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经典哈密顿函数H向量子力学算符(H)过渡的研究
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奇异双线性系统非合作微分博弈理论研究及应用
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于应用哈密顿原理推导拉格朗日陀螺的运动微分方程.pdf的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：2014年 5月第 2期吉林师范大学学报(自然科学版) Journal of Jilin Normal University(Natural Science Edition) No.2 M av.2014 应用哈密顿原理推导拉格朗日陀螺的运动微分方程杨远贵,陈 三(淮北师范大学物理与电子信息学院,安徽淮北 235000) 摘 要:本文采用哈密顿变分原理和正则变换来推导拉格朗日陀螺的运动微分方程,并对天文地球动力学中的日、月岁差(周期为 25800年)和章动(周期为 18.6年)进行了简单介绍.研究拉格朗日陀螺的运动对解决更为复杂的力学问题具有参考价值. 关键词:分析力学;哈密顿原理;拉格朗日陀螺中图分类号:O31
文献标识码:A
文章编号:一(8-04 0
引言哈密顿原理在分析力学中占有重要地位,特别是在工程技术方面得到广泛应用.由于哈密顿变分原理是在基本定律基础上采用变分法推得,其主要特征是将真实运动与在同样条件下的可能运动区分出来的准则,该原理作为有限元法和其他近似计算方法的理论基础,因此它已成为理论物理中重要的研究工具之一.哈密顿正则变换是以广义坐标和广义动量为变量而建立的系统的运动方程.由于正则方程结构简单、对称,为动力学的变换理论创造了有利条件,为正则方程渐进解法奠定了理论基础引.如哈密顿动力学系统的辛算法应用于多体的稳定性研究中 ,最近有人提出基于哈密顿动力学系统新变分原理的保辛算法 .下面以拉格朗日陀螺为例来说明哈密顿原理在经典力学中的应用. 拉格朗日陀螺是各种现代化陀螺的原始雏形,建立和研究它的动力学模型具有重要意义.陀螺的主要特征是它的稳定性和进动性,已被广泛应用于航空航天、航海与自动化和现代化的国民经济建设中.我国在轨运行的天宫一号航天器就是采用的控制力矩陀螺系统进行导航 J.拉格朗日陀螺是轴对称的重刚体(又称为对称陀螺,即, =I2≠,3),其重心位于动力对称轴上但不与固定点重合,它的运动微分方程的建立可以采用欧勒动力学方程和保守力系的拉格朗日方程 J.下面采用哈密顿变分原理和正则变换推导拉格朗日陀螺的运动微分方程. 1
拉格朗日函数和哈密顿函数图 1是采用三个欧拉角, , 作为广义坐标来描述拉格朗日陀螺.在坐标系 0一 中,自转轴 OZ 与 之间的夹角为 0.重心 G到坐标原点 0的距离为 Z. 1.1
陀螺的拉格朗日函数若选取 0一 为零势能面,则拉格朗日陀螺的势能为:V=mglcosO. 根据欧勒运动学方程: r∞=
sinOsinq,+0 cos￣b 1
. ? = sinOcos￣p一0 sine,
(1) 【∞: 。。+ 考虑到对称陀螺的轴转动惯量, =,2,可以得到拉格朗日陀螺的动能为: =÷(I1∞+,2 :+,3∞) 收稿日期:
基金项目:国家自然科学基金项目(U1231102);安徽省教学研究项目(2012jyxm261);安徽省高等学校省级质量工程项目(2011248);淮北师范大学教学研究项目(jy12111) 第一作者简介:杨远贵(1969一),男,安徽省六安市人,现为淮北师范大学物理与电子信息学院教授,博士.研究方向:天体物理. ·88 · : —2 , ( zsi z + z)+. ,3(
/’ 3\ … ’’, 因此,对称陀螺的拉格朗 Et函数为: =
) + 13(￣bc。s +I ) 一,, zc。s
(2) 1.2 陀螺的哈密顿函数由(2)式可以得到广义动量为: 根据哈密顿函数 P :
=,J sin ∞+,3(
)c。s d∞ P :旦拿:,3( 。。 0+ ) a 的定义,有: (3) 图 1 拉格朗日陀螺 H =(0 P +
P + 尸)一L =,l
+,3(￣cosO+ )cos ]
+,3(￣cosO+ ) 一[I ( sin 0+ )+专,3(Coos0+ ) 一mglcosO] =+Ell( 。+ 。sin。)+13(￣cosO+ ) ]+mglcosO 、将(3)式变化成=
害和 cosO+ = ,代入上式即可得拉格朗日陀螺的哈密顿函数为: H =筹+
c4 2 推导拉格朗日陀螺的运动微分方程拉格朗日陀螺的运动方程采用欧勒动力学方法较为复杂,而保守力系的拉格朗日方程较为简便,但它们都是二阶常微分方程.下面采用哈密顿变分法和正则变换方法来推导其运动微分方程. 2.1 哈密顿变分法根据积分形式的变分原理 6
d =。,将(2)式代人有: 6f“Ldt:f“(, sin20￣6￣+,。 sin c。s080+, 6 +,3c0s
一,3 cosOsinO60+￣cos0da￣+13cos
一I3￣M)sin060+,3 6 +mglsinO60)dt=0
(5) 再将 =—d( Oa—O)一 等关系代入(5)式,可以得到: 占 z=
慨 +I￣cos=
一&cosOd6 + I3cos2
一,3 +Ii sinOcosO￣O一,3 sinOcos&￥O—I3￣￣sin080+mgsin060,dt=0 对上式积分可以得到: ￣fllLdf=I1 I t2。+,。sin20￣6￣I t2 +,]c。s 嘶却I t2。+13cos 却I t2。+I3cos
l t 2+,3 I t2。+f‘(,1￣2sinOcosO一11 一,3 sinOcosO一13￣￣)sinO+mglsinO)60dt +f‘(2,3sin0c0s
一211 sinOcosOt￣￣一I1 sin
+,3 sin 一cos ) d +J(I3￣sinO0—13cosO0一,3 )
d￡=0 fl 考虑等时积分,即有:601 .=601 :=0;却 l +却 l :=O;
=0.又因为积分号内的 60,却及是任意的且一般不为零,且是相互独立的.因此有: ,l
sinOcosO+/3(￣cosO+
)￣sinO—mglsinO=0
(6—1) 213 sinOcosO
-211 sinOcosO
+I3￣)sinO
一/3cos0￣=0
(6.2) 13￣sinO
(6.3) 最后对(6-1)~(6—3)式的三个式子进行积分并化简,得到拉格朗日陀螺的运动微分方程为: I
l I。 sin20+ 鲁+mglc咖=E (7-1) ,l sin a +13( cosO+
)cosO=11 sin 8 +JcosO=c
(7—2) I3( cosO+
(7.3) 其中 E、J和 c为积分常数. 2.2 哈密顿正则变换法首先根据哈密顿正则方程,计算拉格朗日陀螺的三个广义速度. =
(8-3) 一 ∞其次,计算三个广义动量. 考虑和为循环坐标,则有户=一嚣 o和户=一.积分可以得到:P =.,和P =c,其中E,J3o ’ d‘D 和 c为积分常数. 将(8-2)式代人(8—3)式可以得到,
= I — cosO,即 P =13(
+￣cosO):‘,,即为(7-3)式.最后由(8—2)式有:尸+,1 sin 0
+P cosO=,1 sin 0
+JcosO=c,即为(7—2)式. 正则变换的最后一个广义动量: 户=一面OH=
,1 sin c。s 一 13 sin c。s 一厶 sin +mglsin 将(8-1)式改写成 P =I10,微分后代入上式可以得到: ,1
sinOcosO+13( cosO+
)￣sinO—mglsinO=0 这就是(6—1)式,同样的办法积分即可以得到(7—1)式. 3 讨论通过前面的推导可以看出,采用哈密顿变分法推导拉格朗日陀螺的运动微分方程的计算过程较为麻烦,而利用正则变换计算简洁,考虑循环坐标直接可以得到一阶运动微分方程.这样使得复杂的问题得到大大简化. 在标准地球模型中,地球可以看做为一个大的对称陀螺,赤道半径略大于极半径,其扁率为,=
二旦.90 . .因此地球的转动惯量满足对称陀螺条件,。=,2≠,3.在日、月对地球赤道隆起部分的引力作用下,使得北天极绕北黄极旋转,其实际运动轨迹是一条波纹线 .其中平天极绕黄极运动的周期约 25800 年,这就是岁差(即陀螺中的进动);而真天极绕平天极的椭圆运动的周期约 18.6年,这就是章动.因此拉格朗日陀螺的运动研究对于天文地球动力学具有重要意义,同时对于大学生理论物理的学习具有指导作用川.关于陀螺与陀螺仪的进动和章动的进一步分析可以参阅相关文献 ,这里不再赘述. 参考文献[1]黄昭度,纪辉玉.分析力学[M].北京:清华大学出版社,1985. [2]Hand L.N.,Finch J.D.Analytical mechanics[M].Cambridge:CUP,1998. [3]Chambers J.E.A hybrid symplectic integratorthat permits close encounters betweenmassive bodies[J].Mon.Not.R.Astron.Soc.,) 793~799. [4]高强,彭海军,张洪武,等.基于哈密顿动力系统新变分原理的保辛算法之一:变分原理和算法构造[J] 461~467. [5]张锦江,范松涛,张志方,等.天宫一号基于控制力矩陀螺的智能多模自适应姿态控制系统设计与验证[J] (2):131~141. 计算力学学报,): 中国科学:科学技术,]周衍柏.理论力学教程[M].北京:高等教育出版社,1986. [7]丘名实.应用拉格朗日方程建立重力作用下轴对称刚体的运动微分方程[J].海南大学学报(自然科学版),):105~108 [8]胡中为,萧耐园.天文学教程(上册)[M].北京:高等教育出版社,2003. [9]夏一飞,黄天衣.球面天文学[M]南京:南京大学出版社,1995. [1O]董连政,王金平.高师理论力学教学的创新与实践[J].吉林师范大学学报(自然科学版),):82~83. [】1]朱光平,刘忠良,刘亲壮.量子力学态叠加原理及教学的几点看法[J].吉林师范大学学报(自然科学版),):108~I10. [12]廖耀发,佘守宪.陀螺与陀螺仪进动及章动的一种初等分析[J].湖北工学院学报,):43~46. Differential Equations of the M otion for the Lagrangian Gyroscope Derived from Hamilton’S Principle YANG Yuan—gui,CHEN San (School ofPh)sics and Electronic Information,Huaibei Norm al University,Huaibei 235000,China) Abstract:In present paper,Ihe differential equations of motion for Lagrangian Gyroscope were derived by Hamilton’S variational princi!)le and canonical transforms.The helio—lunar precession with a period of 25800 years and nutation with a peri)d of 1 8.4 years were then briefly summarized in the astronomical geo—dynamics. Therefore,the investigations fi)r the motion of Lagrange gyroscope may provide a possible theoretical reference for much plicated problems in Mechanics. Key words:analytical mechanics,Hamilton’S principle,Lagrangian Gyroscope (责任编辑:郎集会) ·91·播放器加载中，请稍候...
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2014年 5月第 2期吉林师范大学学报(自然科学版) Journal of Jilin Normal University(Natural Science Edition) No.2 M av.2014 应用哈密顿原理推导拉格朗日陀螺的运动微分方程杨远贵,陈 三(淮北师范大学物理与电子信息学院,安徽淮北 235000) 摘 要:本文采用哈密顿变分原理和正则变换来推导拉格朗日陀螺的运动微分方程,并对...
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