如图，△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于点P，求∠BPM的度数．
如图，过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，∴NE=AM，ME⊥BC，∵AN=MC，∴ME=CM，在△BEM和△AMC中，，∴△BEM≌△AMC（SAS），∴BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE，∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°，∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°．
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可过点M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，得出四边形AMEN为平行四边形，再通过求证△BEM≌△AMC，可得出△BEN为等腰直角三角形，进而再利用平行线的性质可得出结论．
本题考点：
全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
考点点评：
本题主要考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和平行四边形．
扫描下载二维码如图,在三角形ABC中,角C=90度,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC.连接AM,BN若,AM=1,求BN的长
过M作AC的平行线,过A作BC的平行线,两线交于Q.连结NQ.QM与BN交于S.容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,又AQ:QN=QM:QB,∴△QAM∽△QNB,∴∠AMQ=NBQ,又∠PSM=∠QSB,∴根据三角形内角和等于180,得∠MPS=∠BQS,∵∠BQS=45,∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°,即∠BPM=45°.
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则AMDN为平行四边形
则MD=AN=MC又有 BM=AC
角BMD=90度
三角形BMD全等于三角形ACM则BD=AM=1
角BDM=角AMC所以角BDN=90度 又BD=DN=1则BN=√2
扫描下载二维码如图，△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于点P，求∠BPM的度数．
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如图，过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，∴NE=AM，ME⊥BC，∵AN=MC，∴ME=CM，在△BEM和△AMC中，，∴△BEM≌△AMC（SAS），∴BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE，∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°，∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°．
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可过点M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，得出四边形AMEN为平行四边形，再通过求证△BEM≌△AMC，可得出△BEN为等腰直角三角形，进而再利用平行线的性质可得出结论．
本题考点：
全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
考点点评：
本题主要考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和平行四边形．
扫描下载二维码如图,在三角形ABC中,角C=90度,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC.求证：∠BPM=45°
如图,在三角形ABC中,角C=90度,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC.求证：∠BPM=45°
如图设出长度
则tanAMC=y/x
tanBNC=(x+y)/(y-x)
所以tan(AMC+BNC)
=[y/x+(x+y)/(y-x)]/[1-y/x*(x+y)/(y-x)]
所以角AMC+角BNC=135度
所以角MPN=360-90-135=135
即有角BPM=45度
过M作AC的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。
连结NQ。QM与BN交于S。
容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90&=∠MQA,
又AQ:QN=QM:QB,
∴△QAM∽△QNB,
∴∠AMQ=NBQ,
又∠PSM=∠QSB,
∴根据三角形内角和等于180，得
∠MPS=∠BQS，
∵∠BQS=45,
∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°，
即∠BPM=45°。
过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC&BC
在△BEM和△AMC中，
ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC
∴△BEM≌△AMC
∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900
∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE
∴△BEN是等腰直角三角形
∴∠BNE＝450
∵AM∥NE
∴∠BPM＝∠BNE ＝450
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