圆锥曲线_百度百科
包括圆，，，。非圆的统一定义：到的距离与到定的距离的是常数e的。当e&1时为，当e=1时为，当0&e&1时为。
圆锥曲线起源
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家采用切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截，得到的是；把平面渐渐倾斜，得到；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条平行时，得到；用平行圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到[1]
。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
圆锥曲线定义
圆锥曲线几何观点
用一个平面去截一个，得到的就称为（conic sections）。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，和，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：
1) 当与圆锥面的，且不过，结果为。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与的垂直，结果为。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为一点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条直线。
圆锥曲线代数观点
在笛卡尔平面上，二元二次方程
的图像是。根据的不同，也包含了、、以及各种退化情形。
圆锥曲线焦点--准线观点
（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。
给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。
根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：
1) e=0，轨迹为；
2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为[2]
3) 0&e&1，轨迹为；
4) e&1，轨迹为。
圆锥曲线概念
（以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在－准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。）
考虑焦点--准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的；定直线称为圆锥曲线的；固定的常数（即圆锥曲线上一点到与的距离比）称为圆锥曲线的；焦点到准线的距离称为；焦点到曲线上一点的称为。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的，物理学中又称为正焦弦。
圆锥曲线是光滑的，因此有切线和的概念。
类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为；过焦点的弦称为。
对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条。
圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的。
Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以。
Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点。（对于退化的情形也适用）
Brianchon定理：圆锥曲线的，其三条共点。
圆锥曲线定理
由比利时数学家G.F.Dandelin 1822年得出的证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。
即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面π'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面π'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面π与π'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d为。
图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。
证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面π′与π的交角为α，圆锥的母线（如PQ）与平面π的为β。设P到平面π 的垂足为H，H到直线d的为R，则PR为P到d的（），而∠PRH=α。因为PE、PF同为之，得PE=PF。
如此则有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH
其中：PF/PR=sinα/sinβ为。
圆锥曲线历史
对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭。有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和2a的，即
，从而求得
。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线。然而，日晷的发明在古代就已失传。
早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家（，前262~前190）。他与是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。
在《圆锥曲线》中，阿波罗尼总结了前人（柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线）的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。
我们都知道，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的退化形式：两相交直线，一条直线和一个点，如图1所示。
在此，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的定义。如图2，给定圆BC及其所在平面外一点A，则过A且沿圆周移动的一条直线生成一个双锥面。
这个圆叫圆锥的底，A到圆心的直线叫圆锥的轴（未画出），轴未必垂直于底。
设锥的一个截面与底交于直线DE，取底圆的垂直于DE的一条直径BC，于是含圆锥轴的△ABC叫轴三角形.轴三角形与圆锥曲线交于P、P’，PP’未必是圆锥曲线的轴，PP’M是由轴三角形与截面相交而定的直线，PM也未必垂直于DE。设QQ’是圆锥曲线平行于DE的弦，同样QQ’被PP’平分，即VQ=QQ’。
现作AF∥PM，交BM于F，再在截面上作PL⊥PM。如图3，PL⊥PP’
对于椭圆、双曲线，取L满足，而抛物线，则满足，对于椭圆、双曲线有QV=PV·VR，对于抛物线有QV=PV·PL，这是可以证明的两个结论。
在这两个结论中，把QV称为圆锥曲线的一个纵坐标线，那么其结论表明，纵坐标线的平方等于PL上作一个矩形的面积。对于椭圆来讲，矩形PSRV尚未填满矩形PLJV；而双曲线的情形是VR&PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而抛物线，短形PLJV恰好填满。故而，椭圆、双曲线、抛物线的原名分别叫“亏曲线”、“超曲线”和“齐曲线”。这就是阿波罗尼引入的圆锥曲线的定义。
阿波罗尼所给出的两个结论，也很容易用现代来表示：
趋向无穷大时，LS=0，即抛物线，亦即椭圆或双曲线的形式。
在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有。直到16世纪，有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家（,）继承了的，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；二是意大利物理学家（,）得出物体的轨道是。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。譬如，1579年（Guidobaldo del Monte,）椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过，这对圆锥曲线性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的定理或新的证明方法。
17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆。从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式。譬如，椭圆有两个焦点F1、F2，如图4，若左焦点F1固定，考虑F2的移动，当F2向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，F1与F2重合时即为圆；当F2向右移动，椭圆逐渐趋向于抛物线，F2到无穷远处时即为抛物线；当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来，即为双曲线；当F2继续向右移动，F2又与F1重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线。这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础。
随着的创始，原本为画家提供帮助的投射、截影的方法，可能由于它与有着天然的联系，也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法国的三位数学家（Desargue）、（Pascal，）和拉伊尔（Phailippe de La Hire，）得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理，可谓别开生面。而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的既不同于阿波罗尼，又不同于投射和截影法，而是朝着的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。
到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除之外又建立，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的也被化为几种标准形式，或者引进曲线的。1745年欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的，总可以化以下标准形式之一：
继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如圆柱面、椭球面、单叶和双叶以及各种等。
总而言之，圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域，还是在我们的实际生活中都占有重要的地位，人们对它的研究也不断深化，其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。
圆锥曲线性质
圆锥曲线椭圆
文字语言定义：平面内一个动点到一个与一条定的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1+PF2=2a）。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的。
1、中心在，在x轴上的标准方程：
2、中心在，在y轴上的标准方程：
（θ为参数，0≤θ≤2π)
圆锥曲线双曲线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e;平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离差等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1-PF2=2a且PF2-PF1=2a）定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的。
标准方程：
1、中心在原点，焦点在x轴上的标准：
其中a&0，b&0，c?=a?+b?.
2、中心在原点，焦点在y轴上的标准：
其中a&0，b&0，c?=a?+b?.
参数方程：x=asecθ；y=btanθ （θ为参数 )
圆锥曲线抛物线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的。
x=2pt? y=2pt (t为参数） t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定）特别地，t可等于0
y=ax?+bx+c （开口方向为y轴，a≠0） x=ay?+by+c （开口方向为x轴，a≠0 )
圆锥曲线离心率
，，这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当0&e&1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e&1时为。
这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。
圆锥曲线极坐标方程
1、在圆锥中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：
其中l表示半径，e表示离心率；
2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：
其中e表示离心率，p表示焦点到的距离。[3]
圆锥曲线焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y），则焦半径为：
|PF1|=a+ex
|PF2|=a-ex
P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex
P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex
P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey
P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey
|PF|=x+p/2
圆锥曲线切线方程
圆锥曲线上一点P（
圆锥曲线焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p，叫圆锥曲线的，或。
圆锥曲线焦点三角形
椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形。
设F?、F?分别为椭圆或双曲线的两个焦点，P为椭圆或双曲线上的一点且PF?F?能构成三角形。
若∠F?PF?=θ，则的面积为
双曲线焦点三角形的面积为
圆锥曲线通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为。
椭圆的通径：
双曲线的通径：
抛物线的：2p
圆锥曲线对比
x?/a?+y?/b?=1 (a&b&0)
x?/a?-y?/b?=1 (a&0,b&0)
y?=2px (p&0)
x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)
x∈[0,+∞)
关于x轴，y轴，原点对称
关于x轴，y轴，原点对称
关于x轴对称
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)
(a,0),(-a,0)
(c,0),(-c,0)
【其中c?=a?-b?】
(c,0),(-c,0)
【其中c?=a?+b?】
——————
y=±(b/a)x[4]
—————
e=c/a,e∈（0,1)
e=c/a,e∈（1,+∞）
∣PF?∣=a+ex
∣PF?∣=a-ex
∣PF?∣=∣ex+a∣
∣PF?∣=∣ex-a∣
∣PF∣=x+p/2
x=a·cosθ
y=b·sinθ，θ为参数
x=a·secθ
y=b·tanθ，θ为参数
y=2pt,t为参数
过圆锥曲线上一点
(x0,y0）的方程
x0·x/a?+y0·y/b?=1
x0x/a?-y0·y/b?=1
y0·y=p(x+x0)
y=kx±√(a?·k?+b?)
y=kx±√(a?·k?-b?)
圆锥曲线中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程：
用设出该弦的（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的和关于y的一元二次方程，由得到两根之和的表达式，再由和两根之和的具体数值，求出该弦的方程。
2、（代点相减法）
设出弦的两端点坐标（x?，y?）和（x?，y?)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用得[(x?+x?)(x?-x?)]/a?+[(y?+y?)(y?-y?)/b?]=0
由为（y?-y?)/(x?-x?），可以得到斜率的取值（使用时注意的问题）
圆锥曲线统一方程
平面直角坐标系内的任意圆锥曲线可用如下方程表示：
其中，α∈[0,2π)，p&0，e≥0。
①e=1时，表示以F(g,h)为焦点，p为焦点到距离的。其中
与极轴夹角α（A为抛物线顶点）。
②0&e&1时，表示以F1(g,h)为一个焦点，p为焦点到距离，e为离心率的。其中
与极轴夹角α。
③e&1时，表示以F2(g,h)为一个焦点，p为焦点到距离，e为离心率的。其中
与极轴夹角α。
④e=0时，表示点F(g,h)。
五点法求平面内圆锥曲线可以采用该统一方程。代入五组有序实数对，求出对应参数。
注：此方程不适用于圆锥曲线的其他退化形式，如等。
附：当e≠0时，F(g,h)对应准线方程：
圆锥曲线判别法
设圆锥曲线的方程为
Ax?+2Bxy+Cy?+2Dx+2Ey+F=0
Δ= |B C E| , δ=|A B| , S=A+C , 称为不变量(Δ=b?-4ac)
|D E F|　 |B C|
　有一实点的虚
D?+E?-AF-CF&0
D?+E?-AF-CF=0
D?+E?-AF-CF&0
圆锥曲线CGY-EH定理
CGY-EH定理（又称[5]
）是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时?、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦长的算法.
圆锥曲线定理内容
与直线Aχ+By+C=0相交于E、F两点,则:
; △‘为一与△同号的值，
圆锥曲线定理说明
应用该定理于椭圆
应用于双曲线
不应为零,即ε不为零。
求解y1+y2与 y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与?'的值不会因此而改变。
圆锥曲线定理补充
联立曲线方程与y=kx+
是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。
与直线y=kx+
相交于E、F两点,则:
既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：
由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：
联立两方程得……（二次式子）（*）
所以x1+x2=……①，x1x2=……②；
所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）
化简得|x1-x2|=
(偷偷地直接套公式，不必真化简)
下面就可求弦长
圆锥曲线定理简证
设曲线x^2/m+y^2/n=1①与直线 Aχ+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：
(A^2 m+B^2 n) x^2+2ACmx+C^2 m-mnB^2=0
应用韦达定理，可得:
x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2 m+B^2 n)
x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/(A^2 m+B^2 n)
?=4mnB^2 (ε-C^2)
对于等价的一元二次方程?的数值不唯一,且 ?的意义仅在于其与零的关系,故由4B^2&0恒成立,则可取与?同号的?'=mn(ε-C^2)作为?的值。[3]
由|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2 )=√((1+A^2/B^2 )[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1 x_2 ] )
可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2 m+B^2 n-C^2))/(|A^2 m+B^2 n|)
令ε=A^2 m+B^2 n 则得到CGY-EH定理:
x_1+x_2=(-2ACm)/ε ; x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/ε ; ?'=mn(ε-C^2) ; |EF|=(2√((A^2+B^2)?'))/(|ε|)
圆锥曲线漫谈
圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。
我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。
由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。
由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔（如）时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。
由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。
圆锥曲线光学性质
圆锥曲线椭圆
从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，都汇聚到椭圆的另一个上。
圆锥曲线双曲线
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。
圆锥曲线抛物线
从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。
一束垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。
圆锥曲线图说应用
椭圆的声学性质
如图所示为圆锥曲线中椭圆的应用——回声山谷。在西方某些椭圆穹顶的大教堂里也有这种现象。
．王朝网络．[引用日期]
．百度百科．[引用日期]
．百度[引用日期]
．百度百科 双曲线渐近线方程[引用日期]
．百度百科[引用日期]分析：（1）利用双曲线的a、b、c的关系及椭圆的a、b、c1的关系及双曲线的渐近线的方程即可得出；（2）设出点P、Q的坐标，利用点斜式得出直线PA、QB的方程，联立即可得出交点M的坐标，反解出点P的坐标，利用代点法即可求出轨迹；（3）设出直线l的方程，并与双曲线的方程联立，利用根与系数的关系及已知条件求出FN1•FN2的范围，再求出伴随曲线C1上的任意一点到点F的距离的平方的取值范围，即可判断出结论是否成立．解答：解：（1）∵c=a2+b2，c1=a2-b2，由c=2c1，得a2+b2=2a2-b2，即a2+b2=4（a2-b2）可得&&b2a2=35，∴C的渐近线方程为y=±155x；（2）设P（x0，y0），Q（x0，-y0），又A（-2，0）、B（2，0），∴直线PA的方程为y=y0x0+2(x+2)…①直线QB的方程为y=-y0x0-2(x-2)…②，由①②得x0=4xy0=2yx，∵P（x0，y0）在双曲线x24-y22=1上∴42x24-4y2x22=1，整理得x24+y22=1．（3）证明：点F的坐标为F(-2，0)，直线l的方程为y=k(x+2)，设N1、N2的坐标分别为N1（x1，y1）、N2（x2，y2），则由y=k(x+2)x2-y2=1得x2-k2(x+2)2=1，即(1-k2)x2-22k2x-(2k2+1)=0，当k≠±1时，∵△=8k4+4（1-k2）（2k2+1）=8k4-8k4+4k2+4=4k2+4＞0∴x1+x2=22k21-k2，x1&#k2+11-k2，FN1•FN2=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(x1+2)(x2+2)+k(x1+2)k(x2+2)=(1+k2)[x1x2+2(x1+x2)+2]=(1+k2)(-2k2+11-k2+2&#-k2+2)=1+k21-k2由k∈[-2-14，2-14]知&k2∈[0，22]，∴1+k21-k2∈[1，3+22]．∵双曲线C：x2-y2=1的伴随曲线是圆C1：x2+y2=1，圆C1上任意一点S到F的距离|SF|∈[2-1，1+2]，∴SF2∈[3-22，3+22]．∵[1，3+22]&#，3+22]∴对任意的k∈[-2-14，2-14]，在伴随曲线C1上总存在点S，使得FN1•FN2=FS2．点评：熟练掌握双曲线的a、b、c的关系及椭圆的a、b、c1的关系、双曲线的渐近线的方程、直线相交问题、代点法求轨迹问题、一元二次方程的根与系数关系、向量的数量积的计算等是解题的关键．本题需要较强的计算能力．
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科目：高中数学
（;松江区一模）设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（-x）=f（x），f（x）•f（x+2）=10，且当x∈[-2，0]时，f(x)=(12)x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，34）D．（34，2）
科目：高中数学
（;松江区一模）已知lgx+lgy=1，则5x+2y的最小值是2．
科目：高中数学
（;松江区一模）抛物线的焦点为椭圆x25+y24=1的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为y2=4x．
科目：高中数学
（;松江区一模）定义变换T将平面内的点P（x，y）（x≥0，y≥0）变换到平面内的点Q(x，y)．若曲线C0：x4+y2=1(x≥0，y≥0)经变换T后得到曲线C1，曲线C1经变换T后得到曲线C2…，依此类推，曲线Cn-1经变换T后得到曲线Cn，当n∈N*时，记曲线Cn与x、y轴正半轴的交点为An（an，0）和Bn（0，bn）．某同学研究后认为曲线Cn具有如下性质：①对任意的n∈N*，曲线Cn都关于原点对称；②对任意的n∈N*，曲线Cn恒过点（0，2）；③对任意的n∈N*，曲线Cn均在矩形OAnDnBn（含边界）的内部，其中Dn的坐标为Dn（an，bn）；④记矩形OAnDnBn的面积为Sn，则limn→∞Sn=1其中所有正确结论的序号是③④．
科目：高中数学
（;松江区一模）已知递增的等差数列{an}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设数列{cn}对任意n∈N*，都有c12+c222+…+cn2n=an+1成立，求c1+c2+…+c2012的值．（3）若bn=an+1an（n∈N*），求证：数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．当前位置：
＞＞＞如图，定义：若双曲线y=(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两..
如图，定义：若双曲线y= (k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y= (k＞0)的对径．(1)求双曲线y=的对径；(2)若双曲线y= (k＞0)的对径是10，求k的值；(3)仿照上述定义，定义双曲线y= (k＜0)的对径．
题型：解答题难度：中档来源：甘肃省中考真题
解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，(1)解方程组，得，，∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(-1，-1)，∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝，∴AB＝2OA＝2，∴双曲线y＝的对径是2；(2)∵双曲线的对径为10，即AB＝10，OA＝5，∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5，∴点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y＝(k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值为25；(3)若双曲线y=(k＜0)与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y＝(k＞0)的对径．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，定义：若双曲线y=(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两..”主要考查你对&&反比例函数的图像&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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反比例函数的图像
反比例函数的图象：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。反比例函数图象的画法：（1）列表：（2）描点：在平面直角坐标系中标出点。（3）连线：用平滑的曲线连接点。当双曲线在一三象限，K&0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。当双曲线在二四象限，K&0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。 常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。k的意义及应用：过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。推论内容：一次函数y=x+b或y=-x+b若与反比例函数存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x1,x2，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为不同象限分比例函数图像：常见画法：
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