扬州大学信息学院自动控制原理精品课程
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第八章 非线性控制系统分析
什么是非线性系统？它有什么特点？
在构成自动控制系统的诸多环节中，根据它们的静态特性不同，可以分为线性环节与非线性环节两大类。
&&&&当环节的输入输出静态特性呈现线性关系时，称为线性环节；当环节的输入输出静态特性呈现非线性关系时，称为非线性环节。在构成自动控制系统的环节中，有一个或一个以上的环节具有非线性特性时，这样的系统便是非线性控制系统。
&&&&在实际的控制系统中，由于构成控制系统的一些环节都或多或少地存在非线性特性，所以严格地说，任何实际的控制系统都是非线性的控制系统，只不过为了研究方便，经常将系统近似地看成或处理为线性系统，然后用线性控制理论来对系统进行分析与研究。
&&&&非线性系统的主要特点有：非线性环节或系统的静态广大系数是变化的，而且一般来说，是输入作用幅值的函数；非线性系统的工作状况以及稳定性，不仅取决于系统的参数，而且与输入量和初始条件有关；非线性系统的输入信息处理不是周期函数时，其输出却可能是周期函数，这时输出的等幅振荡一般称为非线性系统的自持振荡或极限环振荡；线性系统中经常应用的线性叠加原理，在非线性系统中不适用。
常见的非线性特性有哪些？
常见非线性特性如图8-1所示。
非线性系统的分析设计方法有哪些？
非线性系统的分析设计方法主要有以下几大类。
&&&&⑴等效线性化法
这是一种工程的近似分析方法，主要有泰勒线性化法、谐波线性化法、小参数法和统计线性化法等。
&&&&⑵相平面或相轨迹分析法
这是一种仅限于二阶系统应用的图解分析法。
&&&&⑶李雅普诺夫稳定性分析法
这是一种适用于任何复杂的高阶系统的分析方法，但由于构造李雅普诺夫函数在许多情况下野困难的，因而应用受到限制。
&&&&⑷计算机数值计算分析方法
它是利用计算机来对非线性方程求解，得出系统在一定输入作用下的响应及有关特性。
&&&&⑸微分几何方法
这是近十余年来发展起来的一种处理非线性系统的方法，值得给予充分的重视。
描述函数分析法的实质是什么？试述描述函数的概念及其求取方法。
非线性系统的描述函数分析方法是线性系统频率响应分析方法的推广。它是基于谐波等效线性化技术的一种简易近似分析设计方法。这种方法的实质是运用谐波线性化的方法，将非线性环节或系统的特性线性化，然后就可以用线性系统中的频率特性分析方法的一些结论来研究非线性系统。
&&(a)变增益
&&&&&&&&&&&(b)死区
&&&&&&&&&&&&&&&(c)饱和
&（d）幂函数&&&&&&
&&&&&&&& &(f)整流
&(h)死区、继电
&&&&&(i)滞环、继电
(j)死区、滞环、继电
&&&&&&&&&&(l)间隙
&&&&&&&&&&&图8-1
常见的非线性特性
&&&&当非线性环节的输入端作用一个正弦函数时，即，共环节的输出将是一个与输入同频的周期函数。如果将输出响应展开为富里衷级数，并假定其中高次谐波的影响远小于一次谐波，于是略去所有的高次谐波，就可以认为非线性环节的输出y(t)中只有一个谐波分量起作用，即：
&&&&（8-1）
&&&&式中： （8-2）
&&&&&&&&&&&（8-3）
&&&&&&&&&（8-4）
&&&&&&&&&(8-5)
&&&&非线性环节的描述函数就是输出y(t)的一次谐波分量y1(t)对输入信号 的复数比，即：
&&&&式中 ――输出中的一次谐波的幅值；
&&&&&&&&N――非线性环节的描述函数；
&&&&&&&&A――输入正统统函数的幅值；
&&&&&&&&――输出与输入之间的相位差。
&&&&&&&&式（8-6）还可以写为以下形式：
&&&&求取描述函数N的方法是先根据给定的非线性特性，确定历任变正统统函数时的输出响应y(t)，然后代入式（8-4）和式（8-5）求出相应的与，再代入式（8-7）便可以得到该非线性环节的描述函数。
由式（8-7）可以看出描述函数N一般是输入幅值A的复变函数，故通常写成 。
如何利用描述函数法来分析具有非线性环节的控制系统的稳定性和极限环振荡问题？
&&&&&&&&&&&&&&&&图8-2
非线性控制系统方块图
图8-2是一个具有非线性环节的控制系统的典型方块图，其中N(A)是非线性环节的描述函数，G(s)是线性部分的传递函数。
&&&&在图8-2中，N(A)可被看做为一个等效的复放大系数，其值随A的数值而变。由图可见，该系统的特征方程式为：
&&&&&&&&&&1+N(A)G(s)=0&&（8-8）
&&&&将代入式（8-8），
&&&&&&&&&&&&&&&(8-9)
&&&&当式（8-9）成立时，说明系统的特征方程存在纯虚根，闭环系统将出现等幅振荡，或叫级限环振荡。
&&&&式（8-9）可以改写为：
&&&&&&(8-10)
&&&&式（8-10）就是闭环的非线性控制系统稳定性的判别式。
&&&&非线性控制系统的奈魁斯特稳定判据可归结为：若G(s)本身是稳定的（即所有极点均在根平面的左半平面），则只有当曲线不被曲线包围，闭环系统才能稳定的，见图8-3(a)；若
曲线被曲线包围，则闭环系统是不稳定的，见图8-3(b)。
奈氏判据示意图
极限环稳定判据图
&&&&由图8-3，我们可以根据曲线将它所在的复平面划分为两部分：被曲线所
包围的部分称为不稳定区，在图8-4中用带有阴影线的区域，相当于曲线的内部；不被
曲线包围的区域称为稳定区，相当于曲线的外部。
&&&&若曲线与曲线相交，如图8-4所示。图中曲线上的箭头表示幅值A增加的方向。由图可见， 曲线与曲线有两个交点P与Q。在这两个交点，都说明式（8-10）成立，说明都有可能产生极限环振荡，那么这两个极限环振荡是否都是稳定的呢？如何来判断其稳定性呢？其判断方法如下：随着A增加的方向，如果曲线是由图上的不稳定区进入稳定区，则该交点所对应的极限环振荡是稳定的，例图9-4中的Q点；反之，随着A增加的方向，如果 曲线是由稳定区进入不稳定区，则该交点所对应的极限环振荡是不稳定的，例图中的P点，只能工作在Q点，该时极限环振荡的频率可由
曲线对应于Q点的频率来确定，极限环振荡的幅值可由 曲线对应于Q点的A值来确定。
试述相平面分析法的实质，为什么它是分析二阶系统的有交往方法？
相平面法是Poincare首先提出来的，它是一种图解的方法。相平面法的实质是将二阶系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过对这个点移动轨迹（相轨迹）的研究来研究二阶系统的运动规律。
&&&&对于用两个状态变量、来完全确定系统的状态。若、分别作为横坐标和纵坐标，所构成的直角坐标平面叫相平面或状态平面。相平面上的一个点便可以描述系统的某一个状态，这样的点称为描述点。系统从一个状态转移到另一个状态的运动过程，可以用相平面上状态描述点的移动轨迹形象、清楚地表示出来，这种反映状态变化的轨迹曲线叫相轨迹。当初始条件确定后，就可以在相平面上找到相轨迹的起始位置，当时间增加时，描述点沿着相轨迹移动。只要绘出相轨迹，通过相平面的分析就可以完全确定系统的所有响应性能。因此，相平面分析法是用来分析二阶系统的既清晰又全面的方法。
&&&&当系统高于二阶时，由于状态变量多于两个，若仍采用图解法来研究就很困难，所以相平面分析方法是一种仅能用来分析二阶系统的有交往方法（当然，用来分析一阶系统也不是不可以，但一般来说是没有必要的）。
试绘制二阶线性系统的相轨迹的大致形状，并从中找出相轨迹的一些规律是什么？
由第三章我们知道，对于下列标准二阶线性系统（假设u=0）：
&&&&&&(8-11)
&&&&当在不同数值范围内时，系统的特征根分布不同，就会对应不同的过渡过程形式。由这些不同形式的过渡过程，根据x和不同的变化情况，就可以画出相应的相轨迹。表8-1就列举了在不同数值范围内时的相轨迹形状。
&&&&由表8-1可以看出，对于二阶线性系统，只要知道系统值在什么范围，就可以知道其过渡过程的形式，相应地就可以确定其相轨迹的大致形状，这是用来绘制线性二阶系统相轨迹的有交往方法。当非线性系统
&&&&&&&&&&&&&&&&表8-1
二阶线性系统的相轨迹
&&&&可以分段线性化时，也可以应用这种方法画出每个区段内的相轨迹的形状，然后将各个区段交接处的相轨迹连接起来，就可以得到整个非线性系统的相轨迹。
&&&&从二阶线性系统的相平面图形分析，可以得出以下有关相轨迹的一些规律，这些规律对于分析非线 性系统的相轨迹，也是同样可以适用的。
&&&&⑴对于二阶系统来说，平面上描述点运动的轨迹全面而形象地表征了系统状态变化的规律，轨迹上箭头所指的方向表示了参数随时间变化的趋势。
&&&&⑵在相平面的上半平面，由于为正，故轨迹箭头的方向总是由左向右；而在下半平面，由于
为负，故轨迹箭头方向总是由右向左。根据这一规律，在绘制了比较复杂的非线性系统的相轨迹后，很容易确定轨迹的走向。
&&&&⑶当轨迹与x轴相交时，由于，x不变化，故相轨迹总是垂直通过x轴（正交）的。
&&&&⑷对应于式（8-11），在相同的情况下，当初始条件不同时，就有不同的过渡过程，相应的就对应有不同的相轨迹。这些相轨迹一般是不相交的，只有在一些特殊的点相交，这些交点在数学式称为“奇点”。厅点处曲线的斜率
是不定的。当表8-1可以看出，奇点的性质与对应的过渡过程形式之间有一定的关系。也就是说，当奇点的性质确定以后，它周围的相轨迹形状也就确定了。
8-8 某死区非线性特性如图8-6所示，试画出该环节在正弦输入下的输
出波形，并求出其描述函数N(A)
&&&&&&&&&&&&图8-6
死区特性在正弦输入下的输出波形
&&&&由图8-6可以看出，若A&b，则输出y(t)恒等于0，故此时该环节的等交往复放大系数即描述函数N(A)=0。
&&&&假定A&b，则其输出波形y(t)见图8-7。
&&&&由图8-7可以看出，当时，由于x&b，故输出y(t)=0。式中 即
&&&&当 时， 。同理当 时y(t)=0，当 时，，当时，y(t)=0。由此可以知道y(t)是一以为周期的周期函数（注意不再是正弦函数）。如果将y(t)展开为富里哀级数，仅取其一次谐波分量，并考虑到y(t)是奇函数，则根据式（8-4）和式（8-5）则有：
&&&&考虑到：
&&&&代入式（8-22）得：
&&&&由式（8-7）可得死区非线性特性的描述函数为：
某非线性环节特性如图8-8所示。试画出该环节在正弦输入下的输出波形，并求出其描述函数N(A)。
&&&&图8-8所示非线性特性在正弦输入下的输出波形如图8-9所示。其输入输出的数学函数式为：
&&&&&&&&&&&&&&&&图8-8
非线性特性
&&&&&&&&&&&&&&&&图8-9
输入输出波形
&&&&输出y(t)是一周期函数，由于是奇函数，故有 。
&&&&根据式（8-5），有
&&&&&&&&&&&&&&&&图8-10
并联环节的描述函数
&&&&代入式（8-7）可得上述非线性环节的描述函数为：
&&&&（8-23）
&&&&由式（8-23）可以看出，该环节的特性相当于一个放大系数为K的线性环节与一个具有继电特性的非线性环节并联而成，如图8-10所示。在该图中，若输入端作用一正弦函数，其输出将等于两个环节输出的叠加，其中：
&&&&故有：
&&&&其y(t)波形与图8-9所示的相同。
设某非线性环节的输入输出特性为：
&&&&（8-24）
y――非线性环节的输出；
&&&&&&&x&――非线性环节的输入。
&&&&试求该环节的描述函数。
假设，代入式（8-24），则有：
&&&&由于y(t)为奇函数，故有：
&&&&根据式（8-5），有：
&&&&根据积分公式：
&&&&可以求得：
&&&&同理有：
&&&&将以上结果代入式（8-25）可得：
&&&&由式（8-7）可得其描述函数为：
&&&&以上三个例子说明，当环节为单值非线性特性，即输出与输入之间有单值对应关系时，其输出的周期函数与输入的正弦函数之间不产生相移，即输出的一次谐波分量与输入的正弦函数之间没有相位差。这时由于输出为奇函数，，描述函数是一个实数。下面将列举两个例子来说明多值非线性特性的描述函数将是一个复数。
某环节是一个间隙非线性环节，其特性如图8-11所示。试画出该环节在正弦输入信号作用下的输出波形，并求其描述函数 。
&&&&图8-11
间隙非线性
&&&&图8-12
间隙非线性的输入输出特性
由图可见，该环节的间隙宽度为2b ，放大系数为K。在输入x为相同值时，输出可以取不相同的两个数值，即y的取值与x的变化有关，为多值非线性特性。
该环节在正弦输入信号作用下的输出波形见图8-12。
&&&&假设，且有A≥b。
&&&&由图8-12可以看出：
&&&&（8-26）
&&&&（8-27）
&&&&环节的输入输出函数式为：
&&&&（8-28）
&&&&根据式（8-4）可知：
&&&&将式（8-28）代入上式，进行分段积分，则
&&&&因为：
&&&&将式（8-27）代入上述三式 ，并一起代入式（8-29）经整理后可得：
&&&&（8-30）
&&&&同理有：
&&&&将式（8-30）、式（8-31）代入式（8-7），便得：
某一非线性环节，其输入输出关系为：，试求出该环节的描述函数N(A)。
根据其输入输出关系，可以将该环节看成是由一线性环节与一非线性环节并联而成（如图8-13）所示）。
&&&&由于线性环节的放大系数为4，所以该环节的描述函数 。
&&&&非线性部分的输入输出关系为。由此可以看出，输出与输入x的变化方向有关，因此这部分的描述函数将会是一复数。下面就来推出的具体形式。
&&&&图8-13
例8-5等效图
&&&&根据式（8-4）、式（8-5）可得：
&&&&根据积分公式：
&&&&式（8-32）中的：
&&&&将上述结果代入式（8-32）得：
&&&&根据积分公式：
&&&&式（8-34）中的：
&&&&将上述结果代入式（8-34）得：
&&&&（8-35）
&&&&将式（8-33）、式（8-35）代入式（8-7），得：
&&&&因此，本题所给的非线性环节的描述函数为：
某非线性系统方块图如图8-14所示。其中继电特性的描述函数为：线性部分传递函数：
&&&&试确定该系统的稳定性，并求出当极限环振荡的幅值时的放大系数k与振荡频率
&&&&&&&&&&&&图8-14
非线性系统方块图
该系统的非纯情生部分实际上是由一放大系数为1的线性环节和一个继电特性并联而成，因此其描述函数为。描述函数的负倒数为：
&&&&因此当A由0变化到∞时，曲线在复平面是由原点指向(-1,j0)点的一条直线。
&&&&图8-15
稳定性判断
&&&&本系统的稳定性我们分两种情况来讨论。当G(s)中的放大系数K很大时， 曲线将包围了
曲线，如图8-15(a)所示，这时，控制系统将是不稳定的；当G(s)中的K较小时，
曲线将与相交，如图8-15(b)所示。这时将会产生极限环振荡。由图可见，随A的增加方向，
曲线是由不稳定区（被包围）进入稳定区（不被曲线包围）的，因此，这时的极限环振荡是稳定的。
&&&&若已知极限环振荡的幅值，则有：
&&&&因此曲线将与曲线交于点，为了求得这时的放大系数K和振荡频率
化简为实部和虚部形式：
&&&&令 的虚部为0，则有：
&&&&令 的实部为 ，则有
&&&&因此可以确定，当G(s0中的K=0.006时，该非线性系统将产生振荡幅值为，振荡频率为0.14的稳定的极限环振荡。
设某非线性系统的方块图如图8-16所示。其中线性部分的传递函数为：
&&&&试分析该系统极限环的稳定性，并算出极限环的振荡频率与幅值。
&&&&图8-16
例8-7方块图
为了分析该非线性系统的工作状况，可按下列步骤进行。
&&&&⑴计算非线性环节的描述函数。
&&&&假定输入：
&&&&画出非线性环节在正弦输入下的输出波形，如图8-17所示。
&&&&由于 ，所以：
&&&&根据式（8-4）、式（8-5）有：
&&&&（8-36）
&&&&&&&&&&&&图8-17
死区继电特性的输出波形
&&&&⑵求出负倒描述函数，并在复平面上画出和曲线的大致形状。
&&&&（8-37）
&&&&由式（8-36）可以看出，N(A0是一个正实数（A≥0.5 ），所以一定是一个负实数，在复平面的负实轴上。当A=0.5时，N(A)=0； 时，N(A)=0 。所以绘制 曲线时，A=0.5或
时，都在-∞ ，而当0.5&A&∞ 时，都是一个负实数，且不可能等于。（因N(A)为 不可能为∞）。所以曲线当A由0.5变化到∞时，将是一条由-∞先向右，然后又向左趋向-∞的直线。由式（8-37）对求导可以求得在
时，取最大值，且一定在负实轴上。由以上分析可以大致画出曲线，如图8-18所示。图中的曲线是由两段组成，随着A增加，先向左，后向右，两段线都在负实轴上，是重合的，为了清楚起见，图中画了两条紧接负实轴的直线。由图可见，线性部分的曲线与
曲线有可能相交，且有两个交点，分别对应两个同频不同振幅的极限环振荡。
&&&&&&&&&&&&图8-18
例8-7的 和曲 线
&&&&⑶求出极限环振荡的频率与振幅，且确定极限环振荡的稳定性。
&&&&与负实轴的交点：
&&&&以 代入 的实部，得：
&&&&交点处的 ，将式（8-37）代入得：
&&&&由此可得方程：
&&&&与 交点处A有两个值，是在同一点上，图中为了清楚起见，将 、 分别标在紧挨着的两个点上。这两个点分别对应两个频率均为1.414的极限环振荡。
&&&&由图8-18可见，这一点是沿着A增加的方向，曲线由稳定区进入不稳定区的，所以是不稳定的极限环振荡；而 这一点是沿着A增加的方向，曲线由不稳定区进入稳定区的，所以是稳定的极限环振荡。因此，该题所述系统必然存在极限环振荡，其振幅为2.06，频率为1.414（其单位与题中的时间常数的单位有关，所以就不写明了）。
&&&&值得注意的是，当线性环节G(s)的放大系数变化时，会影响系统极限环振荡的稳定性。如果放大系数减小，
曲线就有可能不与 曲线相交，这时系统就不会产生极限环振荡了。
某非线性控制系统的方块图如图8-19所示。试用描述函数法来分析系统的稳定性及工作状况。
为了用描述函数分析图8-19所示非线性系统的工作状况，必须先将方块图进行简化。简化的目的是使系统的开环部分等交往为由一个非线性环节和一个线性环节串联而成，如图8-20所示。
&&&&&&&&&&&&图8-19
例8-8方块图
&&&&&&&&&&&&图8-20
等效非线性系统
&&&&图8-19所救援非线性部分由两个非线性环节组成，假定它们的描述函数分别为和
。值得注意的是，这两个环节串联以膈的等交往描述函数并不等于与之乘积，这是与线性环节串联时不相同的，而且，非线性环节串联后的等效非线性环节特性将与串联的前后次序有关，不能随意更改它们的前后次序，这也是与线性环节串联有所区别的。
&&&与串联以后的描述函数应该等于环节输入为正弦函数时，输出y中的一次谐波分量与
输入之正弦函数的复数比。为此，必须先将两环节的静特性合并以后找出其等效的静特性，然后才能求出其等交往的描述函数。
&&&&由图8-19可以看出，是环节的输入，它的输出又是环节的输入，其两个环节串联后的输出就是
环节的输出y，为了求得串联后的等效静特性必须找出与y之间的静特性，而这个静特性是与
、环节的静特性有关的。
&&&&对于环节来说，有：
&&&&(8-38)
&&&&对于环节来说，有：
&&&&(8-39)
&&&&由式（8-38）与式（8-39）中消去中间变量 ，就可以两个环节合并以后的静特性。
&&&&由图8-19可知，式（8-38）、式（8-40）中的k为一常数：
&&&&令 ，则式（8-40）可简化为：
&&&&(8-41)
&&&&式（8-41）就是两个非线性环节串联后的等效非线性环节的静特性。
&&&&图8-19中的线性部分是由三个线性环节组成的，采用线性系统中方块图变换的基本原则、方法和技巧，可以将这三个环节合并为一个等效线性环节。在变换过程中，要确保非线性部分的输入、输出不变，而且变换后的等效线性环节是与等效非线性环节串联的。为此，将图8-19等效变换为图8-21，同时，将非线性环节的特性用式（8-41）的特性代入。
&&&&&&&&&&&&图8-21
图8-19的化简图
&&&&&&&&&&&&图8-22
图8-21化简图
&&&&将图8-21进一步简化，可得图8-22。在图8-22中，系统的输出 并不等于图8-21中的C(s0，说明二者是不完全等价的，但从分析非线性控制系统的稳定性及其作状况来说，两者是完全相同的。
&&&&图8-22在结构上完全类同于例8-7中所给的系统方块图8-16。在 、等参数都确定后，完全可以用例8-7的分析方法来分析该系统的稳定性及工作状况，分析的过程及结果都是相似的，所以这里就不再重复了。
&&&&&&&&&&&&图8-25
非线性系统
首先求出描述系统的微分方程，由系统方块图可得：
&&&&将 的关系代入式（8-44），并积分得：
&&&&（8-46）
&&&&式中A为决定于初始条件的积分常数。
&&&&&&&&&&&&图8-26 △=0时的相轨迹
&&&&由图可见，当△=0时，在任何初始条件下，相轨迹都是由开口向右(e&0)和开口向左(e&0)的两段抛物线形成，故得到一族封闭的极限环曲线。当初始条件不同时，系统都将产生振荡，只中振荡的幅值和周期不同罢了。
&&&&当△=0 时，C与y的关系仍由式（8-42）描述，即： 。
&&&&由于：
&&&&所以有： （8-47）
&&&y的取值分两种情况：当 时：
&&&&e&1,y=1&&&&e&1,y=-1
&&&&将上式关系代入式（8-47），得：
&&&&将上式积分得：
&&&&（8-48）
&&&&（8-49）
&&&&式中A是由初始条件决定的常数。
&&&&&&&&&&&&图8-27
△=0时的相轨迹
&&&&同理当 时，有：
&&&&将上述关系代入式（8-43），并积分可得：
&&&&（8-50）
&&&&（8-51）
&&&&根据式（8-50）、式（8-51）可以画得平面上半平面的相轨迹，也是一系列抛物线。与式（8-48）、式（8-49）所画得的图形之区别在于：上半平面两抛物线的交接处均在e=1线上；下半平面两抛物线的交接处均在e=-1线上。整个相轨迹图形如图8-27所示。由图可见，当△不为零时，即继电特性具有滞环时，图8-25所示系统的过渡过程将是不稳定的发散振荡过程。
某系统的方块图如图8-28所示。试画出系统在单位阶跃作用下平面上的相轨迹的大致形状。已知初始条件为 。
系统闭环传递函数：
&&&&图8-28
例8-11方块图
&&&&图8-29
&&&&这是一个标准二阶系统，由闭环传递函数可知自然振荡频率
，因此系统的阻尼比 。
&&&&在单位阶跃作用下，该系统的输出c一定呈现衰减振荡过程，所以在平面上的相轨迹一定是内螺旋线。由于初始条件是，所以轨迹的起点在原点。系统的静态放大系数为1，故轨迹的终点在（1，0）。根据上述条件，画得相轨迹的大致形状如图8-29所示。
某系统的状态方程为：
&&&&试画出u=0，初始状态的相轨迹大致形状。
&&&&可得：
&&&&&&&&&&&&&&&&图8-30
例8-12相轨迹
&&&&对于来说，这是一个二阶线性微分方程，与标准二阶微分方程式
比较，可得 。由于
，故系统过渡过程呈发散振荡过程，其相轨迹必定为外螺旋线。由于，所以相轨迹的横坐标可取
，纵坐标可取（即 ）。已知系统的初始状态，故相轨迹的起点在(1,-2)，即第二象限上。根据上述结果，可画得相轨迹的大致形状如图8-30所示。
某系统由下述微分方程描述：
&&&&（8-52）
&&&&试绘制该系统的相图。
式（8-52）描述的是一个非线性系统。一般来说，当系统方程中包含x或的绝对值时，可以用几个线性微分方程式来代替非线性微分方程式，这样能简化相图的绘制。
对于式（8-52），我们可以用两个线性微分方程式来描述：
&&&&（8-53）
&&&&（8-54）
&&&&下面我们用两种方法来画出系统的
&&&&第一种方法：用线性二阶系统的相图分别画出式（8-53）和式（8-54）的相图，然后根据条件
和将对应的相轨迹连接起来，便成式（8-52）系统的相图。
&&&&对于：
&&&&可得到该线性二阶系统的。
&&&&这说明在相平面的上半平面，其相轨迹是一系列内螺旋线，其焦点都在坐标原点，如图8-31所示，其实线部分表示式（8-53）所具有的相轨迹。
&&&&同理对于 ，可求得。说明在相平面的下半平面，其相轨迹是一系列的外螺旋线，其不稳定的焦点也在坐标原点，如图8-32所示，其实线部分表示式（8-54）所具有的相轨迹。
&&&&将图8-31和图8-32的实线部分画在一个图上，并在 轴的相应点上连接起来，便成式（8-52）所示的系统的相图，如图8-33所示。
&&&&图8-31
式（8-53）相图
&&&&图8-32
式（8-54）相图
&&&&由图8-53可以看出，式（8-52）所描述系统的相图是一系列封闭的曲线（同心卵形圆），对于任何给定的初始条件（除了在原点上外），运动都是周期性变化的。由图8-33可以看出，相图对于 轴是对称的（箭头方向除外）。这种相图的对称性质，可直接由原始方程式（8-52）推断出来，因为用
代替 ，方程式（8-52）是相同的。这说明在平面上，上半平面的图形与下半平面的图形是相同的，所以相图对称于x轴。
&&&&图8-33
例8-13相图
&&&&第二种方法：利用等倾斜线作图法先画出相图上半平面的相轨迹，然后利用对称性质就可以得到整个相图了。
&&&&&&&&&&&&图8-34
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&图8-35相轨迹图
&&&&假设一系列k值，就可以确定上半平面所有轨迹的方向场。然后根据相图的对称性质，就可以确定下半平面轨迹的方向场，这样就可以得到在任何初始条件下的相轨迹，如图8-35所示。
&&&&采用作图法来绘制相轨迹时，图形的精度取决于作图步长的选择。当选择k值的间隔越小时，所作的等倾斜线越密，所得的轨迹越精确。但步长也不宜太小，因为步长减少，作图的工作量增加。而且步长过小后，有时反而会因作图累积误差增加，使作图的精度得不到改善。
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非线性系统的线性化
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非线性系统的直接反馈线性化方法
作者单位：
母体文献：
控制理论及其应用年会论文集
会议名称：
中国自动化学会控制理论及其应用年会
会议时间：
会议地点：
主办单位：
中国自动化学会控制理论专业委员会
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