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空间分数阶对流-扩散方程的数值解及其应用
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3秒自动关闭窗口具双时滞的Nicholson果蝇模型的动力学性质分析--《哈尔滨工业大学》2011年硕士论文
具双时滞的Nicholson果蝇模型的动力学性质分析
【摘要】：由于果蝇的生长周期很短,便于进行生物实验。因此,不论是在生物学方面,还是在数学方面都相继出现了很多关于果蝇模型的讨论。但讨论最为广泛的是由Nicholson建立的果蝇微分方程模型。
本文研究了带有捕捞项Hx (t ? ?)的双时滞Nicholson果蝇模型的动力学性质,其中时滞?表示生物体从幼体发育长大,直到可以捕捞的时间, H表示捕捞的强度系数。本文以时滞为参数,运用局部Hopf分支理论对该模型的正平衡点的稳定性,局部Hopf分支的存在性以及其分支性质进行了详细的讨论。
本文首先简要介绍了微分方程的发展过程以及本文的研究背景和研究工作。然后,将被研究的Nicholson果蝇模型的方程线性化,并讨论该方程在单时滞和双时滞两种情况下,方程所对应的特征方程的根的分布情况,正平衡点的稳定性、在正平衡点处局部Hopf分支发生的条件。其次,运用中心流形及规范型的理论讨论了在正平衡点处局部Hopf分支的计算公式,并且以此讨论了局部Hopf分支的分支方向、分支周期解的稳定性及其周期解的周期等。再次,借助于计算机和MATLAB程序进行了数值模拟,通过对实例的计算强有力的支撑了前面得到的理论结果,并且还以?为参数利用MATLAB软件得到了在正平衡点处模型还会发生稳定性开关现象。
最后一部分是结论部分,它对通篇论文的主要结果进行了总结。
【关键词】：
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学【学位级别】：硕士【学位授予年份】：2011【分类号】：O175【目录】：
摘要3-4Abstract4-6第1章 绪论6-10 1.1 微分方程发展史简介6-7
1.1.1 常微分方程发展史简介6
1.1.2 时滞微分方程及时滞微分方程分支理论发展史简介6-7
1.1.3 时滞微分方程分支理论发展史简介7 1.2 本文的研究内容和主要工作7-10
1.2.1 本文的研究背景7-8
1.2.2 本文研究的主要工作8-10第2章 Nicholson 模型平衡点的稳定性和局部Hopf 分支的存在性10-15 2.1 单时滞的情况10-12 2.2 双时滞的情况12-13 2.3 本章小结13-15第3章 Nicholson 模型的Hopf 分支性质15-23 3.1 Hopf 分支性质的计算15-22 3.2 本章小结22-23第4章 数值模拟23-32 4.1 单时滞的情况23-24 4.2 双时滞的情况24-31 4.3 本章小结31-32结论32-33参考文献33-38致谢38
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本帖最后由 wanghaidong918 于
01:12 编辑
关于齐次函数，有这样一个命题：
k次齐次函数的一阶偏导数是k-1次齐次函数
看了几种流行微观教材，推导过程有差异：
1、Nicholson《微观经济理论》、Mas-Colell《微观经济理论》、Jehle、Reny《高级微观经济理论》的推导大体是这样：
Nicholson的推导
11:46:55 上传
再如Mas-Colell的推导
12:01:51 上传
2、Silberberg《经济学的结构》、Varian《微观经济分析》的推导大体是这样：
11:46:55 上传
关键就是在求偏导数的时候，等号左边分母位置应该是tx还是x？
按偏导数求导法则来看，我觉得应该第二种是对的。但Mas-Colell和Jehle都是权威教材，难道它们都是错的？
希望有大侠指点一下，到底哪种是对的？
图片不清楚，不好意思：P
载入中......
本帖最后由 sungmoo 于
12:56 编辑 mmdzz 发表于
11:42 关键就是在求偏导数的时候，等号左边分母位置应该是tx还是x？按偏导数求导法则来看，我觉得应该第二种是对的。但Mas-Colell和Jehle都是权威教材，难道它们都是错的？应该说，这几种推导的思路都一样，但表达式上可能存在歧义。
个人倾向于使用：∂f(tx)/∂xi=f'i(·)[d(txi)/dxi]=tf'i(·)
f'i(·)表示，函数f(·)关于其第i个（位置上的）自变量的偏导数。
（原回复帖有误，现更正）
非常您的指点！
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非常感谢大侠神速回答!
如果两种推导一样，那么就成立下面这个等式，是吗？
∂f(tx)/∂xi=∂f(tx)/∂(txi)
本帖最后由 sungmoo 于
12:55 编辑 mmdzz 发表于
12:24 如果两种推导一样，那么就成立下面这个等式，是吗？
∂f(tx)/∂xi=∂f(tx)/∂(txi)个人感觉，该等式是不恰当的。
个人倾向于：
∂f(tx)/∂xi表达多元函数g(x)=f(tx)关于变量xi的偏导数；
f'i(·)表示多元函数f关于第i个（位置上的）自变量的偏导数；
尽可能不采用∂f(tx)/∂(txi)或这样的写法。
WMG中的表达式确实欠妥。
分析的有道理
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非常感谢您的热情帮助和耐心指点！
看来您已经明白我想表达的意思了。用您提供的符号，我可以表述的再清楚一点：
对f(tx)求关于xi的偏导数，Mas-Colell和Jehle的教材都是这么推导的（Jehle的微观直接就像下面这样写的）
∂f(tx)/∂xi*∂(txi)/∂xi
但是根据复合函数求偏导数的法则，实际上应该是这样：
∂f(tx)/∂(txi)*∂(txi)/∂xi
可以看到，第一项的分母部分少了一个t。所以这个理论推导确实有点问题。
当然，具体题目里就没有问题了，因为都是具体函数，解的时候不会出这种错误。
再次感谢大侠的帮助！
mmdzz 发表于
12:45 第一项的分母部分少了一个t。所以这个理论推导确实有点问题。同意。
（这里的麻烦就在于，对复合函数的某种偏导数的表达式的约定，各人可能不同，于是引起混乱）
本帖最后由 mmdzz 于
13:30 编辑 sungmoo 发表于
13:01 mmdzz 发表于
12:45 第一项的分母部分少了一个t。所以这个理论推导确实有点问题。同意。
（这里的麻烦就在于，对复合函数的某种偏导数的表达式的约定，各人可能不同，于是引起混乱）明白了。您这个说得透彻。
我觉得WMG、Jehle等书的问题在这里：对于f(tx)这个多元复合函数（两个层次），从数学角度看，∂f(tx)/∂xi这个式子一般来说有比较公认的含义（表示整体求导，或者说f(tx)对自变量xi求导），他们却用来表示中间层次的求导（即f(tx)对中间变量txi求导），所以就引起混乱了。
这里还仅仅是两层复合函数，就已经乱了。如果层次更多，用∂f(tx)/∂xi表示中间层次求导就完全不可行了。
另外补充一点，关于∂f(tx)/∂(txi)这个表达，我感觉好像可以，因为它是∂f(tx)/∂(txi)*∂(txi)/∂xi的一部分，含义明确，不会有混乱。
其实，这如果不是多元函数，而是一元复合函数，那df(tx)/d(tx)*d(tx)/dx这个表达式就没问题。
这里是多元的，求偏导时假设除xi之外的自变量不变，类比一元复合函数的表达式，我觉得∂f(tx)/∂(txi)*∂(txi)/∂xi是可以接受的。
说的很好哦
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确实感觉楼主提到的第一类教材会引起歧义，我在这上面纠结了很久。这个帖子好！
楼主的提问以及sungmoo的回复对学习很有帮助！学习了~！赞~！
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