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3秒自动关闭窗口第七章 线性变换(小结)-五星文库
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第七章 线性变换(小结)
导读：第七章线性变换(小结)，本章的重点:线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法.，本章的难点:不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.，线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在，本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和，一、线性变换及其运算，1.基本概念:线性变换,可逆线性变换与逆变换;线性变换的值域与核，秩
第七章 线性变换(小结)
本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法.
本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.
线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.
本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换.
一、线性变换及其运算
1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.
2. 基本结论
(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组
(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.
(3) 线性变换的基本运算规律(略).
(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.
(5) 线性空间V的线性变换A的象Im(A )= A V与核kerA
-1(0) (a) A的象Im(A )= A V与核kerA
-1(0)是V的(A -)子空间. (b)若dim(V)=n,则Im(A )由V的一组基的象生成: 即设V的一组基?1,?2,...,?n, Im(A )= A V=L(A?1, A?2,… ,A?n)={ A ?|??V}.
-1(0)= { ??V| A ?=0}.
(c)A的秩(dim Im(A ))+A的零度(dim kerA )=n.
(d)A是双射?A是单射? Ker(A)={0}?A是满射.
(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V的一组基:
取ImA的一组基?1,?2,??r,存在?1,?2,...?r,使得A ?i??i,i=1,2,…,r. 再取kerA的基?r?1,...?n,则?1,?2,...?r,?r?1,...?n,就是V的一组基.
二、线性变换与矩阵
1.基本概念:
(1)线性变换在基下的矩阵:
设A ?L(V),取定n维线性空间V的一组基?1,?2,...,?n,则A?1, A?2,… ,A?n 可由?1,?2,…,?n线性表示, 即
(A?1, A?2,… ,A?n)=( ?1,?2,...,?n)A,
矩阵A称为线性变换A在此基下的矩阵.
(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:
设?1,?2,...,?n,?1,?2,...,?n是线性空间V的两组基,
(?1,?2,...,?n)=(?1,?2,...,?n)P,
(A ?1, A ?2,… ,A ?n)=( ?1,?2,...,?n)A,
(A ?1, A ?2,… ,A ? n)=(?1,?2,...,?n)P?1AP.
2.基本结论
(1) 若?1,?2,?,?n是线性空间V的一个基, ??1,?2,?,?n?V,则存在唯一A ?L(V),使得A (?i)??i,i?1,2,?,n.
(2) 在取定n维线性空间V的一个基之后,将V的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。
(3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之,若两个矩阵相似,则它
们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.
(4) 若在线性空间V的一个基?1,?2,?,?n下,线性变换A对应的矩阵为A,向量?的坐标为(x1,x2,?,xn),则 A的秩=秩(A),A(?)的坐标
?y1????y2?????
???y??n??x1????x?A?2?. ????x??n?
三、特征值与特征向量
1.基本概念
(1)特征多项式
设线性变换A在V的一组基?1,?2,?,?n下的矩阵为A, 则
f(?)?|?E?A|??n?(a11?a22???ann)?n?1???(?1)n|A|
称为A的特征多项式.(的根就是A的全部特征根).
设?1,?2,…,?n是f(?)的全部根, 则
f(?)?(???1)(???2)?(???n)??n?(?1??2????n)?n?1???(?1)n?1?2??n. 由大多项式相等, 得
Tr(A)= a11?a22???ann??1??2????n,
|A|??1?2??n.
(2)线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量:
若A ?=??, ??0, 则?称为A的特征根(特征值), ?称为A的属于特征值?的特征向量.
(3)化零多项式
设g(?)是一个多项式,使得g(A )=0(g(A)=0),则g(?)称为A (A)的化零多项式.
(4)最小多项式---化零多项式中次数最低者.
(5)特征子空间---A的属于某一个特征值的全部特征向量作成的集合:
V?0?{??V|A ????}.
2.基本结论:
(1) 线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略)
(2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
(3) 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,反之不然.
(4) Hamilton?Cayley定理:设线性变换A在某个基下的矩阵为A,f(?)?|?E?A|,则f(A)?0,f(A)=0.
四、对角化问题
1. 基本概念:
(1)不变子空间---设W是V的子空间, A ?L(V), 若A W?W, 则称W是A的不变子空间, 简称为A C子空间.
(2) Jordan标准形---设A ?L(V), 则必存在V的一组基, 使得A在此基下的矩阵为Jordan标准形.
2. 基本结论:
设A是数域P上n维向量空间V的一个线性变换,则
(1) A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵?A有n个线性无关的特征向量.
?V可以分解为n个一维不变子空间的直和
?A的所有不同的特征子空间的维数之和等于n
?A的最小多项式没有重根
?V可以分解为特征子空间的直和.
因而,当A有n个不同特征值时, A必在某个基下的矩阵是对角形式.
(2)设A为n阶矩阵，则A必与一个Jordan标准形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序的意义下，这个Jordan标准形是唯一的；而A与对角矩阵相似?A的最小多项式无重根.于是，当A的特征多项式无重根时，A必与一个对角矩阵相似.
第八章 ??矩阵(小结)
一、基本概念
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如何证明线性变换的值域与核都是v的子空间
提问者采纳
b属于KerA，又ImA是V的非空子集合（由A是V上的线性变换可知）;属于ImA且ka&#39，所以A（a+b）=Aa+Ab=a&#39、b'，从而KerA是V的子空间（2）对任意的a&#39、任意的数k;直接按子空间定义去验证即可;=kAa=A（ka）属于ImA;;属于ImA，有A（a+b）=Aa+Ab=0且A（ka）=kAa=0;+b&#39，存在a、Ab=b&#39：（设A是一V上的线性变换）（1）对任意的a，任意的数k，又KerA是V的子集（且显然非空因为0属于KerA），所以a+b与ka均属于KerA、b属于V使得Aa=a&#39
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