匿名不能邀请呢，要不来关注的同学们帮我邀请一些大牛来作答？说来也好笑，我从国内某top5高校理工科毕业多年，一直苦恼于高等数学学不好【毕业以后从事的事情跟高数尚未发生半点关系。。。我就是单纯奇怪一下这个事情】。自我感觉问题在于我对于高数里的东西无法做出直观的想象。厚颜无耻地说一句，高中物理我学得非常轻松而且成绩非常好，基本就是翻一遍书考试就接近满分【高考物理部分满分】，我感觉我能把书上的理论公式转变为动画片一样的场景，做题时字面的意思会自动形象化地镶嵌到那些动画片里面出现在我脑子里，就像放电影似的。但是高数就不行了，我努力多时也没法把那些公式定理形象化理解，貌似只能死记硬背。所以直接导致大学物理、电磁场电磁波等科目成绩也相当一般。是不是我的脑子学到高中就是极限了？直说也无妨，因为我发现我现在干的这活其实学到初中就能做了，赚的貌似也还可以。。。囧。。。==============我举个栗子==========最近知乎上一个很火的文章：我前面都能看懂，但是到了欧拉公式这儿就不懂了。我想不出e的iπ次是怎样形成的，后面就理解不了了。。。
我觉着不管是信号与系统还是信息论或者通信原理等等号称挂人无数的难课程，以及题主表示不解的高数，之所以让大多数人学的一头雾水，都是因为大家从小到大的数学老师都比较忽视代数这一块内容仅仅以大学阶段为例，要是能把线性空间的概念讲清楚了，不管是傅里叶变换，余弦变换，拉普拉斯变换，z变换等等让人头大的，让人画图都画不明白的奇怪东西，就都有了一个简单的解释：不过是在线性空间里面找了一组“好算”的正交基罢了。比如让题主无比苦恼的欧拉公式等等，如果老师把域的理论讲清了，这不过就是个复数域跟实数域的问题罢了。所以，推荐广大被信号系统、信息论、数字信号处理等等所谓神课折磨的同学，把你的线性代数课本翻出来看一看就解决问题了，推荐本线代书：
补充: 我将于 9.28 9pm 在知乎 &a href=&/lives/540672/participants& class=&internal&&Live&/a& 中讨论如何学好微积分，供诸位参考。&br&&br&（在知乎数学板块&a href=&/people/tempo/topic//answers& class=&internal&&贡献过一些内容&/a&，但一直想回答这个问题却不知道从何说起。某些答案否定了众人对教材的抱怨，然而我认为对教材的抱怨有一定合理性。现实生活中很多真努力学了还学不懂的，教材和教师要承担一部分责任。特别是有些人我稍微跟他聊聊他就恍然大悟，说原来这个东西竟然这么简单，只能说是被不入流的老师坑了）&br&&br&高数级别的这种数学，是有实际应用而且怎么说也不能算难的。牛顿和莱布尼兹各自在康熙年间发明的还被后人广泛接受而且消化了的学问，能难到哪里去? 即使多元微积分里面最复杂的斯托克斯公式，也就是十九世纪末的内容。&br&&br&我认为真正的冲突所在于，高数其实是&b&微积分和数学分析的混合&/b&。微积分英文是 “Calculus”, 来自拉丁文的 “演算”，本来就是像加减乘除一样的一套演算法则，记住这些简单的法则，就能干很多事情：比如记住链式求导法则、乘积法则和商法则（chain rule, product rule，quotient rule）就能给相对复杂的函数求导（类似于&img src=&///equation?tex=e%5E%7B-x%5E2%7D%5Cdfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D& alt=&e^{-x^2}\dfrac{\sin x}{x}& eeimg=&1&&这种），记住一些简单的技巧（比如分部积分，部分分数）就能给一些函数求积分。然后借助导数这些概念还能有一些简单的应用——比如求某些函数的极大值极小值。&br&&br&这些最简单的演算法则，其实是微积分这个概念的强大之处。大家不妨想象一下高中学过的数学，其实很多函数的定义什么的都知道了，但是面对一个 &img src=&///equation?tex=e%5E%7B-x%5E2%7D%5Cdfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D& alt=&e^{-x^2}\dfrac{\sin x}{x}& eeimg=&1&& 这样的函数，很多高中生还是两眼一抹黑，根本不知道想了解一些性质要从哪里入手。但是懂微积分的人就不一样了，上来就可以求导，求导之后就得到了很多有用的信息，然后知道导数的正负，也就是增减性之后，函数图像也能画出来了，起码整个东西不再令人恐惧了。&b&任何工具要得到 “强大” 的称号，必须让傻子也能用。微积分就是这样一个强大的工具。&/b&&br&&br&用一种画面感很强烈的语言描述，大概是这样的。在牛顿和莱布尼兹之前，欧洲的数学水平大概和一个今天能考上好大学的高三学生差不多，物理水平大概和初中生差不多，刚刚掌握了搞科学要靠做实验不能靠瞎逼逼的思想，另外还掌握了很多天文数据（牛顿出生的时候伽利略刚刚去世，微积分发明之前连牛顿三大定律都没有）。然后牛顿和莱布尼兹，给科学界一群刚刚掌握科学思想的群众发了一套像 AK-47 一样强大的武器。这武器怎么造的大家一开始也没仔细想，但是就是好用，爽，拿着这个武器去搞科学，就像开着挖掘机去挖金矿，比原来的小铲子好用多了。&br&&br&然后才有&b&数学分析&/b&。数学分析怎么来的呢? 原来的武器（“微积分”）太强大了，强大得令人怀疑，于是大家不禁要问，&b&什么时候能用什么时候不能用&/b&，挖出来的东西什么时候是金矿什么时候是狗屎，能不能有个明确的说法? 之前是靠强大的物理直觉，而且之前到处是黄金，偶尔挖到一坨狗屎也无所谓，后来黄金不好挖了，更怕挖到狗屎，所以才要搞&b&微积分的严格化&/b&。这个就是数学分析。&br&&br&所以&b&学问是有个次第的&/b&，先有微积分，再有数学分析。很多高数的书，把微积分和数学分析放在一块讲，老师也不顾这个次第，所以让学生觉得很坑。这有点像把射击和枪械制造混在一起教学，整个过程都很混乱。有个笑话反应了这种情形&br&&blockquote&高数题只有两种，第一种：卧槽，这也用证？第二种：卧槽，这也能证！&/blockquote&很多时候学生还什么都不会，就被要求严格化，这就好像在挖掘机说明书上写什么时候会挖到狗屎一样，——用户真正需要的其实是挖掘机的操作方法。原问题提到自己从 TOP5 毕业，我觉得&b&学校好，要求高，反倒坑了一部分人&/b&。举个最简单的例子，极限的 (ε, δ)-定义，这个定义对于微积分的严格化，当然很有意义，但是它的作用是，在已经对一个极限的数值有概念的时候，证明一个极限的值确实是最初猜测的那个。如果一上来就给学生讲这个定义，基本上要看学生有多少慧根了，因为学生脑子里连 “最初猜测的那个” 的答案都没有。我曾经参与下面这个对话（文字只是大意，参与者是好学校的好学生，不是智障）&br&&br&&blockquote&“我还是想搞懂 (ε, δ)-定义，&br&我们能不能用 (ε, δ) 证明一下&br&&img src=&///equation?tex=x%5E2& alt=&x^2& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=x%5Cto+2& alt=&x\to 2& eeimg=&1&&的时候极限是 3?”&br&“那个极限不是 3，是 4.”&br&“……”&/blockquote&&br&在理想的情形，学问的次第应该被尊重。学生在高中先学了微积分里面简单的内容，比如求导的法则，极大极小值，用定积分计算面积等等。上了大学再慢慢严格化或者细致化。然而，这方面没有做得特别好的——即使是美国，也有很多学生跟不上教学的节奏，跟人聊天说到数学经常就是 “I never got beyond calculus”...&br&&br&下面说教材和教师的问题。最好的情形当然是像孔子一样，因材施教。但那是理想状况——现状是要以工业化的形式大规模培养懂微积分的学生。另一方面，学生的时间有限（不是每个人都是数学系的还愿意死磕），而且背景又不同，所以会造成一种从四面八方不同的方向涌过来爬一座山的局面。&br&&br&对于这种情况，中国很多教材和教学的方法是，找一条特定的路线，然后老师带队，大家沿着固定的路线往上走。这种方法对于学生和老师的默契程度要求比较高，如果老师选的路线不对，或者老师比较笨（这种情形并不罕见），学生很容易掉队。特别是有些时候老师已经四五十岁了，选取的路线完全不适应学生的状况（比如高中教材和基础已经和老师念高中的时代完全不一样了），状况通常更糟糕。经常看见年长的教授抱怨，学生真是 “一代不如一代” 了——这里面固然有时代思潮、大学扩招之类的因素，然而假设没有发生全国规模的慢性食物中毒影响智力水平之类的事情，学生一代不如一代的可能性其实是不太高的，更有可能的反倒是老师越来越不适应现在的学生群体（这并不是中国独有的问题）。&br&&br&美国的教学方法（就我所见而言）则略有不同，美国的教材相当于在山腰以下，修了很多楼梯，只要大致的方向对了，不管从哪个方向来爬山，都能找到楼梯或者绳索，然后爬到半山腰集合，剩下的部分再靠老师/助教带领冲顶。所以美国微积分教材被诟病的 “话痨” 的缺点，其实是优点，这种很厚的教材本来就不需要一页一页看的，只是给不同背景学生的补充而已。美国也有老师抱怨学生一代不如一代，或者说越来越水——这种看法部分是对的，但也是老师越来越不适应现在的学生群体的一种表现。但是美国的坑死研究生的助教制度，相对地弥补了这个问题——助教和学生的年龄更接近，而且由于助教面对的学生数量相对比较少，教学也更容易个性化。&br&&br&其实我想象中比较理想的教育方式，是在有人指引大方向的前提下，跟高一两级的人学。比如大一的跟大三的学，大三的跟低年级研究生学，低年级研究生跟高年级研究生学，高年级研究生跟博士后学，这种情况对教学双方都有帮助，上手温故知新，下面的人也能比较快地学到实质性内容。一个年级一个年级地大班教学，其实很大一部分要看学生的造化，在中国美国都一样。（个性化教学其实是个有趣的问题，想聊聊的可以私信。）&br&&br&说了这么多，好的教材是什么样子呢? 中国的中小学数学教材其实都还不错，很多内容都经过了千锤百炼。但是高中教材已经开始有点坑了，反正我觉得中专生哪怕想努力都没法学下去，这种想努力还没人能帮上忙的状况其实是很糟糕的，很有必要给基础差一点的人编一套更慢的教材（给中专生编的教材其实也能帮助很多高中生的，真的）。另外国产教材，仅限微积分的话，印象中樊映川的《高等数学讲义》还不错。数学分析的话，推荐张筑生的《数学分析新讲》吧。（不过上面也说了，教材就是爬山的一条路，努力了还爬不动，可以换一本试试，别以此为借口换得太勤就行。）&br&&br&（偏个题，刚刚为了写这个答案，查了查樊映川何许人也，似乎也很有趣）&br&&blockquote&樊映川()，原名樊盛芹，安徽舒城县桃溪镇人，现代数学教育家，1940年密歇根大学博士。1941年至1948年任国立河南大学教授，并先后兼任数理系主任、理学院院长等职。1954年由他主编的《高等数学讲义》（上、下册）出版。《讲义》内容取舍得当，系统周密，论证严谨，内容精炼，文字流畅，深受欢迎。截至1983年，累计印数上册达517.5万册，下册达448.4万册。该书先后获得全国优秀科技图书一等奖、全国高等院校优秀教材奖。他开创了理工科教材“中国化”的先河，堪称中国科技书籍出版史和中国高等教育史上的一座丰碑。&br&&/blockquote&&br&最后，以上话题仅限于高数。这里并没有涉及线性代数或者概率论，“学不懂线性代数怎么办” “学不懂概率论怎么办”完全是一个可以开贴再讲的问题。其实要说教材很坑，国内很多线性代数的教材首当其冲，点到为止了。&br&&br&EDIT: 有朋友在评论里要求推荐教材，说实话脑子里比较空白。听说 Linear Algebra done Right 还不错。微积分的教材我觉得都差不多，前面已经推荐过《数学分析新讲》了。&br&&br&&b&无论如何，这门学科无王者之道，希望七天速成是不可能的，还请诸君多多努力。&/b&
补充: 我将于 9.28 9pm 在知乎
中讨论如何学好微积分，供诸位参考。 （在知乎数学板块，但一直想回答这个问题却不知道从何说起。某些答案否定了众人对教材的抱怨，然而我认为对教材的抱怨有一定合理性。现实生活中很多真努力…
感谢大家的留言，我终于意识到我为什么不满意自己这个答案了，就是因为失了“中正平和”这四个字。&br&&br&先不谈方法。大家总是在谈方法，我自己也总是喜欢谈方法。但是其实最残酷的回答就是：功夫没下够。大学数学比中学数学难，所以需要更多时间。如果生活中没有什么驱动，很容易就功夫没下够，从而感到难以理解。但是那些有足够需求驱动的朋友，很自然的不断的下功夫，不断的学、不断的想、不断的用，直到像呼吸一样简单，肯定就会觉得概念很自然了。“得一善，则拳拳服膺而弗失之矣。”方法总是能不断改进，但是手头有什么条件就用什么条件，不能说方法不完美就不往前走了，这才是正派武学的练法。一定要吃苦的。&br&&br&然后说方法。所谓学习的方法，就是几个选择的权衡：&br&1. 到底学到什么程度算学会了。前几天在知乎看到一个答案，说学数学有两个误区。一个是已经学会了，然后不继续往后学，总在现在的思想上，拼命翻新技巧。另一个是学得不扎实，意味着想要往后学。前者常见于中学教育，后者常见于大学之上的教育。&br&2. 理解还是背诵。定理到底要一路追根究底到可以称为公理的东西，还是记住就好。如果我讨厌死记硬背，到底要不要记忆呢？&br&3. 看书重要还是做题重要。&br&&br&那么到底怎么选呢？一个基本原则是走极端一定是错的。像我第一次的回答，就过于强调理解和看书，忽略了做题和背诵，说的不客气就是哗众取宠。所以我越想越不舒服。后来补上的答案，强调另一端，看似平衡了。但没有把背后的道理说透。&br&&br&什么是背后的道理？只有两条。1、别走极端。2、小马过河，实事求是。不断的做，从现实中得到反馈，再改。&br&&br&如果目标是通过考试，那么，学到能通过就算学会了。如果不会做题，自己想想是忘了基本的定理，还是不会灵活运用。如果是忘了基础，按照自己的性格，想理解就理解，想硬记就硬记。理解不管用就硬记，硬记不管用就理解。如果是不会灵活运用，那就说明题目做的少或者做了题没有总结。如此而已。结合自己的性格、优势和最终的目标，怎么能哄着自己把功夫下够了，才是正理。&br&&br&稍微展开几句。&br&知乎的答案，往往一个人一个角度，就算是最普通的角度还要包装一堆花里胡哨的东西（比如我的第一次回答）。别说数学了，就说怎么从知乎学习呢？其实也就是边思边学边做。君子务本，本立而道生。&br&&br&=============第二次更新分隔线===================&br&一直想找时间修改这个答案，免得误导大家。&br&我下面写的所有东西，都是说，在学习的过程中，除了抓住细节之外，要多想多看，建立大图景，把要学的东西和自己的知识体系挂上钩。这样才能知道为什么要学，学习的过程也会有趣一点。&br&&br&但是请不要觉得能看到大图景，就可以不用在乎细节了。不要觉得会吹牛，就不用做题了。这是因为我们的目标是学以致用，不是吹牛。同时，真正做够了题，你才能确保你看到的大图景是对的，而不是脑补。我说重一点，不做题，那就是民科！&br&&br&什么叫做掌握？对于大学生来说，学习一门课，如果不能严格遵循公式和定理，写满一张A4纸的推导过程，就不算掌握。&br&怎么做到这种程度？认真的做题、认真的抠细节，必要的时候死记硬背，投入大量时间。这些该做的苦工，一样都少不了。&br&&br&原回答分隔线----------------------------------------------------------------------------------------------&br&&br&我不是数学专业的，只是一个像matrix67那样的数学爱好者。意见仅供参考。&br&&br&[理解的意义]&br&很多同学谈到不用理解，我这里想介绍一种相反的方法，打桩法（彻底理解法）。&br&&br&我的记忆力很差，记不住任何不能理解的东西。所以，我一直坚持彻底理解。成果大概是：大学里面的一门数学课，在我脑子里差不多就是半页纸的概念。没有刻意去背，但是怎么也忘不掉。带着这半页纸，基本上可以把书重新写出来。同时，对于这些概念，我不是记住，而是有感情。&br&&br&真的有感情，因为数学从来不无聊。以线性代数为例。我看到了一个蔚为壮观的模式。&br&&br&首先，从物理的角度，这个世界上充满了线性变换、线性关系。微分是线性变换，这就是为什么线性代数可以用来解微分方程组。几何操作经常是线性变换，这就是为什么3d图形学经常用线性代数。物理中经常有线性关系，如牛顿定理、胡克定理、电阻上电压与电流的关系。为什么到处都是线性关系？因为物理中大量的概念都是可以叠加的，如电流、电压、重量、压力，两股电流输入，一股电流输出，则输出为输入之和。而为什么物理概念可以叠加？其本质是守恒性。为什么经常有比例关系？这个我没有好的答案，我只是虔诚的信仰这个世界是简单的，因为简单，所以美。&br&&br&其次，从使用的角度，只要你发现笔下的公式中包含了向量的线性组合、线性方程组、坐标变换、线性变换，不管它们是怎么来的，有没有物理意义你都可以迅速链接到线性代数这个强大的工具箱，大量使用矩阵、行列式、秩、特征向量等概念。&br&&br&最后，你使用线性代数的理论刷刷刷的往后推，得到一个结果。然后你往往可以享受最美妙的部分：理解结果的几何意义。这是因为线性代数链接上了几何。&br&&br&[什么是理解]&br&&br&所谓理解一个概念，就是把这个概念和已有概念建立联系。你对已有概念越熟悉，这个联系越强，你就会觉得自己越理解。&br&&br&楼主谈到中学的每个概念在脑子里都能画出来。这是一种最直观的理解，即把概念和生活体验建立关系。能在中学时代做到这点的同学，基本上都是好学生了。&br&&br&高等数学的麻烦在于：已有概念不是生活体验，而是另外一些数学概念。概念间的联系不是视觉联系，而是逻辑联系。所以，如果不能正确理解基础数学概念，后续概念也就没法理解了。同时，如果不牢牢地把握住逻辑，企图用直观来把握，就会觉得，书上说什么就是什么，我就记住把。反正我不理解。（我不是说直觉不重要，你可以从直觉出发，把这个直觉落实到严格证明，或者先看懂了严格证明，再反向去感觉直觉是什么。随着数学学习的深入，更多的直觉是来自于这后一条路。无论如何，如果忽略证明，只关心直觉，脑子就会乱成一锅粥）。&br&&br&我们现在以欧拉公式为例。&br&首先，我们通过对实数域函数的分析，得到了e^x, cos(x), sin(x)的泰勒级数形式。&br&然后，我们通过对复数域的分析，得出了i^2 = -1。&br&然后，我们假设泰勒级数公式在复数域也成立。&br&e^(iy)
=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....
=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)
+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)
&br&由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,
siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....&br&所以e^(iy) = (cosy+isiny)&br&&br&这个证明是不严格的，真正严格的证明方法需要重新定义复数域上的cosz和sinz函数。但是这个证明充分说明了什么叫数学意义上的理解，那就是一点直觉+一点证明。&br&在复数域上最初我们只定义了加法和乘法。我们从直觉上甚至没法想象e^(iy)是什么，但是，既然大家都是数，我们直觉上认为（或者从美学的角度认为），如果实数域上的泰勒公式在复数域上也成立，那是很漂亮的。基于这个直觉，加上一点点证明，我们就知道怎么定义e^(iy)了。&br&数学家们也是这样定义出高维空间中的超平面的，他们觉得超平面这样定义是美的，且与现有的平面性质吻合。不使用逻辑推导，我们根本看不到超平面。&br&&br&[打桩法]&br&在介绍欧拉公式的证明的时候，我们其实已经初窥打桩法的门径了。也就是，想要理解未知概念（欧拉公式），首先找到自己认同的已知概念（实数域中的泰勒级数），然后建立两者间的联系。&br&&br&现在我系统的介绍一下怎么用打桩法来学习。&br&&br&一本书来了，找到你最有感觉的概念，学习之，即打下一棵桩。不一定非要按顺序读书。采取几个行动：看目录，找有感觉的桩。或者随机的翻开一页，读完，然后问自己这一大段到底想讲什么。既然作者不是笨蛋，他一定想讲些东西。打下几根桩后，你还可以问自己，我现在读的东西和现有的几根桩有什么关系？&br&&br&打桩没有任何约束。一本书上看什么都行，有图画就看看图画，有题目就看看题目。这都行。但凡能帮助你打桩产生感情的内容都可以读。&br&但是桩打到一定程度，脑子里攒了一堆乱七八糟的直觉后，基本上整本书到处都是桩，到处都是你的卧底。这时候你就可以追逐严密性了。看清楚概念。然后看定理，其实概念的桩打牢了，大部分定理都能够自己证明出来。慢慢的就把这本书给啃了。&br&&br&为什么非要自己搞懂定理的证明？因为有的时候你以为你看懂了定理，但是你根本没看懂。逼着自己证明，你才会知道这个定理到底在讲什么。还有一个原因是：定理讲的是概念之间的联系，可以帮你复习概念的定义。同时如果你看不懂一个定理的证明，很可能是你对概念的内涵没有理清楚。很多时候概念的定义就那么几个字，但真是意味深远，一字不可更易。定理得证明不用背，你真的看懂了，就会发现好几个定理的证明其实是同一个技巧，而你自己会不知不觉地把技巧上升为一个概念。你根本就忘不掉这个概念。如果一个技巧只在一处用到，那说明它根本就不重要，干脆忘掉好了。&br&&br&一定要反复理清概念、定理之间的联系。读书的时候，很多概念、定理第一眼看过去觉得这不是显而易见的吗，然后就跳过去了。下一次又看到的时候，因为对于整本书的理解加深了，再看一遍，真有“于无声处听惊雷”的感觉，往往不起眼的一句话，串起好几个零散的概念。&br&&br&当然，有些内容如果一直到最后都孤零零的，和别的概念没什么关系，那很可能是这本书的重点不在这里，所以在这边的讨论很薄弱。干脆放弃也没关系。&br&&br&以我自己学习线性代数的过程为例，解释一下打桩法的心理变化：&br&一、第一遍学的时候，我问自己“线性代数到底在鬼扯什么”？我回答不了。但是听说线性代数和解析几何有关系。我就去学了一本解析几何。有一半内容是中学已经学过的，所以还学得下去。学完了之后，发现书上好几处用到行列式，我就把行列式学了。&br&二、解析几何讲坐标变换的时候，会讲过渡矩阵和矩阵乘法，所以我把线性代数的这两部分也学了。顺便理解了方阵可逆等价于对应的行列式不等于0。因为基于“行列式”和“矩阵”这两个概念，我能够理解“可逆”这个概念。矩阵的初等变换、秩什么的我不理解，所以算了。&br&三、研究线性方程组。高斯消元法和中学学过的解方程很想，所以学了。然后我突然意识到高斯消元法就是矩阵的初等变换，也还是行列式的初等变换，所以基于“高斯消元法”和“行列式的初等变换”这两个我有感情的概念，把矩阵初等变换给学了。&br&四、高斯消元法得出系数矩阵A的秩等于n的时候，线性方程组只有非零解。我对于线性方程组的求解还是有兴趣的，因为经常用到。既然有这么个定理，逼上梁山，把秩给学了吧。真学起来，才发现秩的性质是基于行列式这个我有感情的概念定义的，我自己认为秩其实就是行列式=0这个概念的一个推广。所以学起来轻松愉快。&br&五、接下来是用向量空间的概念定义线性方程组的解结构。这个我以前觉得是吃饱了撑的，既然已经有了高斯消元法，问题都解决了，你还多此一举干什么。可是我学了解析几何啊，我现在知道向量空间就是空间、平面、支线这些概念了。所以我就觉得向量空间这个概念很酷阿。&br&六、说句老实话，我觉得向量空间和向量组没有什么区别阿，光看定义根本不觉得封闭性是个多么了不起的概念。可是读完了线性方程组的解结构才知道，如果线性方程组的解结构不是一个向量空间，而是一个到处漏风的向量组，那么解结构就不能表达成向量的线性组合，一点都不漂亮。这就是为什么读定理真的可以加深对概念的理解，概念里面就是“封闭性”这三个字，到定理里面用起来才知道它其实是屠龙刀。&br&七、我原来一直觉得“线性空间”和“向量空间”这两项内容简直是同义反复。我就问自己，为什么作者非要写两遍。后来结合解析几何，才意识到几何空间就是一个线性空间，几何空间坐标化了之后才是向量空间。而且学完线性代数后，重新去看解析几何的定理，简直焕然一新。当年辛辛苦苦证明的定理，现在就是一句话“我们一般理解的几何空间就是一个三维线性空间。”感觉爽透了。&br&八、在学线性空间之前，我一直喜欢做标量运算，喜欢把矩阵拆成元素来玩。因为我对于矩阵的理解还是停留在线性方程组里面的一个个系数。但是线性运算等于矩阵这个定理一出来，我彻底的被震撼了。矩阵不是一个一个的元素，它就是它自己：线性运算。矩阵的意义，就是我们有了超能力，过去我们只能看一个个标量，现在我们可以把这一堆标量构成的矩阵看成一个整体，作为一个独立的单元来操作。然后就有了矩阵的相似对角化、正交对角化、SVD分解之类的东西。好吧，这几个东西就是我书上的最后两章，我一口气读完了。&br&&br&上面说的是一个极简版的历程，真实的心理历程，是几百个“为什么”、“胡扯”、“跳过去”、“这几个东西有什么关系”这样的问题串起来的，可是这样读完这本书后，所有的概念都活了，我看世界的眼光彻底变了。&br&&br&[打桩法的其他用途]&br&其实打桩法不只可以用于数学，也可以用于任何书籍，包括文科类书籍和小说。读文科的书籍，经常读完了，只有一些印象深刻的地方留了下来。什么地方深刻？耸人听闻的地方深刻，符合自己原有观念的地方深刻。这样读还不如不读。因为你只是不断的在强化自己，或者记住一些耸人听闻（往往不对）的八卦。你的思想高度还是停留在原地。&br&&br&如果用打桩法追求彻底理解，读完之后，你就会知道：这本书的脉络是什么。可以怎么应用于生活中。哪些地方与我的生活体验一致，哪些地方相违背。哪里有逻辑，哪里没有逻辑。&br&&br&读完一本书，你的思想就直接被提升到接近作者的高度，这才是读书。&br&&br&此外，打桩法其实也是一个解题方法。我们解数学题的时候，这里试一下，不行，就换一种方法再试。最后的方法，往往是之前几个不成功的方法（桩）的组合。人生也是如此。理解人生没有捷径。做自己热爱的事情，认真地去做，有一天，你会发现Dots will be connected。那时候你才恍然大悟：哦，原来这就是我的人生。我的人生不是第一个点，也不是第二个点，而是所有这些连接起来的点。&br&&br&[扩展阅读] 学习数学，其实走到概念这一层并没有到头。你还可以问，为什么概念需要这样定义？其实是为了符合人的直觉和有用。数学家想着，我需要定义一个概念，这个概念需要具有什么样的性质（不需要证明，就像物理学家觉得这个世界应该是守恒的一样），因为只有这些性质会让我开心而且有用。&br&你也可以尝试着自己定义概念，不过一定要有用、直观、优美，与现有理论能够有一定联系哦。&br&&br&此外，有的时候，经过一连串逻辑推理得到的结论，暂时没有直观的理解。就好像通过逻辑我们可以定义出高维空间中的平面、球，但是我们看不见。你是否敢相信逻辑的力量？&br&&br&定义概念与相信逻辑的力量，这两者在牛津通识读本的《数学》一书中讲的非常透彻，大家可以读读。看完这本书后，你就会意识到，当读完一本书后，你心中也就没有这本书了。因为这本书所讲的全部内容，都可以基于你自己的生活体验和逻辑完全推出来。&br&&br&数学从来都是一种壮观的模式，像崇山峻岭一样巍峨，像大海一样广阔，可是只有懂得它的人才能看见。欣赏美的最好方法是实实在在的去读数学书，但是为了给你鼓点劲，可以读读《数学的语言：化无形为可见》。
感谢大家的留言，我终于意识到我为什么不满意自己这个答案了，就是因为失了“中正平和”这四个字。 先不谈方法。大家总是在谈方法，我自己也总是喜欢谈方法。但是其实最残酷的回答就是：功夫没下够。大学数学比中学数学难，所以需要更多时间。如果生活中没…
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