高数常微分方程初值问题中的一个问题

高等数学:常微分方程的基础知识和典型例题_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员,立省24元!
高等数学:常微分方程的基础知识和典型例题
上传于||暂无简介
阅读已结束,如果下载本文需要使用1下载券
想免费下载本文?
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑,查找使用更方便
还剩5页未读,继续阅读
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员,立省24元!
同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程
上传于||暂无简介
阅读已结束,如果下载本文需要使用1下载券
想免费下载本文?
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑,查找使用更方便
还剩36页未读,继续阅读
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢求大神给个解释,常微分方程的问题,好人一生平安↓↓↓↓↓↓↓_高等数学吧_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名:今日本吧第个签到,本吧因你更精彩,明天继续来努力!
本吧签到人数:0成为超级会员,使用一键签到本月漏签0次!成为超级会员,赠送8张补签卡连续签到:天&&累计签到:天超级会员单次开通12个月以上,赠送连续签到卡3张
关注:210,624贴子:
求大神给个解释,常微分方程的问题,好人一生平安↓↓↓↓↓↓↓收藏
高等数学辅导书,正确把握考试政策,快速应对调整,名师小班辅导,助孩子考上名校!小学辅导,初中辅导,高中辅导,迅速提高学习成绩,独特的教学方式,明显的教学效果.
吧主为啥删我的帖子!!!!万恶的吧主!!!
快到碗里来
有人吗??
登录百度帐号推荐应用
为兴趣而生,贴吧更懂你。或第三篇常微分方程;第六章常微分方程;函数是研究客观事物运动规律的重要工具,找出函数关;在本章中,主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用;第一节微分方程的概念;下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念.;1.1引例;引例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点;解设所求曲线方程为y?f(x),且曲线上任意一点;dy?2x.dx;两边同时积分得;y?x
常微分方程
常微分方程
函数是研究客观事物运动规律的重要工具,找出函数关系,在实践中有重要意义.但是在许多问题中,常常不能直接找出这种函数关系,但却能根据问题所处的环境,建立起这些变量和它们的导数(或微分)之间的方程,这样的方程称为微分方程.
在本章中,主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法.
微分方程的概念
下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念.
引例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率为2x,求这条曲线方程.
解 设所求曲线方程为y?f(x),且曲线上任意一点的坐标为(x,y).根据题意以及导数的几何意义得
两边同时积分得
(c为任意常数).
又因为曲线通过(1,2)点,把x?1,y?2代入上式,得c?1.故所求曲线方程为 2
?引例2 将温度为100C的物体放入温度为0?C的介质中冷却,依照冷却定律,冷却的
速度与温度T成正比,求物体的温度T与时间t之间的函数关系.
解 依照冷却定律,冷却方程为
dT, ??kt (k为比例常数)dt
所求函数关系满足t?0,T?100.
以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系.
下面我们介绍有关微分方程基本概念.
1.2 微分方程的基本概念
含有未知函数以及未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.在微分方
程中,若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.
例如 下列微分方程中,
(1) y??3x?1;
(2)dy?ysinxdx?0; (3)y???1(y?)2?2?0
?2u?2udy(4)2?2?1;
(5)?cosy?3x.
都是微分方程,其中(1)、(2)、(3)、(5)是常微分方程,(4)是偏微分方程.
本课程只讨论常微分方程.
微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.
在上例中,(1)、(2)、(5)是一阶常微分方程,(3)是二阶常微分方程.
一般地,n阶微分方程记为:
若将y?f(x)代入微分方程中使之恒成立,则称y?f(x)是微分方程的解(也称显式解);若将?(x,y)?0代入微分方程中使之恒成立,则称关系式?(x,y)?0是微分方程的隐式解.
定义4 微分方程的解中含有任意常数,并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解.
引例1中,积分后得到y?x?C为微分方程的通解,由于通解中含有任意常数,所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性,必须确定这些常数,为此,要根据实际问题,提出确定通解中的常数的条件.
设微分方程中未知函数y?y(x),如果微分方程是一阶的,确定任意常数的条件是2yx?x?y0;如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是yx?x?y0,y?x?x?y1,上述
这些条件叫做初始条件.
定义5 求解微分方程y??f(x,y)满足初始条件yx?x?y0的特解问题称为一阶微分
方程的初值问题.记作
??y??f(x,y). ?y?y0??x?x0
例1 验证x?c1cosat?c2sinat是微分方程
解 x?c1cosat?c2sinat的一阶导数x?和二阶导数x??分别是
x???c1asinat?c2acosat,
x????c1a2cosat?c2a2sinat ??a2?c1cosat?c2sinat?.
把x?和x??代入微分方程中,
?a2?c1cosat?c2sinat??a2?c1cosat?c2sinat??0.
因此,x?c1cosat?c2sinat是微分方程的解.
2如果c1、c2是任意常数,则解x?c1cosat?c2sinat是二阶微分方程x???ax?0的
d2ydy?y?0的通解,求满足初始条件例2 已知y?(C1?C2x)e是微分方程2?2dxdx?x
yx?0?4,y?x?0??2的特解.
解 由题意得
y??[(C1?C2x)e?x]??(C2?C1?C2x)e?x, 把yx?0?4,y?x?0??2分别代入得
?C1?4, ??C2?C1??2
?C1?4, ?C?2?2
于是微分方程的特解为
y?(4?2x)e?x.
1.指出下列各微分方程的阶数.
(1)xdy?ydx?0;
(2)x(y?)?2y??xy?0;
(3)y???yy??2y?x ;
(4)y?y???(y???)?x?y; 2
(5)y???y??2cosy??y;
(6) 35dy?y2?x2; dx
d?d2QdQQ???sin2?. ??0;
(7)L2?Rd?dtdtC
2. 验证下列函数是所给的微分方程的解.
sinx,xy??y?cosx;
(2)y?ex,y???2y??y?0; x
(3)y??,xy??xy?xy?1 ; (4)y?x2?1,y??y2?(x2?1)y?2x. x
3.验证函数y?Ce
4.写出下列条件确定的曲线y?y(x)所能满足的微分方程.
(1)曲线在任一点M(x,y)处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍.
(2)曲线在任一点M(x,y)处的切线斜率与该点横坐标成正比.
5.英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间,查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料,发现了如下现象:人口出生率是一个常数.在1798年,他发表了《人口原理》一书,其中提出了著名的Malthus人口模型.他假定条件如下:在人口的自然增长过程中,人口增长率与人口总数成正比.t表示时间(变量),x表示人口总数(依赖于时间变化),k表示人口增长率与人口总数之间的比例常数,试用微分方程表达上述条件.
6.一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢, 渐渐地, 小树长高了并且长得越来越快, 几年之后, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比, 又与最大高度和目前高度之差成正比,试用微分方程来描述这一过程.(设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t),k?0的是比例常数) ?x并求满足初始条件y?x?1是微分方程y??y?x的解,x?0?2的
可分离变量微分方程
本节我们讨论的是一阶微分方程y??f(x,y)的解法.
2.1 可分离变量微分方程
引例 微分方程dy?ex?y,显然不能直接用积分法求解,但是适当地变形: dx
eydy?exdx,
此时,方程右边是只含x的函数的微分,方程左边是只含y的函数的微分,对上式积分,得
yxedy?e??dx,
ey?ex?C(C为任意常数).
这就是微分方程的通解.
一般地,一阶微分方程y??f(x,y),如果能变形为
g(y)dy?f(x)dx
的形式,则方程y??f(x,y)称为可分离变量的微分方程.此处,f(x),g(y)为连续函数.
根据以上所述,解可分离变量的微分方程y??f(x,y)的步骤如下:
第一步:分离变量,将方程写成g(y)dy?f(x)dx的形式;
第二步:两端积分:g(y)dy???f(x)dx;
第三步:求得微分方程的通解G(y)?F(x)?C,其中G(y),F(x)分别为g(y),f(x)的原函数.
例1 求微分方程dy?2xy的通解. dx
dy=2xdx, y
解 将方程分离变量,得到
两边积分,即得ln|y|?x?C1 ,即y??e
C2??ee. C1x2由于?e1是任意非零常数,又y?0也是方程的解,故原方程的通解为
. y?Cex(C为任意常数)
注:变量分离过程中,常将微分方程变形,有时会产生“失解”的现象: 2
包含各类专业文献、专业论文、应用写作文书、中学教育、各类资格考试、行业资料、高等教育、57同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程等内容。 
 同济大学《高等数学》第三版下册答案_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档同济大学《高等数学》第三版下册答案_理学_高等教育_教育专区。...  同济大学第3版《高等数学》下册答案_理学_高等教育_教育专区。同济第三版高数答案同济第三版高数答案 8-1 练习 8-2 练习 8-3 练习 8-4 练习 8-5 练习 8...  同济大学《高等数学》第3版下册答案_理学_高等教育_教育专区。练习 8-1 练习 8-2 练习 8-3 练习 8-4 练习 8-5 练习 8-6 练习 8-7 总习题八 练习 9...  三重积分的概念及其计算法 九、常微分方程 微分方程的基本概念 可分离变量的...内容简介 本书是同济大学数学系编《高等数学》的第六版,依据最新的“工科类...  同济大学《高等数学》上册答案_高等教育_教育专区。同济大学《高等数学》上册答案 练习1-1 练习 1-2 练习 1-3 练习 1-4 练习 1-5 练习 1-6 练习 1-7 ...  总习题三高等数学同济大学第六版本_理学_高等教育_教育专区。总习题三高等数学同济...( x 3 ? x ? 2) = +∞ , 所 x → +∞ 以在(0, +∞)内方程 x...  同济大学第六版高等数学课后答案全集_理学_高等教育_教育专区。同济(第六版)高等数学课后答案今日推荐 78份文档 不小心又胖了 胖女人必看 ...  3-3高等数学同济大学第六版本_理学_高等教育_教育专区。高等数学第六版 第三章答案 同济大学第六版本习题3?3 1. 按(x?4)的幂展开多项式 x4?5x3+x2?3x...  3-1高等数学同济大学第六版本_理学_高等教育_教育专区。高等数学第六版 第三...? ? + an?1x=0 有一个正根 x0, 证明方程 a0nxn?1+a1(n?1)xn?2 ...}

我要回帖

更多关于 常微分方程与边值问题 的文章

更多推荐

版权声明:文章内容来源于网络,版权归原作者所有,如有侵权请点击这里与我们联系,我们将及时删除。

点击添加站长微信