2007级数学史试题A-五星文库
免费文档下载
2007级数学史试题A
导读：19.拉格朗日在《解析函数论》一书中，主张用来定义导数，以此作为整个微分、积分演算的出发点而将微积分归结为“__”。，“勾股”章则是关于。21.法国几何学家庞斯列对射影几何的发展作出了杰出的贡献，在他的研究中，有两个基本原理扮演了重要角色。首先是__，另一个是对偶原理。22.“幂势既同，则积不容异”的原理，其现代汉语意思是。23.“幂势既同，则积不容异”的原
19.拉格朗日在《解析函数论》一书中，主张用来定义导数，以此作为整个微分、积分演算的出发点而将微积分归结为“_
，“勾股”章则是关于。
21.法国几何学家庞斯列对射影几何的发展作出了杰出的贡献，在他的研究中，有两个基本原理扮演了重要角色。首先是_
_，另一个是
22.“幂势既同，则积不容异”的原理，其现代汉语意思是
23.“幂势既同，则积不容异”的原理在我国现行教材中叫做中称__
24.微积分创立于所作的《流数简论》标志着微积分的诞生。
25.古希腊数学家谓“不定方程”是指_
26.第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家于1642年发明的，使现代电子计算机技术走上康庄大道的EDVAC方案（即“101页报告”）则是数学家_
27.“代数学”一词起源于阿拉伯人的著作。
28.德沙格和帕斯卡等是
是最早提出对数方法的英国数学家。
30.古代埃及的数学知识常常记载在上，在代数和几何这两大传统的数学领域，古代埃及的数学成就主要在__
31.数学家们为研究古希腊三大尺规作图难题花费了两千年的时间，1882年德国数学家林德曼 证明了数
的超越性，从而确立了_
__问题的不可能性，至此，三大作图问题均被证明是不可能的。
32.创造并首先使用“阿拉伯数码”的国家或民族是，而首先使用十进位值制记数的国家或民族则是__
33.斐波那契数列的第一项是___________，第七项是___________。
34.牛顿的“流数术”中，“正流数术”是指，“反流数术”是指_
35.哥德巴赫猜想是18世纪在给数学家_的一封信中首次提出的。
36.罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点，线平行，而且在该几何体系中，三角形内角和_
37.被称为“现代分析之父”的数学家是，被称为“数学之王”的数学家是。
第5页/共9页 20.《九章算术》“方田”、“商功”、“勾股”三章处理几何问题。其中“方田”章讨论_
三、简答题
1.简述欧几里得的生活年代、代表著作以及在数学上的主要成就。
2.简述莱布尼茨的生活年代、所在国家以及在数学上的主要成就。
3.简述阿波罗尼奥斯的生活时代及主要数学成就。
4.简述《九章算术》的主要内容及在中国数学史上的意义。
5.在牛顿和莱布尼茨之前有许多数学家曾对微积分的创立作出过重要贡献，请列举其中的两位，并指出他们的主要贡献。
6.简述解析几何的诞生过程及其重大意义。
7.简述《自然哲学的数学原理》的作者、主要科学成就。
8.简述康托尔生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。
9.简述费马大定理的内容、从提出猜想到解决的大致过程。
四、古典算法(15分)
1．推导三次方程x3=px+q的求根公式―卡尔丹公式。
2．中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时期的赵爽。请作出赵爽证明勾股定理的“弦图”，并叙述其证明方法。
3. 用《九章算术》中的盈不足术解下面问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何”？
4. 《九章算术》中的“方程术”，其关键算法是“遍乘直除”。请利用该“方程术”解答下面的问题：
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？
五、论述题(15分)
1．论述东方古代数学和西方古代数学各自的主要特征、对现代数学的影响，及其对数学教育的启示。
2．“一个违反万物皆数的理论，葬身了一双发现的眼睛；一次对真理苦苦的追寻，造就了基础数学中最重要的课程；一回回不断地完善理论系统，奠定了数学的基石。” 指的是数学史上的哪三次重大事件？ 3．叙述费马大定理，并简要说明该定理的证实过程。
4．简述学习数学史的意义。
13．第一次数学危机─―无理数的发现 （第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量
第6页/共9页
表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有非凡地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证实才是可靠的。从此希腊人开始从 “自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。）
第二次数学危机――无穷小是零吗 （直到19世纪，柯西具体而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决，第二次数学危机的解决使微积分更完善。）
第三次数学危机――罗素悖论的产生 （引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题，导致无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统）的产生。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。）
14．费马大定理：不存在正整数x、y、z，使得
整数。 ；n为大于2的正
1：1676年，数学家根据费马的少量提示用无穷递降法证实n＝4。
2：1770年，欧拉证实了n=3的情形
3：1825年，狄利克雷和勒让德证实了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸。
4：1839年，法国数学家拉梅证实了n=7的情形，他的证实使用了跟7本身结合的很紧密的巧秒工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证实，但没有成功。
5：库默尔在1844年提出了“理想数”概念，他证实了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。
6：1983年，德国数学家法尔廷斯证实了一条重要的猜想――莫德尔猜想
这样的方程至多有有限个正整数解，他由于这一贡献，获得了菲
7：1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线――模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化
第7页/共9页
而形成了所谓“谷山――志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证实向前迈进了一步。
8：1985年，德国数学家弗雷指出了“谷山――志村猜想”和“费马大定理”之间的关系 9：1986年，美国数学家里贝特证实了弗雷命题，于是希望便集中于“谷山――志村猜想”。
10：1993年6月，英国数学家维尔斯证实了：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山――志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终证实了“费马大定理”；但专家对他的证实审察发现有漏洞，于是，维尔斯又经过了一年多的拼搏，于1994年9月彻底圆满证实了“费马大定理”
15．1、数学史揭示出数学知识的现实来源和应用，从而可以从中感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，熟悉到数学是一种生动的、基本的人类文化活动，以及数学在当代社会发展中的作用，并且关注数学与其他学科之间的关系。
2、数学史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程。这既可以激发对数学的爱好，培养探索精神。
3、通过阅读许多数学家在成长过程中遭遇过挫折，了解一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使我们在数学方法上从反面获得全新的体会，而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对正确看待学习过程中碰到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。
欧几里德(Euclid of Alexandria)，希腊数学家。约生于公元前330年，约殁于公元前260年。以其所著的《几何原本》(简称《原本》）闻名于世。
欧几里德是古代希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他是亚历山大里亚学派的成员。欧几里德写过一本书，书名为《几何原本》(Elements)共有13卷。这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。《几何原本》的主要对象是几何学，但它还处理了数论、无理数理论等其他课题。欧几里德使用了公理化的方法。公理(axioms)就是确定的、不需证明的基本命题，一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中，每个证明必须以
第8页/共9页
包含总结汇报、资格考试、文档下载、IT计算机、党团工作、办公文档、外语学习以及2007级数学史试题A等内容。本文共3页
相关内容搜索怎样证明 0.999999... = 1？
0.999...后面表示无限循环的9不想开新问题，所以在这里补充一些疑问：如果说0.999999...和1在数值上是严格相等的，那么两者真正的区别是什么？是否可以认为0.999999...和1的相等需要建立在一些隐含的条件的基础之上？也就是说，0.999999...和1是否并不总是相等？其中在初等数学阶段，是否可以认为由于保证0.999999...和1相等的隐含条件并不存在，因此学生们的怀疑实际上是合理的？
按投票排序
383 个回答
的证明存在错误，错误在于显然地认为成立，他的理由是从高到低依次比较每一位数字的大小，但这并不是显然的，这一性质是在已经定义好了，之后才有的。完整地解释实数的十进制实数（实数的十进制表示）是什么，并不像你可能想象的那么自然。为什么与是同一个实数，而与不是同一个数？为什么是实数，而不是实数？以及为什么当我们在作加法或乘法时必须关注小数点的位置？为什么和是同一个实数？最小的正实数是是什么，是否是？简单地说就是实数的十进制表示唯一性不成立，所有的实数，当它是时（从小数点后某位开始全是零的数），它有两种十进制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示。仅有两种十进制表示，即和。表示的是Cauchy序列的极限，很明显它的极限为。表示的是Cauchy序列的极限，这个序列的极限也是是。这里我推荐《》一书，tao在附录B中详细地解释了这个问题。下面来严格地处理，从有理数来构造实数有两种方法一、实数的构造这里采用Cauchy序列的方法来从有理数构造实数，设表示所有有理数的Cauchy序列的集合，那么我们要构造的实数就是除以一个的商集：这个等价关系是当且仅当对每个有理数，存在使得对一切都有。当然这里认为有理数已经定义好了，你可能会问，有理数是如何定义的？这里简单的回顾一下各种“数”的定义：首先自然数是最基础的，它是采用和集合论中的来定义的，整数是的加法完备化，有理数是的乘法完备化，我们要构造的实数是的度量完备化。构造实数首先需要Cauchy序列的概念。定义. （Cauchy序列）一个有理数序列叫做，当且仅当对每个有理数，存在使得对一切，比如，即是有理数的Cauchy序列定义.（等价的序列） 两个序列和是等价的当且仅当对每个有理数，存在使得对一切成立。实数就是所有Cauchy序列的集合除以这个等价关系的商集。定义. （实数）形如的对象叫做实数，其中是有理数的一个Cauchy序列。两个实数和叫做相等的当且仅当和是等价的Cauchy序列。我们把叫作 的形式极限。注. 符号的集合论解释是，它是Cauchy序列在这个等价关系下的等价类：但这种解释对于我们如何处理实数并没有什么帮助。后面我们将定义真正的极限，并且证明一个Cauchy序列的形式极限与此序列的极限是相同的。之所以定义形式极限是为了避免循环论证：定义实数需要极限的概念，而极限的概念只有当我们定义了实数之后方能适当地定义。至此，实数就定义好了。二、实数的十进制表示前面的实数的构造我们没有用到十进制，因为十进系统本身在数学中不是本质的。十进制系统对于计算很方便，而且由于一千多年的使用，我们从小就习惯于这个系统，但在数学史上，它的确是相等较为近代的发明。但为了处理之类的数，我们需要实数的十进制表示。定义. （digit）一个digit是这十个符号之一。我们把这些digit与自然数依下述公式等同起来，，，，我们还定义数字拾为：（我们还不能使用十进制符号来表示拾，因为那要预先知道十进制，从而导致逻辑循环）定义. （十进制正整数） 一个十进制正整数是一个digit串，其中是自然数，并且第一个digit 不是零。我们用公式使每个十进制正整数与正整数相等。比如是十进制正整数数，而不是，也不是。根据定义另外，一个单元的十进制整数恰好等于那个digit本身，比如十进制数恰好等于正整数的十进制表示是存在和唯一的，因为有下面定理：定理. （正整数的十进制表示是存在和唯一的） 每个正整数都恰等于一个十进制正整数。这个定理不难证明，主要用到了自然数的。一旦有了正整数的十进制表示，当然可以加一个负号以用于负整数的十进制表示，最后让也是十进制数，那么就给出了一切整数的十进制表示，由于拾，通常我们用代替拾。定义. （有限小数） 一个实数叫作有限小数，如果对于两个整数，很明显，有限小数是有理数，但有理数不一定是有限小数，比如。定义. （十进制有限小数） 一个十进制有限小数是一个digit的串连同一个小数点，书写成其中，小数点左边是有限的，小数点右边也是有限的，其中取或则，而是一个十进制自然数(即或为十进制正整数，或为)。这个十进制数等于有限小数模仿上面定理的证明，可以得到一个类似的定理：定理. （有限小数的十进制表示是存在和唯一的） 每个有限小数都恰等于一个十进制有限小数。最后来定义十进制实数：定义.（十进制实数） 一个十进制实数是一个digit的序列连同一个小数点，书写成其中，小数点左边是有限的，但小数点右边是无限的，其中取或则，而是一个十进制自然数(即或为十进制正整数，或为)。这个十进制数等于实数这个级数总是绝对收敛的，因为它是有界的，根据十进制实数和无限级数的定义，表示的是有理数的Cauchy序列的极限。比如表示的是有理数序列的极限。但是实数的十进制有一个小小的瑕疵：一个实数可能有两个十进制表示。我们只能有下面的定理：定理. （十进制表示的存在性） 每个实数都至少有一个十进制表示证明主要是根据实数的阿基米德性质。最后展示一个例子说是实数的十进制表示并不是唯一的。命题. （十进制表示的唯一性不成立）数有两个不同的实数的十进制表示：和证明. 表示是明显的，现在计算，根据定义，这是有理数的Cauchy序列的极限，也就是序列的极限，很明显它的极限是。数只有这两个十进制表示。事实上，所有的实数，当它是有限小数（即从小数点后某位开始全是零的数）时，它有两种十进制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示。参考[1] [2] [3]
前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。首先明确指出下面的事实：无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路：思路一：设 a=0.999...则 10a=9.999...于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,因此 a=1.思路二：由于 1/3=0.333...,所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...思路三：0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列的所有项之和.根据等比数列的求和公式,但是，需要强调的是，以上三种思路可以用来帮助你直观理解，但你不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，你不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，我们首先需要理解从有理数构造实数的办法，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在"无限不循环小数"的直观层面上。下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释。设两个非空有理数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体有理数，且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称A 和 B 构成有理数集的一个 Dedekind 分割，简称分割，记为 A/B。这一定义包含两层意思：对任何一个有理数 a，它要么在 A 中, 要么在 B 中，但不会同时在 A 和 B 中；A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。所以，在逻辑上，有理数集的分割 A/B 可能是下列四种情况之一：A 有最大数，B 没有最小数；A 没有最大数，B 有最小数；A 没有最大数，B 也没有最小数；A 有最大数，B 也有最小数。但实际上，第 4 种情况不可能发生。因为如果 A 有最大数 a，B 有最小数 b，根据分割的定义可知 a&b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数，并且因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。这样，有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况：A 有最大数 a，B 没有最小数。例如：A 没有最大数，B 有最小数 b。例如：A 没有最大数，B也没有最小数。对第 1 种情况，我们称分割 A/B 确定了有理数 a，例如上面给的例子就确定了有理数 0；对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b，例如上面给的例子就确定了有理数 1。而对第 3 种情况，即 A 没有最大数，B 也没有最小数，下面就是一个典型的例子:此时分割 A/B 没有确定任何有理数，即集合 A 和 B 之间存在一个"空隙"，于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个"空隙"。在这个例子中，表示这个"空隙"的无理数就是。这样，我们就得到了无理数的严格定义：设 A/B 是有理数集的一个分割，如果 A 中没有最大数，B 中没有最小数，则称分割 A/B 确定了一个无理数 c，c 大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。例如，在刚才的例子中，分割 A/B 所确定的无理数大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。需要注意的是，符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的。否则，假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d，不妨设 c&d。取正整数 n 满足则 nd-nc&1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc&m&nd（因为 nc 和 nd 的距离大于1）。于是由于 c 大于 A 中的任何有理数，而 d 小于 B 中的任何有理数，所以有理数既不在 A 中，也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。从而我们就可以得到实数的严格定义：由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合成为实数集。跟有理数的分割类似，我们可以定义出实数的分割：设两个非空实数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称 A 和 B 构成实数集的一个分割，同样记为 A/B。实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的 Dedekind 分割定理来表示：设 A/B 是实数集的一个分割，则或者 A 有最大数，或者 B 有最小数。 这个定理说明，实数集的分割不存在有理数集的分割的第 3 种情况，即 A 没有最大数、B 也没有最小数的情况。换句话说，实数集中没有"空隙"，数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。这样，我们得到了以下结论：每个有理数集的分割确定唯一一个实数；两个相同的有理数集的分割所确定的实数一定是相同的；如果两个实数不相等，那么确定它们的分割一定是不同的。在有了上面的准备之后，我们就可以给出“1=0.999...”的严格证明了。1=0.999...的严格证明：设 t=0.999...，作两个有理数集的分割根据前面的讨论，分割 A/B 确定了实数 t=0.999... （我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数），分割 C/D 确定了有理数 1。为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C。若有理数 x∈A，则显然有 x&1，于是 x∈C。这说明 。下面只需证明。若有理数 x∈C，则 x&1。不妨设 x&0。根据有理数的定义，我们可以把 x 用分数的形式表示为既然0&x&1，则必有p&q。于是由可知存在正整数 n 使得于是既然 x&t，这就说明 x∈A。从而我们就证明了。综上所述，我们就得到了 A=C，从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割，因此 0.999...=t=1。
受其它答案影响的更新：我这里给出一个从皮亚诺公理出发构造实数以及实数的十进制表示的摘要，同时我也说明实数域独立于进制，并应用于问题所要求的比较。1，由皮亚诺公理给出自然数集。2，为了方便计数，引入进位制，比如两只手数数是二进制，十个手指数数是十进制，再加上十个脚趾头数数是20进制。值得注意的是：不管哪种进制，自然数集还是一样的自然数集。自然数上面的进制只是为了方便而制定的一个规定。我们暂且使用十进制。3，在自然数集上面定义序结构和四则运算并证明相关性质。4，为了使减法满足封闭性，由自然数集推广到整数环。并推广序结构和四则运算（限制在小的集合上的序结构和代数结构仍然恰好是原来定义的序结构和代数结构）。5，为了使除法满足封闭性，由整数环推广到有理数域。并推广序结构和四则运算，证明我们定义的这些运算使有理数域构成一个阿基米德域，即对任意非零有理数a、b，存在n，使得an&b。6，利用戴德金分割或者柯西序列，由有理数域推广到实数域，此处的目的是为了是度量（拓扑）完备化。推广序结构和四则运算到实数域上，仍然可以证明实数域是一个阿基米德域。7，目前我们只在整数集上有十进制表示。根据实数域的完备性将十进制推广到整个实数域上，也就是我们熟悉的十进制数轴。推广的方法在数学上很重要，所以我稍微详细一点：首先数轴被相邻的整数分段，我们主要关注闭区间[0,1]。给定一个在这个区间的实数，将这个闭区间均匀分成十段闭区间，因为实数域是全序集，这个点至少落在其中一段上（最多两段），将此段再十等分，......，再十等分，直至无穷，这个过程其实也是求极限的过程。于是我们可以得到这个实数的十进制表示，它可能并不唯一。8，比较大小。同时满足大于或等于和小于或等于即为相等。事实上，实数集的性质允许你用很多方法说明这两个数的相等性。9，实数域有不同的表示方法（表示不同但是作为域或集合没有变！！），常见的有二进制，十进制，分别对应7中的二分法，十分法。更有趣的是乱进制，即你完全可以先用二进制，对区间二等分，再用三进制对每个小区间三等分，再用四进制对每个区间四等分，总之，看你的爱好了。10，我们可以仔细看看实数域上的数学结构：序结构允许我们比较大小，四则运算带来代数结构，开闭区间构成拓扑结构，这三大结构正是布尔巴基所提出的数学研究的主要结构。不管使用什么进制，实数集的这三大结构都保持不变。实数域就是一个带有全序性质和代数运算的完备拓扑空间。再次更新于：此时赞同数为24，按票数排序位于6票答案和4票答案之间。即此时点击反对的人数有20人左右。与此同时，评论数没有任何增加。再次请求点击反对+没有帮助的人留言告诉我理由。写在前面的话（更新于）：自从写出这个答案后很久没有回来看，今日无意中发现此答案居然被踩到绝大多数无赞同短答案之后（就差被折叠了），相信这个答案应该是被很多知友点了反对意见。我可以理解有人看不懂我的答案（虽然我认为我的逻辑很清楚也没有陷入技术性的证明，有基本数学素养和耐心的知友应该有能力看懂），可是我不能忍受我花了很长时间思考整理并写下来的答案这么被人忽视甚至贬低。我的决定是：欢迎看到这个答案的知友拿这个答案与其它答案进行比较。如果你还是选择点击反对+没有帮助，请麻烦留言告诉我理由。谢谢！以下为正文：我觉得目前的所有答案都没有说到点子上。有一些答案已经隐含了我想要说的，但是没有明确的表达出来。问题的关键在于：题主已经认同0.999999... 是一个确定的实数，需要的只是比较这个实数和另一个实数1到底哪个更大？承认这点，证明0.999999... = 1就有很多方法了。但是所有的证明，包括其它答案里出现的证明，都用到了实数集广为人知的一些性质。我这里给出一个我觉得最自然的证明，想法如下：同时证明0.999999... 1和0.999999... 1。然后自然而然就能根据逻辑得到0.999999... = 1。0.999999... 1是因为实数集是一个全序集，然后比较任何两个实数大小每个人都应该会吧？要证明0.999999... 1稍微有一点技巧。用反证法：假设不然，则0.999999... &1，这个时候我们可以用实数集上面的减法，令a=1-0.999999... &0（根据我们的假设）。认同0.999999... 是一个确定的实数，则a也是一个确定的大于0的实数。对于任何一个确定的实数a来说，我断言存在n，使得1/&a；则有a=1-0.999999...&1/&a，即a&a；矛盾。命题得证。看到上面的证明，相信有些知友开始疑惑：为什么0.999999... 是一个确定的实数？一个直观的回答当然是：所有实数都可以由无限小数表示（包括无限不循环），即......abcde.fghijk.......(所有字母皆为数字0-9，小数点前是整数部分，后面为小数部分)。根据这个描述，实数集的全序性质和加减乘除运算都是小学数学已经学过的内容。作为数学专业出身，我对这个答案还是不满意，以下开始为比较严谨的数学科普，讲述如何从1开始得到所有实数的过程。老子：“道生一，一生二，二生三，三生万物。” 皮亚诺没有看过老子老先生这句话吧？有兴趣的知友可以去考证下。简单来说，因为某个神奇的东西，老子称这个东西为道，这个世界有了一，于是就有了二，二是什么？皮亚诺说二就是一后面那位，本来二是没有资格有名字的（原名就是一加一），数学家为了偷懒于是把一后面那位简称为二。二后面那位简称为三（原名一加一加一），三后面的简称为四，这个过程进行下去就得到了自然数集（请注意此处我没有严格的给出皮亚诺公理的所有条件，见本答案最后一段）。相信这个解释也能顺便回答另一个问题：有了自然数集，我们就能够用严格的公理来定义自然数集合上面的四则运算。加n就是对这个由1到2的过程进行n次，减法是加法的逆，乘以n是自己对自己累计加上n次，除法是乘法的逆。这些广为人知的结果实际上是定理：自然数的加法和乘法满足交换律和结合律。（直观上当然是显然的，但数学需要一些逻辑推导过程，本质上只是皮亚诺公理的循环使用，评论中请不要告诉我这些东西是不证自明的）此外还有关于自然数集的很多其它性质这里不再赘述。关于自然数集我想补充两件事。一个就是在我国广为人知的哥德巴赫猜想，陈景润先生证明了“1+2”，很多热心数学的朋友总是会问我：“1+1”为什么比“1+2”还要难呢？给跪了，“1+1”不是自然数系统里面的1+1，而是一个关于自然数中最特别的数——素数的问题。因为乘法的存在，素数有了特别的意义。“1+1”：任何一个大于等于6的偶数都可以写成一个素数和另一个素数的和。“1+2”：任何一个大于等于6的偶数都可以写成一个素数和两个素数乘积的和。另外一个例子是一个在数学界流传的笑话。上世纪五六十年代，布尔巴基在法国进行数学教育改革，力图推行严格的公理化的数学。某日一教育相关人员前往某小学视察，期间考察起小学生的算术水平，问了一个类似以下的问题：1加2等于多少？答曰：2加1。此人当然不满，以为这个学生在偷奸耍滑，重复问题：到底等于多少？再答曰：当然是2加1，难道你不知道加法满足交换律？？？如何从自然数到整数？因为减法。-1、-2等等也是数学家为了偷懒给的简称。0从何而来？我没有去考察数学史，但是1和-1之间的距离隔了两步难道不会让你觉得整数集没有美感？？这里必须要指出，数学家也是爱美的。所以中间加上个0就构成了整数集。如何从整数到有理数？因为乘法和除法。数学家希望ax=b对任何整数a，b都有解。定理：对于整数和有理数，加法和乘法满足交换律和结合律，并且是对自然数上四则运算的推广。整数和有理数是全序集。如何从有理数集到实数集？中间经历了漫长的历程。从毕达哥拉斯学派发现非有理数的代数数开始，数学家猜测：所有整系数多项式方程的根（所有代数数）是否构成了实数集？直到约200年前，数学家发现自然对数e和圆周率都不是代数数。之后柯西戴德金等数学家终于完整定义实数集并给出实数集上各种性质的证明。不久之后，康托更发现有理数和代数数都是可数集，而实数集是不可数集。康托的结论说明，无理数和超越数的数量远远超过有理数的数量，并且根本就不是在一个数量级上。关于从有理数集过渡到实数集的具体步骤，可见的答案。大概想法如下：首先定义实数集为有理数的分割构成的集合。然后不难发现集合中的一部分元素对应的正好是所有有理数，剩下的则为无理数。然后根据有理数集合上面的四则运算定义实数集上面的四则运算并证明相应的性质。给出实数集的直观描述和这个集合上的全序排序。定理：对于实数集，加法和乘法满足交换律和结合律，并且是对有理数上四则运算的推广。实数集是全序集。实数集一个有趣的算术性质是，对任何正实数a,b存在正整数n，使得an&b。我在断言“存在n，使得1/&a”时用到了这个性质。至此，老子关于实数集的预言得以实现。而一个具有良好性质的实数集已经可以帮助我们回答题主的问题。有兴趣的知友可以看看皮亚诺公理：（1）1是一个自然数；（2）每个自然数都有一个后继者；（3）1不是任何自然数的后继者；（4）后继相同的自然数相等；（5）当含1及中每个数的后继时，含有全部自然数。
老见到有人提这种问题，OK，我也回答一下吧。首先，要有一点前提共识，0.99999...只是一个记法，其实表示的是 1-1/10^n，当 n 趋向于无穷时的极限是吧？要连这个都不承认，我无话可说。有了这个前提，那无非就是要证明 1-1/10^n 在 n 趋向无穷的时候，极限是1。这个证明就简单了，用 ε δ 语言证明一下就是了：对任意 ε
0，我们都可以找到一个大于 log(1/ε)/log(10) 的自然数 N ，对任意 n
N，abs(1-1/10^n -1) = 1/10^n
ε。上面这段话就证明了 1-1/10^n 在 n 趋向无穷的时候，极限是1。也即证明了 0.999999....= 1。
所有用四则运算来处理的都是扯淡请参考 陶哲轩是分析 附录2
wiki上有相当棒的描述 果壳上也有过一些科普向的例子 但M67这里有个我最喜欢的证明，非常漂亮 如果0.999…和1之间不能插入其他的数，那么他们二者相等
用四则运算证明这个结论，个人觉得有点不妥。用极限方法证明的，已经可以说得通了。这个命题本质上利用的是实数的稠密性。即任何两个不同的数之间一定有一个数。0.9999....与1之间不存在其它数了，因此0.99999...=1
不需要证明。。。。任何一个实数的定义都直接决定了这个事实
为什么0.777……=7/9你们就没有疑问，0.9999……=9/9你们就有疑问？（这是一个把循环小数转化成分数的tirck）站在小学生对于循环小数的理解水平，只要这样运算即可：1/1=11/1=0.9……0.11/1=0.99……0.01继续下去就会发现循环节只有一位，就是9。站在一个大学生的理解水平，可以发现循环小数的描述是不精确的，很容易想到用一个极限来定义它。注意用的是一个极限本身来定义它。接下来它等于啥只需要算一个简单的极限即可。说到底，这个问题核心是循环小数的定义问题，只要抓住一个定义不放，总能得到结果的。另外这个问题其实没有太多牵扯到实数如何如何，都是在有理数里打转转。就算没有定义实数结果也是一样的。
难道不是在实数的十进制定义里面这两个就是等价的吗。有一类东西本来就是约定好才能继续讨论的，我们默认就是接受1的十进制展开是1.00000…和0.9999…
但我们通常为了方便约定取1.000…又是一群实数系都搞不清楚的民科就喜欢拿这种东西瞎几把唬人，还加减乘除证明，这就是定义。你问我为什么？吊的人定义出的东西，就是为了大家方便才推广而被接受
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录}