计算几何——曲面表示论及其应用_百度百科
计算几何——曲面表示论及其应用
本书主要研究几何目标在计算机环境内的表示、编辑、计算和传输等方面的理论与方法及相关的应用，其中包含连续性方法和离散性方法。书中内容包括计算几何相关的基础理论、多元样条函数的研究方法、局部多项式插值及超值插值、分片有理函数插值、多项式样条空间结构与曲线、NURBS曲线与曲面、曲线/曲面细分方法及曲线与曲面参数化等。本书面向具有本科数学分析和线性代数知识的读者，力求容易入门、由浅入深、讲透原理、联系应用。
计算几何——曲面表示论及其应用内容简介
本书可作为普通高等学校信息与计算科学专业本科生教材，也可作为计算数学
专业硕士生、博士生相关课程的教材或参考书，还可供从事计算机辅助几何设计、计算机图形图像处理等相关领域的科学技术工作者参考。
计算几何——曲面表示论及其应用目录
第1章 预备知识
1.1 射影几何初步
1.1.1 射影平面
1.1.2 平面对偶原理
1.2 关于代数曲线
1.2.1 多项式的结式
1.2.2 Bezout定理
1.2.3 Nother定理
1.3 关于曲线、曲面的基础
1.3.1 向量的内积与向量积
1.3.2 正则曲线
1.3.3 正则曲面
1.4 三角剖分
1.5 Weierstrass逼近定理
1.6 一元样条函数与Bezier曲线
1.6.1 样条函数的定义及基本性质
1.6.2 B样条函数
1.6.3 Bezier曲线及B样条曲线
第2章 多元样条函数的研究方法
2.1 光滑余因子方法
2.2 B网方法
2.3 B样条方法
第3章 局部多项式插值及超限插值
3.1 局部多项式插值
3.1.1 HCT格式
3.1.2 Powell-Sabin格式
3.2 插值算子的布尔和
3.3 矩形域上的超限插值
3.4 四边形Coons曲面片
3.5 三角Coons曲面片
3.5.1 BBG超限插值格式
3.5.2 Nielson的边顶点格式
3.5.3 对称的Gregory公式
第4章 分片有理函数插值
4.1 任意凸多边形上的C0有理函数
4.2 三角剖分上的C1插值有理样条函数
4.2.1 C1广义楔函数
4.2.2 三角剖分上C1插值有理样条的表现
4.2.3 三阶逼近基和插值有理样条的等价表示
4.3 三角剖分上的C2插值有理样条函数
4.3.1 C2广义楔函数及其构造
4.3.2 三角剖分上C2插值有理样条的表现
4.3.3 C2插值有理样条的等价表示
4.4 正则四边形剖分上的插值有理样条
4.5 曲边元上的C1有理样条插值曲面
第5章 多项式样条空间结构与代数曲线
5.1 K[X]mm中模的生成基及其计算
5.1.1 序，约化定理及生成基
5.1.2 计算生成基的算法
5.2 二元样条空间的奇异性条件
5.2.1 最简单的样条奇异性现象
5.2.2 Morgan-Scott剖分上的S12样条空间
5.2.3 S(Δ)空间的奇异性条件
5.3 代数曲线的几何不变量
5.3.1 射影几何中新的基本概念
5.3.2 代数曲线的特征数
5.4 特征数的应用
5.4.1 特征数在代数曲线理论中的应用
5.4.2 特征数在样条空间奇异性研究中的应用
*5.5 任意剖分上低次样条空间的结构
5.5.1 S1K(Δ)样条函数空间的结构矩阵
5.5.2 样条函数空间S13(Δ)和S12(Δ)维数的讨论
5.5.3 三角剖分中网点的序
5.5.4 样条空间维数上界的改进
5.5.5 三角剖分的拓扑性质和它的结构矩阵的关系
5.5.6 关于非奇异三角剖分的生成方法
第6章 NURBS曲线与曲面
6.1 NURBS曲线与曲面的定义
6.2 NURBS曲线与曲面的基本性质
6.3 NURBS曲线与曲面的基本几何算法
6.3.1 NURBS曲线与曲面的几何作图法
6.3.2 NURBS曲线的节点插入算法
第7章 曲线、曲面细分方法
7.1 细分方法概述
7.2 均匀节点上B样条及细分
7.2.1 B样条的节点细分
7.2.2 卷积方法
7.3 正规细分的收敛性及光滑性分析
7.4 曲面细分奇异点处的连续性分析
7.5 常用的几种细分方法介绍
7.5.1 Catmull-Clark细分
7.5.2 Doo-Sabin细分
7.5.3 Loop细分
7.5.4 四点插值细分
7.5.5 改进的Butterfly细分
7.5.6 根号3细分
7.5.7 四点逼近的曲线细分方法
7.5.8 非静态的曲线细分方法
7.6 算法及实现
7.6.1 数据结构
7.6.2 Loop细分算法
第8章 曲线与曲面参数化
8.1 曲线参数化方法
8.1.1 均匀参数化
8.1.2 累加弦长参数化
8.1.3 向心参数化
8.1.4 修正弦长参数化
8.2 关于累加弦长参数化的进一步讨论
8.3 曲面参数化方法的畸变度量
8.4 重心映射参数化方法
8.4.1 三角网格曲面表示
8.4.2 重心映射方法
8.5 几种常见的重心映射参数化算法
8.5.1 均匀参数化
8.5.2 保形参数化
8.5.3 离散调和映射参数化
8.5.4 中值坐标参数化
8.5.5 基于Ricci流的曲面参数化
8.6 数值结果与分析
企业信用信息表示论都在做什么？几何表示论是什么？
　　谢邀，被点名了那必须好好答，不过我的水平还不能够对整个学科整个方向给个general的描述，自己的理解什么的也很有限，尽力而已，大家有问题可以问，我尽力。。。关于表示论忘记是哪本书上看到的说：表示论的思想是把不熟悉的数学表示成熟悉的东西。不过具体实现，就是题主说的到所有自同构的同态。比较系统的表示论理论大体有三块：群表示（gtm42，Serre的书是个很好的参考另有Etingof的一个lecture notes，http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-712-introduction-to-representation-theory-fall-2010/lecture-notes/MIT18_712F10_replect.pdf）、李代数的表示（gtm9，Humphreys是很好的参考书）、结合代数的表示，或者说quiver的表示（参考书随便附个链接，但是书是这本Elements of the Representation Theory of Associative Algebras Techniques of Representation Theory）。这几本书都是本科基础可以读的。群的表示是表示论最初的结果，也是相对而言最完整的理论，最初量子力学里对夸克的分类就是通过群SU(3)只有三个不同的不可约三维表示得到的，这也是表示论最初的动机和起源。有限群的表示是有完全分类的，结果也很漂亮。李群也是群的一部分，并且因为有拓扑结构，有限群的结果可以扩展到紧李群。李群在单位元处的切空间定义了李代数，李代数也是研究非交换代数，非交换几何的重要手段之一（李代数研究的就是交换子，交换子不为零等价于非交换）。因此李理论在表示论中，以及在整个数学中，也很重要。多说一句，李代数的理论对有限维半单李代数有比较好的结果。然后说结合代数，学过抽象代数的话会知道，结合代数比环只多了数乘结构，而在有加法的情况下数乘是很容易定义的，因此结合代数的表示几乎等价于环上的模，模论在抽象代数中的重要性大家懂的，因此结合代数的表示论也就很重要。另外群代数是结合代数的一种，因此群表示可以算是囊括在结合代数表示里的，不过群表示有更简便的研究方法，所以一般也不会用quiver去研究群表示。以上是很基础的表示论框架，如果要读这个方向的研究生的话，以上相关知识应该在研究生第一二年内甚至更早完全掌握，而后才能接触比较新的研究。关于几何表示论所谓几何表示论就是用几何手段研究表示论问题（其实还是代数用得更多）。具体一点的话（这是我老板说的，不敢随便盗版权，说错了也不是我负责嗯）：把某些对象上的表示等价于某几何对象的同调上同调或者K-理论。以下介绍几个最近比较热的工具或者方向（想起来再补充或者修改）。1. Springer theory这个应该是最早的（好吧其实是我没有听说过更早的），参考书的话，华丽丽的介绍几何表示论的入门书：Chriss & Ginzberg, Representation Theory and Complex Geometry。有个很重要的研究对象叫（n维）flag variety设为F，考虑G=GL(n)在其上的作用，得到一个homogenous space，F=G/B，B是Borel subgroup。另一方面，取定G对应的李代数g里的一个Borel subalgbra，b，考虑G在g上的adjoint action，可以得到F同构于g的所有Borel subalgbras组成的variety（按照定义是Grassmannian的一个subvariety）。取N为g中所有幂零元，N'为N*F的子集，其中元素（x,b）满足x属于b。N'称为nilpotent cone。从N&到N的投影是个resolution of singularity，称Springer resolution。这里插一句N'事实上也同构于F上的cotangent bundle，因此有辛结构，然后从这里还能讲一大篇故事，后面会再提到。最后N'和N'在N上做fiber product得到的东西叫Steinberg variety。神奇的事情来了：Steinberg variety上的（Borel-Moore）homology同构于g（或者说G）的Weyl group的群代数。于是Weyl group的表示论就被放到几何中了。上述中的李群G可以用任何有限维紧李群代替，都有类似的结果。2. D-modules根据Etingof的课，（lecture notes可以在Etingof的主页找到）D-modules最初出现的动机是纯分析问题，关于函数的解析延拓，后来发现这种问题可以转化成纯代数问题，考虑某个variety上所有differential operators组成的algebra/ring上的模论，也就是其表示论。事实上每个D-module都是某个微分方程（组）的所有解组成的，所以D-modules的理论跟微分方程有一定联系。另一方面，某个variety上所有differential operators组成的环是该variety的coordinate ring的一个量子化，因此D-modules的理论在deformation/quantization的研究中也相当重要。3. Hall algebras这个是把quivers和Lie algebras联系起来的一个理论，了解quivers和Lie algebras的话会知道二者的分类都是用Dynkin diagrams，那么同一个Dynkin diagram对应的quiver的loop algebra和李代数之间也应该有联系。Ringel对给定quiver构造了Hall algebra，并且证明了其同构于对应李代数（的Borel subalgebra）的量子群。而后Lusztig用perverse sheaves定义了Hall category，是Hall algebra的（弱）范畴化，也是著名的Lusztig&s geometric construction of canonical bases（据Zelevinsky和Fomin说这是他们定义cluster algebra的最初动机）。4. Nakajima quiver varieties这是从quiver构造李代数的另一种方式（构造过程用到了同调），比Hall algebra更神奇的是这种方式还给出了李代数的最高权表示的构造。这是Nakajima最初定义这个东西的动机，后来大家发现这个东西神奇之处远非如此而已。比如构造中用到了doubled quiver，对应的moduli space of representations就产生了cotangent bundle的结构，进而有辛结构。构造中同样用到了GIT quotient，从GIT quotient到geometric quotient有满射，可以证明在Nakajima的构造中GIT quotient是光滑的。因此Nakajima quiver varieties提供了symplectic resolutions中很重要的一类例子。很多做几何的人也很关心symplectic resolutions的性质，所以Nakajima quiver varieties的研究现在很热门。5. categorification把一个代数进行范畴化有两种方式：a.构造一个范畴，然后该范畴的K理论是原来的代数；b.Grothendieck sheaf-to-function correspondence。方式a适用范围更广，方式b更容易构造，但是如果方式b适用，应该跟a得到等价的范畴。其中比较特别的一类，是李代数表示的范畴化，也叫categorical Kac-Moody action，除了上面说的之外还有其他条件要满足，好处是可以引入Hecke algebra及其表示，进而利用相关的结果。这也是目前关于范畴化的研究中最活跃的部分，比较漂亮的结果就是KLR algebras（Khovanov-Lauda-Rouquier），也叫quiver Hecke algebras。6. Langlands program好吧这个我不懂，一直停留在被科普阶段，每次被科普都先科普物理，但是我不懂物理，所以听着听着就听不下去了。写得很仓促，又很长，各种疏漏敬请指正。
悦读热门媒体表示论都在做什么？几何表示论是什么？
既然一楼已经给出了第二个问题的概括性回答（某些归类可能存在问题），况且几何表示论恰恰是我不太熟悉，而且也不专门搞的领域，所以对这个问题只作补充。 然而要回答第一个问题，就算按照一个提纲挈领的标准来要求的话，恐怕写上几十页也是写不完的。数学在上个世纪有了爆炸性的发展，以至于像“表示论”这样的三级学科都几乎不存在“通才”的概念了，所以首先要注意到这个问题。 以下内容遵循三个原则： 1.在wiki等ency上可以很容易找到答案的，统统不写或一带而过；楼上提到的，不多作重复。 2.我熟悉的比较有把握东西，会多啰嗦几句；不熟悉的东西，会按照自己的理解去描述，但仅仅是漫谈性质，不能保证绝对准确，读者可以通过日后的学习加以鉴别。 3.本人也仅仅是学生，希望存疑的地方能够共同讨论。1. 什么是表示论？想必各位已经看到过为数众多的“一句话讲清楚XXX”问题了，那么我只能说，这个问题不属于这类范畴。一个比较恰当的回答可能是，表示论有哪些内容，具体有哪些应用。 因为我已经提过，即使要完整概括这个，也是像写长篇小说一样困难。但我尝试用几页的篇幅来回答。 对于本科水平的学生来说，Etingof 等人的这本书值得作为科普入门,较全面地总结了baby level的东西，值得一看： 按照书中第一句话的描述，'representation theory studies symmetry in linear space'。在代数中，symmetry 自然就理解为group。当然，这样一句概括性的描述完全不能让人体会到表示论的奇妙之处。 某位大数学家曾经声称，“物理就是几何”，我当然不能很赞同这种定论性质的定义。表示论也同样。每一个学科都是在不断发展变化的，也许就在我码这些字时，又会有很多新的结果被发现，过上一二十年，这个学科看上去可能就已经面目全非，所以比较靠谱的办法就是，罗列举例。总的来说，表示论的基本内容是两大块，group representation and Lie algebra representation.Lie theory 研究的是 group 的 infinitesimal性质。1.1表示论的已有内容 1.1.a Baby level 'baby' 并不完全等于'easy',这里只表示他们是基本的，最早被讨论的，现在（可能）缺少新的进展，虽然需要比较熟练的掌握，但已是陈年老酒，不适合作为 research topic 。1.1.a.1 Ordinary representation of finite groups这是表示论的滥觞，从Frobenius,Schur 开始 到 Brauer,Artin 等人的时代 ordinary 的情形已经发展完备了, 基本上是Serre 的前两部分内容。1.1.a.2 Complex(Real) representation of semisimple Lie algebrasHumphreys 的书基本上就是讲 complex case 的（除去最后一章）。这个从Cartan-Killing开始到Weyl,再到Dykin 作的简化，早已经是成熟内容了。Real case 在 Knapp 中有讨论，要复杂一些，但也已是往事。1.1.a.3 Representation of compact Lie groups这个在Weyl 的时代也已经成为被终结的领域了，已经成为经典调和分析的一部分，依赖于很多 1.1.a.2的概念和方法，和基本的泛函分析。有各种各样的数学和物理教科书讨论这些内容。 1.1.b Advanced leval这里的advanced指的是与1.1.a有递进关系，同时有很多research topic 的领域，有很多方面也已经很完备了，但仍有未解决的问题。这个做穷举很有困难，你看看Humphreys的appendix就知道了，但我做一下尝试。 1.1.b.1 Modular representation of finite groups这个从 Brauer 开始也已经有了很大发展了，但最近的发展，我不了解厄。 1.1.b.2 Representation of infinite dimensional Lie algebra这实际上是相当相当庞大的一个领域，至今仍然非常活跃，有机会可以多提一些，今天就算了。 1.1.b.3 Vertex (operator) algebras与1.1.b.2有着相当紧密的关系，有部分属于reformulation，但是也会出现许多新的对象比如 W-algebra, lattice vertex algebra, Monstrous Moonshine等等，这个也放在日后吧。 1.1.b.4 Representation of infinite diemensional groups与1.1.b.2,1.1.b.3有着密切关系，但是已经比有限维的情况困难很多了，牵扯到一些algebraist比较讨厌的分析问题，还处在发展当中。1.1.b.5 Representation of Semisimple Lie groups这里主要讨论的是 non-compact 的情形，依赖于很多分析的结果，也有很多问题未解决(比如
的 unitary dual)。1.1.b.6 Automorphic forms and automorphic representations一楼所说的 Langlands program 指的就是这个学科。按照分类来讲，它不是geometric representation 的内容，而是和数论，以及上面的1.1.b.5 有着很大联系的一门独立学问。当年 Langlands 最早就是工作在1.1.b.5的这个领域的，给出了著名的Langlands classification。当然最近Ngo 用几何方法解决了 fundamental lemma,可能让人误以为它是geometric representation 的一个分支。这个领域现在与AG方法并列，成了数论中的 mainstream之一。1.1.b.7 Representation of quantum groups 这个是曾经在80s大热过一段时间的topic, 估计制造出了几万规模的paper,不知道养活了多少人。但是，'quantum groups are not groups',严格来说是利用 李代数
的 universal enveloping algebra 的Hopf algebra structure, 通过 $q$-deformation 制造出的一类特殊的结合代数。1.1.b.8 Representation of finite groups of Lie type这是由Chevalley 首先发展起来的，利用Lie algebra 的理论反过来来研究finite simple group and their representations,也是一个非常有趣的，不断发展中的方向。Chevalley 自己就发现了一些之前未发现的有限单群。Deligne-Lustzig理论利用 $l-adic$ cohomology 找到了某些单群 在之前missing的一些表示, 一个典型的被作用的对象就是Drinfeld curve，利用的都是典型的 geometric representation 的方法。1.1.b.9 Representation of algebraic groups研究 Lie group 在 一般域上的推广，但是依赖于很多1.1.a.2 的概念和结论，以及相当多的 algebraic geometry。这在数论上有很多的应用，但我不熟悉。1.1.b.10 Chiral algebra and Factorization algebras个人估计，做表示论的，十有八九都没听说过这个……Chiral algebra 是在QFT里面已经有的概念，但很含糊，直到Beillinson,Drinfeld 在花了好几年后，于2004年写了一本monograph，才利用D-modules 给出了比较mathematical 的定义。同时他们也把 Vertex algebra的概念吸收进入了Chiral algebra（不过这本书的第一章真是……）。最近（5-6年左右），Costello 等人又从QFT的角度出发，发展出了Factorization algebra 的概念，某种程度上，这两个概念是等价的（但是这个概念，我还不能理解……）这些概念是否能带来新的重大进展，值得期待。………………你会发现我抄了很多Humphreys appendix 的内容。我觉得那是对表示论相当一大部分方向一个很好的总结，但我尽量写一些不同的东西。……………… 1.2 表示论于其他分支的联系与应用你会发现，上面这些东西看上去实在是太，tedious and boring, 我也是这么觉得的。无奈，要想在数学这们学科里天马行空的自由发挥，必然要经历一个漫长而又痛苦积累训练过程，否则只能失业或者成为民科。为了看上去 self-consistent，我也只好这样。 窃以为，看待数学里面的一样东西多么有趣，并不在于它有多么晦涩艰深，逼格多高，而在于是否与其他对象存在广泛联系。这是一门学问长期发展充满活力的基本动力，否则只能走向死亡的象牙塔尖。 表示论的真正趣味就在于，它的关系网真是非同一般的不寻常。在这里也许能举出来一些例子。1.2.a representation theory and mathematical physics众所周知的是，1.1.a内容的极大发展，完全托 20s quantum mechanics 和 quantum field theory 的福。 只管来看，许多 quantum state, 都可以看作是 某些 compact group 在 Hilbert space 上的不可约表示，于是我们就只用讨论有限维表示。一个非常具体的例子就是，对于 quantum harmonic oscillator, 所有的 state 正好对应于 一个 -triple 的不可约表示。 如果把Hamiltonian 写作
那么 升降算符 粒子数算符其中 x,p 满足 canonical commutation relation正好形成了这个triple, 而 H 则对应了 Casimir operator(就是那个发现Casimir effect 的)。这个例子详情可以参考wiki上的词条，其实也可以自己动手算算，还是很有意思的。如果用微分算子表示（下面的1）它的highest weight 是什么呢？你会发现，是 Herimite polynomials！Remark:1. 如果不习惯operator 可以直接取
2.为了防止麻烦所有有关常数=1(h,m,……) 3.严格来说，要取完scaling 才是严格的-triple，这里为了防止麻烦就省了。 另外一个非常典型的例子就是 Hydrogen atom, 也出现了同样的 -triple 结构。但是这个转换过程要麻烦一些，要从symmetry 到 symmetry, 再取Lie algebra, 做 complexification……所有的物理量都有表示论的对应 角量子数————不可约表示的 highest weight
磁量子数————不可约表示的 weight 实际上,Hydrogen atom system, 是具有 symmetry 的。这导致它还有一个特殊的invariant——Runge Lenz vector，但这里不需要。 进一步的，还要讨论 Clebsch-Gordon 系数， Racah-6j symbol。其实这些就是讨论tensor product 的 decomposition, 还有 intertwining operator。 以CG系数为例，本质上就是表示 highest weight= 的 irreducible module, 所谓 CG 系数就是。 很奇怪的一点是，物理系的人对于这些东西比数学系的其实要清楚很多，但是他们比较痴迷于指标计算，不太关注数学本质；而数学系的学了这么多抽象理论，大多数却不 知道这些具体的例子，实在让人感到遗憾，而这些都还只是baby version的。 进一步的，还有
symmetry 对应了 isotopin。 这个没有机会认真算过所以就不提了。 有限群的表示也是有很多用处的，典型的就是，crystal 的 symmetry 是有限群，分析他们的表示，可以得到有关crystal energy spectrum 的信息，这类似于一种discrete Fourier analysis。 这里提到的，统统都是baby level 的。所以故事还远没有完结。关于无限维表示很有趣的一个情况是，对于1.1.b.5 第一个结果实际上是物理学家Bargmann做的 有关
无限维表示的（也许Wigner 和 Dirac 更早，但我没考证过，反正他们都是……），然而，后来从来没有发现他们在物理里面有任何应用，反而，直接导致了Harish-Chandra 和 Langlads 的一系列结果，通过 automorphic representation,导致了数论的一场革命！（Langlands 的某篇paper讲到了这个事实）这不能不说是一种 Unexpected useless. 对于上面1.1.b里的其他领域，几乎都能找到在物理里面的影子，或者说，是物理学家发扬光大了这些领域，比如 Kac-moody algebra 和 string theory and 2d conformal field theory,；quantum group 和 integrable system，当然还有上面提到的，chiral algebra, factorization algebra 与QFT的关系。由于精力有限，我也只能了解他们的某些mathematical aspects, 所以有趣的东西，大家就自己发掘吧……1.2.b Representation theory and number theory提到这个，那么所有专家的脑海里只有一样东西，automorphic representation. 说起来非常惭愧，我也不懂 automorphic representation，只是顺便学过一点，所以也没办法在这里胡吹海讲。大概全世界活跃在这个领域的，恐怕,在中国呢，称得上砖家的么，也许是。某professor 曾经说过，很多人在这个领域混了八年十年，也还只能了解其中很小一部分的皮毛，毫无作为，有几个师兄么，也被折磨得相当痛苦（当然也有很NB的）。我想主要原因可能并不是这个领域真的是有多么挑战智商，恐怕还是这门行当门槛壁垒已经被专家筑得太高了，以至于非专业人士根本无法进入，非有超强毅力、非凡胆识、优越工作条件人士能够到达research level。所以很早就有人提醒，不适合做这一行的，一定不要勉强。不过么，非专业的认识，很多时候还是有必要了解一些外围的基本事实的。 表示论和数论，最早的联系，应当就是 Dirichlet character,相当于是最最最简单的，循环群的一维复表示。当年Dirichlet 用这个证明了那个那个经典的结论就不重复了；还有各种reciprocal law, 最后都可以用 的表示（class field theory）来解释……此后的故事讲起来，就相当费劲,即便是我能理解的，也不是我这个学生能讲清楚的，所以仅列举一些事实。一个很有趣的情况是，所有的已知特殊函数都与表示论（对称）有关,这也许是回答‘特殊函数为何特殊’的最概括性回答。例如，从的表示论出发，可以非常自然的得到模形式，它和discrete series 表示的highest weight vector有一个对应，当然表示是无限维的(可以参看mathoverflow 上的回答，Borcherds还给过哦); 的表示的矩阵元，正好是一些超几何函数；通过Weil representation, 利用-lifting, 可以从一个非常trivial的特征函数（特征集合上取1，其它取0），得到 函数!而这些函数在数论中的用处，都是众所周知的。不过讨论这些，必须要用 Adelic的language；要想理解Langlands program 的基本含义，还需要class field theory(这个真的没学过，不懂), 还有1.1.b 里面相当一部分的内容。所以仅仅是要得到最基本的结果，负担是很重的，很多时间都要被迫花在习惯一种language上。 此外还再提一句，被媒体炒作的相当红火的Fermat 大，其中相当一部分计算都是和表示论有关的。甚至可以被看成Langlands program的一个小练习。从Langlands 提出program 到 Wiles 的‘应用’，过去了四分之一个世纪。 Automorphic representation 还有相当多的问题有待解决。1.2.c Representation theory and combinatorics这个大概也可以算作和数论之间关系的一部分，但还是有其自己的趣味。一个经常出现的对象就是，Young tableaux。它是一种纯粹的 combinatorial object, 但在表示论中频繁出现（比如的不可约表示，对称群 的不可约表示），而且反过来，利用表示论的结果可以得到一些组合公式，而这些组合公式背后的correspondence都是很难看出来的。比如 hook length formula。 Weyl group 和 Coxeter group这些在表示论里出现的对象，本身就是combinatorial的。一个非常著名的例子就是Kazhdan-Lustzig conjecture的解决，问题表面上是combinatorial 的，但最后被 Beillinson,Bernstein,Kashiwara,Brylinski等人用几何表示论(D-modules,pervese sheaf, and intersection cohomology)解决的。（貌似直到最近，才有Elias-Williamson的代数证明）这也不能不说是一个奇观。 另外还有一大类例子，从Kac-Moody algebra 表示的 denominator formula, 可以得到一大类组合恒等式，这些都是经典的结果。 前两段都是“如是我闻”的性质，因为我不做这方面的东西，道听途说而已。1.2.d Representation theory and analysis如一楼所说，表示论里一个非常重要的几何工具就是，D-modules。然而从历史上来看，它是从分析里面来的。发展广义函数理论，一条线路就是众所周知的Schwartz 的distribution theory；还以一种approach, 就是 Sato 的 hyperfunction 理论。后者相对来讲没有前者那么popular,但是却使得Sato 和 Kashiwara 发展出了D-modules 的系统理论，而且比较符合物理学家的approach，因为他们考虑的是 sheaf of holomorphic functions (物理学家更关心的是解析函数)。在一般情况下，一个在 区域上的hyperfunction f 就被定义成了 上系数在
中的sheaf cohomology 的一个元素, 而且，微分算子也自然的作用在这上面。（这里应该有一个嵌入,是在上的） 更一般的，在代数里面，也可以定义derivation；对一个交换代数
可以类比定义 rings of differential operators, 进而按照 algebraic geometry 的标准做法，在scheme
上把 sheaf of regular functions
扩充成 sheaf of differential operators ，把
modules的概念扩充成-modules (因为非交换，所以有left和right之分)。这样就发展出了一整套特殊的'non-commutative algebraic geometry'。至于其应用么，在前面已经提到过了。在解决K-L conjecture的方法中，考虑的就是把 嵌入到 中，其中 是所谓的 flag variety。当然这是一套比较庞大复杂的东西，不是一时半会儿就能学会的。 另外一大块比较经典的分析内容，就是群上的调和分析，这是一个相对比较老的topic。因为分析的一般理论考虑的对象过于宽泛，所以比较‘有趣’的问题，是考虑具有对称性的分析问题，这自然就引出了群伤的调和分析。经典的Fourier analysis 就是 上的调和分析。此外，1.1.b.5中也需要相当多的群上调和分析，最重要的就是trace formula。我没看过这些东西的细节，也就不多讲了。 还有一个比较有趣的联系，存在于表示论和某些与可积系统有关的非线性PDE。利用vertex operator的理论，可以得到 KdV 和 KP 方程的一大类解。这些同loop group 之间也存在着很深的联系。但是， Saito-Jimbo-Miwa-Hirota的Kyoto school发展出的这一套东西已是80s的昨日黄花了，看不出继续沿着老路下去还能有何作为，但是了解这一领域的某些东西，也许还有利于挖掘新的东西。1.2.e Representation and geometry至于表示论在几何上的应用，最简单的一个例子就是，表示出现在了 Kahler manifold 上几个operator identity 中。可以看Griffith-Harris的书。 和1.1.b.7 对应的很大一块应用，就是可以通过 quantum group(比如 Hecke algebra 作为Weyl group 的 deformation) 的表示，制造出 knot invariant，包括非常著名的各种polynomial 。大概就在做operator algebra 的 Jones 发现了 Jones polynomial 之后，伴随着Drinfeld 等人掀起的 quantum group 的火热研究，这方面在80s,90s也掀起了一大波高潮，至于research的最新进展，我不清楚。 此外鉴于认知的局限，我就很难再想象到其它什么了（或许还有，cohomology of Hilbert scheme 可以给出 Vertex operator的表示？但我没有理结果这个到底是什么意思）。可能相反的，更值得讨论的是，How geometry is applied in representation theory？也就是，几何表示论。………………………… 1.2. 这样大概是硬把表示论和所有主要学科联系上了。其实还有很多散在于各种问题的表示论应用。其它的，比如和operator algebra, random matrix, Low dimensional topology……一个方法可能是，你去寻找 representation theory and XXX,很有可能会找到搜索结果。………………………… 1.3. 方法与其说几何表示论是表示论的某一个方向，不如说它是一种方法，或者说，是用几何方法来研究表示论。有些类似于微积分中，你用变量替换求积分，用分布积分求积分，用complex variable 求积分，但从来都没听说过这些是微积分里的‘分支’。1.3.a Associative algebra and module theory这可以说比较传统的方法了。由于有限群表示可以化为群代数的表示，李代数的表示可以化为的表示，所以associative algebra 和 module theory 的基本理论还是可以解决大部分基本的问题的。可以参看 Curtis-Reiner 的大板砖（恐怕没几个人能全看下来，而且有些老旧，基本针对群表示）1.3.b Homological method and K-theory 这里说的是algebraic方面的。Group cohomology 和 Lie algebra(group) cohomology 在structure theory 和 representation theory 里面起着很重要的作用，虽然，个人感觉cohomology 学起来是相当枯燥无聊的，像是在被洗脑，又有些像那些求积分做的复杂的变量代换和分部积分，但是没办法，他们就是有效，而且确实是有意义的，特别是低阶的情形（这个问题有人回答过）。 另外前面也已经两次提到了cohomology, 一个是Deligne-Lusztig theory, 另外就是hyperfunction,这大概是由于，某些tautological的表示并不是很有意思（貌似做表示论的都会领会‘有意思’的意思，但我不能领会），但在take cohomology之后，却变得很有意思，有点类似于hyperfunction的做法。 另外，K-theory也是一种很重要的方法（我不懂K-theory,平时也没用过，几乎什么都讲不了）1.3.c Geometric method这个当然就是所谓的几何表示论了。可以说，geometric representation theory 是最近几十年发展起来的非常具有活力和前景的系统方法和理论，可以说，和Lie theory 有关的几乎所有方面，都可以进行Geometrization。可以说，geometric representation 的 一套dogma就是，find a geometric(sheaf) realization, then take cohomology（我是在念打油诗，不要太当真。另外有很多地方的object并不真的是sheaf, 而是某种Derived category,但同样可以做cohomology. K-L conjecture 里面就是这种情况）。个人还是非常羡慕有机会学做 geometric representation 的人们的，不过么，还是爱一行干一行的好。 既然前面一楼已经提到了geometric representation 的相当多内容，那么我也就不再重复一些内容了。一个‘史前’的例子就是，Borel-Bott-Weil 定理，把compact semisimple Lie group 的 irreducible representations(对应于 highest weight ) 实现成为 flag variety 上的 holomorphic line bundle , taking cohomology。 这个大概算是algebraic theory 的一种 geometric formulation，似乎还看不出来有新的东西。 然而最近几十年来的发展才真正显示了geometric method的威力。除了一楼提到的，最为明显的，莫过于上文提到过的Deligne-Lusztig theory,以及 K-L conjecture 的解决(perverse sheaf, D-modules, intersection cohomology)，以及最近一期(2010)Fields, Ngo 用 Hitchin fibration 解决了 fundamental lemma。 还有值得一提的就是以 Edward Frenkel（XXX的老板）,Dennis Gaitsgory, Pavel Etingof 为代表的，可以被称作是Gelfand school 新生一代吧。（这群（前）苏联人虽然丢失了自己的祖国，但却攻陷了米帝的各大top universities的数学系）他们应用各种 AG的工具，来研究loop group, Kac-Moody algebra, vertex operator的表示，其对象通常已经不是Scheme, 而是对应的‘affinization'， Ind-scheme。可以参考Frenkel的一系列文章。最近他们好像关注于geometric Langlands,这方面不懂，就不再多扯了。当然，引入chiral algebra 的Drinfel和Beillinson 也不得不提。Drinfeld 甚至可以称得上是足够拿两次Fields 的杰出人物。 其它的,诸如 Springer theory,Ringel-Hall algebra, Nakajima quiver,Khovanov homology and categorification, 我都只是扫过几眼，我相信自己不能比一楼解释更多了。 几何表示论不是我的专业，但还是会比较关心的，也许某一天真的会用到，在此恕我扯了这么多。1.4 后话有两位大老曾经表示，中国的数学应该是各学科中最先赶超世界最高水平的，如今看来，这预言几乎是落空了。至少现在来看，国内个别学校的数学研究水平异军突起，但总体依旧是停滞不前，虽然这一状况在未来十年内还是很有希望得到大的改变的。 不过我觉得，相比较而言，表示论倒应该是最先达到世界最高水平的数学方向。相比较而言，华人在这一领域还是有过比较系统性贡献的，最近也涌现出了一系列年轻的领军人物。也正如前面所讲的，表示论是这样一门体系完整优美而又充满活力和广泛联系的学科，以至于单纯的学习，也能给人带来很好的享受，所以我愿意花这么大的篇幅来闲话。 当然，对于专门做某一方向的大多数人来讲，初期的经历会是相当痛苦的，通常只能从比较tedious,ugly的小东西开始做起，还要冒最后一无所获被迫转行的风险。所以，坚强的毅力和信念，循序渐进的规划和学习，恰当的导师、题目选择，良好的心态和品格，再加上主动的思考和讨论，远比个人的聪明才智要重要。 因为实在没有发现有其它什么有意思的问题了（跟overflow甚至exchange都差太远），所以只好多在这里灌水。我只是学生，被专家看到会笑话的，所以希望大家先帮忙指正错误。 就讲这么多了。美景都在那里，快乐都是要自己去寻找发掘寻找的。
来源：知乎
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