 那么，面对一个实际问题，我们怎样选 择一个恰当的模型来刻画它呢？考察下列问题： 假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投资方 案供你选
择，这三种方案的回报如下: 方案一: 每天回报40元； 方案二: 第一天回报10元, 以后每天比前 一天多回报10元； 方案三: 第一天回报0.4元, 以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 思考1:设第x天所得的回报为y元，那么上述三 种投资方案对应的函数模型分别是什么？思考2:上述三个函数分别是什么类型的函数？ 其单调性如何？思考3:这三个方案前11天所得的回报如下表,分 析这些数据，你如何根据投资天数选择投资方 案？天次方案一 当天回 报 40 40 累计回 报 40 80方案二 当天回 报 10 20 累计回 报 10 30方案三 当天回 报 0.4 0.8 累计回 报 0.4 1.21 23 4 5 6 7 8 9 10 11 ?40 40 40 40 40 40 40 40 40 ?120 160 200 240 280 320 360 400 440 ?30 40 50 60 70 80 90 100 110 ?60 100 150 210 280 360 450 550 660 ?1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 409.6 ?2.8 6.0 12.4 25.2 50.8 102.0 204.4 409.2 818.8 ?思考4:分析上述三个函数的图象，你对指数 函数模型与线性函数模型的增长速度有何看 法？你对“指数爆炸”的含义有何理解？y（元）ox（天）思考5:到第30天，三个方案所得的回报分别 是多少元？问题: 某公司为了实现1000万元利润的目 标，准备制定一个激励销售人员的奖励方 案: 在销售利润达到10万元时，按销售利 润进行奖励，且奖金y(单位: 万元)随销售 利润x(单位: 万元)的增加而增加，但奖金 总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型:y ? 0.25 x, y ? log7 x ? 1, y ? 1.002 .x其中哪个模型能符合公司的要求?思考1:根据问题要求，奖金数y应满足哪 几个不等式？思考2:销售人员获得奖励，其销售利润 x(单位: 万元)的取值范围大致如何？ 思考3:确定三个奖励模型中哪个能符合公 司的要求，其本质是解决一个什么数学问 题？ 思考4:对于模型y=0.25x，符合要求吗？为 什么？思考5:对于模型 y ? 1.002 ，当y=5时， 对应的x的值约是多少？该模型符合要求吗？xx≈805.723 思考6:对于函数 y ? log x ,当x∈[10， 7 1000]时，y的最大值约为多少？思考7:当x∈[10，1000]时，如何判断 log 7 x ? 1 y ? ? 0.25 是否成立？ x xy ? log7 x 符合 思考8:综上分析，模型 公司要求.如果某人的销售利润是343万元， 则所获奖金为多少？例 某工厂今年1月，2月，3月生产某种 产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为 了估计以后每个月的产量，以这三个月的 产品数量为依据，用一个函数模拟该产品 的月产量y与月份数x的关系.模拟函数可以 选用y=ax2+bx+c或y=a? bx+c.已知4月份该产品的 产量为1.37万件，试选用一个适当的模拟 函数.
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Based on DL(discrete logarithm)problem, S1 is decrypted by introducing a multi -channel service parameter and a special polynomial function, S2 is decrypted by Chinese Remainder Theorem.
提出了一种基于切比雪夫插值的高阶联想记忆系统，能提供对任意阶多变量多项式函数的无误差逼近。
A new high-order associative memory system via Tchebycheff interpolation is proposed. It offers the error-free approximation to multi-variable polynomial functions with arbitrarily given order.
根据叶栅内部二次流形成和发展的机理，应用正弦函数和多项式函数建立了一种叶栅非轴对称端壁成型方法。
Based on the mechanism of secondary flow formation and development in a turbine cascade, SINE function and polynomial function were applied to develop a non-axisymmetric endwall profiling method.
有限交换环上的多项式函数的个数问题。
The number of polynomial function over a finite commutative ring.
CAM中用有理多项式函数表示曲线曲面越来越广泛。
Denoting curves and surfaces with polynomial is used widely in CAD/CAM.
通过求解多项式函数条件极值问题的一般步骤和具体实例说明该方法的计算过程。
This paper illustrates the calculation process of this method through the general procedures and examples in solving questions of conditional extremum of polynomial function.
CAM中用有理多项式函数表示曲面越来越广泛。
Denoting curves and surface with polynomial is used widely in CAD/ CAM.
它可以对多项式函数，神经网络，径向基函数进行训练。
It can train polynomial function, neural networks, or radial basis function( RBF) classifiers.
该文研究了用多项式函数作光滑的支撑向量机（PSSVM）模型，并提出了两个用于光滑多项式的函数。
In this paper, authors research the so called PSSVM which uses the polynomial functions to smoothen the objective function and present two polynomial functions.
运用非多项式函数简化了负熵运算，而采用修正函数克服了独立分量分析的不确定性。
The non-polynomial function simplified the algorithm and the modified function addressed the difficulty of classical independent component analysis's ambiguity.
较程序化地给出了实系数多项式函数实数根的求法。
Methods of exploring the real number roots of a real coefficient polynomial function are procedurally given.
由于采用多项式函数假设了位移函数u的分布，该法具有收敛快，边界应力连续等特点。
Because the distribution of the displacement U is assumed using polynomial functions, the method possesses some properties such as fast convergency and continuity for the boundary stresses.
针对实时控制过程提出一种基于遗传算法的多项式函数监督PID控制。
A polynomial function supervising PID control method is proposed, which is based on Genetic Algorithms (GAs) for real-time control process.
提出了一种基于正交函数积分理论的图像插值快速实现方法，通过构造滤波器冲击响应的正交多项式函数来确定插值取样点与插值系数。
A new method based on orthogonal polynomial integration theory to realize image interpolation with a reduced and constant complexity and with a good precision is presented.
为此，采用多项式函数进行了拖拉机从起始位置向目标位置行驶的行驶路径设计。
Polynomial function was used for the design of tractor trajectory from start position to destination position.
定义了有理指数幂多项式函数，提出并证明了这类函数根的个数判定定理。
Polynomial function with rational exponent power is defined. Determinant theorem of the number of roots above the function is put forward and proved.
所有这些算法都是可行、有效的，因为在所有的情况下她们的时间需求以输入规模的多项式函数（比如）增长。
All these algorithms are efficient, because in each case their time requirement grows as a polynomial function (such as ) of the size of input.
基于光滑的分段多项式函数和插值思想推导出一个新的光滑函数，从而可以更好地逼近正号函数。
We got a new smooth function for approximating the plus function by interpolation base on smooth piecewise polynomial functions.
该方法以有限个理论计算数据为样本，采用多项式函数离线进行回归，在保证高的逼近精度的前提下，以显著提高在线计算速度为目的。
The presented method is more accurate for using polynomial regression of theoretical calculated data as sample off-line and is quicker for the reason of its fixed polynomial pattern on-line.
我们用一个四次方的温度的多项式函数来描述锂电池在固定负载，但不同操作温度下的非线性的放电行为。
A fourth-order temperature polynomial is used to describe the nonlinear feature of batteries discharge behavior for a fix current load under various temperatures.
采用多项式函数代替乌龟坐标的方法，给出静态球对称时空中黑洞事件视界和宇宙视界区域内标量场方程的解，并对事件视界附近势垒的性质进行了讨论。
The solutions of scalar field equations in the region between the black hole's event horizon and the cosmological horizon in static and spherically symmetrical space-time are given in this paper.
混凝土表面状况不同，粘结强度也不同，粘结强度与摩擦系数的关系表现为非线性多项式函数关系；
In addition, the bonding strength changes with the surface condition of concrete and the function is multinomial.
着重介绍了数值逼近方法中的多项式曲面函数模型逼近法，并通过实测数据对多项式函数模型的精度进行分析。
The paper emphasizes on the methods of polynomial surface approximation which is part of numerical approximations, and analyzes the precision of polynomial function model through the measured data.
二次多项式函数模型得出的蛋氨酸需要量高于折线模型估计的需要量。
Met requirement based on the quadratic multinomial model was highter than that of Based on the broken linear model.
构造了简单、稳定的补偿电路，该电路利用对三角波进行导通角调制来获得二次多项式函数。
A simple and reliable compensation circuit is constructed which generates 2nd order polynomial functions by pulsewidthmodulating a triangle wave.
本文用适当的多项式函数近似扩散光波导的高斯折射率分布函数，推导了导模有效折射率的解析形式渐近解。
The Gaussian index profile of a diffused optical waveguide is approximated by an appropriate polynomial, and the asymptotic solutions of the mode efficient index is derived in a analytical form.
多项式函数；
Polynomial functions;
本研究结合一个一次元的多项式函数与一个一次元高斯函数来描述锂电池的放电行为。
In this research, a first order polynomial and a first order Gaussian function are combined to describe the discharge behavior of a Lithium-ion cell battery.
在第二章中，我们采用截断多项式函数为核函数，解析的给出点、直线段、圆弧、二次曲线和三角面片等骨架的势函数。
In chapter two, using piecewise quartic polynomial as kernel function, we give analytical convolution solutions for points, line segments, arcs, quadratic Bezier curves and triangle segments.
最后求出多项式角动量代数的单玻色实现及其在有限维多项式函数空间的微分实现。
At last the deformed algebra's single boson operator realization and one differential realization under finite_dimensional spaces are deduced.
$firstVoiceSent
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指数函数多项式展开及其应用
导读：指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位，这个说法前一句讲的是多项式函数，2指数函数的多项式展开，多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函
指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位，且在数学的各门学科中都有着广泛的运用.关于多项式的定义，在1981年12月第一版统编六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册中说“一个多项式的元和系数都在实数集上取值时，这个多项式就叫做实数集R上的多项式”，这个说法前一句讲的是多项式函数，而后一句却有问题，1983年11月第一版统编6年制重点中学高中数学课本《代数》第三册把这段话删去了，改为“以x为元的一元n次多项式的一般形式可以写成anxn?an?1xn?1???a1x?a0这里n是确定的自然数，an?0”[1].
2 指数函数的多项式展开
多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆.
2.1 函数多项式展开的概念
指数函数的多项式展开即泰勒展开，对于一般的函数f?x?，假设它在一点x0存在直到n阶的导数，且多项式Tn?x?由这些导数构成，即
Tn?x??f?x0??
f'?x0?1!
f''?x0?2!
该式称为函数f?x?在该点处的泰勒公式. 指数函数在点x0处的泰勒展开式为
f''?x0?f???x0?2nn
a?f?x??f?x0??f?x0??x?x0???x?x0?????x?x0????Tn?x??o?x?x0?
这里o?x?x0?称为佩亚诺型余项.
2.2 泰勒展开式的证明
泰勒公式的证明方法有许多种，本文利用最基本的方法给出泰勒公式的证明.
定理[2] 若函数f?x?在点x0存在直至n阶导数，则有f?x??Tn?x??o?x?x0?，即
f''?x0?f???x0?2nn
f?x??f?x0??f?x0??x?x0??x?x???x?x?ox?x???0?0?0?2!n!
证明:不妨设Rn?x??f?x??Tn?x?，Qn?x???x?x0?
则只要证明
Rn?x?lim?0 x?x0Qxn
Rn?x0??R'n?x0??R''n?x0????R?
x?0Q，??n0n?x0??n!
因为f?x0?存在，所以在点x0的某邻域U?x0?内f存在n?1阶导函数f?x?.
于是，当x?U?x0?且x?x0时，允许接连使用洛必达法则n?1次，得到
Qn?x0??Q'n?x0??Q''n?x0????Q?
lim?lim'???limn?1x?xQxx?xQxx?xQ?x?x?xnnn
Rn?x?Rn'?x?Rn?
?x??f?n?1??x0??f?n??x0??x?x0?
nn?1?2x?x0
?f?n?1??x??f?n?1??x0??1?n?
?lim??f?x0???0
x?x0n!x?x0????
2.3 指数函数多项式逼近图
指数函数y?ex的多项式逼近
可以写出指数函数y?ex的泰勒展开式为
y=1+x+++?++?，现在我们利用数学作图工具MATLAB做出指数函数y?ex
与其泰勒展开式中n分别取3、4、5时得到的不同的指数函数多项式逼近函数的图像.这里为了更加清晰明了的做出误差比较与分析，则会做出三张图片，分别为指数函数y?ex与
n=3时得到的多项式逼近函数y?1?x??在同一坐标系下的函数图像比较、指数函
数y?e与n=4时得到的多项式逼近函数y?1?x???在同一坐标系下的函数图
像比较、指数函数y?e与n=5时得到的逼近函数y?1?x????在同一坐标
系下的函数图像比较，最后将根据图象分析指数函数与其逼近函数之间的关系并做出误差分析，得出结论[3].
【例1】利用MATLAB在同一坐标系中做出函数y?e、y?1?x??、
x2x3x4x2x3x4x5
y?1?x???、y?1?x????的图像并做比较.
2!3!4!2!3!4!5!x2x3
解：a、y?e与y?1?x??图像的比较
??图像的比较 b、y?e与y?1?x?
c、y?e与y?1?x????的图像比较
根据上述例题我们可以看出原指数函数y?ex与其不同程度的多项式逼近函数均有着某种程度的逼近，且当n的取值不同时原指数函数与其多项式逼近函数的逼近程度也不同.对比图像我们可以看出在指数函数的泰勒展开式中随着n取值的增大，原指数函数与其逼近函数的图像越接近误差越小. 2.3.2
指数函数y?e?x的多项式逼近
同样根据2.1的多项式展开概念，可得出指数函数y?e?x的泰勒展开式为
y=1-x+-+?+(-1)+?.依旧利用数学作图工具MATLAB做出指数函数
y?e?x与其泰勒展开式中n分别取3、4、5时的多项式逼近函数的函数图.同理为了更加清
晰的比较不同指数函数与它们各自的多项式逼近函数的逼近趋势是否一致，仍旧作出三张
图片，分别为指数函数y?e?x与n=3时的多项式逼近函数y?1?x?x2?x3在同一坐
2!3!标系下的函数图像、指数函数y?e?x与n=4时的多项式逼近函数
x?x?x在同一坐标系下的函数图像、指数函数y?e?x与n=5时的多2!3!4!
项式逼近函数y?1?x?x2?x3?x4?x5在同一坐标系下的函数图像，做出图像并
分析图像，得出结论[3]
包含总结汇报、资格考试、办公文档、IT计算机、考试资料、word文档、计划方案、党团工作以及指数函数多项式展开及其应用等内容。本文共5页
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