用描述法表示下列各集合 （1）绝对值小于4的所有实数组成的集合 （2）y轴上的所有点组成的集
用描述法表示下列各集合 （1）绝对值小于4的所有实数组成的集合 （2）y轴上的所有点组成的集 1.{x|-4＜X＜4｝2.｛(x,y)|x=0,y∈R}
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扫描下载二维码在证明无理数根号2的存在性的时候，用到了两个集合分别为平方大于和小于2的实数集合，并利用实数的完备性来套出这个数证明其存在。那么为什么不要求证明那两个集合的存在性呢？这不是很搞笑么
因为实数是全序 [1] 的，即对任意两个实数x和y，总有x&y或x=y或x&y。实数的平方是非负实数，仍然是全序的，可以互相比较。平方大于 2 的实数 很好地定义了一个集合，你可以讨论这个集合是否为空（比如平方小于 0 的实数构成空集），但是不能讨论这个集合是否存在。[1]
可以不用集合论来证明: 因为复数域是代数封闭域, 所以 x^=2 有复数根, 用待定系数法证明这个根不能是虚数, 所以是实数, 所以存在实数其平方为2.----------------------------补充1-----------------------------补充一下评论里的问题: 这个证明是不涉及循环论证的, 复数域的代数封闭性 (任何复系数多项式有复根) 的证明有很多, 比如可以用解析函数的最大模原理来争, 后者的证明也只是用到实数的完备性而已(这个是必要的, 定义解析函数时要用到). ------------------------------补充2------------------------------------- 另外关于复数, 可以首先定义实数域为有理数域在欧几里德度量下的完备化, 然后定义复数域为其代数闭包, 代数闭包是同构下唯一的, 其同构跟实系数多项式运算交换, 然后证明有序实数对在某种运算下是代数封闭的 (比如用最大模原理), 所以该有序实数对连同其上的运算就是复数域, 然后可以用待定系数法.------------------------------补充3-------------------------------------补充另一个不使用集合论的解析证明:考虑多项式f(x)=x^2-2, 由介值定理知其有实根.介值定理也是只用实数的完备性就可征的 (还有其序结构).
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