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2010年 12月号
常微分方程在数学建模中的应用
浙江省宁波市宁波大红鹰学院 郑 英
摘 要本文通过查阅近十几年来发表的文献资料以及一些参考书目,对常微分方程在数学建模中的应用进行研究。本文
首先介绍了常微分方程的发展,然后介绍了数学建模,接着介绍了二者相互结合的特点,后来又在不同的领域介绍了相关的具
体例子,最后总结了常微分方程在数学建模的应用以及今后在学习过程中应该注意的问题。
关键词数学建模 常微分方程
一、常微分方程的发展和数学建模 程的解并将结果翻译回实际对象,就可以进行描述、分析、预
在初等数学中,方程有很多种,比如线性方程、指数方程、 测或控制了。
对数方程、三角方程等。然而方程并不能解决所有的实际问 数学建模本身就是一个创造性的思维过程,它是分析问
题。因此,要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或 题、解决问题的思维过程,数学建模的内容来自于实际、方法
几个未知数方程。也就是说凡是这类问题不是简单的一个或 结合于实际、结果应用于实际,要选准切入点,争取和常微分
者几个固定不变的数值,而是要求一个或几个未知的函数。 方程的内容有机结合,体现数学建模的思想。数学建模思想
令人欣慰的是,这类问题的基本思想和初等数学的解方 的培养是一个长期的任务,不可能立竿见影,需要我们踏踏实
程思想有着许多的相似之处。我们可以把问题中已知数和未 实的钻研和工作,数学建模能力和纯粹数学的能力是不一样
知数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几 的,它需要不断地锻炼和培养。利用微分方程理论针对各种
个方程中去求得函数的表达。但是在方程的形式、求解的具 实际问题建立的
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　　[摘要] 本文简要微分方程在经济学和管理科学等实际问题中的数学建模问题，例如逻辑斯谛(Logistic)方程是一种在许多领域中有着广泛应用的数学模型，人口的增长、新产品的推广、人才的分配、价格的调整中我们可以感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力。　　[关键词] 微分方程 数学建模 经济应用　　　　微分方程是一门独立的数学学科，有完整的数学体系，微分方程是数学联系实际，并应用与实际的重要桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具。微分方程在物理学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，如果说“数学是一门理性思维的科学，是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现，现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程的问题，例如物体的冷却、人口的增长、琴弦的震动、电磁波的传播、人才的分配、价格的调整等，都可以归结为微分方程的问题，从中我们可以感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力。　　一、逻辑斯谛(Logistic)方程　　逻辑斯谛(Logistic)方程是一种在许多领域中有着广泛应用的数学模型，下面借助树的增长来建立该模型。　　一棵小树刚栽下去的时候长的比较慢，渐渐地，小树长高了而且长的越来越快，几年不见，绿荫底下已经可以乘凉了，但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来。下面建立这种现象的数学模型。　　如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合两头尤其是后期的生长情形，因为树不可能越长越快；但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差，则又明显不符合中间一段的生长过程。折中一下，假设树的生长速度既与目前的高度呈正比，又与最大高度与目前高度的差成正比。　　数学建模:设小树生长的最大高度为H(m)，在t(年)时的高度为x(t)，则有　　其中k>0是比例常数，称此方程为逻辑斯谛(Logistic)方程　　解微分方程:分离变量得　　两边积分 得　　整理得　　故逻辑斯谛(Logistic)方程的通解为 (其中的c是正常数)　　通解函数的图像成为Logistic曲线。另外这说明树的增长有一个限制，因此也称为限制性模式。逻辑斯谛(Logistic)方程除了应用于生物种群的繁殖外，还应用于信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及商品的销售等等。　　1.人口阻滞增长模型:1837年，荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型 　　y(t0)=t0 其中k，b称为生命系数。　　　　符合逻辑斯谛(Logistic)方程的模型，通解为　　某国家人口增长满足逻辑斯谛(Logistic)方程，其中b=275（百万），c=54，y的单位是年，根据这些数据可求出再过100年该国的人口数。　　因为把以上数据代入得　　　　即再过100年，该国的人口数为5千万。　　2.新产品的推广模型:设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t)，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因此，t时刻产品销量的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销量存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N-x(t)也成正比,于是有 　　　　符合逻辑斯谛(Logistic)方程的模型，通解　　　　　　当x(t*)<N时,有表明销量单调增加，当时，当时，当时，即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最畅销，当销量不足一半时，销量速度不断增大，当销量超过一半时，销量速度逐渐减少。　　研究与调查表明:许多产品的销售曲线与Logistic曲线十分接近，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应转产。　　二、国民收入与国民债务问题的模型　　某地区在一个已知的时期内国民收入的增长率为，国民债务的增长率为国民收入的若t=0时，国民收入为5(亿元)，国民债务为0.1(亿元)，试求国民收入及国民债务与时间t的函数关系　　设国民收入函数为y(t),由条件知　　所以得国民收入函数因为t=0时，y=5 得 c=5　　故国民收入函数　　设国民债务函数D(t)，由已知 　　解此微分方程得　　由t=0时，D=0.1得c=0.1　　故国民债务函数为　　三、价格调整问题　　某商品在时刻t的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数Q(P），S(P），则在时刻t的价格P(t)对于时间t的变化率可以认为与该商品在同一时刻的超额需求量Q(P)―S(P)成正比，即有微分方程 　　在Q(P)和S(P)确定情况下，可以解出价格P(t)与时间t的函数关系，这就是商品的价格调整模型　　某种商品的价格变化主要服从市场供求关系,一般情况下，商品供给量S是价格P的单调递增函数，商品需求量Q是价格P的单调递减函数,为简单起见,该商品的供给函数与需求函数分别为　　s(p)=a + bp, Q(p)=α―βp(1)　　其中a，b，α，β均为常数，且b>0,β>0.　　当供给量与需求量相等时，由式(1)可得供求平衡时的价格　　并称Pe为均衡价格。　　一般情况下，当某种商品供不应求，即S<Q时，该商品价格要升;当供大于求，即S<Q时，该商品价格要降。因此，假定t时刻的价格p(t)的变化率与超额需求量Q-S成正比，则有方程　　　　其中k<0，用来反映价格的调整速度。　　 将(1)代入方程，可得 (2)　　其中常数λ=(b+β)k>0,方程(2)的通解为　　　　假设初始价格P(0)=P0，代入上式，得C=p0―Pe，于是上述价格的调整模型的解为 　　　　由于λ>0知，t→+∞时，p(t)→Pe。说明随着时间不断推延，实际价格p(t)将逐渐趋近均衡价格Pe　　四、人才分配问题　　每年大学生都要有一定比例的人员分配教育部们充实教育队伍，其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作。设t年教师人数为x1(t），科学技术和管理人员人数为x2(t)，又设1个教员每年平均培养α个毕业生，每年从教育、科技和经济管理岗位上退休、死亡或调出人员的比率为δ(0<δ<1）,β表示每年大学毕业生中从事教师职业所占比率(0<β<1）,于是得到模型（1）、（2）　　 （1） 　　（2）　　方程(1)的通解为　　若设x1(0)=x01，则于是，得到方程(1)的一个特解　　将上式代入方程(2），得　　方程(2)的通解为　　若设x2(0)=x，则，从而得到上述方程的特解　　　　上述两个特解分别表示在初始人数为x1(0)和x2（0）的情形，对应于β的取值，在t年教师队伍的人数和科技经济管理人员的人数。从结果易见，如果β=1，即毕业生全部留在教育界，则当 t→∞时，由于α>δ,必有x1(t)→+∞而x2(t)→0，说明教师队伍将迅速增加。而科技和经济管理队伍不断萎缩，势必要影响经济的发展，反之也会影响教育的发展，如果将β接近于零，则x1(t)→0，同时也导致x2(t)→0，说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师队伍，将影响人才的培养，最终会导致两支队伍全面的萎缩，因此，选择好比率β，将关系到两支队伍的建设，以及整个国民经济建设的大局。　　　　本站关键词：此论文来源于 小柯论文网
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