高中数学必修三新课标人教A版,1.2,第2课时,,进位制
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第2课时进位制1.通过阅读进位制的算法案例，进位制的算法； 2.初步学会几种进位制之间地转换，初步理解几种进位制之间地转换的算法思想；(重点)3.能运用几种进位制之间地转换，一些有关的问 题.(难点)进位制的由来人类在长期的生产劳动中创造了数字,为了方便读写和计算,逐渐地产生了进位制.古罗马人采取60进制,玛雅 人使用20进制,中国、埃及、印度等国主要采取10进制， 而近代由于计算机的诞生,二进制应运而生.计算机为何采用二进制？1.二进制只有0和1两个数字,要得到表示两种不同稳定状态 的电子器件很容易,而且制造简单,可靠性高.2.在各种计数中,二进制的算法逻辑简单,有布尔逻辑代数做理论依据,简单的运算规则使得机器内部的操作也变得简单, 如加法法则只有4条：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10,而十进制加法法则从0+0=0到9+9=18需要100条;乘法法则也是这样：0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1,十进制的乘法法则要由一张 “九九表”来规定,比较复杂.进位制的概念思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统， 如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制等等.一般地，“满 k进一”就是k进制，其中k称为k进制的基数.那么k是一个 什么范围内的数？思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、 七进制分别使用哪些数字？ 思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般 地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可 以表示为一串数字连写在一起的形式：anan-1?a1a0(k). 其中各个数位上的数字an，an-1，?，a1，a0的取值范围如何？思考4:十进制数4 528表示的数可以写成 4×103+5×102+2×101+8×100，依此类比，二进制数 110 011（2）,八进制数 7 342（8）分别可以写成什么式子？110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×207 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.思考5:一般地，如何将k进制数anan-1?a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？anan-1??a1a0(k)=an?kn+an-1?kn-1+??+a1?k1+a0?k0k进制化十进制的算法 例1 把二进制数110 011（2）化为十进制数. 解：110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 =32+16+2+1=51.思考1:二进制数右数第i位数字ai化为十进制数是什么数？ai×2i-1已知1 0b1（2）=a02（3）,求数字a，b的值. 解：1 0b1（2）=1×23+b×2+1=2b+9. a02（3）=a×32+2=9a+2. 所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7.故a=1，b=1.例2 设计一个算法，把k进制数a(共有n位)化为十进制数b. 解：(1)算法步骤: 第一步,输入a,k和n的值. 第二步,令b=0，i=1. 第三步,b=b+ai?ki-1，i=i+1. 第四步,判断i&n 是否成立.若是，则输出b的值；否则，返回第三步.第五步,输出b的值.开始(2)上述把k进制数输入a，k，na=anan-1?a2a1(k)化为十 进制数b的算法的程序框b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t? ki-1 i=i+1 i&n? 是 输出b 结束 否图如何表示？(3)该程序框图对应的程序如何表述？ INPUT“a，k，n=”；a，k，n b=0 i=1 t=a MOD10 DO b=b+t*k∧（i-1） a=a\10 t=a MOD10 i=i+1 LOOP UNTIL i&n PRINT b END除k取余法 例3 把89化为二进制数. 解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去 除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下： 因为 89=2×44+1, 44=2×22+0, 22=2×11+0, 11=2×5+1, 5=2×2+1, 2=2×1+0, 1=2×0+1,所以 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1=?=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 =1 011 001(2)上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，还可以用下面的除法算式表示： 2 89 44 2 2 22 2 11 2 5 2 2 2 1 0 余数 1 0 0 1 1 0 1将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数. 余数 458 4 余数 458 6 2 114 4 2 6 76 2 4 28 4 6 12 0 4 7 6 2 0 3 1 4 2 0 1 0 解：458=13 022（4）=2 042（6）例4设计一个程序，实现“除k取余法”（k∈N，2≤k≤9）.解：第一步,输入十进制数a和基数k的值.第二步,求出a除以k所得的商q，余数r. 第三步,把所得的余数依次从右到左排列. 第四步,若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r 排列得到的k进制数.程序框图：开始输入a，k 求a除以k的商q 求a除以k的余数r 把所得的余数依次从右到左排列 a=q q=0？ 是 输出全部余数r排 列得到的k进制数 结束 否程序： INPUT a，k b=0 i=0 DO q=a\k r=a MOD k b=b+r*10∧i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END将五进制数30 241（5）转化为七进制数. 30 241（5）=3×54+2×52+4×5+1=1 946. 余数 1 946 777 7278 39 5 00 5 4 5 30 241（5）=5 450（7）1.完成下列进位制之间的转化： 301 （1）10 231 =（4 ）（10）；（10）； （6 ）； （7 ）.（2）235（7）= （3）137（10）= （4）1 231（5）=1243453622.二进制数101 101（2）化为十进制数是什么数？【解析】101 101（2）=25+23+22+1=45. 3.试将10 101(2)化成十进制数. 【解析】10 101(2)=1×24+0×23+1×22+0×2+1 =16+4+1=21. ∴10 101(2)=21.1．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数， 基数为k，即可称k进位制，简称k进制.k进制需要使用k 个数字. 2．k进制数转化为十进制数的方法： 先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果.3．十进制数转化为k进制数的方法：（除k取余法）用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为 止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应 的k进制数.要想利用风驰电掣的机会，不仅要做好物 质上的准备，更重要的是要做好精神上的 准备.
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从秦九韶算法的视角看除k取余法
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学年四川省南充市白塔中学高二（上）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，已知点Q（3，1，4），则点Q关于xOz面的对称点的坐标为（ ）A．（3，1，4）B．（3，1，4）C．（3，1，4）D．（3，1，4） 2．为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（ ）A．90B．120C．180D．200 3．已知直线l1的方程为3x+4y7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为（ ）A．B．C．4D．8 4．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A．91.5B．92.5C．91D．92 5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A．B．C．D． 6．若变量x、y满足约束条件，则z=2xy+1的最小值等于（ ）A．B．2C．D．2 7．直线l过点A（3，4）且与点B（3，2）的距离最远，那么l的方程为（ ）A．3xy13=0B．3xy+13=0C．3x+y13=0D．3x+y+13=0 8．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y=xa，x∈[0，+∞）是增函数的概率为（ ）A．B．C．D． 9．如图，直线的图象可能是（ ）A．B．C．D． 10．样本数据：2，1，0，1，2的方差为（ ）A．B．2C．1D．2.5 11．P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（ ）A．24B．16C．8D．4 12．Rt△ABC中，斜边BC为4，以BC中点为圆心，作半径为1的圆，分别交BC于P、Q两点，则|AP|2+|AQ|2+|PQ|2的值为（ ）A．4+B．3+C．D．14
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．把十进制数89（10）化为五进制数，则89（10）= （5）． 14．用辗转相除法求出153和119的最大公约数是 ． 15．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为 ． 16．已知m∈R，则直线（m1）x+（2m1）y=m4与圆x2+y210x+4y+20=0的位置关系为 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17．已知直线l经过点A（1，3），且其倾斜角等于直线xy=0的倾斜角的4倍．求直线l的方程并用一般式表示． 18．某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率． 19．已知△ABC中，A（1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x2y+1=0和y1=0，求△ABC各边所在直线方程． 20．已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程． 21．已知P（2，3）和以Q为圆心的圆（x4）2+（y2）2=9．（1）求出以PQ为直径的圆Q1的一般式方程．（2）若圆Q和圆Q1交于A、B两点，直线PA、PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？（3）求直线AB的方程． 22．有定点P（6，4）及定直线l：y=4x，Q是l上在第一象限内的点．PQ交x轴的正半轴于M点，问点Q在什么位置时，△OMQ的面积最小，并求出最小值．
学年四川省南充市白塔中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，已知点Q（3，1，4），则点Q关于xOz面的对称点的坐标为（ ）A．（3，1，4）B．（3，1，4）C．（3，1，4）D．（3，1，4）【考点】空间中的点的坐标．【专题】计算题；规律型；空间向量及应用．【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标面对称的特点知点关于那一个面对称，则面上所包含的两个字母的符号不变，比如一个点关于yoz对称的点，则这个点的纵标和竖标不变，而横标要变化为原来横标的相反数．【解答】解：根据空间直角坐标系中，点关于坐标面对称的特点知点关于那一个面对称，则面上所包含的两个字母的符号不变，不包含的那个字母对应的数字要变，∴Q（3，1，4），关于xoz面的对称点坐标（3，1，4）故选：D．【点评】本题考查空间中点的坐标，考查点的坐标关于坐标平面对称的点的坐标，实际上除了这些还有关于坐标轴对称的点的坐标，本题是一个基础题，一般不会单独出现． 2．为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（ ）A．90B．120C．180D．200【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，利用已知在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，可以求出抽取的总人数，从而求出x的值．【解答】解：60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中可以抽取30人，每个个体被抽到的概率等于：，∵在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，可知×160=8，解得x=200，故选D．【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数． 3．已知直线l1的方程为3x+4y7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为（ ）A．B．C．4D．8【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题．【分析】首先使直线l1方程中x，y的系数与直线l2方程的系数统一，再根据两条平行线间的距离公式可得答案．【解答】解：由题意可得：直线l1的方程为6x+8y14=0，因为直线l2的方程为6x+8y+1=0，所以根据两条平行线间的距离公式d=可得：直线l1与l2的距离为=．故选B．【点评】本题主要考查两条平行线之间的距离公式d=，在利用此公式解题时一定要使两条直线方程中x，y的系数相同，此题也可以在其中一条直线上取一点，根据点到直线的距离公式求此点到另一条直线的距离，即可得到两条平行线之间的距离． 4．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A．91.5B．92.5C．91D．92【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】把茎叶图中8个数据按照从小到大的顺序排好，取中间两数的平均值即可．【解答】解：由茎叶图知样本数据共有8个，按照从小到大的顺序为：87，89，90，91，92，93，94，96．在中间两位的数据是91，92；所以样本的中位数是（91+92）÷2=91.5．故选：A．【点评】本题考查了茎叶图与中位数的应用问题，解题的关键是看清所给的数据的个数，计算中位数时，看清是有偶数个数据还是奇数个数据，从而求出中位数． 5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用． 6．若变量x、y满足约束条件，则z=2xy+1的最小值等于（ ）A．B．2C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2xy+1的最小值．【解答】解：由z=2xy+1，得y=2xz+1，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2xz+1，由平移可知当直线y=2xz+1，经过点B时，直线y=2xz+1的截距最大，此时z取得最小值，由，解得，即C（1，）．将C的坐标代入z=2xy+1，得z=2+1=，即目标函数z=2xy+1的最小值为．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 7．直线l过点A（3，4）且与点B（3，2）的距离最远，那么l的方程为（ ）A．3xy13=0B．3xy+13=0C．3x+y13=0D．3x+y+13=0【考点】直线的一般式方程；恒过定点的直线；点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】由题意知，直线l应和线段AB垂直，直线l的斜率是线段AB斜率的负倒数，又线l过点A（3，4），点斜式写出直线l的方程，并化为一般式．【解答】解：∵线l过点A（3，4）且与点B（3，2）的距离最远，∴直线l的斜率为：==3，∴直线l的方程为y4=3（x3），即3x+y13=0，故选C．【点评】本题考查直线方程的求法，点到直线的距离，直线方程的一般式． 8．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y=xa，x∈[0，+∞）是增函数的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】先根据流程图进行逐一进行运行，求出集合A，再求出基本事件的总数，然后讨论满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”时包含基本事件，最后根据古典概型公式求出该概率即可．【解答】解：由框图可知A={3，0，1，8，15}，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”为事件E，当函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数时，α＞0事件E包含基本事件为3，则．故选C．【点评】本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，算法与其他知识结合在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题． 9．如图，直线的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用一次函数的斜率和截距异号及其意义即可得出．【解答】解：方程直线的可以看作一次函数，其斜率a和截距异号，只有A符合，其斜率和截距都为负．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的斜率和截距的意义，属于基础题． 10．样本数据：2，1，0，1，2的方差为（ ）A．B．2C．1D．2.5【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出平均数，再计算方差．【解答】解：样本数据：2，1，0，1，2的平均数为：=（21+0+1+2）=0，∴方差为：S2=[（20）2+（10）2+（00）2+（10）2+（20）2]=2．故选：B．【点评】本题考查样本数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用． 11．P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（ ）A．24B．16C．8D．4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求SPAOB=2S△PAO=的最小值，转化为求PA最小值，由于PA2=PO24，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求．【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心（0，0），半径r=2，由题意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴SPAOB=2S△PAO=，在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA2=PO2r2=PO24，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=4，所求四边形PAOB的面积的最小值为8．故选C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．根据题意得出PO⊥l时所求圆的面积最小是解本题的关键． 12．Rt△ABC中，斜边BC为4，以BC中点为圆心，作半径为1的圆，分别交BC于P、Q两点，则|AP|2+|AQ|2+|PQ|2的值为（ ）A．4+B．3+C．D．14【考点】圆的切线的性质定理的证明．【专题】计算题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】利用余弦定理，求出|AP|2、|AQ|2，结合∠AOP+∠AOQ=180°，即可求|AP|2+|AQ|2+|PQ|2的值．【解答】解：由题意，OA=OB=2，OP=OQ=1△AOP中，根据余弦定理AP2=OA2+OP22OAOPcos∠AOP同理△AOQ中，AQ2=OA2+OQ22OAOQcos∠AOQ因为∠AOP+∠AOQ=180°，所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=2OA2+2OP2+PQ2=2×22+2×12+（2×1）2=14．故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．把十进制数89（10）化为五进制数，则89（10）= 324 （5）．【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；算法和程序框图．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以5，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：89÷5=17+4，余数是4，17÷5=3+2，余数是2，3÷5=0+3，余数是3．故89（10）=324（5），故答案为：324．【点评】本题主要考查是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．比较基础． 14．用辗转相除法求出153和119的最大公约数是 17 ．【考点】辗转相除法．【专题】计算题．【分析】利用“辗转相除法”即可得出．【解答】解：153=119×1+34，119=34×3+17，34=17×2．∴153与119的最大公约数是17．故答案为17．【点评】本题考查了“辗转相除法”，属于基础题． 15．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为 ．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】求得满足条件的几何体的体积，利用体积比求概率．【解答】解：在正方体内，到各面的距离大于1的点位于一个边长为1的小正方体内，小正方体的体积为1，大正方体的体积为33=27，∴所求概率为．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，利用体积比求概率是几何概型概率计算的常用方法． 16．已知m∈R，则直线（m1）x+（2m1）y=m4与圆x2+y210x+4y+20=0的位置关系为 相交 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】观察动直线（m1）x+（2m1）y=m4可知直线恒过点（7，3），然后判定点（7，3）在圆内，从而可判定直线与圆的位置关系．【解答】解：直线（m1）x+（2m1）y=m4，可化为m（x+2y1）+（xy+4）=0，由，可得x=7，y=3∴直线（m1）x+（2m1）y=m4恒过（7，3）而72+（3）270+4×（3）+20=4＜0∴点（7，3）在圆x2+y210x+4y+20内则直线直线（m1）x+（2m1）y=m4与圆x2+y210x+4y+20=0相交．故答案为：相交．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，解题的关键找出直线恒过的定点，属于基础题． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17．已知直线l经过点A（1，3），且其倾斜角等于直线xy=0的倾斜角的4倍．求直线l的方程并用一般式表示．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先假设直线y=3x的倾斜角是A，进而根据直线倾斜角与斜率之间的关系得到tanA，求出A，从而求出所求直线的斜率，最后根据点斜式方程得到答案．【解答】解：假设直线xy=0的倾斜角是A，那么有tanA=，A=，设过A点直线的倾斜角是B，那么B=4A=，那么直线L的斜率k=tanB=tan4A=tan=，∴直线方程是：y+3=（x+1），即：直线方程为x+y+3+=0．【点评】本题考查直线方程的求法，解题时要注意截距式方程的合理运用． 18．某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率直方图的性质求第四小组的频率．（2）利用样本进行总体估计．（3）根据古典概型的概率公式求概率．【解答】解：（1）第一小组的频率为0.010×10=0.1，第二小组的频率为0.015×10=0.15，第三小组的频率为0.015×10=0.15，第五小组的频率为0.025×10=0.25，第六小组的频率为0.005×10=0.05，所以第四小组的频率为10.10.150.150.250.05=0.3．频率/组距=0.3÷10=0.03，故频率分布直方图如图（2）平均分超过60分的频率为0.15+0.25+0.05+0.3=0.75，所以估计这次考试的及格率为75%．第一组人数0.10×60=6，第二组人数0.15×60=9，第三组人数0.15×60=9，第四组人数0.3×60=18，第五组人数0.25×60=15，第六组人数0.05×60=3，所以平均分为=71．（3）成绩在[40，50）的有6人，在[90，100]的有3人，从中选两人有，他们在同一分数段的有，所以他们在同一分数段的概率是．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查学生分析问题的能力，比较综合． 19．已知△ABC中，A（1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x2y+1=0和y1=0，求△ABC各边所在直线方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题．【分析】B点应满足的两个条件是：①B在直线y1=0上；②BA的中点D在直线x2y+1=0上．由①可设B（xB，1），进而由②确定xB值，得到B点坐标；同理设出点C的纵坐标，根据中点坐标公式和C在x2y+1=0上可求出C点坐标，然后利用两点式分别求出三边所在的直线方程即可．【解答】解：设B（xB，1）则AB的中点∵D在中线CD：x2y+1=0上∴，解得xB=5，故B（5，1）．同样，因点C在直线x2y+1=0上，可以设C为（2yC1，yC），根据=1，解出yC=1，所以C（3，1）．根据两点式，得直线AB的方程为y3=（x1）；直线BC的方程为y1=（x5）；直线AC的方程为y3=（x1）化简得△ABC中直线AB：x+2y7=0，直线BC：x4y1=0，直线AC：xy+2=0．【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用中点坐标公式，掌握点在直线上则点的坐标满足直线方程化简求值，会根据条件写出直线的一般式方程． 20．已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．【考点】轨迹方程；点到直线的距离公式．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】（1）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得=5.，化简得x2+y22x2y23=0．即（x1）2+（y1）2=25．∴点M的轨迹方程是（x1）2+（y1）2=25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（2，3）的直线l：x=2，此时过点A（2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，∴l：x=2符合题意．当直线l的斜率存在时，设过点A（2，3）的直线l的方程为y3=k（x+2），即kxy+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得+42=52，解得k=．∴直线l的方程为xy+=0．即5x12y+46=0．综上，直线l的方程为x=2，或5x12y+46=0．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力． 21．已知P（2，3）和以Q为圆心的圆（x4）2+（y2）2=9．（1）求出以PQ为直径的圆Q1的一般式方程．（2）若圆Q和圆Q1交于A、B两点，直线PA、PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？（3）求直线AB的方程．【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由圆（x4）2+（y2）2=9可得圆心Q（4，2）．线段PQ的中点Q1（1，），|PQ1|=，即可得出．（2）由于∠PAQ是以PQ为直径的圆周角，可得∠PAQ=90°．因此直线PA是以Q为圆心的圆的切线．同理PB是以Q为圆心的圆的切线．（3）由于交点A，B既在圆（x4）2+（y2）2=9上，又在圆（x1）2+（y+）2=上．两方程相减即可得出直线AB的方程．【解答】解：（1）由圆（x4）2+（y2）2=9可得圆心Q（4，2）．∴线段PQ的中点Q1（1，），|PQ1|=．∴以PQ为直径，Q1为圆心的圆的方程为（x1）2+（y+）2=；（2）∵∠PAQ是以PQ为直径的圆周角，∴∠PAQ=90°．∴直线PA是以Q为圆心的圆的切线．同理PB是以Q为圆心的圆的切线．（3）由于交点A，B既在圆（x4）2+（y2）2=9上，又在圆（x1）2+（y+）2=上．两方程相减可得：6x+5y=25，即为直线AB的方程．【点评】本题考查了圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、两圆相交的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22．有定点P（6，4）及定直线l：y=4x，Q是l上在第一象限内的点．PQ交x轴的正半轴于M点，问点Q在什么位置时，△OMQ的面积最小，并求出最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】设出Q点坐标，写出直线PQ的方程，令x=0求出OM，利用三角形OMQ的OM上的高为Q的纵坐标，则根据三角形的面积公式表示出面积，然后利用基本不等式求出面积的最小值即可．【解答】解：设Q（a，4a），则直线PQ的方程为y4=（x6），令y=0，得到x=OM=，所以当a＞1，即a+1＞0，a1＞0时，△OMQ的面积S=××4a=10×[]=10×[（a1）+]+20≥10×2+20=40，当且仅当（a1）=时（a=2）取等号；所以当Q的坐标为（2，8）时，面积S的最小值为40．【点评】此题为一道中档题，要求学生灵活运用直线的一般式方程求值，灵活运用基本不等式求最值．构造面积的关系式是本题的突破点．
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