高中数学必修2立体几何的综合复习（详解） doc--预览
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高中数学必修2立体几何的综合复习（详解）一、选择题1．(08四川)（文）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于
记三棱柱为ABC-A1B1C1，且其中侧面ABB1A1是边长为2的正方形，侧面ACC1A1、BCC1B1都是菱形，且∠C1CA=∠C1CB=，如图所示，则由已知可得△ABC是边长为2的正三角形，作C1O⊥平面ABC于点O，连结CO，易知点O在∠ACB的平分线上，且cos∠C1CA=cos∠C1CO·cos∠ACO，即cos=cos∠C1CO·cos30°，∴cos∠C1CO=sin∠C1CO=在Rt△C1CO中，sin∠C1CO=因此该棱柱的体积等于选B.2. （08全国Ⅱ）（文）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为
D．18 答案
B 解析 记正四棱锥为P-ABCD，设底面ABCD的边长为a,作PO⊥平面ABCD于点O，连结OA，则∠PAO是侧棱PA与底面ABCD所成的角，∠PAO=，在Rt△PAO中，cos∠PAO=，由此解得a==3,因此该棱锥的体积等于故选B.3.（08山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
)A.9　　　　　　 B.10
该几何体下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，上面是一个半径为1的球，其表面积是×1×3+2××12+4×12=124.（08广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示），A、B、C分别是三边的中点得到几何体如图，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为
根据几何体的形状，再结合侧（左）视图的特点，可以得到结果.5.（08宁夏，海南）（理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（
C二、填空题6．（08江西）（理）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好
经过点PD．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是
．(写出所有真命题的代号) ．答案
依题意，a升水为容器容积的一半，故D是真命题，A是假命题；又容器里面相对四个侧面是对称的，而上下不对称，故B是真命题，C是假命题.7．（08四川）（理）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于________________.答案
设正四棱柱的底面边长为a,侧棱长为b，依题意得由此解得a=1,b=2，因此该正四棱柱的体积等于a2b=2 .8.(08福建)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　　　　.答案
设三棱锥为S-ABC，则依题意，三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=SB=SC=AB=BC=CA=设球的半径为R，则由题意可得+（∴R=球的表面积为S=49.（08宁夏、海南）（理）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 _________.（文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱的高为底面周长为3，那么这个球的体积为_________.答案
（文）三、解答题10.（08山东）（文）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC,△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD=8, AB=2DC=.（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD;（2）求四棱锥P-ABCD的体积.（1）证明 在△ABD中，由于AD=4,BD=8,AB=，所以AD2+BD2=AB2.故AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD,平面ABCD，所以BD⊥平面PAD,又平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD.（2）解
过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因此PO为四棱锥P-ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形，因此在底面四边形ABCD中，AB∥DC, AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为故11.（08广东）（文）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四
边形,其中BD是圆的直径,.（1）求线段PD的长；（2）若，求三棱锥P-ABC的体积.解（1）∵BD是圆的直径，∴∠BAD=90o，又△ADP∽△BAD，∴.
（2）在Rt△BCD中，CD=BDcos45o=R.∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2，∴PD⊥CD，又 ∠PDA=∠DAB=90o，∴PD⊥底面ABCD.S△ABC=AB×BC sin(60o+45o)=R×R=R2，则三棱锥P-ABC的体积为12.(08宁夏、海南)（文）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：∥面EFG.图（1） （1）解
所求多面体的体积=（cm3）.（3）证明 如图（2），在长方体中，连结，则．因为分别为，的中点，所以，从而．又平面，所以面．
图（2） 年高考题一、选择题1. （07陕西）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
D.答案?C?解析
设该正三棱锥的底面边长为a，高为h ,则a2=1+1-2cos120°=3，h=1，其底面面积为S=°=该正三棱锥的体积为V=选C.2. （07江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空、高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4，则它们的大小关系正确的是
）A.h2>h1>h4
B.h1>h2>h3?
C.h3>h2>h4
D.h2>h4>h1?答案
结合所给的酒杯形状观察分析可知第二个酒杯中酒的体积与酒高之间的变化率最大，第四个酒杯中酒的体积与酒高之间变化率最小，由排除法可知选A.3.(07山东) 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
D.②④?答案?D解析
在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥的两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥的两个视图相同，故选D.?4.(07宁夏、海南) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位:cm)，可得这个几何体的体积是
C.2 000 cm3?
D.4 000cm3答案?B解析? 依题意，此几何体为如图的四棱锥P-ABCD,且底面ABCD是边长为20的正方形，侧面PCD垂直底面ABCD，△PCD的高为20，故这个几何体的体积为选B.5.(07宁夏、海南)（理）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h3，则h1∶h2∶h3等于
）?A.∶1∶1?
D.∶2∶答案
依题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等，设为a,h2=h3，h=故h1∶h2∶h3=∶2∶2.6.（06江苏）两个相同的正四棱锥组成如图（1）所示的几何体，可放入棱长为1的正方体如图（2）内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有
D.无穷多个答案?D?解析
如图所示，在正方体的俯视图中，可得正八面体中截面四边形（正方形）ABCD内接于另一个正方形，此正方形ABCD的面积的范围为S，∴八面体的体积V=，即其体积的可能值有无穷多个，故应选D.7.（06江西）（理）如图所示，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC、DC分别交于E、F，如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC 的表面积分别是S1，S2，则必有
）?A.S1S2? ?C.S1=S2
D.S1,S2的大小关系不能确定?（文）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为"等腰四棱锥"，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是
）A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案
（理）由题意，设三棱锥的内切球的半径为r.∵VA--EFC=VA--BDFE，∴·S四边形BDFE··r+S△ABD·r+·S△ADF·r=·S△EFC·r+·S△AEC·r+·S△ACF·r，∴S四边形BDFE+S△ABE+S△ABD+S△ADF=S△EFC+S△AEC+S△ACF，即有S1=S2，故选C.（文）A.如图，∵SA=SB=SC=SD，则∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；B.等腰四棱锥侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立；C.如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；D.等腰四棱锥各顶点在同一个球上，正确，故选B.8.（05全国Ⅲ）设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为
D.答案?C解析
用"极限思想"，设P与A，Q与C1重合，则VB-APQC=VC-ABC=△ABC·h，即VB-APQC==9.（04重庆）（文）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是
C解析 6个直通的小孔有6个交汇处，则=6×52-12×12+6×4×5-6×12×6=6×25-12+120-36=150-12+120-36=258-36=222，故选C.二、填空题10.（07全国Ⅰ）（理）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为
正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，边长为2，△DEF为直角三角形，DF为斜边.设DF长为x，则DE=EF=，作DG⊥BB1，HG⊥CC1,EI⊥CC1， EG=FH=FI+HI=FI+EG=2在Rt△DHF中DF2=DH2+FH2，即x2=4+(2解得x=211.(07广东)（理）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有
条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=f(n)=
.（答案用数字或n的解析式表示）?答案
n棱锥共有n+1个顶点，从这些点中任取两个都可以确定直线，因此共确定直线C条，这些直线分成两类，侧棱与底面内直线；显然所有的侧棱中，任意两条都不可能成为异面直线,当然底面内的所有直线中的任意两条也不可能成为异面直线；而任意一条侧棱，会与底面内的多少条直线构成异面直线呢？在底面的n个顶点中，除去侧棱用的那个，还有n-1个，那么由这n-1个点构成的直线与该侧棱都是异面直线；故共有f(n)=nC =对异面直线，则f（4）=12.12. (07全国Ⅱ)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为
设正四棱柱的高为h,则12+12+h2=22,∴h=（cm）.于是，表面积为2×1×1+4×1×(cm2).13.(06全国Ⅰ已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2则侧面与底面所成的二面角等于
如图，在正四棱锥S-ABCD中，底面对角线BD=2则边长BC=2作SO⊥底面ABCD，作OE⊥CD，连结SE，则∠SEO就是侧面与底面所成二面角的平面角，又由V=得SO=3.则在Rt△SEO中，tan∠SEO=∴∠SEO=，即侧面与底面所成的二面角等于.14.(06湖南)（文）过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有
∵平面MNPQ∥平面ABB1A1，∴平面MNPQ内任一条直线平行于平面ABB1A1.共有C=6条.15.(06辽宁)（文）如图所示，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是
考查锥体的面积公式，显然正六棱锥的高为球的半径2，正六棱锥的底面为底面圆的内接正六边形.正六边形中OA=2，AF=2，由于三角形PAO为直角三角形，得PA=2从而得侧面等腰三角形的侧高为，所以正六棱锥的侧面积为6××2×16.(05全国Ⅱ)下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是
.（写出所有真命题的编号）答案
对于①，设四面体为D-ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，其垂足依次为F、G、H，连接DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，所以∠DFE=∠DGE=∠DHE，于是有FE=EG=EH，DF=DG=DH，故E为△ABC的内心，又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△GCD≌△AHD，故DA=DB=DC，故棱锥为正三棱锥，所以为真命题.对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题.对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可.所以为假命题.对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题，综上，①④为真命题. 17．（05上海）有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是
三棱柱共有3种情况，四棱柱共有4种情况，它们的面积为，三棱柱时：24a2+(8+10)×2
①，24a2+(6+10) ×2
②，12a2+(6+8+10)×2
③.四棱柱时：24a2+(8+10)×2
④,24a2+(6+10)×2
⑤，24a2+(8+6)×2
⑥，24a2+(8+6)×2
⑦.只需:24a2+(8+6)×2＜12a2+（8+6+10）×2，解得，-＜a＜，∵a＞0，∴a(0, ).18.（04广东）由图1有面积关系：则由图2有体积关系：
解析三、解答题19.（07四川）（理）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°,PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°,AB⊥PC,直线AM与直线PC所成的角为60°.?（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；?（2）求二面角M-AC-B的大小；?（3）求三棱锥P-MAC的体积.?（文）如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°,PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°（1）求证：AC⊥BM；?（2）求二面角M-AB-C的大小；?（3）求多面体PMABC的体积.方法一（理）（1）证明 ∵PC⊥AB,PC⊥BC,AB∩BC=B,?∴PC⊥平面ABC.?∴平面PAC⊥平面ABC.?（2）解 取BC的中点N，则CN=1.连结AN、MN，?∵PMCN,∴MNPC，从而MN⊥平面ABC.?作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，AC⊥MH，?从而∠MHN为二面角M-AC-B的平面角.?∵直线AM与直线PC所成的角为60°,?∴∠AMN=60°.?在△ACN中，由余弦定理得?AN=?在Rt△AMN中，MN=AN·cot∠AMN==1.?在Rt△CNH中，NH=CN·sin∠NCH=1×=.?在Rt△MNH中，tan∠MHN=故二面角M-AC-B的大小为arctan.?（3）解 由（2）知，PCNM为正方形，∴VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN=AC·CN·sin120°·MN=.??方法二（1）同方法一.（2）解 在平面ABC内，过C作CD⊥CB.建立空间直角坐标系C-xyz（如图），?由题意有A(，0).?设P（0,0,z0）(z0＞0),则M（0,1,z0）,（-，z0),=(0,0,z0).?由直线AM与直线PC所成的角为60°,得??cos60°,即z=?解得z0=1.?∴设平面MAC的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则取x1=1,得n=(1,.平面ABC的一个法向量取为m=（0，0，1）. 设m与n所成的角为，则cos=显然，二面角M-AC-B的平面角为锐角，?故二面角M-AC-B的大小为arccos?（3）解
取平面PCM的法向量为n1=(1,0,0),?则点A到平面PCM的距离为?h=∵|∴VP-MAC=VA-PCM=（文）方法一 (1) 证明 ∵平面PMBC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC平面ABC，∴AC⊥平面PMBC.?又∵BM平面PMBC，∴AC⊥BM.?（2）解
取BC的中点N，则CN=1.连结AN、MN.?∵平面PCBM⊥平面ABC，?平面PCBM∩平面ABC=BC，?PC⊥BC.?∴PC⊥平面ABC.?∵PMCN，∴MNPC.∴MN⊥平面ABC.?作NH⊥AB于H，连结MH，?则由三垂线定理知，AB⊥MH，?从而∠MHN为二面角M-AB-C的平面角.?∵直线AM与直线PC所成的角为60°,?∴∠AMN=60°.?在△ACN中，由勾股定理得AN=.?在Rt△AMN中，MN=AN·cot∠AMN=.在Rt△BNH中，NH=BN·sin∠ABC=BN·.在Rt△MNH中，tan∠MHN=?故二面角M-AB-C的大小为arctan?(3)解 因多面体PMABC就是四棱锥A-BCPM.?PC=MN=,PM=1.?VPMABC=VA-BCPM= (PM+BC)·PC·AC=×(1+2)××1=.?方法二（1）同方法一.?（2）解 如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz?.?设P（0，0，z0）(z0＞0),?有B（0,2,0）,A(1,0,0),M(0,1,z0),??=(-1,1,z0),?=(0,0,z0).?由直线AM与直线PC所成的角为60°，得??60°,?即z20=·z0，解得z0=.?∴=（-1,1, ）,?=(-1,2,0),设平面MAB的一个法向量为n=(x1,y1,z1).?则取z1=?取平面ABC的一个法向量为m=（0,0,1）,?则cos〈m,n〉=.?故二面角M-AB-C的大小为arccos.（3）同方法一20.(07重庆) 右图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°,AB=1,BC=,AA1=2.点D在棱BB1上，BD=BB1,B1E⊥A1D，垂足为E.求：?（1）异面直线A1D与B1C1的距离；?（2）四棱锥C-ABDE的体积.?解 方法一（1）由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D.又因为∠ABC=90°,?因此B1C1⊥A1B1,从而B1C1⊥平面A1B1D，?得B1C1⊥B1E,又B1E⊥A1D,?故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线.?由BD=BB1知B1D=，?在Rt△A1B1D中，?A1D===,?又因S△=A1B1·B1D=A1D·B1E，?故B1E=.?（2）由（1）知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高.从而所求四棱锥的体积为?V=VC-ABDE=·S·BC，?其中S为四边形ABDE的面积.如图，过E作EF⊥B1D，垂足为F.?在Rt△B1ED中，?ED==又因S△BED=B1E·DE=B1D·EF，?故EF=.?因△A1AE的边A1A上的高h=A1B1-EF=1-=,故S△AAE=A1A·h=.?又因为S△=A1B1·B1D=×1×=,从而S=S - S△AAE - S△ABD=2-所以V=×S·BC=××方法二（1）如右图，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0),B1(0,0,2),C1(,D（0，0，.因此=(0,0,2),?=(0,-1,0),?=（,0,0),??设E（0,y0,z0），则=（0,y0,z0-2）,因此·=0，从而B1C1⊥B1E.，又由题设B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线.下面求点E的坐标.因B1E⊥A1D，即=0，从而y0+①又z0-2),且∥，得②联立①②?解得y0=即E（0,,所以|(2)由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高.下面求四边形ABDE的面积.?因为S四边形ABDE=S△ABE+S△BDE，而S△ABE=z0=×1×S△BDE=故S四边形ABDE=.所以VC-ABDE=21.（07广东）（文）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.?（1）求该几何体的体积V；?（2）求该几何体的侧面积S.?解
由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形.（1）几何体的体积为V=矩形·h=×6×8×4=64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1=左、右侧面的底边上的高为：h2=故几何体的侧面面积为：S=2×（22.（06上海）（理）在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.?（1）求四棱锥P-ABCD的体积；?（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.（文）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1.?（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；?（2）若直线A1C与平面ABC所成的角为45°，求三棱锥A1-ABC的体积.解 （理）（1）由于底面为菱形，边长为2，且∠BAD=60°，从而得SABCD=2××2×2×sin60°=2.显然PO为四棱锥P-ABCD的高.又由于PO垂直于底面ABCD，得PB与平面ABCD所成的角是∠PBO.∵△ABD为正三角形，∴在△PBO中，BO=BD=AB=1，∠POB=90°，∠PBO=60°，∴PO=BOtan60°=.从而得VP-ABCD=×SABCD×PO=×2×=2.（2）令AB的中点为F，连结EF，DF.由于E为PB的中点，所以EFPA.因此，异面直线DE与PA所成的角等于直线EF与DE的夹角.在△POA中，∠POA=90°，AO=×2=，PO=，得PA=，则EF=由于△ABD为正三角形，得DF=×AD=由于△PBD中，BD=PB，∠PBD=60°，得△PBD为正三角形，且由于E为PB的中点，得DE=×BD=.故在△DEF中，EF=，DE=DF=得cos∠DEF=从而得∠DEF=arccos所以异面直线DE与PA所成的角等于arccos（文）（1）∵BC∥B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成的角（或它的补角）.∵∠ABC=90°，AB=BC=1，∴∠ACB=45°，∴异面直线B1C1与AC所成的角为45°.（2）由于三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，则可得直线A1C在平面ABC内的射影为AC，从而直线A1C与平面ABC所成的角为∠A1CA.在△A1AC中，∠A1AC=90°，∠ACA1=45°A1A=AC=AB=.由于AA1垂直于平面ABC，容易得到VA-ABC=△ABC·AA1=×23.（06四川）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a. ?（1）求证：MN∥面ADD1A1；?（2）求二面角P-AE-D的大小；?（3）（只理科做）求三棱锥P-DEN的体积.?
方法一（1）证明 取CD的中点K，连结MK、NK.?∵M、N、K分别为AE、CD1、CD的中点，?∴MK∥AD，NK∥DD1.?∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1.?∴面MNK∥面ADD1A1.?∴MN∥面ADD1A1.?（2）解 设F为AD的中点，?∵P为A1D1的中点，∴PF∥D1D.?∴PF⊥面ABCD.?作FH⊥AE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AE⊥PH.?从而∠PHF为二面角P-AE-D的平面角.?在Rt△AEF中，AF=在Rt△PFH中，tan∠PHF=，故二面角P-AE-D的大小是arctan（3）（只理科做）S△NEP=S =BC·CD1?=·a·=a2.?作DQ⊥CD1，交CD1于Q，由A1D1⊥面CDD1C1，得A1D1⊥DQ，?∴DQ⊥面BCD1A1.?在Rt△CDD1中，DQ=∴VP-DEN=VD-NEP=S△NEP·DQ=方法二 以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，?则A（a，0，0），B（a，2a，0），C（0，2a，0），?A1（a，0，a），D1（0，0，a）.?∵E、P、M、N分别是BC、A1D1、AE、CD1的中点，?∴E(2a，0),P(,0，a)，M(，a，0)，?N(0，a，）.?（1）=(-0，)?取n=（0，1，0），显然n⊥面ADD1A1. n=0∴⊥n,又MN面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1.(2)过P作PH⊥AE，交AE于H，取AD的中点F，则F（设H（x,y,0）,则?又由，及H在直线AE上，可得解得x=∴∴即∴与所夹的角等于二面角P-AE-D的大小.cos〈，〉=故二面角P-AE-D的大小等于arccos（3）（只理科做）设n1=（x1,y1,z1））为平面DEN的法向量，则n1⊥ n1⊥，又=（0，a,∴即可取n1=(4,-1,2). ∴P点到平面DEN的距离为d=∵cos〈〉=sin〈〉=∴S△DEN= sin〈〉=∴VP-DEN=△DEN·d=24.（05北京春）（文）如图，正三棱锥S-ABC中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点，求（1）的值；（2）二面角S-BC-A的大小；（3）正三棱锥S-ABC的体积.解
（1）∵SB=SC，AB=AC，M为BC的中点，∴SM⊥BC，AM⊥BC.由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即得（2）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，GM=∵SM⊥BC，AM⊥BC，∴∠SMA是二面角S-BC-A的平面角.在Rt△SGM中，∵SM=∴∠SMA=∠SMG=60°，即二面角S-BC-A的大小为60°.（3）∵△ABC的边长是3，∴AM=60°=∴VS-ABC=S△ABC·SG=25.(04上海)如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P-ABC为正四面体；（2）若PD=求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）（理）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.（文）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由.（1）证明 ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，∴DE+EF+FD=PD+PE+PF.又∵截面DEF∥底面ABC，∴DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，∴P-ABC是正四面体.（2）解 取BC的中点M，连结PM，DM，AM.∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角，由（1）知，P-ABC的各棱长均为1，∴PM=AM=由D是PA的中点，得sin∠DMA=∴∠DMA=arcsin（3）（理）解 存在满足条件的平行六面体，且存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V，设直平行六面体的棱长均为底面相邻两边夹角为,则该六面体棱长和为6，体积为∵正四面体P-ABC的体积是∴0＜V＜∴0＜8V＜1.可知=arcsin(8V),故构造棱长均为底面相邻两边夹角为arcsin(8V)的直平行六面体即满足要求.（文）存在满足条件的直平行六面体，解析同上.第二部分
三年联考题汇编2009年各地模拟题将另行补加2008年联考题一、选择题1.（山东省潍坊、菏泽、枣庄，2月）三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16，则该三棱锥的高的最大值为
C2.（08石家庄第二次教学质检）将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成的角为
C3. （广东佛山，5月）已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为
A二、填空题4.（08唐山教学质检）已知正六棱锥的底面边长为1，体积为则其侧棱与底面所成的角等于
60°5. （08南昌调研测试）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为
6.（08安徽"江南十校"素质测试）在三棱锥P-ABC中，给出下列四个命题：①如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；②如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心；③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1；④如果三棱锥P-ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于其中正确命题的序号是
①④7. (08东北三校第一次联考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题：①点E到平面ABC1D1的距离为②直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45°③空间四边形ABCD1在正方体六个面形成六个射影，其面积的最小值是④AE与DC1所成的角为arccos⑤二面角A-BD1-C的大小为其中真命题是
.（写出所有真命题的序号）答案
②③④8.(08江西九所重点中学联考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段A1B上，则|AP|+|D1P|的最小值为
三、解答题9.（安徽合肥，5月）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1=2，底面ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=60°P为侧棱BB1上的动点.求证：D1P⊥AC；当二面角D1-AC-P的大小为120°时，求BP的长；在（2）的条件下，求三棱锥P-ACD1的体积.方法一（几何法）（1）证明 连结BD交AC于点O，则AC⊥BD.∵D1D⊥底面ABCD，∴AC⊥D1D，∴AC⊥平面BB1D1D∵D1P平面BB1D1D，∴D1P⊥AC.（2）解 连结D1O、OP，∵D1A=D1C，∴D1O⊥AC，同理PO⊥AC，∴∠D1OP是二面角D1-AC-P的平面角，∴∠D1OP=120°，设BP=x（0≤x≤2）,∵AB=2，∠ABC=60°，则BO=DO=∴PO=D1O=在Rt△D1B1P中，D1P=在△D1OP中，由余弦定理D1P2=D1O2+PO2-2D1O·PO·cos120°得12+（2-x）2=7+3+x2+2××即6-4x=整理得3x2-16x+5=0,解得x=或x=5(舍去).∴BP=（3）解 ∵BP=∴PO=∴S△=120°=∵AC⊥平面OPD1，∴VP-ACD=VP-OCD+VP-OAD=VC-OPD+VA-OPD=△OPD·AC=××2=方法二（向量法）设上、下底面菱形对角线交点分别为O1、O，则AC⊥BD，OO1⊥平面ABCD.如图，以OD、OC、OO1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（1）证明 A（0，-1，0），C（0，1，0），D1（设P（-0≤x≤2）,则∴即D1P⊥AC，（2）解
∴∴〈〉就是二面角D1-AC-P的平面角，∴cos∠D1OP=解得x=或x=5（舍去），∴BP=(3)同方法一.年联考题一、选择题1.（07安徽"江南十校"素质测试）（理）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方形ABCD内运动，则MN中点P的轨迹的面积是
D2.（2007山东烟台）三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1=1∶2，则三棱锥A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1的体积之比为
）A.1∶1∶1
D.1∶4∶4答案
C3.（07东北三校第一次联考）正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为
D4.（2007山东济南）圆台上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，这个圆台的体积是
D5.(07西安八校联考)（文）如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，高为4，过底面的一边AB作一截面交侧棱CC1于P点，且截面与底面成60°角，则截面△PAB的面积是
C6.（06安徽"江南十校"素质测试）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D-AE-B为60°，则四棱锥D-ABCE的体积为
B二、填空题7.（07武汉2月调研）正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为
8.（07西安第一次质检）如图所示，啤酒瓶子的高为h，瓶内啤酒面的高度为a，在盖子盖好的情况下将酒瓶倒置时瓶内酒面高度为b，则啤酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为
1+9.（2007广东梅州）一个底面边长为2 cm，高为cm的正三棱锥，其顶点位于球心，底面三个顶点位于球面上，则该球的体积为
410.（07西安八校联考）（理）正三棱锥S-ABC内接于球O，且球心O在平面ABC上.若正三棱锥S-ABC的底面边长为a,则该三棱锥的体积是
11.（06山东部分重点中学模考）若Rt△ABC中的两直角边为a、b,斜边c上的高为h,则如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记M=那么M、N的大小关系是
M=N三、解答题12.（2007广东广州）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE=（1）求三棱锥C-BED的体积；（2）求证：A1C⊥平面BDE.（1）解 由CE=∴VC-BDE=VE-BCD=△BCD·CE=××1×1×（2）证明 方法一 连结AC、B1C∵AB=BC，∴BD⊥AC.∵A1A⊥底面ABCD，∴BD⊥A1A.∵A1AAC=A，∴BD⊥平面A1AC.∴BD⊥A1C∴tan∠BB1C=∠CBE=∴∠BB1C=∠CBE.∵∠BB1C+∠BCB1=90°，∴∠CBE+∠BCB1=90°.∴BE⊥B1C∵BE⊥A1B1，A1B1B1C=B1，∴BE⊥平面A1B1C.∴BE⊥A1C.∵BDBE=B，BE平面BDE，BD平面BDE，∴A1C⊥平面BDE.方法二 以点A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，1，0）、E（1，1，、A1（0，0，2）、C（1，1，0）.∴∵=1×0+1×1+（-2）×
∴∴∵BEBD=B，BE平面BDE，BD平面BDE，∴A1C⊥平面BDE.第三部分
创新预测题精选一、选择题1.微型机器蚂蚁在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面BCC1B1上爬行，并且与点A的距离为则该只蚂蚁爬行轨迹的长度为
B2.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是
C二、填空题3.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是
4.正三棱锥P-ABC外接球的球心为O，半径为1，且=0则VP-ABC=
5.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥AB，PA⊥AD，且体积为则其全面积为
2+6.一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，则这个三棱锥的体积为
.（写出一个可能的值即可）答案
（其中之一）7.在三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G在AC上，且AG=2GC，则截面EFG分三棱锥A-BCD所成的上下两部分的体积比是
1∶58.在平面上有结论"正三角形内部任一点到三边距离之和等于定值"，此结论在空间上的类比命题是
正四面体内部任一点到四个面的距离之和等于定值9.若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为 "黄金圆锥".已知某黄金圆锥的侧面积为S，则这个圆锥的高为
.答案 三、解答题10.如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是面积为的菱形，∠ACC1为锐角，侧面ABB1A1⊥侧面AA1C1C，且A1B=AB=AC=1.(1)求证：AA1⊥BC1；(2)求三棱锥A1-ABC的体积.（1）证明
因为四边形AA1C1C是菱形，所以有AA1=A1C1=C1C=CA=1.从而知△AA1B是等边三角形.设D是AA1的中点、连结BD，C1D，则BD⊥AA1，由S菱形AACC=知C1到AA1的距离为∠AA1C1=60°，所以△AA1C1是等边三角形，且C1D⊥AA1，所以AA1⊥平面BC1D.又BC1平面BC1D，故AA1⊥BC1.（2）解 由（1）知BD⊥AA1，又侧面ABB1A1⊥侧面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，即B到平面AA1C1C 的距离为BD.又S△AAC=菱形=，BD=所以VA-ABC=VB-AAC=△AAC·BD=××=故三棱锥A1-ABC的体积为11.如图所示，在边长为12的正方形中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P，作CC1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得与AA1重合，构成如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1.(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，求证：AB⊥平面BCC1B1;(2)求平面APQ将三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比；(3)在三棱柱ABC- A1B1C1中，求直线AP与直线A1Q所成角的余弦值.（1）证明 因为AB=3，BC=4，所以图（2）中AC=5，从而有AC2=AB2+BC2,即AB⊥BC.又因为AB⊥BB1，而BCBB1=B，所以AB⊥平面BCC1B1.（2）解
因为BP=AB=3，CQ=AC=7，所以SBCQP=从而VA-BCQP=又因为V=S△ABC·AA1=×3×4×12=72，所以平面APQ将三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比为(3)解
建立如图空间直角坐标系，则A（3，0，0）、P（0，0，3）、A1（3，0，12）、Q（0，4，7），所以设直线AP与直线A1Q所成角为，则cos12.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且平面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a.（1）求截面EAC的面积；（2）求异面直线A1B1与AC之间的距离；（3）求三棱锥B1-EAC的体积.解
（1）连结DB交AC于O，连结EO，∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC，又ED⊥底面ABCD，∴EO⊥AC，∴∠EOD为平面EAC与底面ABCD所成的角.即∠EOD=45°，又DO=∴S△EAC=（2）∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AC，又A1A⊥A1B1，∴A1A是异面直线A1B1与AC的公垂线，又EO∥BD1，O为BD的中点，∴D1B=2EO=2a,∴A1A=D1D=∴异面直线A1B1与AC之间的距离为（3）连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D⊥平面EAC.∴B1Q是三棱锥B1-EAC的高，得B1Q=∴VB-EAC=???????? 永久免费组卷搜题网 永久免费组卷搜题网
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