y=2cosx的绝对值-1是否为周期函数，是否存在最小正周期？过程怎么写
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高等数学竞赛的绝对值与最值
＿－＿Ｊｌ＿＿
ｒ，－－ｉ
等数学竞赛的绝对值与最值
（浙江万里学院基础学院综合部，浙江宁波３１５１０１）
摘要：本文作者结合往届的高等数学竞赛试题，分析
了与绝对值有关的最值问题的三种类型．就每种情形归纳了然后取绝对值后比较这些点处函数值的大小．得出参数的值．
例３．２００８年浙江省高等数学竞赛题（４］：求常数的值使得
ｍａｘＩｃｏｓｘ＋ｘ－ｔｌ＝１ｒ．
Ｉ‘［０．２＇ｒｒｌ
解决绝对值问题的方法，对于参加高等数学竞赛和拓展高等数学知识与技能具有指导意义。
关键词：高等数学竞赛试题绝对值导数最值绝对值函数是中学数学中重要的一元函数，它的连续性，最
评注：首先计算函数ｇ（ｘ）＝ｅｏｓｘ＋ｘ—ｔ在区间［０，２霄］的极值
问题．由Ｔ－ｇ（ｘ）单调增加，所以Ｉｇ（ｘ）ｌｌ均最大值一定在区间端点
值．单调性等都有非常直观的几何解释．高等数学是中学数学的
直接后继课稃．运用高等数学解决实际问题往往耍处理一些包含绝埘值的问题．所以，必须熟练掌握解决绝对值ｆⅡＪ题的方法．
高等数学竞赛旨在提高学生运用数学知识解决问题的能力。培养学生的创新思维，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革：ｎ．各省（市）高等数学竞赛往届试题中有大量关于绝对值的问题．下面结合高等数学竞赛试题归纳绝对值与最值的类型和解决ｆｂＪ题的方法．
１．用绝对值定义函数的最值问题
处取到．比较ｆｇ（０）ｆ和Ｉｇ（２丌）ｆ可得ｔ＝ｘ＋１．
例４．２０１１年浙江省高等数学竞赛题（文专类）㈨：求ａ的值，使得函数ｆ（ｘ）＝ｌｘ＇－－－４ｘ＇－ａｌ在［一２，２］上的最大值为２．
评注：作变量代换ｙ＝】【‘后问题等价于ｆ（ｖ）＝Ｉｖ‘一４ｙ～ａＩ在上
［一４，４］的最大值为２．先计算绝对值之内的函数的极值点，因
为是抛物线，因此最大值一定在对称轴或区间端点处取到。比
较这些点的函数值即可得到ａ＝＿２．也可以直接计算ｇ（ｘ）一－－－Ｘ＊－－４Ｘ。－ａ在［－２，２］上的极值，再比较这些点和区间端点处函数值的
大小可得结果．
３．绝对值积分的最值问题
第一类『口】题，用绝对值定义函数．通常做法是对定义域进
行分割，去掉绝对值，将函数尽量简化．
第ｉ类问题．定积分中被积函数包含绝对值．求其最值问题．
椤！Ｊ５２０１
例１．２００５年浙江省高等数学竞赛（文专类）题：求函数ｆｉｘ）
＝ｌｘｌ＋ｌｘ—ｌＩ＋ｌｘ一３Ｉ的最，Ｊ、值．
１年浙江省高等数学竞赛（文专类）题：计算ｍａＫｆ：：６（‘划兄
Ｏ≤ｔ《ｌ”
评注：这事实卜是中学数学问题．由于函数ｘ，ｘ一１，ｘ一３分别
在ｘ－－Ｏ，１，３的两侧变号，冈此需要将实直线分割为４个子区间。然后化简函数．在多元函数中也存在绝对值定义函数的最值问题．
评注：解决此类问题的通常方法是根据积分变量的取值范围．将积分区间进行分割，使每个区间中被积函数不含有绝对值．积分后再利用积分区间可加性计算积分．本例中将积
分区问分割成［０，、／ｔ］和［、／ｔ，１］两个区间后分别积分得
例２．陕西省第七次大学生高等数学竞赛复赛试题：求函
数ｆ（ｘ，Ｙ）＝ｍａｘ｛Ｉｘ—ｙｌ，Ｉｘ＋ｙｌ，Ｉｘ一２１ｌ的最小值。２。．
评注：将多元函数中绝对值去掉要麻烦得多．这个问题中ｘ－ｙ，ｘ＋ｙ，ｘ一２分别在直线ｖ＝ｘ的上下两侧变号，在直线ｙ＝一ｘ的
至］ＪＪ＂ｏＸｚ－ｔＩｄ】【＝；ｔ“一ｔ＋÷．然后计算在［０，１］上的最大值即可得
上下两侧变号．以及在直线ｘ＝２左右两侧变号。因此用这三条
直线叮以将ｘｏｙ平面分割为７部分。然后在每个区域上化简函数ｆ（ｘ，Ｙ）．在每个区域中ｆ（Ｘ，Ｙ）都是关于ｘ和ｖ的一次函数，于是两个偏导数都是０．因此在区域内部ｆ（ｘ，Ｙ）不可能取剑最小值，
例６．２００９年浙江省高等数学竞赛题：求ｇ（ｘ）－－ＬＩｘ—ｔｉｅ‘ｄｔ的
评注：类似于例５．根据参数不同取值划分区间．去掉绝对
最值点只日，能位于区域的边界上．比较边界线ｙ－－－ｘ，ｙ—ｘ和ｘ＝２
上点的函数值．得到ｍｉｎｆ（ｘ，Ｙ）＝２，（ｘ，Ｙ）∈Ｒ．
第二类方法是使用最优化理论方法．此种问题事实上就是凸规划问题．根据最优化理论町知：凸函数在凸区域的最值只在区域的边界上取到：３＿．在例２中，用ｉ条线将平面分割为７部分．每个部分都是平面上的凸集，而化简后的ｆ（ｘ，Ｙ）是
值．因为研究的是最值，所以不必要（有时候是不能）将积分先计算出来然后讨论最值．第二种处理方法是直接研究这些积
分表示函数的单调性，从而得出最值．令Ａ可：，ｅ‘ｄｔ＞Ｏ（这个积分
无法用牛顿——莱布尼茨公式计算出来），则ｘ＜ｌ当时，ｇ’（ｘ）
＝－Ａ；当ｘ＞１时，ｇ’（ｘ）＝Ａ；当一ｌ≤ｘ≤１时，ｇ’（Ｏ）＝ｏ，ｒ（ｘ）＝２ｅ１＞ｏ，因此ｇ（ｘ）在ｘ－－０在取到最小值．
线性函数因此也是凸函数。ｆ（ｘ，Ｙ）只能在这７部分的边界上取
２．已知最值求参数问题
高等数学（微积分）中绝对值和其他问题结合往往会增加问题的难度，如何选择合适的方法去掉绝对值是解决此类问
题的关键．一般方法是比较绝对值内部变量值的大小划分区间（或者区域）去掉绝对值后分段讨论．
第二类问题。已知最值（或极值），计算其中所含参数的值．通常的办法是先计算不含有绝对值函数的最值（或极值），客观地对他们的学习成效作出评价。
参考文献：
［４］陈希，陈艳平．计算机专业数学教学有效性的思考与实践［Ｊ］．宁德师专学报（自然科学版），２０１０，２２（１）．
［５］李章．高职计算机数学教学改革与实践［Ｄ］．湖南师范
大学．２０１０．５．
［１］王信峰．计算机数学基础［Ｍ］．高等教育出版社，２００９．
［２］何克抗．建构主义的教学模式、教学方法与教学设计
［６］朱仁先．试论高职计算机数学课程的建设［Ｊ］．高等数
学研究．２００６。９（４）．
［Ｊ］．北京师范大学学报社科版．１９９７．５（１）．１
［３］李英平，史秀芳．周选亮．高职教育基础课程改革的目标定位与路径选择［Ｊ］．山西经济管理千部学院学报，２００９，１７（１）．
本文是浙江商业职业技术学院科研经费资助重点项目
ＳｚＹＺＤ２０１００７的研究成果。
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小百wan1769
写成分段函数：sinx≥0,即x∈[2kπ,2kπ+π]时,y=1/2sin(2x)-1;sinx&0,即x∈(2kπ-π,2kπ)时,y=-1/2sin(2x)-1;x间隔2π函数式才能重复出现,故周期为2π,最大值为-1/2容易得到.
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解:（1)当sinx≥0时,
y=|sinx|*cosx-1
=sinx*cosx-1
=1/2*(2sinx*cosx)-1
=1/2(sin2x)-1
此时，最小正周期T=2∏/2=∏.
当sin2x=1时,最大值为y=1/2-1=-1/2
绝对值问题一般的方法是取绝对值，去绝对值的方法有分段法和平方等等
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y=|x|图像与y=cosx图像有2个交点,故方程|x|=cosx实根个数为2,
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高等数学竞赛的绝对值与最值
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　　摘 要： 本文作者结合往届的高等数学竞赛试题，分析了与绝对值有关的最值问题的三种类型，就每种情形归纳了解决绝对值问题的方法，对于参加高等数学竞赛和拓展高等数学知识与技能具有指导意义。 中国论文网 /9/view-963610.htm　　关键词： 高等数学竞赛试题 绝对值 导数 最值 　　 　　绝对值函数是中学数学中重要的一元函数，它的连续性，最值，单调性等都有非常直观的几何解释.高等数学是中学数学的直接后继课程，运用高等数学解决实际问题往往要处理一些包含绝对值的问题.所以，必须熟练掌握解决绝对值问题的方法. 　　高等数学竞赛旨在提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革［１］.各省（市）高等数学竞赛往届试题中有大量关于绝对值的问题，下面结合高等数学竞赛试题归纳绝对值与最值的类型和解决问题的方法. 　　1.用绝对值定义函数的最值问题 　　第一类问题，用绝对值定义函数.通常做法是对定义域进行分割，去掉绝对值，将函数尽量简化. 　　例1.2005年浙江省高等数学竞赛（文专类）题：求函数f（x）=|x|+|x-1|+|x-3|的最小值. 　　评注：这事实上是中学数学问题.由于函数x，x-1，x-3分别在x=0，1，3的两侧变号，因此需要将实直线分割为4个子区间，然后化简函数.在多元函数中也存在绝对值定义函数的最值问题. 　　例2.陕西省第七次大学生高等数学竞赛复赛试题：求函数f（x，y）=max{|x-y|，|x+y|，|x-2|}的最小值［２］. 　　评注：将多元函数中绝对值去掉要麻烦得多.这个问题中x-y，x+y，x-2分别在直线y=x的上下两侧变号，在直线y=-x的上下两侧变号，以及在直线x=2左右两侧变号，因此用这三条直线可以将xoy平面分割为7部分，然后在每个区域上化简函数f（x，y）.在每个区域中f（x，y）都是关于x和y的一次函数，于是两个偏导数都是0，因此在区域内部f（x，y）不可能取到最小值，最值点只可能位于区域的边界上.比较边界线y=x，y=-x和x=2上点的函数值，得到minf（x，y）=2，（x，y）∈R. 　　第二类方法是使用最优化理论方法.此种问题事实上就是凸规划问题，根据最优化理论可知：凸函数在凸区域的最值只在区域的边界上取到［３］.在例2中，用三条线将平面分割为7部分，每个部分都是平面上的凸集，而化简后的f（x，y）是线性函数因此也是凸函数，f（x，y）只能在这7部分的边界上取到最值. 　　2.已知最值求参数问题 　　第二类问题，已知最值（或极值），计算其中所含参数的值.通常的办法是先计算不含有绝对值函数的最值（或极值），然后取绝对值后比较这些点处函数值的大小，得出参数的值. 　　例3.2008年浙江省高等数学竞赛题［４］：求常数的值使得|cosx+x-t|=π. 　　评注：首先计算函数g（x）=cosx+x-t在区间［0，2π］的极值问题.由于g（x）单调增加，所以|g（x）|的最大值一定在区间端点处取到，比较|g（0）|和|g（2π）|可得t=x+1. 　　例4.2011年浙江省高等数学竞赛题（文专类）［５］：求a的值，使得函数f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值为2. 　　评注：作变量代换y=x后问题等价于f（y）=|y-4y-a|在上［-4，4］的最大值为2.先计算绝对值之内的函数的极值点，因为是抛物线，因此最大值一定在对称轴或区间端点处取到，比较这些点的函数值即可得到a=-2.也可以直接计算g（x）=x-4x-a在［-2，2］上的极值，再比较这些点和区间端点处函数值的大小可得结果. 　　3.绝对值积分的最值问题 　　第三类问题，定积分中被积函数包含绝对值，求其最值问题. 　　例5.2011年浙江省高等数学竞赛（文专类）题：计算?蘩|x-t|dx. 　　评注：解决此类问题的通常方法是根据积分变量的取值范围，将积分区间进行分割，使每个区间中被积函数不含有绝对值，积分后再利用积分区间可加性计算积分.本例中将积分区间分割成［0，］和［，1］两个区间后分别积分得到?蘩|x-t|dx=t-t+.然后计算在［0，1］上的最大值即可得结果2/3. 　　例6.2009年浙江省高等数学竞赛题：求g（x）=?蘩|x-t|edt的最小值. 　　评注：类似于例5，根据参数不同取值划分区间，去掉绝对值.因为研究的是最值，所以不必要（有时候是不能）将积分先计算出来然后讨论最值.第二种处理方法是直接研究这些积分表示函数的单调性，从而得出最值.令A=?蘩edt＞0（这个积分无法用牛顿――莱布尼茨公式计算出来），则x＜1当时，g′（x）=-A；当x＞1时，g′（x）=A；当-1≤x≤1时，g′（0）=0，g″（x）=2e＞0，因此g（x）在x=0在取到最小值. 　　4.结语 　　高等数学（微积分）中绝对值和其他问题结合往往会增加问题的难度，如何选择合适的方法去掉绝对值是解决此类问题的关键.一般方法是比较绝对值内部变量值的大小划分区间（或者区域）去掉绝对值后分段讨论. 　　参考文献： 　　［1］浙江省高校高等数学教学研究会.浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛章程［EB/OL］.http：//www.zufe.省略/document.asp?docid=5520. 　　［2］陕西省第七次大学生高等数学竞赛复赛试题［J］.高等数学研究，2009，（02）：封面三. 　　［3］袁亚湘等.最优化理论与方法［M］.北京：科学出版社，1997. 　　［4］卢兴江，金蒙伟主编.高等数学竞赛教程（第四版）［M］.杭州：浙江大学出版社，2011. 　　［5］田增锋.浙江省高等数学竞赛题的几何思考［J］.考试周刊，2011，（40）：13-14. 　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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