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同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)2
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同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)2
官方公共微信考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（1）利用导数的定义，在某点的导函数值即为函数在该点处切线的斜率，列出方程解出b，c；（2）利用等价转化思想，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的实数解，等价于方程a=exx2在（0，+∞）有唯一的实数解，构造函数g（x）=exx2，x∈（0，+∞），求出单调性，利用数形结合，求出a的值；（3）利用导数求出f（x）在[0，3]上的单调区间，即能证明仅有两个极值点，和最大值．
解：（Ⅰ）f′（x）=ex-2ax+b，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+1，∴f(0)=1f′(0)=1即e0+c=1e0+b=1，解得b=0c=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=ex-ax2，当a＞0时，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的实数解，等价于方程a=exx2在（0，+∞）有唯一的实数解，设g（x）=exx2，x∈（0，+∞）则g′（x）=x2ex-2xexx4=ex(x-2)x3∴当0＜x＜2时，g′（x）＜0，x＞2时，g′（x）＞0∴函数g（x）=exx2在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（2）=e24，&当x＞0且x→0时，g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→+∞∴当a=e24时，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的实数解；（Ⅲ）当a=2时，f（x）=eex-2x2，x∈[0，3]设h（x）=f′（x）=ex-4x，则h′（x）=ex-4，x∈[0，3]因为h′（x）在[0，3]上是增函数，令h′（x）=ex-4=0，得x0=ln4∴x∈（0，ln4）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（ln4，3）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，f′（x）min=h（x）min=h（ln4）=eln4-4ln4=4-4ln4＜0且f′（0）=h（0）=1＞0，f′（3）=h（3）=e3-12＞0∴存在x1，x2，x1∈（0，ln4），x2∈（ln4，3），使f′（x1）=0，f′（x2）=0x∈（x1，x2），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（x2，3），f′（x）＞0，f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在[0，3]上有且仅有两个极值点，∴函数y=f（x）在[0，3]上的最大值为f（x1）和f（3）的较大者f（3）=e3-18＞2，∵f′(x1)=ex1-4x1=0f（x1）=ex1-2x12=4x1-2x12=-2（x1-1）2+2≤2故最大值为f（3）=e3-18．
点评：本题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识，考查运算能力、推理论证能力，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法．属于中档题．
请在这里输入关键词：
科目：高中数学
已知Rt△ABC中（如图1），AB⊥AC，AB=4，∠ACB=30°，AD⊥BC，沿AD折叠，使得折叠后∠BDC=90°，如图2所示．（1）求证：AD⊥平面BDC（2）求三棱锥A-BDC的体积．
科目：高中数学
设全集U=R，A={x|2＜x＜6}，B={x|3x-7≥8-2x}，C={x|a-2＜x＜2a}，求：（1）（∁UA）∩B；（2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．
科目：高中数学
已知点A（-3，-4）、B（5，-12）（1）求AB的坐标及|AB|；?（2）若OC=OA+OB，OD=OA-OB，求OC及OD的坐标；?（3）求OA•OB．
科目：高中数学
设x，y∈R，i，j分别为直角坐标系中与x轴、y轴正半轴同方向的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y-2）j，且|a|+|b|=8．（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设抛物线y=-x212+3的顶点为P，焦点为F．直线l过点P与曲线C交于A，B两点，是否存在这样的直线l，使得以AB为直径的圆过点F，若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由？
科目：高中数学
y=3sin（2x+2π3）的振幅为初相为．
科目：高中数学
若函数f（x）=xax+b（a≠0），f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，则f（x）=．
科目：高中数学
已知圆心为C（-3，4），半径为5的圆的标准方程是．
科目：高中数学
F1、F2是椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两焦点，过点F2作AB⊥x轴交椭圆于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，且∠AF1B=90°，则椭圆的离心率是．考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）由f′(x)=a+bx，且f′(e)=-e-1e，且f（e）=2-e，即a+be=-e-1e，且ae+b+c=2-e，又f（1）=a+c=0，从而解出a，b，c的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0）因此，g（x）=x2+mf（x）=x2-mx+mlnx+m（x＞0）得g′(x)=2x-m+mx=1x(2x2-mx+m)(x＞0)，令d（x）=2x2-mx+m（x＞0），讨论（ⅰ）当函数g（x）在（1，3）内有一个极值时，（ⅱ）当函数g（x）在（1，3）内有两个极值时，从而综合得出m的范围．
解：（Ⅰ）由题设知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+bx，因为f（x）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，所以f′(e)=-e-1e，且f（e）=2-e，即a+be=-e-1e，且ae+b+c=2-e，又f（1）=a+c=0，解得a=-1，b=1，c=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0）因此，g（x）=x2+mf（x）=x2-mx+mlnx+m（x＞0）∴g′(x)=2x-m+mx=1x(2x2-mx+m)(x＞0)，令d（x）=2x2-mx+m（x＞0）．（ⅰ）当函数g（x）在（1，3）内有一个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有且仅有一个根，即d（x）=2x2-mx+m=0在（1，3）内有且仅有一个根，又因为d（1）=2＞0，当d（3）=0，即m=9时，d（x）=2x2-mx+m=0在（1，3）内有且仅有一个根x=32，当d（3）≠0时，应有d（3）＜0，即2×32-3m+m＜0，解得m＞9，所以有m≥9．（ⅱ）当函数g（x）在（1，3）内有两个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有两个根，即二次函数d（x）=2x2-mx+m=0在（1，3）内有两个不等根，所以△=m2-4×2×m＞0\hfilld(1)=2-m+m＞0\hfilld(3)=2×32-3m+m＞0\hfill1＜m4＜3\hfill，解得8＜m＜9．综上，实数m的取值范围是（8，+∞）．
点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，参数的范围，导数的应用，考察了分类讨论思想，是一道综合题．
请在这里输入关键词：
科目：高中数学
设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，2Snn=an+1-13n2-n-23，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求证：数列{ann}是等差数列；（3）求数列{an}的通项公式．
科目：高中数学
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1是菱形，四边形CBB1C1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°，D、E分别是AC、A1B的中点．（Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：DE∥平面CBB1C1；（Ⅲ）求四面体A1ABC的体积．
科目：高中数学
设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0）且在点P处的切线斜率为2，求a、b的值．
科目：高中数学
已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上，求此椭圆的离心率．
科目：高中数学
如图，三角形ABC中AB=3，AC=6，∠BAC=60°，D为BC中点．（1）试用向量AB和AC表示BC；（2）求BC的长；（3）求中线AD的长．
科目：高中数学
某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如表所示：年份200x（年）01234人口数&y&（十万）5781119（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出&y&关于x的线性回归方程；（Ⅲ）据此估计2005年该城市人口总数．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式&∧b=ni=1xiyi-n.xyni=1xi2-n.x2，∧a=.y-∧b.x．
科目：高中数学
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠CAD=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=2，F是BC的中点．（1）求证：DA⊥平面PAC；（2）若以A为坐标原点，射线AC、AD、AP分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得n&=（1，1，1）是平面PCD的法向量，求平面PAF与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
科目：高中数学
设函数f（x）=x3-6x+5，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值点；（Ⅱ）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，求实数k的取值范围．}