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利用洛必达法则来求数列的极限
我们知道，利用洛必达法则计算极限很方便，但是用洛必达法则必须满足可导这一条件，而数列就连连续这一条件都不满足，更谈不上可导了。但我们知道，数列是函数的特殊情况，利用这一点，我们可以先求函数的极限，从而求得数列的极限。这体现了由一般到特殊的数学思想。本文将对此方法做进一步的总结和探讨。
作者单位：
沈阳工学院基础教育学院 113122
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高等数学洛必达法则求极限的注意事项探讨
高等数学洛必达法则求极限的注意事项探讨
（南阳理工学院
中图分类号：Ｇ６４２．４１
文献标识码：Ａ
河南·南阳473000）
文章编号：１６７２－７８９４（２０１３）３３－００５０－０２
摘要洛必达法则是求取未定式极限的一种有效方法，但是它并不是万能的，一旦在计算中使用不当，就会引起错误结果或者是循环计算，得不出有效结果。下面本文就对高等数学中运用洛必达法则求极限的注意事项进行简单探讨。
关键词高等数学洛必达法则求极限注意事项
ExplorationontheMattersNeedingAttentioninCom－putingLimitswithL＇H觝pital＇sRuleinHigherMathematics／／ＱｉｕＪｉｎｌｉｎｇ
AbstractＬ＇Ｈ觝ｐｉｔａｌ＇ｓｒｕｌｅｉｓａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｂｕｔｎｏｔａｎａｌｌ－ｐｕｒｐｏｓｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｏｍｐｕｔｉｎｇｌｉｍｉｔｓｏｆｉｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｂｌｅｆｏｒｍｓ，ａｓｔｈｅｉｍ－ｐｒｏｐｅｒｕｓｅｏｆｉｔｉｎｃｏｍｐｕｔｉｎｇｃａｎｌｅａｄｔｏｗｒｏｎｇｒｅｓｕｌｔｓｏｒｃｉｒｃｕｌａｒｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓｗｈｉｃｈｗｉｌｌｎｏｔｐｒｏｄｕｃｅｖａｌｉｄｒｅｓｕｌｔｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｍａｔｔｅｒｓｎｅｅｄｉｎｇａｔｔｅｎｔｉｏｎｉｎｃｏｍｐｕｔｉｎｇｌｉｍｉｔｓｗｉｔｈＬ＇Ｈ觝ｐｉｔａｌ＇ｓｒｕｌｅｉｎｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｒｅｂｒｉｅｆｌｙｄｉｓｃｕｓｓｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Keywordsｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；Ｌ＇Ｈ觝ｐｉｔａｌ＇ｓｒｕｌｅ；ｆｉｎｄｉｎｇｌｉｍｉｔｓ；ｍａｔｔｅｒｓｎｅｅｄｉｎｇａｔｔｅｎｔｉｏｎ
的极限值，指数的极限也就是０·∞型，转换为此型过后，就可以利用０或者是∞型来解决。
３洛必达法则的应用
极限是贯穿高等数学中的一条重要主线，将高等数学
中的各个知识点连接在一起。所以，掌握极限的解决方法是学好高等数学的前提条件。到目前为止，有很多研究者对极限的求取方法进行研究，归纳一下大致有十几种方法。其中在求取极限的所有方法中，最为重要的还是使用洛必达法
就必须熟练掌握求极限的方则求极限。要想学好高等数学，
法。洛必达法则作为众多方法的一种，对极限的求解有着重要作用。在高等数学中，洛必达法则求极限不仅是一个重点，同时还是一个难点。
x2+x-2的极根据洛必达法则的定义原理，例１：求ｌｉｍx→１2
x+x-2＝ｌｉｍ2x+1＝３。然限，会有很多学生将其错解为ｌｉｍx→１x→１x+11
ｌｉｍx+x-2并不是一个未定式，而，实际上，与洛必达法则①x→１中的条件不相符合，如果直接采用洛必达法则来计算，就会出现一定的错误，因此，在运用洛必达法则时期，首先应该对公式进行验证，查看公式是否满足０或者是∞型构型，
如果不存在时，并且不包括无穷大情形，就不能够采用洛必达法则，就需要另外采用其他求极限方法进行求解。因此，对如此例题，可以直接采用极限的四则运算法来进行求解，
x2+x-2＝０．就可以得到ｌｉｍx→１x+1
xｌｎx的极限，将其转变为０－∞的未定式，可例２：求ｌｉｍx→０以将其转换为∞的未定式，然后根据洛必达法则进行求ｌｎｘ＝ｌｉｍ１＋linx＝∞。ｌｉｍ解。xｌｎx＝ｌｉｍ然而，这个结果是错误x→０x→０x→０的，主要是因为不符合洛必达法则③中的相关规定，分子与分母要进行同时求导，并不能够将其理解成简单的整个分
＝ｌｉｍ（－ｘｌｉｍ式求导。因此，xｌｎx＝ｌｉｍ）＝０。通过两个例题x→０x→０x→０的认识，只有公式满足洛必达法则中的三个条件，才能够利用该法则进行极限求解，否则需要寻找其他方法进行求解。
２洛必达法则的基本认识
洛必达（Ｌ＇Ｈｏｓｐｉｔａｌ）法则是由瑞士数学家约翰·伯努利
（ＪｏｈａｎｎＢｅｒｎｏｕｌｌｉ）提出的，是指在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。其定义为：
设函数ｆ（ｘ）以及Ｆ（ｘ）满足下列条件：①ｌｉｍ（fx）＝０或者无x→aｌｉｍF穷大，（x）＝０或者无穷大，②在点ａ的某去心领域内ｆ’x→af（＇x）存在（ｘ）以及Ｆ’（ｘ）都存在，并且Ｆ’（ｘ）不等于０，③ｌｉｍx→af（x）＝ｌｉｍ或者是无穷大，当满足以上三个条件时，就有ｌｉｍx→ax→a
f（＇x）＝Ａ。（Ａ为有限值或者无穷大）未定式基本类型为或者是∞型，未定式其他类型：
０·∞型、∞－∞型以及００型、１∞。在其他类型中，首先对于·∞型，可以将乘积化为除的形式，也就是化为０或者是０
∞型，然后按照未定式的基本类型来计算；其次，对于∞－∞型，也可以利用通分化为型的基本未定式来计算；
最后，对于０型、１时，则可以先进行ｅ为底的指数函数的极限，然后再利用指数函数的连续性，从而化为直接求指数
４高等数学洛必达法则求极限的注意事项
４．１注意洛必达法则的逆命题未必成立
在极限的计算中，作为教师应该强调洛必达法则的相关知识，对学生进行详细的讲解，让学生在实际计算过程中注意洛必达法则的逆命题未必一定成立。
x２ｓｉｎ１
，例３：求极限ｌｉｍ一般学生看到这个题目，就立x→０即不假思索地采用洛必达法则的相关定理对其进行解答，认为这是∞的未定式，然后根据洛必达法则的相关内容得
x２ｓｉｎ2xｓｉｎ＋ｃｏｓ，ｌｉｍ出：＝ｌｉｍ由于ｃｏｓ在ｘ趋向x→０x→０x２ｓｉｎ１
也就不存在极限。于０时不存在极限，所以函数ｌｉｍx→０尽管这个题目与洛必达法则中的规定是一样的，但是因为
f（＇x）并不存在，也就不能够充分说明ｌｉｍf（x）也不存ｌｉｍx→ax→a（下转第70页）
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