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江西省2016届百所重点高中高三模拟考试理科数学试卷及答案
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phenix.s.et22016湖南省高考数学理科模拟试卷四（带答案和解释）
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2016湖南省高考数学理科模拟试卷四（带答案和解释）
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2016湖南省高考数学理科模拟试卷四（带答案和解释）
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文章来 源莲山课件 w ww.5 Y
2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（四）　一、（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1z）i，则|z|=（　　）A． &B．1&C． &D．22．已知R是实数集， ，则N∩∁RM=（　　）A．（1，2）&B．[0，2]&C．∅&D．[1，2]3．已知 ，则a，b，c的大小关系是（　　）A．a＞c＞b&B．c＞a＞b&C．a＞b＞c&D．c＞b＞a4．已知等差数列{an}前四项中第二项为606，前四项和Sn为3834，则该数列第4项为（　　）A．2004&B．3005&C．2424&D．20165．如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）&&&&&&&&&&&&&&&&& A．10&B．6&C．14&D．186．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）&A．2，5&B．5，5&C．5，8&D．8，87．下列说法正确的是（　　）A．对于任意的x都有|x|≤2x恒成立B．同时向上抛掷2枚硬币，2枚都是反面朝上的概率是 C．回归直线必须过（0，0）并呈现一条直线D．在k班高三数学期中测试中，平均数能够代表K班数学总体水平8．已知圆C：x2+y24x4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（　　）A． &B． &C． &D． 9．将 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移 个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（　　）A． &B． &C． &D． 10．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　）&A．1&B．2&C．4&D．811．已知 ， ， ，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量 等于（　　）&A． &B． &C． &D． 12．已知双曲线
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2， ），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上，则双曲线的方程为（　　）A．
=1　二、题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=　　　　　　．14．（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为　　　　　　．15．若不等式组 表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则m的值为　　　　　　．16．已知函数f（x）满足f（x）=f（x），且当x∈（∞，0）时，f（x）+f′（x）＜0，a=20.1•f（20.1），b=（ln2）f（ln2），c=（log2 ）f（log2 ），则a，b，c的大小关系是　　　　　　．　三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinCsinAcosB= ，且B为钝角，求A，B，C．18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．&（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在2080年龄段的人口分布的概率．从该城市2080年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD1；（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；（Ⅲ）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角PACB的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．&20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：& + =1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2 ，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且 与 同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=lnx ．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x1）．　请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1几何证明选讲22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．&&&&&&&&&&&& 　选修4-4坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（ ， ），直线l的极坐标方程为ρcos（θ ）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为 （α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．　选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x1|+|x3|+|xa|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．　&
2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（四）参考答案与试题解析　一、（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1z）i，则|z|=（　　）A． &B．1&C． &D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由1+z=（1z）i，可得z= ，再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵1+z=（1z）i，∴z= = = =i，则|z|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．　2．已知R是实数集， ，则N∩∁RM=（　　）A．（1，2）&B．[0，2]&C．∅&D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】．【分析】先化简两个集合M、N到最简形式求出M，N，依照补集的定义求出CRM，再按照交集的定义求出N∩CRM．【解答】解：∵M={x| ＜1}={x|x＜0，或x＞2}，N={y|y= +1}={y|y≥1 }，CRM={x|0≤x≤2}，故有 N∩CRM={y|y≥1 }∩{x|0≤x≤2}=[1，+∞）∩[0，2]=[1，2]，故选D．【点评】本题考查函数的值域求法，不等式的解法，以及求集合的补集和交集的方法．　3．已知 ，则a，b，c的大小关系是（　　）A．a＞c＞b&B．c＞a＞b&C．a＞b＞c&D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算求出a的范围，根据对数的运算性质得到b，c的范围，比较即可．【解答】解：& = = ＞2， ＜0，0＜ ＜1，即a＞2，b＜0，0＜c＜1，即a＞c＞b，故选：A．【点评】本题考查了指数以及对数的运算性质，是一道基础题．　4．已知等差数列{an}前四项中第二项为606，前四项和Sn为3834，则该数列第4项为（　　）A．2004&B．3005&C．2424&D．2016【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列前n项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可．【解答】解：已知a2=606，S4=3834，则S3=a1+a2+a3=3a2=1818即a4=S4S3=6，故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，比较基础．　5．如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）&A．10&B．6&C．14&D．18【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．　6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）&A．2，5&B．5，5&C．5，8&D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．　7．下列说法正确的是（　　）A．对于任意的x都有|x|≤2x恒成立B．同时向上抛掷2枚硬币，2枚都是反面朝上的概率是 C．回归直线必须过（0，0）并呈现一条直线D．在k班高三数学期中测试中，平均数能够代表K班数学总体水平【考点】线性回归方程；命题的真假判断与应用．【专题】不等式的解法及应用；概率与统计．【分析】举出反例x＜0，可判断A；求出满足条件的事件的概率，可判断B；根据回归直线的几何特征，可判断C；根据平均数表示刻画数据总体水平的适用范围，可判断D．【解答】解：当x＜0时，|x|＞2x，故A错误；同时向上抛掷2枚硬币，2枚都是反面朝上的概率是 ，故B正确；回归直线必须过（ ， ）并呈现一条直线，但不一定经过（0，0）点，故C错误；如果数学成绩差距较大，则平均数不能够代表K班数学总体水平，故D错误，故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．　8．已知圆C：x2+y24x4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（　　）A． &B． &C． &D． 【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】根据条件令x=0，求出AB的长度，结合三角形的勾股定理求出三角形ACB是直角三角形即可得到结论．【解答】解：当y=0时，得x24x=0，解得x=0或x=4，则AB=40=4，半径R=2 ，∵CA2+CB2=（2 ）2+（2 ）2=8+8=16=（AB）2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故选：C．【点评】本题主要考查圆心角的求解，根据条件求出先AB的长度是解决本题的关键．　9．将 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移 个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（　　）A． &B． &C． &D． 【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．【解答】解：将 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+ ）的图象；再把所得图象象左平移 个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+ ）+ ]=sin（2x+ ），令2x+ =kπ+ ，求得 x=
，k∈z，故所得函数的图象的对称轴方程为 x=
，k∈z．结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．　10．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　）&A．1&B．2&C．4&D．8【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为： ×4πr2+ ×πr2 2r×2πr+2r×2r+ ×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．&【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　11．已知 ， ， ，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量 等于（　　）&A． &B． &C． &D． 【考点】平面向量的基本定理及其意义；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】．【分析】过点C做CE∥OA& CF∥OB，得到两个三角形相似，根据三角形相似得到对应边成比例，把OE，OF都用OC来表示，代入比例式，求出OC的值，做出向量之间的关系．【解答】解：过点c做CE∥OA& CF∥OB& 设OC长度为a有△CEB∽△AFC∴&&&&&&&&&& （1）∵∠AOC=30°&& 则CF= =OE&&&& OF=CE= ∴BE=2 &&& AF=2 代入（1）中化简整理可解：a= OF= = = OA&& OE= = OB，∴ 故选B．【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，本题解题的关键是构造平行四边形，利用平行四边形法则来解题，本题是一个易错题．　12．已知双曲线
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2， ），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上，则双曲线的方程为（　　）A．
=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，& = ，∵抛物线y2=4 x的准线方程为x= ，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上，∴c= ，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b= ，∴双曲线的方程为 ．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．　二、题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=　 　．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q= ，则p= ，故答案为： ．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．　14．（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为　30　．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】法一：利用分部相乘原理，可以得出x5y2的系数；法二：利用二项式展开式的通项公式，先确定y的次数，再确定x的次数也可．【解答】解法一：（x2+x+y）5可看作5个（x2+x+y）相乘，从中选2个y，有 种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有 • 种选法；∴x5y2的系数为 •& =30；解法二：∵（x2+x+y）5=[（x2+x）+y]5，其展开式的通项公式为Tr+1= •（x2+x）5r•yr，令r=2，得（x2+x）3的通项公式为&•（x2）3m•xm= •x6m，再令6m=5，得m=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为&• =30．故答案为：30．【点评】本题考查了二项式定理的灵活应用问题，也考查了分步相乘原理的应用问题，是基础题目．　15．若不等式组 表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则m的值为　1　．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由 ，得 ，即A（2，0），则A（2，0）在直线xy+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞1，则A（2，0），D（2m，0），由 ，解得 ，即B（1m，1+m），由 ，解得 ，即C（ ， ）．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADBS△ADC = |AD||yByC|= （2+2m）（1+m ）=（1+m）（1+m ）= ，即（1+m）× = ，即（1+m）2=4解得m=1或m=3（舍）．&【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．　16．已知函数f（x）满足f（x）=f（x），且当x∈（∞，0）时，f（x）+f′（x）＜0，a=20.1•f（20.1），b=（ln2）f（ln2），c=（log2 ）f（log2 ），则a，b，c的大小关系是　c＞a＞b　．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】方程思想；构造法；导数的综合应用．【分析】通过构造复合函数，求导，求符合函数单调性，通过单调性判断函数值的大小【解答】解：设函数h（x）=xf（x），有函数y=f（x）是R上的偶函数，y=x是奇函数，得h（x）=xf（x）是函数R上的奇函数，由x∈（∞，0）时，h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0成立，∴h（x）在（∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∵3＞20.1＞1，0＜ln2＜1，丨 丨=3＞20.1＞ln2即h（3）＞h（20.1）＞h（ln2）．又a=20.1•f（20.1），b=ln（2）•f（ln2），c=（ ）•f（ ），∴b＜a＜c故答案为c＞a＞b【点评】本题考查通过已知条件，构造符合函数，通过求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间比较函数值的大小，属于中档题．　三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinCsinAcosB= ，且B为钝角，求A，B，C．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得 = ，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinCsinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，可得sin2B= ，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴ =tanA，∵由正弦定理： ，又tanA= ，∴ = ，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinCsinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，∴sin2B= ，∵0＜B＜π，∴sinB= ，∵B为钝角，∴B= ，又∵cosA=sinB= ，∴A= ，∴C=πAB= ，综上，A=C= ，B= ．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．　18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．&（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在2080年龄段的人口分布的概率．从该城市2080年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能估算所调查的600人的平均年龄．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为 ，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为 ，∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为 ，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）= ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，∴X的分布列为：&X& 0& 1& 2& 3&P& &&&
EX= = ．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．　19．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD1；（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；（Ⅲ）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角PACB的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．&【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】综合题；转化思想；综合法．【分析】如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，先写出各点坐标：（I）取AD1中点G，则G（1，0，1）， =（1，2，1），又 =（1，2，1），证明 与 共线即可；（II）求出两异面直线的方向向量，用数量积公式求夹角余弦即可，易求；（III）假设存在，设出点P的空间坐标，根据题设中所给的条件二面角PACB的大小为30°利用数量积公式建立关于引入的参数的方程即可，若求得的参数符合题意，则说明存在，否则说明不存在．【解答】解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、B1（2，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．（I）取AD1中点G，则G（1，0，1）， =（1，2，1），又 =（1，2，1），由 ，∴ 与 共线．从而EF∥CG，∵CG⊂平面ACD1，EF⊄平面ACD1，∴EF∥平面ACD1．（II）∵ =（0，2，0）∴ = （III）假设满足条件的点P存在，可设点P（2，2，t），（0＜t≤2）， =（0，2，t）， =（2，2，0）平面ACP的一个法向量为 则 ∴ 取 =（1，1， ），易知平面ABC的一个法向量 =（0，0，2）依题意知 ∴|cos |= = 解得t= ∈（0，2）∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为 时，二面角PACB的大小为30°&【点评】本题考查用向量法证明线面平行，求异面直线所成的角以及二面角，用向量方法解决立体几何中的位置关系、夹角及距离问题是空间向量的一个重要运用，学习时注意总结向量法解立体几何题的规律，此方法也是近几年高考比较热的一个考点．　20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：& + =1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2 ，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且 与 同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2 且C1与C2的图象都关于y轴对称可得 ，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过 = 可得（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2 ，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（± ， ），∴ ，又∵a2b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为 + =1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵ 与 同向，且|AC|=|BD|， ∴ = ，∴x1x2=x3x4，∴（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，
设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由 ，可得x24kx4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=4，由 ，得（9+8k2）x2+16kx64=0，由韦达定理可得x3+x4= ，x3x4= ，又∵（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，∴16（k2+1）= + ，化简得16（k2+1）= ，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=± ，即直线l的斜率为± ．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　21．已知函数f（x）=lnx ．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x1）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）（x1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）k（x1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx ，∴f′（x）= ＞0（x＞0），∴0＜x＜ ，∴函数f（x）的单调增区间是（0， ）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）（x1），则F′（x）= 当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x1＜k（x1），则f（x）＜k（x1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）k（x1）（x＞0），则G′（x）= =0，可得x1= ＜0，x2= ＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x1），综上，k的取值范围为（∞，1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．　请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1几何证明选讲22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．&【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．　选修4-4坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（ ， ），直线l的极坐标方程为ρcos（θ ）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为 （α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】（1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程．（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）点A的极坐标为（ ， ），直线l的极坐标方程为ρcos（θ ）=a，且点A在直线l上．可得：& cos（
）=a，解得a= ．直线l的极坐标方程为ρcos（θ ）= ，即：ρcosθ+ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程为：x+y2=0．（2）圆C的参数方程为 （α为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x1）2+y2=1．圆心（1，0），半径为：1．因为圆心到直线的距离d= = ＜1，所以直线与圆相交．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．　选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x1|+|x3|+|xa|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，画出函数的f（x）的图象，数形结合求得不等式f（x）＜4的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得g（a）的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x1|+|x3|= ，由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（ ，3）．（2）函数f（x）=|x1|+|x3|+|xa|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，可得f（x）的最小值为g（a）= ，故g（a）的最小值为2．&【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 文章来 源莲山课件 w ww.5 Y
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