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考研数学一历年真题()
2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) ?? dx (1) ? = _____________. e x ln 2 x (2)已知 e y ? 6 xy ? x 2 ? 1 ? 0 ,则 y??(0) =_____________. (3) yy ?? ? y ? 2 ? 0 满
足初始条件 y (0) ? 1, y?(0) ?1 的特解是_____________. 2(4)设有三张不同平面,其方程为 ai x ? bi y ? ci z ? d i ( i ? 1,2,3 )它们所组成的线性方程组的 系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为2 2 (4)已知实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? a( x12 ? x2 ? x3 ) ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 4 x2 x3 经正交变换可化为标(5)设 X 和 Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为 f X (x) 和 f Y ( y ) ,分布 函数分别为 FX (x) 和 FY ( y) ,则 (A) f X (x) ＋ f Y ( y ) 必为密度函数 (B) f X (x) f Y ( y ) 必为密度函数准型 f ? 6 y12 ,则 a =_____________. (5) 设 随 机 变 量 X ~ N ( ? , ? 2 ) , 且 二 次 方 程 y 2 ? 4 y ? X ? 0 无 实 根 的 概 率 为 0.5, 则? =_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数 f ( x, y ) 的四条性质: ① f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处连续, ② f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处的一阶偏导数连续, ③ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处可微, ④ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)② ? ③ ? ① (C)③ ? ④ ? ① (2)设 u n ? 0 ,且 lim (A)发散 (C)条件收敛 (3)设函数 f (x) 在 R 上有界且可导,则 (A)当 lim f ( x) ? 0 时,必有 lim f ?( x ) ? 0x ? ?? x ? ??(C) FX (x) ＋ FY ( y) 必为某一随机变量的分布函数 (D) FX (x) FY ( y) 必为某一随机变量的 分布函数. 三、(本题满分 6 分) 设 函 数 f (x) 在 x ? 0 的 某 邻 域 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 且 f (0) f ?(0) ? 0 , 当 h ? 0 时 , 若af (h) ? bf (2h) ? f (0) ? o(h) ,试求 a, b 的值.四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 y ? f (x) 与 y ? ?2 限 lim nf ( ) . n ?? n 五、(本题满分 7 分)arctan x 0e?t dt 在点 (0, 0) 处的切线相同.求此切线的方程,并求极2(B)③ ? ② ? ① (D)③ ? ① ? ④n 1 n ?1 1 ? 1 ,则级数 ? (?1) ( ? )为 un u n u n ?1n ??计算二重积分 ?? emax{ xD2, y2 }dxdy ,其中 D ? {( x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} .(B)绝对收敛 (D)收敛性不能判定.?六、(本题满分 8 分) 设函数 f (x) 在 R 上具有一阶连续导数, L 是上半平面( y &0)内的有向分段光滑曲线,起点 为( a, b ),终点为( c, d ).1 x 记 I ? ? [1 ? y 2 f ( xy)]dx ? 2 [ y 2 f ( xy) ? 1]dy , y y(B) 当x ? ??lim f ?( x ) 存 在 时 , 必 有x ? ??l i f ?( x ) ? 0 mx ?0 ? x ?0 ?(C) 当 lim f ( x) ? 0 时,必有 lim f ?( x ) ? 0(D) 当 lim f ?( x) 存在时,必有 lim f ?( x ) ? 0 .x ?0 ? x ?0 ?(1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关. (2)当 ab ? cd 时,求 I 的值. 七、(本题满分 7 分)x 3n (1)验证函数 y ( x) ? ? ( ? ? ? x ? ?? )满足微分方程 y?? ? y? ? y ? e x . n ? 0 (3n)!?XP012? (1 ? ? )231? 2??2?2(2)求幂级数 y ( x) ? ? 八、(本题满分 7 分)x 3n 的和函数. n ? 0 (3n)!?1 )是未知参数,利用总体 X 的如下样本值 2 3,1,3,0,3,1,2,3. 求 ? 的矩估计和最大似然估计值.其中 ? ( 0 ? ? ?设 有 一 小 山 , 取 它 的 底 面 所 在 的 平 面 为 xoy 面 , 其 底 部 所 占 的 区 域 为D ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? xy ? 75} ,小山的高度函数为 h( x, y) ? 75 ? x 2 ? y 2 ? xy .(1)设 M ( x0 , y 0 ) 为区域 D 上一点,问 h( x, y) 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方 向的方向导数为 g ( x0 , y 0 ) ,写出 g ( x0 , y 0 ) 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起 点.也就是说要在 D 的边界线上找出使(1)中 g ( x, y) 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置. 九、(本题满分 6 分), 已 知 四 阶 方 阵 A ? (α1 ,α 2 ,α 3 α 4 ), α1 , α 2 , α3 , α 4 均 为 四 维 列 向 量 , 其 中 α 2 , α 3 , α 4 线 性 无关, α1 ? 2α 2 ? α3 .若 β ? α1 ? α 2 ? α3 ? α 4 ,求线性方程组 Ax ? β 的通解. 十、(本题满分 8 分) 设 A, B 为同阶方阵, (1)若 A, B 相似,证明 A, B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 A, B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 X 的概率密度为f ( x) ?1 x cos 2 2 00? x? x 其它对 X 独立地重复观察 4 次,用 Y 表示观察值大于 十二、(本题满分 7 分) 设总体 X 的概率分布为? 的次数,求 Y 2 的数学期望. 32003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)1(C)极限 lim a n c n 不存在n??(D)极限 lim bn c n 不存在n??(3)已知函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 的某个邻域内连续,且 lim (A)点 (0, 0) 不是 f ( x, y ) 的极值点 . (B)点 (0, 0) 是 f ( x, y ) 的极大值点 (C)点 (0, 0) 是 f ( x, y ) 的极小值点x ?0 , y ?0f ( x, y ) ? xy ? 1 ,则 (x2 ? y 2 )2(1) lim (cos x) ln(1? xx ?02)=.(2)曲面 z ? x 2 ? y 2 与平面 2 x ? 4 y ? z ? 0 平行的切平面的方程是 (3)设 x 2 ? ? a n cos nx(?? ? x ? ? ) ,则 a 2 =n ?0 ?.(D)根据所给条件无法判断点 (0, 0) 是否为 f ( x, y ) 的极值点?1? ?1? ? 1? ?1? (4)从 R 2 的基 α1 ? ? ? , α 2 ? ? ? 到基 β1 ? ? ? , β 2 ? ? ? 的过渡矩阵为 ?0? ? ?1 ? ? 1? ? 2?.0 ? x ? y ?1 其它(4)设向量组 I: α1 , α 2 ,?, α r 可由向量组 II: β1 , β 2 ,?, β s 线性表示,则 ,则 (A)当 r ? s 时,向量组 II 必线性相关 (C)当 r ? s 时,向量组 I 必线性相关 (B)当 r ? s 时,向量组 II 必线性相关 (D)当 r ? s 时,向量组 I 必线性相关(5) 设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 概 率 密 度 为 f ( x, y? )P{X ? Y ? 1} ?6x 0(5)设有齐次线性方程组 Ax ? 0 和 Bx ? 0 ,其中 A, B 均为 m? n 矩阵,现有 4 个命题: ① 若 Ax ? 0 的解均是 Bx ? 0 的解,则秩 ( A) ? 秩 (B).(6)已知一批零件的长度 X (单位:cm)服从正态分布 N (? ,1) ,从中随机地抽取 16 个零件,得 ② 若秩 ( A) ? 秩 (B) ,则 Ax ? 0 的解均是 Bx ? 0 的解 到长度的平均值为 40 (cm),则 ? 的置信度为 0.95 的置信区间是 (注:标准正态分布函数值 ?(1.96) ? 0.975, ?(1.645) ? 0.95.) ④ 若秩 ( A) ? 秩 (B) , 则 Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解 二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数 f ( x) 在 (??,??) 内连续,其导函数的图形如图所示,则f ( x) 有. ③ 若 Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解,则秩 ( A) ? 秩 (B)以上命题中正确的是 (A)①② (C)②④ (6)设随机变量 X ~ t (n)( n ? 1), Y ?1 ,则 X2(B)①③ (D)③④(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点 (2)设 {a n }, {bn }, {cn } 均为非负数列,且 lim a n ? 0 , lim bn ? 1 , lim c n ? ? ,则必有n?? n ?? n??(A) Y ~ ? 2 (n) (C) Y ~ F (n,1) 三、(本题满分 10 分)(B) Y ~ ? 2 (n ? 1) (D) Y ~ F (1, n)过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线,该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1)求 D 的面积 A . (2)求 D 绕直线 x ? e 旋转一周所得旋转体的体积 V . 四、(本题满分 12 分)(A) a n ? bn 对任意 n 成立(B) bn ? c n 对任意 n 成立? (?1) n 1 ? 2x 将函数 f ( x) ? arctan 展开成 x 的幂级数,并求级数 ? 的和. 1 ? 2x n ? 0 2n ? 1九 、(本题满分 10 分)?0 1 0 ? ?3 2 2? ? 2 3 2 ? , P ? ?1 0 1 ? , ?1 * * 设矩阵 A ? ? ? ? B ? P A P ,求 B ? 2E 的特征值与特征向量,其中 A ? ?2 2 3? ?0 0 1 ? ? ? ? ?五 、(本题满分 10 分) 已知平面区域 D ? {( x, y ) 0 ? x ? ? ,0 ? y ? ? } , L 为 D 的正向边界.试证: (1) ? x esin y dy ? y e ? sin x dx ? ? x e ? sin y dy ? y esin x dx . ? ?L L(2) ? x esin y dy ? y e ? sin x dx ? 2? 2 . ?L为 A 的伴随矩阵, E 为 3 阶单位矩阵. 十 、(本题满分 8 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 :六 、(本题满分 10 分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而 作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k.k ? 0 ).汽锤第一 次击打将桩打进地下 a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作 的功之比为常数 r (0 ? r ? 1) .问 (1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.) 七 、(本题满分 12 分) 设函数 y ? y( x) 在 (??,??) 内具有二阶导数,且 y ? ? 0, x ? x( y) 是 y ? y( x) 的反函数. (1)试将 x ? x( y) 所满足的微分方程 方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0) ? 0, y ?(0) ? 八 、(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) 连续且恒大于零,3 的解. 2d 2x dx ? ( y ? sin x)( ) 3 ? 0 变换为 y ? y( x) 满足的微分 2 dy dyax ? 2by ? 3c ? 0 , bx ? 2cy ? 3a ? 0 , cx ? 2ay ? 3b ? 0 .l2 :l3 :试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a ? b ? c ? 0. 十一 、(本题满分 10 分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品,乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数的数学期望. (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、(本题满分 8 分) 设总体 X 的概率密度为f ( x) ?2 e ?2( x ?? ) x ? ? x?0 0其 中 ? ? 0 是 未 知 参 数 . 从 总 体 X 中 抽 取 简 单 随 机 样 本 X 1 , X 2 , ?, X n , 记?? ? min( X 1 , X 2 ,?, X n ).(1)求总体 X 的分布函数 F ( x) .F (t ) ????? (t )f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv f ( x 2 ? y 2 )d?, G (t ) ???D (t )f ( x 2 ? y 2 ) d?(2)求统计量 ?? 的分布函数 F?? ( x) . , (3)如果用 ?? 作为 ? 的估计量,讨论它是否具有无偏性.??D (t )?t?1f ( x 2 )dx其中 ?(t ) ? {( x, y, z ) x 2 ? y 2 ? z 2 ? t 2 } , D(t ) ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? t 2 }. (1)讨论 F (t ) 在区间 (0,??) 内的单调性. (2)证明当 t ? 0 时, F (t ) ?2?G (t ).2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1)曲线 y ? ln x 上与直线 x ? y ? 1 垂直的切线方程为__________ . (2)已知 f ?(e x ) ? x e ? x ,且 f (1) ? 0 ,则 f ( x) =__________ . (3)设 L 为正向圆周 x ? y ? 2 在第一象限中的部分,则曲线积分 ? x d y? 2 y d x 的值为2 2L(A)若 lim nan =0,则级数 ? a n 收敛n???n ?1(B)若存在非零常数 ? ,使得 lim nan ? ? ,则级数 ? a n 发散n ???n ?1(C)若级数 ? a n 收敛,则 lim n 2 a n ? 0n ?1?n ??__________. (4)欧拉方程 x 2d2y dy ? 4 x ? 2 y ? 0( x ? 0) 的通解为__________ . 2 dx dx(D)若级数 ? a n 发散, 则存在非零常数 ? ,使得 lim nan ? ?n ?1n ???(10)设 f ( x) 为连续函数, F (t ) ? ? dy? f ( x)dx ,则 F ?(2) 等于1 ytt? 2 1 0? (5)设矩阵 A ? ? 1 2 0? ,矩阵 B 满足 ABA* ? 2BA* ? E ,其中 A* 为 A 的伴随矩阵, E 是单 ? ? ? 0 0 1? ? ?(A) 2 f (2) (C) ? f (2)(B) f (2) (D) 0位矩阵,则 B =__________ . (6)设随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布,则 P{ X ? DX } = __________ . 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把 x ? 0 ? 时的无穷小量 ? ? ? cost 2 dt, ? ? ? tan t dt, ? ? ? sin t 3 dt ,使排在后面的是0 0 0 x x2 x(11)设 A 是 3 阶方阵,将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B ,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C , 则满足 AQ ? C 的可逆矩阵 Q 为?0 1 0 ? (A) ?1 0 0 ? ? ? ?1 0 1 ? ? ? ?0 1 0 ? (C) ?1 0 0 ? ? ? ?0 1 1 ? ? ? ?0 1 0 ? (B) ?1 0 1 ? ? ? ?0 0 1 ? ? ? ?0 1 1 ? (D) ?1 0 0 ? ? ? ?0 0 1 ? ? ?前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A) ? , ? , ? (C) ? , ? , ? (B) ? , ? , ? (D) ? , ? , ?(12)设 A, B 为满足 AB ? O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A) A 的列向量组线性相关 , B 的行向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关 , B 的列向量组线性相关 (A) f ( x) 在(0, ? ) 内单调增加 (C)对任意的 x ? (0, ? ) 有 f ( x) ? f (0) (9)设 ? a n 为正项级数,下列结论中正确的是n ?1 ?(8)设函数 f ( x) 连续,且 f ?(0) ? 0, 则存在 ? ? 0 ,使得 (B) f ( x) 在 (?? ,0) 内单调减少(C) A 的行向量组线性相关 , B 的行向量组线性相关 (D)对任意的 x ? (?? ,0) 有 f ( x) ? f (0) (D) A 的行向量组线性相关 , B 的列向量组线性相关 (13)设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1), 对给定的 ? (0 ? ? ? 1) ,数 u? 满足 P{ X ? u? } ? ? , 若 P{ X ? x} ? ? ,则 x 等于(A) u ?2(B) u1??2(C) u 1??2(D) u1??1 n ? X i ,则 n i ?1(14)设随机变量 X 1 , X 2 ,?, X n (n ? 1) 独立同分布,且其方差为 ? 2 ? 0. 令 Y ?? (1 ? a) x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0, ?2 x ? (2 ? a) x ? ? ? 2 x ? 0, ? 1 2 n ? ?????? ? ? nx1 ? nx2 ? ? ? (n ? a) xn ? 0, ? 试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. (21)(本题满分 9 分)(n ? 2) ,(A) Cov( X 1 , Y ) ? (C) D( X 1 ? Y ) ??2nn?2 2 ? n(B) Cov( X1 , Y ) ? ? 2 (D) D( X 1 ? Y ) ?n ?1 2 ? n? 1 2 ?3 ? 设矩阵 A ? ? ?1 4 ?3? 的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对角化. ? ? ?1 a 5? ? ?(22)(本题满分 9 分)1 1 1 设 A, B 为随机事件,且 P( A) ? , P( B | A) ? , P( A | B) ? ,令 4 3 2三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 12 分) 4 设 e ? a ? b ? e2 ,证明 ln 2 b ? ln 2 a ? 2 (b ? a) . e (16)(本题满分 11 分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大 阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机 所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k ? 6.0 ? 10 6 ). 问从着陆点算起,飞机滑行的最 长距离是多少? (注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分 12 分) 计算曲面积分 I ? ?? 2 x3dydz? 2 y 3dzdx? 3( z 2 ? 1)dxdy 其中 ? 是曲面 z ? 1 ? x 2 ? y 2 ( z ? 0) 的 ,??1, A发生, X ?? ?0, A不发生;?1, B发生, Y ?? ?0, B不发生.求:(1)二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布. (2) X 和 Y 的相关系数 ? XY . (23)(本题满分 9 分) 设总体 X 的分布函数为1 x ? 1, ? ?1 ? , F ( x, ? ) ? ? x ? ? 0, x ? 1, ?上侧. (18)(本题满分 11 分) 设有方程 x ? nx ? 1 ? 0 ,其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 xn ,并证明当 ? ? 1 时,n其中未知参数 ? ? 1, X 1 , X 2 ,?, X n 为来自总体 X 的简单随机样本, 求:(1) ? 的矩估计量. (2) ? 的最大似然估计量.? 级数 ? xn 收敛.n ?1?(19)(本题满分 12 分) 设 z ? z ( x, y ) 是由 x 2 ? 6 xy ? 10 y2 ? 2 yz ? z2 ? 18 ? 0确定的函数,求 z ? z ( x, y ) 的极值点和极 值. (20)(本题满分 9 分) 设有齐次线性方程组2005 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)x2 (1)曲线 y ? 的斜渐近线方程为 _____________. 2x ? 11 (2)微分方程 xy ? ? 2 y ? x ln x 满足 y(1) ? ? 的解为____________. 9阶导数,则必有 (A)? 2u ? 2u ?? 2 ?x 2 ?y ? 2u ? 2u ? ?x?y ?y 2(B)? 2u ? 2u ? ?x 2 ?y 2(C)(D)? 2u ? 2u ? ?x?y ?x 2(10)设有三元方程 xy ? z ln y ? e xz ? 1 ,根据隐函数存在定理,存在点 (0,1,1) 的一个邻域,在此 邻域内该方程 =.________.(1, 2 , 3)? x2 y2 z2 1 ?u (3)设函数 u ( x, y, z ) ? 1 ? ,单位向量 n ? ? ? {1,1,1} ,则 6 12 18 ?n 3(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z ? z ( x, y ) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x ? x( y, z ) 和 z ? z ( x, y ) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y ? y( x, z ) 和 z ? z ( x, y ) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x ? x( y, z ) 和 y ? y( x, z ) (11) 设 ?1 , ?2 是 矩 阵 A 的 两 个 不 同 的 特 征 值 , 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 α1 , α 2 , 则α1 , A(α1 ? α 2 ) 线性无关的充分必要条件是(4)设 ? 是由锥面 z ??x 2 ? y 2 与半球面 z ?R 2 ? x 2 ? y 2 围成的空间区域, ? 是 ? 的整个边界的外侧,则 ?? xdydz ? ydzdx ? zdxdy ? ____________. (5)设 α1 , α 2 , α 3 均为 3 维列向量,记矩阵A ? (α1 , α 2 , α3 ) , B ? (α1 ? α 2 ? α3 , α1 ? 2α 2 ? 4α3 , α1 ? 3α 2 ? 9α3 ) ,如果 A ? 1 ,那么 B ?.(6) 从 数 1,2,3,4 中任取一个数 , 记为 X , 再从 1,2,?, X 中任取一个数,记为 Y , 则P{Y ? 2} =____________.(A) ?1 ? 0 (C) ?1 ? 0(B) ?2 ? 0 (D) ?2 ? 0二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数 f ( x) ? lim n 1 ? xn?? 3n(12)设 A 为 n(n ? 2) 阶可逆矩阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B.A* , B* 分别为 A, B 的伴 随矩阵,则 (A)交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 B* (C)交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 ?B* (13)设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 b 1 (B)交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 B* (D)交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 ?B*,则 f ( x) 在 (??,??) 内 (B)恰有一个不可导点 (D)至少有三个不可导点(A)处处可导 (C)恰有两个不可导点(8)设 F ( x) 是连续函数 f ( x) 的一个原函数, & M ? N & 表示 &M 的充分必要条件是 N &, 则必 有 (A) F ( x) 是偶函数 ? f ( x) 是奇函数 (C) F ( x) 是周期函数 ? f ( x) 是周期函数x? y x? y(B) F ( x) 是奇函数 ? f ( x) 是偶函数 (D) F ( x) 是单调函数 ? f ( x) 是单调函数a 0.1已知随机事件 { X ? 0} 与 { X ? Y ? 1} 相互独立,则 (A) a ? 0.2, b ? 0.3 (B) a ? 0.4, b ? 0.1(9)设函数 u( x, y) ? ? ( x ? y) ? ? ( x ? y) ? ? ? (t )dt , 其中函数 ? 具有二阶导数, ? 具有一(C) a ? 0.3, b ? 0.2(D) a ? 0.1, b ? 0.4? ?? ( y )dx ? 2 xydy2x2 ? y 4的值恒为同一常数.L(14)设 X 1 , X 2 ,?, X n (n ? 2) 为来自总体 N (0,1) 的简单随机样本, X 为样本均值, S 2 为样本 方差,则 (A) nX ~ N (0,1) (C) (B) nS 2 ~ ? 2 (n) (2)求函数 ? ( y ) 的表达式. (D)(n ? 1) X2 1(1)证明:对右半平面 x ? 0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C , 有 ? ?? ( y)dx ? 2 xydy2 x2 ? y 4C? 0.(n ? 1) X ~ t (n ? 1) S?Xi ?2n~ F (1, n ? 1)(20)(本题满分 9 分)2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? (1 ? a) x12 ? (1 ? a) x2 ? 2 x3 ? 2(1 ? a) x1 x2 的秩为 2.2 i(1)求 a 的值； 三 、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 11 分) 设 D ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? 2 , x ? 0, y ? 0} , [1 ? x 2 ? y 2 ] 表示不超过 1 ? x 2 ? y 2 的最大整数 . 计算二重积分 ?? xy[1 ? x 2 ? y 2 ]dxdy.D(2)求正交变换 x ? Qy ,把 f ( x1 , x2 , x3 ) 化成标准形. (3)求方程 f ( x1 , x2 , x3 ) =0 的解. (21)(本题满分 9 分)?1 2 3 ? 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 (a, b, c), a, b, c 不全为零,矩阵 B ? ? 2 4 6 ? ( k 为常数),且 ? ? ?3 6 k ? ? ?(16)(本题满分 12 分) 求幂级数 ? (?1) n ?1 (1 ?n ?1 ?1 ) x 2 n 的收敛区间与和函数 f ( x) . n(2n ? 1)(17)(本题满分 11 分) 如图,曲线 C 的方程为 y ? f ( x) ,点 (3, 2) 是它的一个拐点,直线 l1 与 l 2 分别是曲线 C 在点 (0, 0) 与 (3, 2) 处的切线,其交点为 (2, 4) .设函 数 f ( x) 具有三阶连续导数,计算定积分 ? ( x 2 ? x) f ???( x)dx.0 3AB ? O ,求线性方程组 Ax ? 0 的通解. (22)(本题满分 9 分)设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为f ( x, y) ?1 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 x 0 其它求:(1) ( X , Y ) 的边缘概率密度 f X ( x), f Y ( y) . (2) Z ? 2 X ? Y 的概率密度 f Z (z ). (23)(本题满分 9 分) 设 X 1 , X 2 ,?, X n (n ? 2) 为 来 自 总 体 N (0,1) 的 简 单 随 机 样 本 , X 为 样 本 均 值 , 记Yi ? X i ? X , i ? 1,2,?, n.(18)(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,且 f (0) ? 0, f (1) ? 1 . 证明: (1)存在 ? ? (0,1), 使得 f (? ) ? 1 ? ? . (2)存在两个不同的点 ? , ? ? (0,1) ,使得 f ?(? ) f ?(? ) ? 1. (19)(本题满分 12 分) 设 函 数 ? ( y ) 具有连续 导数 ,在围绕 原点的 任意 分段光滑 简单闭 曲线 L 上,曲线 积分求:(1) Yi 的方差 DYi , i ? 1,2,?, n . (2) Y1 与 Yn 的协方差 Cov(Y1 , Yn ).2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) x ln(1 ? x) (1) lim . ? x ?0 1 ? cos x y (1 ? x) (2)微分方程 y? ? 的通解是 . x (3) 设(9)若级数 ? an 收敛,则级数n ?1?(A) ? an 收敛n ?1 ??(B) ? ( ?1) n an 收敛n ?1?(C) ? an an ?1 收敛n ?1(D) ?an ? an ?1 收敛 2 n ?1??是锥面z ? x2 ? y 2(0 ? z ?1)的下侧,则?? xdydz ? 2 ydzdx ? 3( z ?1)dxdy ??. .(10)设 f ( x, y ) 与 ? ( x, y ) 均为可微函数,且 ? 1 ( x, y ) ? 0 .已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 在约束条件 y? ( x , y ) ? 0下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若 f x?( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y?( x0 , y0 ) ? 0 . (C)若 f x?( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y?( x0 , y0 ) ? 0 (B)若 f x?( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y?( x0 , y0 ) ? 0 (D)若 f x?( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y?( x0 , y0 ) ? 0(4)点 (2, 1, 0) 到平面 3x ? 4 y ? 5z ? 0 的距离 z =? 2 1? (5)设矩阵 A ? ? ? , E 为 2 阶单位矩阵,矩阵 B 满足 BA ? B ? 2E ,则 B = ? ?1 2 ?(6) 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 , 且 均 服 从 区 间 [0,3] 上 的 均 匀 分 布 , 则P ?max{ X , Y } ? 1? =(11)设 α1 , α 2 , ? , α s , 均为 n 维列向量, A 是 m ? n 矩阵,下列选项正确的是 (A)若 α1 , α 2 , ? , α s , 线性相关,则 Aα1 , Aα 2 ,?, Aα s , 线性相关 (B)若 α1 , α 2 , ? , α s , 线性相关,则 Aα1 , Aα 2 ,?, Aα s , 线性无关 (C)若 α1 , α 2 , ? , α s , 线性无关,则 Aα1 , Aα 2 ,?, Aα s , 线性相关 (D)若 α1 , α 2 , ? , α s , 线性无关,则 Aα1 , Aα 2 ,?, Aα s , 线性无关. (12)设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得?1 1 0? ? ? C ,记 P ? ? 0 1 0 ? ,则 ?0 0 1? ? ?.二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7) 设 函 数 y ? f ( x) 具 有 二 阶 导 数 , 且 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 , ?x 为 自 变 量 x 在 x0 处 的 增 量, ?y 与 dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微分,若 ?x ? 0 ,则 (A) 0 ? dx ? ?y (C) ?y ? dy ? 0?1(B) 0 ? ?y ? dy (D) dy ? ?y ? 0(8)设 f ( x, y ) 为连续函数,则 ? 4 d? ? f (r cos ? , r sin ? )rdr 等于0 0(A) C ? P ?1AP (C) C ? PT AP(B) C ? PAP ?1 (D) C ? PAPT(A) ? (C) ?2 2 0dx ? dy ?1? x 2 xf ( x, y )dy(B) ?2 2 0dx ?1? x 2 0f ( x, y )dy1? y 2 0(13)设 A, B 为随机事件,且 P( B) ? 0, P( A | B) ? 1 ,则必有 (A) P( A ? B) ? P( A) (C) P( A ? B) ? P( A) (B) P( A ? B) ? P( B) (D) P( A ? B) ? P( B)2 2 01? y 2 yf ( x, y )dx(C) ?2 2 0dy ?f ( x, y )dx2 (14)设随机变量 X 服从正态分布 N ( ?1 , ? 12 ) , Y 服从正态分布 N ( ? 2 , ? 2 ) ,且 P{| X ? ?1 |? 1} ? P{| Y ? ?2 |? 1}, 则 (A) ? 1 ? ? 2 (C) ?1 ? ? 2 (B) ? 1 ? ? 2 (D) ?1 ? ? 2 有 3 个线性无关的解,? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?1 ? ?4 x1 ? 3 x2 ? 5 x3 ? x4 ? ?1 ?ax ? x ? 3 x ? bx ? 1 3 4 ? 1 2(1)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r ? A ? ? 2 . (2)求 a, b 的值及方程组的通解.三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 10 分) 设区域 D= ? x, y ? x 2 ? y 2 ? 1, x ? 0 ,计算二重积分 I ? ??D(21)(本题满分 9 分) 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 α1 ? ? ?1, 2, ?1? , α 2 ? ? 0, ?1,1? 是线性方T T??1 ? xy dxdy . 1 ? x2 ? y 2程组 Ax ? 0 的两个解. (1)求 A 的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A ,使得 QT AQ ? A . (22)(本题满分 9 分)?1 ? 2 , ?1 ? x ? 0 ? ?1 随机变量 x 的概率密度为 f x ? x ? ? ? , 0 ? x ? 2 令y ? x 2 , F ? x, y ? 为二维随机变量 ( X , Y ) 的 ?4 ?0, 其它 ? ?(16)(本题满分 12 分) 设数列 ? xn ? 满足 0 ? x1 ? ? , x? ?1 ? sin xn ? n ? 1, 2,...? . 求:(1)证明 lim xn 存在,并求之.x ??? xn?1 ? xn2 (2)计算 lim ? ? . x ?? ? xn ? (17)(本题满分 12 分) x 将函数 f ? x ? ? 展开成 x 的幂级数. 2 ? x ? x2 (18)(本题满分 12 分)1分布函数.设函数 f ? u ? 在 ? 0, ?? ?内具有二阶导数, 且 z ? f (1)验证 f ?? ? u ? ?f ? ?u ? u?x 2 ? y 2 满足等式?? z ? z ? ? 0. ?x 2 ?y 22 2(1)求 Y 的概率密度 fY ? y ? .? 1 ? (2) F ? ? , 4 ? . ? 2 ?? 0.(23)(本题满分 9 分) 设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 F ( X ,0) ?(2)若 f ?1? ? 0, f ? ?1? ? 1, 求函数 f (u ) 的表达式. (19)(本题满分 12 分) 设在上半平面 D ? ?? x, y ? y ? 0? 内,数 f ? x, y ? 是有连续偏导数,且对任意的 t ? 0 都有f ? tx, ty ? ? t 2 f ? x, y ? .? 1?? 00 ? x ?1 1? x ? 2 , 其 中 ? 是 未 知 参 数 其它,X ( 0? ? ? 1 ) 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本值 x1 , x2 ..., xn 中小于 1 的个 数,求 ? 的最大似然估计.证明: 对 L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L ,都有 ? yf ( x, y)dx ? xf ( x, y)dy ? 0 . ?L(20)(本题满分 9 分) 已知非齐次线性方程组2007 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,在每小题给的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当 x ? 0 时,与 x 等价的无穷小量是 (A) 1 ? ex?内的点 N , ? 为 L 上从点 M 到 N 的一段弧,则下列小于零的是 (A) ? ( x, y ) dx?(B) ? f ( x, y )dy?(C) ? f ( x, y )ds?(D) ? f 'x ( x, y )dx ? f ' y ( x, y )dy?(B) ln1? x 1? x(7)设向量组 α1 , α 2 , α 3 线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α1 (C) α1 ? 2α 2 , α 2 ? 2α3 , α3 ? 2α1 (B) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α1 (D) α1 ? 2α 2 , α 2 ? 2α3 , α3 ? 2α1(C) 1 ? x ? 1 (2)曲线 y ? (A)0 (C)21 ? ln(1 ? e x ) ,渐近线的条数为 x(D) 1 ? cos x(B)1 (D)3?1 0 0? ? 2 ?1 ?1? ? ? ? ? (8)设矩阵 A ? ? ?1 2 ?1? , B ? ? 0 1 0 ? ,则 A 与 B ?0 0 0? ? ? 1 ?1 2 ? ? ? ? ?(3)如图,连续函数 y ? f ( x) 在区间 [?3, ?2],[2,3] 上的图形 分别是直径为 1 的上、 下半圆周,在区间 [?2,0],[0, 2] 的图形分别 是直径为 2 的上、下半圆周,设 F ( x) ? ? f (t )dt .则下列结论正0 x(A)合同,且相似 (C)不合同,但相似(B)合同,但不相似 (D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p ? 0 ? p ? 1? ,则此人第 4 次 射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (A) 3 p (1 ? p) 2 (C) 3 p 2 (1 ? p) 2 (B) 6 p (1 ? p) 2 (D) 6 p 2 (1 ? p) 2确的是3 (A) F (3) ? ? F (?2) 4 3 (C) F (3) ? F (2) 4 5 F (2) 4 5 (D) F (3) ? ? F (?2) 4(B) F (3) ?(10)设随即变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布,且 X 与 Y 不相关, fX ( x) , fY ( y) 分别表示 X , Y 的 概率密度,则在 Y ? y 的条件下, X 的条件概率密度 fX (A) fX ( x) (C) fX ( x) fY ( y)|Y(4)设函数 f ( x) 在 x ? 0 处连续,下列命题错误的是f ( x) 存在,则 f (0) ? 0 x ?0 x f ( x) (C)若 lim 存在,则 f ?(0) ? 0 x ?0 x( x | y) 为(A)若 limf ( x) ? f ( ? x) 存在,则 f (0) ? 0 x ?0 x f ( x) ? f ( ? x) (D)若 lim 存在,则 f ?(0) ? 0 x ?0 x(B)若 lim(B) fY ( y) (D)fX ( x ) fY ( y )(5)设函数 f ( x) 在(0, + ? )上具有二阶导数,且 f &( x) ? 0 , 令 un ? f (n) ? 1, 2,?, n, 则下列 结论正确的是 (A)若 u1 ? u2 ,则{ u n }必收敛 (C)若 u1 ? u2 ,则{ u n }必收敛 (B)若 u1 ? u2 ,则{ u n }必发散 (D)若 u1 ? u2 ,则{ u n }必发散 二、填空题(11－16 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11) ?211 1 e x dx =_______. 3 x?z =______. ?x(12)设 f (u, v) 为二元可微函数, z ? f ( x y , y x ) ,则(6)设曲线 L : f ( x, y ) ? 1( f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数),过第 2 象限内的点 M 和第Ⅳ象限(13)二阶常系数非齐次线性方程 y ''? 4 y '? 3 y ? 2e2 x 的通解为 y =____________.(14)设曲面 ? :| x | ? | y | ? | z |? 1 ,则 ? ( x ? | y |)ds =_____________. ???与方程x1 ? 2 x2 ? x3 ? a ? 1,?0 ? 0 (15)设矩阵 A ? ? ?0 ? ?01 0 0? ? 0 1 0? ,则 A3 的秩为________. ? 0 0 1 ? 0 0 0?1 的概率为________. 2有公共解,求 a 的值及所有公共解. (22)(本题满分 11 分) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征向量值 ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? ?2.α1 ? (1, ?1,1)T 是 A 的属于特征值 ?1 的一个特征向量,记 B ? A5 ? 4A3 ? E, 其中 E 为 3 阶单位矩阵. (1)验证 α1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵 B . (23)(本题满分 11 分) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?2 ? x ? y, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 f ( x, y ) ? ? 0, 其他 ?(16)在区间 (0,1) 中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于三、解答题(17－24 小题,共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分 11 分) 求函数 f ( x, y) ? x 2 ? 2 y 2 ? x 2 y 2 在区域 D ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? 4, y ? 0} 上的最大值和最小值. (18)(本题满分 10 分) 计算曲面积分 I ? ?? xzdydz ? 2 zydzdx ? 3xydxdy, 其中 ? 为曲面 z ? 1 ? x 2 ??y (0 ? z ? 1) 的上 42侧. (19)(本题满分 11 分) 设 函 数 f ( x) , g ( x在 [a, b] 上 连 续 , 在 (a, b) 内 具 有 二 阶 导 数 且 存 在 相 等 的 最 大 ) 值, f (a) ? g (a), f (b) ? g (b) ,证明:存在 ? ? (a, b) ,使得 f ??(? ) ? g ??(? ) . (20)(本题满分 10 分) 设幂级数(1)求 P{ X ? 2Y }. (2)求 Z ? X ? Y 的概率密度. (24)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为? 1 ? 2? , 0 ? x ? ? ? ? 1 f (? ) ? ? ,? ? x ? 1 ? 2(1 ? ? ) ? 0, 其他 ? ?X1 , X 2 ?, X n 是来自总体 x 的简单随机样本, X 是样本均值?a xn ?0 n?n在 (??, ??) 内收敛,其和函数 y ( x) 满足y?? ? 2 xy? ? 4 y ? 0, y(0) ? 0, y?(0) ? 1.(1)证明: an? 22 ? an , n ? 1, 2,?. n ?1(1)求参数 ? 的矩估计量 ?? . (2)判断 4X 2 是否为 ? 2 的无偏估计量,并说明理由.(2)求 y ( x) 的表达式. (21)(本题满分 11 分) 设线性方程组? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? ? x1 ? 2 x2 ? ax3 ? 0 , ?x ? 4x ? a2 x ? 0 2 3 ? 12008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数 f ( x) ? ? ln(2 ? t )dt 则 f ?( x) 的零点个数0 x2(A) F 2 ? x ? (C) 1 ? ?1 ? F ? x ? ? ? ?2(B) F ? x ? F ? y ? (D) ?1 ? F ? x ? ? ?1 ? F ? y ? ? ? ?? ?(8)设随机变量 X ~ N ? 0,1? , Y ~ N ?1, 4 ? 且相关系数 ? XY ? 1 ,则 (A) P ?Y ? ?2 X ? 1? ? 1 (C) P ?Y ? ?2 X ? 1? ? 1 (B) P ?Y ? 2 X ? 1? ? 1 (D) P ?Y ? 2 X ? 1? ? 1(A)0 (C)2 (2)函数 f ( x, y ) ? arctan (A) i (C) jx(B)1 (D)3x 在点 (0,1) 处的梯度等于 y二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程 xy? ? y ? 0 满足条件 y ?1? ? 1 的解是 y ? ????????????????? . (10)曲线 sin ? xy ? ? ln ? y ? x ? ? x 在点 ? 0,1? 处的切线方程为 ????????????????? . (11)已知幂级数 ? an ? x ? 2 ? 在 x ? 0 处收敛,在 x ? ?4 处发散,则幂级数 ? an ? x ? 3? 的收n n n ?0 n ?0 ? ?(B)- i (D) ? j(3)在下列微分方程中,以 y ? C1e ? C2 cos 2 x ? C3 sin 2 x ( C1 , C2 , C3 为任意常数)为通解的是 (A) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (C) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (B) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (D) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0敛域为 ????????????????? . (12)设曲面 ? 是 z ? 4 ? x 2 ? y 2 的上侧,则 ?? xydydz ? xdzdx ? x 2 dxdy ? ????????????????? .?(4)设函数 f ( x) 在 (??, ??) 内单调有界, ? xn ? 为数列,下列命题正确的是 (A)若 ? xn ? 收敛,则 ? f ( xn )? 收敛 (C)若 ? f ( xn )? 收敛,则 ? xn ? 收敛 (B)若 ? xn ? 单调,则 ? f ( xn )? 收敛 (D)若 ? f ( xn )? 单调,则 ? xn ? 收敛(13)设 A 为 2 阶矩阵, α1 , α 2 为线性无关的 2 维列向量, Aα1 ? 0, Aα 2 ? 2α1 ? α 2 ,则 A 的非零 特征值为 ????????????????? . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P ? X ? EX 2 ? ? ????????????????? . 三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分)?sin x ? sin ? sin x ? ? sin x ? 求极限 lim ? . x ?0 x4(5)设 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵. 若 A3 ? 0 ,则 (A) E ? A 不可逆, E ? A 不可逆 (B) E ? A 不可逆, E ? A 可逆 (C) E ? A 可逆, E ? A 可逆 (D) E ? A 可逆, E ? A 不可逆 (6) 设 A 为 3 阶 实 对 称 矩 阵 , 如 果 二 次 曲 面 方 程?x? ? ? ( x, y , z ) A ? y ? ? 1 在正交变换下的标准方程的图形如图,则 A 的 ?z ? ? ?正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (7)设随机变量 X , Y 独立同分布且 X 分布函数为 F ? x ? ,则 Z ? max ? X , Y ? 分布函数为(16)(本题满分 10 分) 计算曲线积分 ? sin 2 xdx ? 2 ? x2 ? 1? ydy ,其中 L 是曲线 y ? sin x 上从点 ? 0, 0 ? 到点 ?? , 0 ? 的一L段. (17)(本题满分 10 分)? x2 ? y 2 ? 2 z 2 ? 0 已知曲线 C : ? ,求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点. ? x ? y ? 3z ? 5? 1 ? (1)求 P ? Z ? X ? 0 ? . 2 ? ?(18)(本题满分 10 分) 设 f ? x ? 是连续函数, (1)利用定义证明函数 F ? x ? ? ? f ? t ? dt 可导,且 F ? ? x ? ? f ? x ? .x 0(2)求 Z 的概率密度. (23)(本题满分 11 分) 设 X 1 , X 2 ,? , X n 是总体为 N ( ? , ? 2 ) 的简单随机样本.2(2)当 f ? x ? 是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 G ? x ? ? 2? f (t )dt ? x ? f (t )dt 也是以 2 为x 0 0记X ?1 n 1 n 1 Xi , S 2 ? ? ? ( X i ? X )2 , T ? X 2 ? n S 2 n i ?1 n ? 1 i ?1周期的周期函数. (19)(本题满分 10 分)(1)证明 T 是 ? 2 的无偏估计量.?f ? x ? ? 1 ? x (0 ? x ? ? ) ,用余弦级数展开,并求 ?2n ?1? ?1?n2n ?1的和.(2)当 ? ? 0, ? ? 1 时 ,求 DT .(20)(本题满分 11 分)A ? ααT ? ββT , αT 为 α 的转置, βT 为 β 的转置.证明:(1) r (A) ? 2 . (2)若 α, β 线性相关,则 r (A) ? 2 . (21)(本题满分 11 分)? 2a 1 ? ? 2 ? ? a 2a ? ? 设 矩 阵 A? , 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX ? B , 其 中 ? ? ? 1 ? ? ? a 2 2 a ? n? n ?X ? ? x1 ,? , xn ? , B ? ?1, 0,? , 0 ? ,T(1)求证 A ? ? n ? 1? a n . (2) a 为何值,方程组有唯一解,求 x1 . (3) a 为何值,方程组有无穷多解,求通解. (22)(本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为 P ? X ? i? ??1 0 ? y ? 1 fY ? y ? ? ? ,记 Z ? X ? Y , ?0 其它1 ? i ? ?1, 0,1? , Y 的概率密度为 32009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? sin ax 与 g ? x ? ? x 2 ln ?1 ? bx ? 等价无穷小,则1 (A) a ? 1, b ? ? 6 1 (B) a ? 1, b ? 61 6f ( x)1 0 -1f ( x)1-2123x(B)-2 -10123x(C) a ? ?1, b ? ?(D) a ? ?1, b ?x ? 1, y ? 1 被其对角线划分为四1? k ? 41 6(A)(2)如图,正方形?? x, y ??个区域 Dk ? k ? 1, 2,3, 4 ? , I k ? ?? y cos xdxdy ,则 max ? I k ? ?Dkf ( x)1f ( x)1 0(A) I1 (C) I 3(B) I 2-1123(D) I 4 (C)x(D)n ??-2 -10123x(3)设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?1,3? 上的图形为(4)设有两个数列 ?an ? , ?bn ? ,若 lim an ? 0 ,则 (A)当 ? bn 收敛时, ? an bn 收敛.n ?1 ? n ?1 2 (C)当 ? bn 收敛时, ? an bn2 收敛. n ?1 n ?1 ? ? ?f ( x)O 0 -1(B)当 ? bn 发散时, ? an bn 发散.n ?1 ? n ?1 2 (D)当 ? bn 发散时, ? an bn2 发散. n ?1 n ?1 ???-2123x1 1 (5)设 α1 , α 2 , α 3 是 3 维向量空间 R 3 的一组基,则由基 α1 , α 2 , α3 到基 α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α1 2 3 的过渡矩阵为则函数 F ? x ? ? ? f ? t ? dt 的图形为x 0?1 0 1? ? ? (A) ? 2 2 0 ? ? 0 3 3? ? ??1 2 0? ? ? (B) ? 0 2 3 ? ?1 0 3? ? ?? 1 ? 2 ? 1 (C) ? ? ? 2 ? ? 1 ? ? 21 4 1 4 1 ? 41? ? ? 6 ? 1 ? 6 ? ? 1 ? ? 6 ?? 1 ? 2 ? 1 (D) ? ? 4 ? ?? 1 ? ? 6?1 2 1 4 1 61 ? 2 ? ? 1? ? 4? ? 1 ? ? 6 ?(6)设 A, B 均为 2 阶矩阵, A* , B* 分别为 A, B 的伴随矩阵,若 A ? 2, B ? 3 ,则分块矩阵?O A? ? ? 的伴随矩阵为 ? B O?三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 9 分) 求二元函数 f ( x, y ) ? x 2 ? 2 ? y 2 ? ? y ln y 的极值. (16)(本题满分 9 分) 设 an 为曲线 y ? x n 与 y ? x n ?1 ? n ? 1, 2,.....? 所围成区域的面积,记 S1 ? ? an , S 2 ? ? a2 n ?1 ,求n ?1 n ?1 ? ?? O 3B* ? (A) ? * ? O ? ? 2A ? O 3A ? (C) ? * ? O ? ? 2B*? O (B) ? * ? 3A ? O (D) ? * ? 3B2 B* ? ? O ? 2A ? ? O ?*? x ?1 ? (7)设随机变量 X 的分布函数为 F ? x ? ? 0.3? ? x ? ? 0.7? ? ? ,其中 ? ? x ? 为标准正态分布 ? 2 ?S1 与 S 2 的值.(17)(本题满分 11 分)x2 y 2 x2 y 2 ? 1 绕 x 轴旋转而成,圆锥面 S 2 是过点 ? 4, 0 ? 且与椭圆 ? ? 1相 椭球面 S1 是椭圆 ? 4 3 4 3函数,则 EX ? (A)0 (C)0.7(B)0.3 (D)1切的直线绕 x 轴旋转而成. (1)求 S1 及 S 2 的方程. (2)求 S1 与 S 2 之间的立体体积. (18)(本题满分 11 分) (1)证明拉格朗日中值定理:若函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续,在 (a, b) 可导,则存在 ? ? ? a, b ? ,使 得 f ? b ? ? f ? a ? ? f ? ?? ?? b ? a ? . (2)证明:若函数 f ? x ? 在 x ? 0 处连续,在 ? 0, ? ??? ? 0 ? 内可导,且 lim? f ? ? x ? ? A ,则 f ?? ? 0 ? 存x ?0(8) 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 , 且 X 服 从 标 准 正 态 分 布 N ? 0,1? , Y 的 概 率 分 布 为P ?Y ? 0? ? P ?Y ? 1? ? 1 ,记 FZ ? z ? 为随机变量 Z ? XY 的分布函数,则函数 FZ ? z ? 的间断点个数 2为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设函数 f ? u , v ? 具有二阶连续偏导数, z ? f ? x, xy ? ,则? z ? ?x?y2.(10)若二阶常系数线性齐次微分方程 y?? ? ay? ? by ? 0 的通解为 y ? ? C1 ? C2 x ? e x ,则非齐次 方程 y?? ? ay? ? by ? x 满足条件 y ? 0 ? ? 2, y? ? 0 ? ? 0 的解为 y ? (11)已知曲线 L : y ? x 2 0 ? x ? 2 ,则 ? xds ?L在,且 f ?? ? 0 ? ? A . (19)(本题满分 10 分) xdydz ? ydzdx ? zdxdy 计算曲面积分 I ? ? ,其中 ? 是曲面 2 x 2 ? 2 y 2 ? z 2 ? 4 的外侧. 3 ?? ? ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 2. . .??(12)设 ? ??? x, y, z ? x.2? y 2 ? z 2 ? 1 ,则 ??? z 2 dxdydz ???(20)(本题满分 11 分)? 1 ? 1 ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 设 A ? ? ?1 1 1 ? , ξ 1 ? ? 1 ? ? 0 ?4 ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? ?(13) 若 3 维 列 向 量 α, β 满 足 αT β ? 2 , 其 中 αT 为 α 的 转 置 , 则 矩 阵 βα T 的 非 零 特 征 值 为 (14)设 X 1 , X 2 ,? , X m 为来自二项分布总体 B ? n, p ? 的简单随机样本, X 和 S 2 分别为样本均 值和样本方差.若 X ? kS 2 为 np 2 的无偏估计量,则 k ? .(1)求满足 Aξ 2 ? ξ1 的 ξ 2 . A 2ξ 3 ? ξ1 的所有向量 ξ 2 , ξ 3 . (2)对(1)中的任意向量 ξ 2 , ξ 3 证明 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 无关.(21)(本题满分 11 分)2 2 设二次型 f ? x1 , x2 , x3 ? ? ax12 ? ax2 ? ? a ? 1? x3 ? 2 x1 x3 ? 2 x2 x3 .(1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值;2 (2)若二次型 f 的规范形为 y12 ? y2 ,求 a 的值.(22)(本题满分 11 分) 袋中有 1 个红色球,2 个黑色球与 3 个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X , Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求 p ? X ? 1 Z ? 0? . (2)求二维随机变量 ? X , Y ? 概率分布. (23)(本题满分 11 分)?? 2 xe ? ? x , x ? 0 设总体 X 的概率密度为 f ( x) ? ? ,其中参数 ? (? ? 0) 未知, X 1 , X 2 ,… X n 是来 ?0, 其他自总体 X 的简单随机样本. (1)求参数 ? 的矩估计量. (2)求参数 ? 的最大似然估计量.2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)? ? x2 (1)极限 lim ? ? = x ?? ( x ? a )( x ? b ) ? ?x?1 ? ? ? 1 ? (A) ? ? ? 1 ? ? 0? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? (C) ? ?1 ? ? ? 0? ??1 ? ? ? 1 ? (B) ? ? ?1 ? ? ? 0? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? (D) ? ?1 ? ? ? 0? ?(A)1 (C) ea?b(B) e (D) eb?a0?z ?z y z (2)设函数 z ? z ( x, y ) 由方程 F ( , ) ? 0 确定,其中 F 为可微函数,且 F2? ? 0, 则 x ? y = ?x ?y x xx?0(7)设随机变量 X 的分布函数 F ( x) ?(A) x (C) ?x (3)设 m, n 为正整数,则反常积分 ? (A)仅与 m 取值有关 (C)与 m, n 取值都有关 (4) lim ??x ?? i ?1 n1m n(B) z (D) ?zln 2 (1 ? x) x dx 的收敛性1 0 ? x ? 1, 则 P{ X ? 1} = 2 1 ? e? x x ? 20(A)0 1 (C) ? e?1 2(B)1 (D) 1 ? e?1(B)仅与 n 取值有关 (D)与 m, n 取值都无关(8)设 f1 ( x) 为标准正态分布的概率密度 , f 2 ( x) 为 [?1,3] 上均匀分布的概率密度,f ( x) ?af1 ( x) x ? 0 (a ? 0, b ? 0) bf 2 ( x) x ? 0n = 2 2 j ?1 ( n ? i )( n ? j )1 dy (1 ? x)(1 ? y 2 )n为概率密度,则 a, b 应满足 (B) ? dx ?0 1 1 x(A) ? dx ?0 11x001 dy (1 ? x)(1 ? y )(A) 2a ? 3b ? 4 (C) a ? b ? 1(B) 3a ? 2b ? 4 (D) a ? b ? 21 dy (C) ? dx ? 0 0 (1 ? x)(1 ? y )11 dy (D) ? dx ? 0 0 (1 ? x )(1 ? y 2 )1二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.)d2y (9)设 x ? e , y ? ? ln(1 ? u )du, 求 2 = 0 dx t ?0?t t 2.(5)设 A 为 m ? n 型矩阵 , B 为 n ? m 型矩阵,若 AB ? E, 则 (A)秩 (A) ? m, 秩 (B) ? m (C)秩 ( A) ? n, 秩 (B) ? m2(B)秩 (A) ? m, 秩 (B) ? n (D)秩 ( A) ? n, 秩 (B) ? n(10) ??20x cos xdy =.(11)已知曲线 L 的方程为 y ? 1 ? x {x ? [?1,1]}, 起点是 (?1,0), 终点是 (1, 0), 则曲线积分 ? xydx ? x 2 dy =L. .(6)设 A 为 4 阶对称矩阵,且 A ? A ? 0, 若 A 的秩为 3,则 A 相似于(12)设 ? ? {( x, y, z ) | x 2 ? y 2 ? z ? 1}, 则 ? 的形心的竖坐标 z =(13)设 α1 ? (1, 2, ?1, 0)T , α 2 ? (1,1, 0, 2)T , α3 ? (2,1,1, ? )T , 若由 α1 , α 2 , α 3 形成的向量空间的维数 是 2,则 ? = .(14)设随机变量 X 概率分布为 P{ X ? k} ?C (k ? 0,1, 2,?), 则 EX 2 = k!.(22)(本题满分 11 分) 设二维随机变量 ( X ? Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) ? A e?2 x 及 A 条件概率密度 fY | X ( y | x ). (23)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率分布为 XP2? 2 xy ? y 2, ?? ? x ? ?, ?? ? y ? ?, 求常数三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分) 求微分方程 y?? ? 3 y? ? 2 y ? 2 x e x 的通解. (16)(本题满分 10 分) 求函数 f ( x) ? ? ( x 2 ? t ) e?t dt 的单调区间与极值.2123x1??? ?? 2?21(17)(本题满分 10 分) (1)比较 ? ln t [ln(1 ? t )]n dt 与 ? t n ln t dt (n ? 1, 2,?) 的大小,说明理由.0 0 1 1其中 ? ? (0,1) 未知,以 N i 来表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n )中等于 i 的个数(i ? 1, 2, 3),试求常数 a1 , a2 , a3 , 使 T ? ? ai N i 为 ? 的无偏估计量,并求 T 的方差.i ?1 3(2)记 un ? ? ln t [ln(1 ? t )]n dt (n ? 1, 2,?), 求极限 lim un .0x ??1(18)(本题满分 10 分) 求幂级数 ?( ?1) n ?1 2 n x 的收敛域及和函数. n ?1 2 n ? 1?(19)(本题满分 10 分) 设 P 为椭球面 S : x 2 ? y 2 ? z 2 ? yz ? 1 上的动点,若 S 在点 P 的切平面与 xoy 面垂直,求 P 点 的轨迹 C , 并计算曲面积分 I ? ???( x ? 3) y ? 2 z 4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yzdS , 其中 ? 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分. (20)(本题满分 11 分)?? ? 设A ??0 ?1 ? 1? ?a? ? ? ? 1 0 ? , b ? ? 1 ? , 已知线性方程组 Ax ? b 存在两个不同的解. ? ? ?1? 1 ?? ? ? ? 1(1)求 ? , a. (2)求方程组 Ax ? b 的通解. (21)(本题满分 11 分)2 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? xT Ax 在正交变换 x ? Qy 下的标准形为 y12 ? y2 , 且 Q 的第三列为(2 2 T , 0, ) . 2 2(1)求 A. (2)证明 A ? E 为正定矩阵,其中 E 为 3 阶单位矩阵.2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一选择题 1.曲线 y ? ( x ? 1)( x ? 2) 2 ( x ? 3) 2 ( x ? 4) 2 拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0）n ??9.曲线 y ? ? tan tdt(0 ? x ?0x?4) 的弧长 s=____________10.微分方程 y? ? y ? e ? x cos x 满足条件 y(0)=0 的解为 y=____________ 11.设函数 F ( x, y ) ? ?nxyD（4，0）n0sin t ?2F dt ，则 2 ?x 1? t 2x ?0? __________2 设数列 ?a n ?单调递减， lim an ? 0, S n ? ? ak (n ? 1,2,?） 无界，则幂级数 ? ak ( x ? 1) n 的收敛域k ?1 k ?112.设 L 是柱面方程为 x 2 ? y 2 ? 1 与平面 z=x+y 的交线， z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方 从 向，则曲线积分 ? xzdx ? xdy ?y2 dz ? __________ _ 2A(-1,1]B[-1,1)C[0,2)D(0,2]3.设函数 f (x) 具有二阶连续导数，且 f ( x) ? 0, f ?(0) ? 0 ，则函数 z ? f ( x) ln f ( y) 在点（0，0） 处取得极小值的一个充分条件 A f (0) ? 1, f ??(0) ? 0 B f (0) ? 1, f ??(0) ? 0 C f (0) ? 1, f ??(0) ? 0 D f (0) ? 1, f ??(0) ? 0 4.设 I ? ? ln sin xdx, J ? ? ln cot xdx, K ? ? ln cos xdx 则I、J、K的大小关系是4 4 413.若二次曲面的方程为 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 2axy ? 2 xz ? 2 yz ? 4 ，经正交变换化为 y12 ? 4 z12 ? 4 ，则a ? _______________ 三解答题???15 求极限 lim (x ?0ln(1 ? x) e x ?1 ) x1000A I&J&K B I&K&J C J&I&K D K&J&I 5.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第一行得单位矩?1 0 0? ?1 0 0? ?1 1 1?, P ? ?0 0 1?, P ? ? 1 2 ? ? ? ?0 0 0? ?0 1 0? 则 A= 阵。记 ? ? ? ?16 设 z ? f ( xy, yg ( x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极?2z 值 g(1)=1,求 ?x?yx ?1, y ?1A P1 P2B P P2 1?1C P2 P1D P2 P 1?16.设 A ? (?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) 是 4 阶矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵，若 (1,0,1,0)T 是方程组 Ax ? 0 的一个基 础解系，则 A* x ? 0 的基础解系可为 A ?1 , ? 3 B ?1 , ? 2 C ?1 , ? 2 , ? 3 D ? 2 ,?3 ,? 417 求方程 k arctan x ? x ? 0 不同实根的个数，其中 k 为参数。 1 1 1 18 证明：1）对任意正整数 n，都有 ? ln(1 ? ) ? n ?1 n n 1 1 2）设 an ? 1 ? ? ? ? ? ln n(n ? 1,2,?) ,证明 {a n } 收敛。 2 n 19 已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数，且 f(1,y)=0,f(x,1)=0, ?? f ( x, y)dxdy ? a ，其中D? D ? {( x, y ) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} ，计算二重积分 I ? ?? xy ? xy ( x, y )dxdy 。D7.设 F1 ( x), F2 ( x) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 ( x), f 2 ( x) 是连续函数，则必为概率密度 的是 A f1 ( x) f 2 ( x) B 2 f 2 ( x) F2 ( x) C f1 ( x) F2 ( x) D f1 ( x) F2 ( x) ? f 2 ( x) F1 ( x)20. ?1 ? (1,0,1)T ， ? 2 ? (0,1,1)T ， ? 3 ? (1,3,5)T 不能由 ?1 ? (1, a,1)T ， ? 2 ? (1,2,3)T ，? 3 ? (1,3,5)T 线性表出，?求 a ；?将 ?1 ， ? 2 ， ? 3 由 ?1 ， ? 2 ， ? 3 线性表出。21.A 为三阶实矩? 1 1 ? ? ? 11 ? ? ? ? ? 阵， R( A) ? 2 ，且 A? 0 0 ? ? ? 0 0 ? ? ? 11 ? ? 1 1 ? ? ? ? ?8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=max{x,y},V={x,y},则 E(UV)= A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题（1）求 A 的特征值与特征向量； （2）求 A。22. X P Y PP( X 2 ? Y 2 ) ? 10 1/3 -1 1/3 0 1/31 2/3 1 1/3求： （1） （X，Y）的分布； （2）Z=XY 的分布； （3） ? XY 23.设 x1 , x2 , ? xn 为来自正态总体 N ( ? 0 , ? 2 ) 的简单随机样本， 其中 ? 0 已知， 2 ? 0 未知，x 和 S 2 ? 分别表示样本均值和样本方差。 1）求参数 ? 2 的最大似然估计 ? 2 2）计算 E( ? 2 )和 D( ? 2 )口 口 口_2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：第 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求，请将所选项前面的字母填在答题纸指定位置上。x2 ? x （1）曲线 y ? 2 渐近线的条数 x ?1?1 0 0 ? ?1 0 0 ? ?2 0 0? ?2 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ? （A） ? 0 2 0 ? （B） ? 0 1 0 ? （C） ? 0 1 0 ? （D） ? 0 2 0 ? ?0 0 1 ? ?0 0 2? ?0 0 2? ?0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?( （D）3 ()（7） 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布， P ? X ? Y ? = 则 ( )1 1 2 4 （B） （C） （D） 5 3 5 5 （8）将长为 1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为( ) 1 1 （A）1 （B） （C） ? （D） ?1 2 2 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上（A）0（B）1（C）2（A） )（2）设函数 y( x) ? (e x ? 1)(e2 x ? 2) ??? (enx ? n) ，其中 n 为正整数，则 y ' (0) = （A） (?1)n ?1 (n ? 1)! （B） (?1)n (n ? 1)! （C） (?1)n ?1 n ! （D） ( ?1) n n ! （3）如果函数 f ( x, y ) 在（0,0）处连续，那么下列命题正确的是 ( （A）若极限 limx ?0 y ?0)（9）若函数 f ( x) 满足方程 f '' ( x) ? f ' ( x) ? 2 f ( x) ? 0 及 f '' ( x) ? f ( x) ? 2e ，则 f ( x) =f ( x, y ) 存在，则 f ( x, y ) 在（0,0）处可微 x? y f ( x, y ) 存在，则 f ( x, y ) 在（0,0）处可微 x2 ? y2 f ( x, y ) 存在 x? y f ( x, y ) 存在 x2 ? y2（10） ? x 2 x ? x2 dx =02（B）若极限 limx ?0 y ?0z （11） grad ( xy ? ) y(2,1,1)=（C）若 f ( x, y ) 在（0,0）处可微，则极限 limx ?0 y ?0（12）设 ? ? ?? x, y, z ? x ? y ? z ? 1, x ? 0, y ? 0, z ? 0? ，则 ?? y 2 ds = ? （13）设 ? 为三维单位向量， E 为三阶单位矩阵，则矩阵 E ? ?? T 的秩为1 1 , P(C ) ? , P ( AB C ) ? 2 3 三、解答题：15~23 小题，共 94 分。请将答案写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 （15） （本题满分 10 分）（D）若 f ( x, y ) 在（0,0）处可微，则极限 limx ?0 y ?0（4）设 I k ? ? e x sin xdx （k=1,2,3）则有2kx（14）设 A , B , C 是随机文件， A 与 C 互不相容， P( AB) ? ( )0（A） I1 ? I 2 ? I 3 （B） I 3 ? I 2 ? I1 （C） I 2 ? I 3 ? I1 （D） I 2 ? I1 ? I 3?0 ? ?0 ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）设 ?1 ? ? 0 ? ， ? 2 ? ? 1 ? ， ? 3 ? ? ?1? ， ? 4 ? ? 1 ? ，其中 c1 , c2 , c3 , c4 为任意常数，则下列向 ?c ? ?c ? ?c ? ?c ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4?证明 x ln1? x x2 ? cos x ? 1 ? ， (?1 ? x ? 1) 1? x 2x2 ? y 2 2（16） （本题满分 10 分） 求函数 f ( x, y) ? xe?量组线性相关的为 （A） ?1 , ? 2 , ? 3 （B） ?1 , ? 2 , ? 4 （C） ?1 , ? 3 , ? 4() （D） ? 2 , ? 3 , ? 4?1?的极值（17） （本题满分 10 分） 求幂级数 ?4n 2 ? 4n ? 3 2 n x 的收敛域及和函数 2n ? 1 n ?0?1 0 0 ? ? ? （6）设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P AP ? ? 0 1 0 ? ,若 P ? (?1 , ? 2 , ? 3 ) ， ?0 0 2? ? ?（18） （本题满分 10 分）Q ? (?1 ? ? 2 , ? 2 , ? 3 ) 则 Q ?1 AQ =()? x ? f (t ) 已知曲线 L : ? ， ? y ? cos t2 其 中 函 数 f (t ) 具 有 连 续 导 数 ， 且 f (0) ? 0, f (t ) ? 0'1 1201 12若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数 f (t ) 的表达式，并求（Ⅰ）求 P ? X ? 2Y ? （Ⅱ）求 Cov( X ? Y , Y ) （23） （本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立分别服从正态分布 N ( ? , ? 2 ) 与 N ( ? , 2? 2 ) ，其中 ? 是未知参数且此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界的区域的面积。 （19） （本题满分 10 分） 已知 L 是第一象限中从点 （0,0） 沿圆周 x 2 ? y 2 ? 2 x 到点 （2,0） 再沿圆周 x 2 ? y 2 ? 4 到点 ， （0,2） 的曲线段，计算曲线积分 J ? ? 3 x 2 ydx ? ( x 3 ? x ? 2 y )dyL? &0。设 Z ? X ? Y（Ⅰ）求 Z 的概率密度 f ( z, ? 2 ) （Ⅱ）设 z1 , z2 , ???, zn 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 ? 2 的最大似然估计量 ? 2 （Ⅲ）证明 ? 2 为 ? 2 的无偏估计量（20） （本题满分 11 分）?1 ? 0 设A?? ?0 ? ?a a 0 0? ?1 ? ? ? ? 1 a 0? ?1 ，? ?? ? ?0 ? 0 1 a? ? ? ? 0 0 1? ?0 ?（Ⅰ）计算行列式 A. （Ⅱ）当实数 a 为何值时，方程组 Ax ? ? 有无穷多解，并求其通解. （21） （本题满分 11 分）?1 ? 0 已知 A ? ? ? ?1 ? ?0 0 1 ? ? 1 1 ? ，二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? xT ( AT A) x 的秩为 2 0 a ? ? a ?1 ?（Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ）求利用正交变换 x ? Qy 将 f 化为标准形 （22） （本题满分 11 分） 设二维随机变量 X 、 Y 的概率分布为 X Y 01201 401 4101 30
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