【图文】九年级数学下册 第三章圆复习课件 北师大版_百度文库
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九年级数学下册 第三章圆复习课件 北师大版
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中考数学圆精讲及习题(附答案)
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圆练习题5套（带答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
圆练习题5套（带答案）
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
2014人教版九年级数学上册第24章《圆》单元测试及答案 (1)一、(本大题共30小题，每小题1分，共计30分)1．下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有(&& )A.0个　　& 　&& B.1个　&& 　& 　 C.2个　&& 　&& 　 D.3个2．同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是(&& )& A.外离 　　&& 　B.相切 　　　&&&& C.相交 　　&&&&& 　D.内含3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=(&& )A.35°　& 　&& B.70°&&& 　　　C.110°　　　&&& D.140° 　　 　　　 　　　　 　　　　　　　　　　&&&&&&& 第3题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第4题&&&&&&&&&&&&&&&&& 第5题4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围(&& )A.3≤OM≤5　　 　 B.4≤OM≤5　　 　 C.3＜OM＜5 　& 　　D.4＜OM＜55．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB， ∠AOC=84°，则∠E等于(&& )A.42 °　　&&& 　 B.28° 　&&&& 　　C.21°　　&&&&& 　 D.20°6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则⊙O的直径是(&& )A.2cm 　　&&&&& 　B.4cm 　　&&&&& 　C.6cm 　　&&&&&& 　D.8cm &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&& 第6题&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第7题&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第10题7．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BD，则图中阴影部分的面积为( )A. 　　　&&&&&& B.& 　　　&&&& C.& 　　&&&&& 　D. 8．已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的半径R=2，⊙O2的半径r=1，若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相切，则满足条件的⊙C有(&& )A.2个 　　&& 　B.4个　　&&& 　 C.5个 　&& 　　D.6个9．设⊙O的半径为2，圆心O到直线 的距离OP=m，且m使得关于x的方程 有实数根，则直线 与⊙O的位置关系为(&& )A.相离或相切　　　 B.相切或相交　　　 C.相离或相交　　　 D.无法确定10．如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线 上，按顺时针的方向在直线 上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB= ，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为(&& )A. 　　　& B.& 　　 　C.& 　　& 　D. 11．(成都)如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是(&& )A.12πcm2 　　　B.15πcm2 　　　C .18πcm2 　　　D.24πcm2　 　　　 　　　 　　　　　　　　　&&&&&& 第11题&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第12题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第13题12．如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为(&& )A.& 　　&&&&& 　B. 　　&& 　 C.& 　& 　 　D. 13．如图是一个五环图案，它由五个圆组成.下排的两个圆的位置关系是(&& )A.内含 　　　&&& B.外切 　　&& 　C.相交　　　&&& D.外离14.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为( )A．130°　　 　 B．120°　　 　 C．110°　　　 D．100°&&&&&&&&&&&&& && 第14题&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第16题&&&&&&&&&&&&&&&&& 第17题15.有4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；　②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最大的弧是过圆心的弧；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧.其中真命题是(&& )A.①③ 　　 　& B.①③④ 　　 　 C.①④　　　&& D.①16.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为( )A.140°　　& 　 B.125°　　　&&& C.130° 　　　 D.110°17.如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧与以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S2，则S1与S2的关系是(&& ) A. S1＞S2 　　& 　B. S1＜S2 　　 　 C. S1=S2 　 　　& D.S1≥S218.如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为(&& )A. 4　　　&&&&&& B. 5　　　&&&&&&& C. 6 　　　&&& D. 719.等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是(&&& )A. 6& 　　& 　 B. )3 　　　&&& C.&& 　　　 D. 20.一个扇形的弧长为 厘米，面积是 厘米2，则扇形的圆心角是(&& )A. 120°　　　&&& B. 150° 　　　& C. 210° 　　　 D. 240°21.两圆半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为(&& )A. 5厘米 　　& 　B. 11厘米 　　　 C. 14厘米　　　 D. 20厘米22.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是(&& )A. 60°　　　&&& B. 90°　　　&&&& C. 120°　　　&& D. 180°23．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是(&& )A.36°　　　&&& B.60°　　&&&& 　 C.72°　　&&& 　 D.108°24．如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线 上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为(&& )A.1　　　&&&&&&& B.& 　　&&&&&& 　C. 　　　&&&&& D. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&& 第24题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第26题&&&&&&&&&&&&&&& 第27题25．如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（& ）A.6：1 　　　B.& 　　　C.3：1　　　 D. 26．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是(&& )A.& 　&&& 　& 　B. 　　　&& 　 C. 　　　&& 　 D.327．如图，在 中， ， ．将其绕 点顺时针旋转一周，则分别以 为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（　）A.& 　　&&&& 　B.&&&&&&&&& 　　C.& 　　&&&& 　D. 28．如图， 是等腰 直角三角形，且 ．曲线 …叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中 ， ， ，…的圆心依次按 循环．如果 ，那么曲线 和线段 围成图形的面积为（ ）A．& 　　B．& 　　C．& 　　D． &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&& 第28题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第29题&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第30题29．图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半径为2，则BC的长为(&& )A．2　　　&&&&& B．1 　　&&& 　C．1.5　　&&& 　 D．0. 530．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与 轴相切于点Q，与 轴交于M(0，2)，N(0，8) 两点，则点P的坐标是(&& ) A． 　　　& B．& 　　& 　C．& 　　　D．&
二、题(本大题共30小题，每小2分，共计60分)31．某圆柱形网球筒，其底面直径是10cm，长为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需________________ 的包装膜(不计接缝， 取3).　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　&&&&&&&&&& 第31题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第32题32．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.33.如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为___________.34．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为_____________.　　　 　　&&&&& 　　　 　　　　　35．如图，两条互相垂直的弦将⊙O分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为S1、S2，若圆心到两弦的距离分别为2和3，则|S1-S2|=__________.36.如图，⊙O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若∠EOD=40°，则∠DCF等于________度.　　　 　　　　 　　　 　　　　　　　&&&&&&&&&& 第36题&&&&&&&&&&&&&&&& 第37题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第38题37.如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC ∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为_________.38.劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于_______.39.如图，已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA=3，∠APO=30°，那么OP=_______.　　 　　　 　　 　　　　　　　　　&&&&&&&& 第39题&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第40题&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第41题40．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，则修理工应准备内直径是________cm的管道.41．如图， 为 的直径，点 在 上， ，则 ________．42．如图，在⊙O中，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠AOC=60°，则∠B=________．　 　　　　　 　　　　　 　　　　　　&&&&&& 第42题&&&&&&&&&&&&&&&&& 第47题&&&&&&&&&&&&&&&& 第48题43.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3，两圆相交于点A、B，且AB=2，则O1O2=______.44.已知四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_____.45.用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶需要铁皮(不计接缝)_________厘米2(不取近似值).& 46.已知两圆的半径分别为3和7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_____条.47.如图，以AB为直径的⊙O与直线CD相切于点E，且AC⊥CD，BD⊥CD，AC=8cm，BD=2cm，则四边形ACDB的面积为______.48.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6cm，PO=10cm，则△PDE的周长是______. 49.一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_______.50．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______.51．如图，有一个边长为2cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小半径是________.　　　　&&&& 　 　　　　　　　　　 　　　　　　　&&&&&&&&&&&&&&& 第51题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第53题&&&&&&&&&&&&& 52．如果一条弧长等于 ，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，当圆心角增加30°时，这条弧长增加________.53．如图所示，OA=30B，则 的长是 的长的_____倍.54．母线长为 ，底面半径为r的圆锥的表面积=_______.55．已知扇形半径为2cm，面积是 ，扇形的圆心角为_____°，扇形的弧长是______cm．56．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是__________.(用含 的代数式表示)57．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡.58．如图，某机械传动装置静止状态时，连杆 与点 运动所形成的⊙O交于 点，现测得 ， ．⊙O半径 ，此时 点到圆心 的距离是______cm．　　　　　　　　　 59．如图， 是⊙O的直径，点 在 的延长线上，过点 作⊙O的切线，切点为 ，若 ，则 ______．　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　&&&&&&&&&&&&&& 第59题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第60题60．如图，⊙O1和⊙O2相交于A，B，且AO1和AO2分别是两圆的切线，A为切点，若⊙O1的半径r1=3cm， ⊙O2的半径为r2=4cm，则弦AB=___cm.三、解答题(63～64题，每题2分，其他每题8分，共计60分)61．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为⊙O的切线；(3)若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长.
62．如图所示，已知△ABC中，AC=BC=6，∠C=90°.O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E.设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G.(1)∠BFG与∠BGF是否相等?为什么?(2)求由DG、GE和 所围成的图形的面积(阴影部分).
63．如图，以等腰三角形 的一腰 为直径的⊙O交底边 于点 ，交 于点 ，连结 ，并过点 作 ，垂足为 .根据以上条件写出三个正确结论(除 外)是：(1)___________________________ ________________________________________________；(2)___________________________________________________________________________；(3)___________________________________________________________________________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　&&&&&&&&&&&& 　 64．如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面.问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　&&&&&&&&&&&&&& 　
65．如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥 的侧面展开图形是扇形OAB .经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用 表示) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　&&&&&&&&& 　&
66．如图，在△ABC中，∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点.判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由. 67．有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.（1）证明：RP=RQ.&&&& （2）请探究下列变化：A、变化一：交换题设与结论.已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ.　证明：RQ为⊙O的切线.　　 B、变化二：运动探求.(1)如图2，若OA向上平移，变化一中结论还成立吗？(只交待判断) 答：_________.(2)如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？ &　　68．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2.E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交 轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F.(1)求OA、OC的长；&&&&& 　　(2)求证：DF为⊙O′的切线；(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形.由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”.你同意他的看法吗？请 充分说明理由.　　　　　　　　　　　　　　　&&&&&&&& 69.已知：如图(1)，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点(C、D不与B重合)，连结BD，过点C作BD的平行线交⊙O1于点E，连BE.　　　　　　　　　　& 　　　& (1)求证：BE是⊙O2的切线；(2)如图(2)，若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和⊙O2的位置关系(不要求证明).
答案一、　　01.B&& 02.C&& 03.D&& 04.A&& 05.B&& 06.C&& 07.C&& 08.D& 09.B&&& 10.B　　11.B&& 12.B&& 13.D&& 14.C&& 15.A&& 16.B&& 17.C&& 18.C& 19.C&& 20.B&&& 21.D&& 22.D&& 23.C&& 24.D&& 25.B&& 26.C&& 27.C&& 28.C& 29.B&& 30.D&二、题31. 【答案】12000 　32. 【答案】第二种 　33 . 【答案】6cm 　34. 【答案】(2，0) 35. 【答案】24(提示：如图，由圆的对称性可知 ， 等于e的面积，即为4×6=24)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 36. 【答案】200&&&&& 37. 【答案】&&&&& 38. 【答案】90°&&& 39. 【答案】& 40. 【答案】100&&&&& 41. 【答案】40°&&& 42. 【答案】30°&& 43. 【答案】2 ± 44. 【答案】5.&&& 　45. 【答案】 厘米&& 46. 【答案】2&&& 47. 【答案】40cm248.【答案】16cm.&&& 49.【答案】4 ：9.&& 50. 【答案】&&& 51 . 【答案】2cm52. 【答案】45°，&& 53. 【答案】 3　　　54. 【答案】 55 . 【答案】 ， ；　 56. 【答案】130 cm2 　　57. 【答案】158.4 58. 【答案】 7.5 　　&&&&&& 59. 【答案】40°&&&&&&&& 60. 【答案】& 　
三、解答题61.解：(1)证明：连接AD　　　　　　　　　 ∵AB是⊙O的直径　　　　　　　　　 ∴∠ADB=90°　　　　　　　　　 又BD=CD　　　　　　　　　 ∴AD是BC的垂直平分线　　　　　　　　　 ∴AB=AC　　　　　(2)连接OD　　　　　　 ∵点O、D分别是AB、BC的中点　　　　　　 ∴OD∥AC　　　　　　 又DE⊥AC　　　　　　 ∴OD⊥DE　　　　　　 ∴DE为⊙O的切线　　　　　(3)由AB=AC， ∠BAC=60 °知△ABC是等边三角形　　　　　　 ∵⊙O的半径为5　　　　　　 ∴AB=BC=10， CD= BC=5　　　　　　 又∠C=60°　　　　　　 ∴ .
62.解：(1)∠BFG=∠BGF　　　　　　　连接OD，∵ OD=OF(⊙O的半径)，　　　　　　　∴ ∠ODF=∠OFD.　　　　　　　∵ ⊙O与AC相切于点D，∴ OD⊥AC　　　　　　　又∵ ∠C=90°，即GC⊥AC，∴ OD∥GC，　　　　　　　∴ ∠BGF=∠OD F.　　　　　　　又∵ ∠BFG=∠OFD，∴ ∠BFG=∠BGF.　　　　　 (2)如图所示，连接OE，则ODCE为正方形且边长为3.　　　　　　　∵ ∠BFG=∠BGF，　　　　　　　∴ BG=BF=OB-OF= ，　　　　　　　从而CG=CB+BG= ，　　　　　　　∴ 阴影部分的面积=△DCG的面积-(正方形ODCE的面积 - 扇形ODE的面积)　　　　　　　
63.(1) ，(2)∠BAD=∠CAD，(3) 是 的切线(以及AD⊥BC，弧BD=弧DG等).
　　64.设计方案如左图所示，在右图中，易证四边形OAO′C为正方形，OO′+O′B=25，　　　 所以圆形凳面的最大直径为25( -1)厘米.　　　　　　　　　　　　　
　　65.扇形OAB的圆心角为45°，纸杯的表面积为44 .　　解：设扇形OAB的圆心角为n°　　　　弧长AB等于纸杯上开口圆周长： 　　　　弧长CD等于纸杯下底面圆周长： 　　　　可列方程组 ，解得 　　　　所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即S纸杯表面积= =
66.连接OP、CP，则∠OPC=∠OCP.　　　 由题意知△ACP是直角三角形，又Q是AC的中点，因此QP=QC，∠QPC=∠QCP.　　　 而∠OCP+∠QCP=90°，所以∠OPC+∠QPC=90°即OP⊥PQ，PQ与⊙O相切.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 67.解：连接OQ，　　　 　　∵OQ=OB，∴∠OBP=∠OQP　　　 　又∵QR为⊙O的切线，∴OQ⊥QR　　　 　　 即∠OQP+∠PQR=90°　　　 　　而∠OBP+∠OPB=90°　　　 　　故∠PQR=∠OPB　　　 　　又∵∠OPB与∠QPR为对顶角　　　 　　∴∠OPB=∠QPR，∴∠PQR=∠QPR　　　 　　∴RP=RQ　　　 　　变化一、连接OQ，证明OQ⊥QR；　　　 　　变化二、(1)结论成立 (2)结论成立，连接OQ，证明∠B=∠OQB，则∠P=∠PQR，所以RQ=PR.
68.(1)在矩形OABC中，设OC=x 则OA=x+2，依题意得　　　　　& 解得： 　　　　　 (不合题意，舍去) ∴OC=3， OA=5　　　 (2)连结O′D，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE= 　　　　　∴ △OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2　　　　　在⊙O′中， ∵ O′O= O′D ∴∠1=∠3 　　　　　∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE， ∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D　　　　　又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，∴DF为⊙O′切线.　　　 (3)不同意. 理由如下：　　　　　①当AO=AP时，　　　　　　以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点　　　　　　过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=OC=3，∵AP1=OA=5　　　　　　∴AH=4， ∴OH =1　　　　　　求得点P1(1，3) 同理可得：P4(9，3) 　　　　　②当OA=OP时，同上可求得：P2(4，3)，P3( 4，3)　　　　　　因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形.
69.【提示】(1)过B作⊙O2的直径BH，连结AB、AH，证∠EBH=90°.(2)用类似的方法去探求.【证明】(1)连结AB，作⊙O2的直径BH，连结AH.　　　 　则 ∠ABH+∠H=90°，∠H=∠ADB，∠EBA=∠ECA.　　　 　　　　　 ∵ EC∥BD，　　　 　　　　　 ∴ ∠ADB=∠ACE=∠EBA.　　　 　　　　　 ∴ ∠EBA+∠ABH=90°.　　　 　　　　　 即 ∠EBH=90°.　　　 　　　　　 ∴ BE是⊙O2的切线.　　　 (2)同理可知，BE仍是⊙O2的切线.　　　 【点评】证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半径(或直径)，再证直径与半径垂直，但此题已知条件中无9 0°的角，故作直径构造90°的角，再进行角的转换.同时两圆相交，通常作它们的公共弦，这样把两圆中的角都联系起来了.另外，当问题进行了变式时，要学会借鉴已有的思路解题.& 文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?六边形内切圆直径为300,边长多少
300÷2=150150×根号3÷2=75倍根号3
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2014人教版九年级数学上册第24章《圆》单元测试及答案 (1)一、选择题(本大题共30小题，每小题1分，共计30分)1．下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有(&& )A.0个　　& 　&& B.1个　&& 　& 　 C.2个　&& 　&& 　 D.3个2．同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是(&& )& A.外离 　　&& 　B.相切 　　　&&&& C.相交 　　&&&&& 　D.内含3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=(&& )A.35°　& 　&& B.70°&&& 　　　C.110°　　　&&& D.140° 　　 　　　 　　　　 　　　　　　　　　　&&&&&&& 第3题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第4题&&&&&&&&&&&&&&&&& 第5题4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围(&& )A.3≤OM≤5　　 　 B.4≤OM≤5　　 　 C.3＜OM＜5 　& 　　D.4＜OM＜55．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB， ∠AOC=84°，则∠E等于(&& )A.42 °　　&&& 　 B.28° 　&&&& 　　C.21°　　&&&&& 　 D.20°6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则⊙O的直径是(&& )A.2cm 　　&&&&& 　B.4cm 　　&&&&& 　C.6cm 　　&&&&&& 　D.8cm &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&& 第6题&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第7题&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第10题7．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BD，则图中阴影部分的面积为( )A. 　　　&&&&&& B.& 　　　&&&& C.& 　　&&&&& 　D. 8．已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的半径R=2，⊙O2的半径r=1，若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相切，则满足条件的⊙C有(&& )A.2个 　　&& 　B.4个　　&&& 　 C.5个 　&& 　　D.6个9．设⊙O的半径为2，圆心O到直线 的距离OP=m，且m使得关于x的方程 有实数根，则直线 与⊙O的位置关系为(&& )A.相离或相切　　　 B.相切或相交　　　 C.相离或相交　　　 D.无法确定10．如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线 上，按顺时针的方向在直线 上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB= ，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为(&& )A. 　　　& B.& 　　 　C.& 　　& 　D. 11．(成都)如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是(&& )A.12πcm2 　　　B.15πcm2 　　　C .18πcm2 　　　D.24πcm2　 　　　 　　　 　　　　　　　　　&&&&&& 第11题&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第12题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第13题12．如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为(&& )A.& 　　&&&&& 　B. 　　&& 　 C.& 　& 　 　D. 13．如图是一个五环图案，它由五个圆组成.下排的两个圆的位置关系是(&& )A.内含 　　　&&& B.外切 　　&& 　C.相交　　　&&& D.外离14.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为( )A．130°　　 　 B．120°　　 　 C．110°　　　 D．100°&&&&&&&&&&&&& && 第14题&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第16题&&&&&&&&&&&&&&&&& 第17题15.有4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；　②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最大的弧是过圆心的弧；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧.其中真命题是(&& )A.①③ 　　 　& B.①③④ 　　 　 C.①④　　　&& D.①16.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为( )A.140°　　& 　 B.125°　　　&&& C.130° 　　　 D.110°17.如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧与以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S2，则S1与S2的关系是(&& ) A. S1＞S2 　　& 　B. S1＜S2 　　 　 C. S1=S2 　 　　& D.S1≥S218.如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为(&& )A. 4　　　&&&&&& B. 5　　　&&&&&&& C. 6 　　　&&& D. 719.等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是(&&& )A. 6& 　　& 　 B. )3 　　　&&& C.&& 　　　 D. 20.一个扇形的弧长为 厘米，面积是 厘米2，则扇形的圆心角是(&& )A. 120°　　　&&& B. 150° 　　　& C. 210° 　　　 D. 240°21.两圆半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为(&& )A. 5厘米 　　& 　B. 11厘米 　　　 C. 14厘米　　　 D. 20厘米22.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是(&& )A. 60°　　　&&& B. 90°　　　&&&& C. 120°　　　&& D. 180°23．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是(&& )A.36°　　　&&& B.60°　　&&&& 　 C.72°　　&&& 　 D.108°24．如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线 上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为(&& )A.1　　　&&&&&&& B.& 　　&&&&&& 　C. 　　　&&&&& D. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&& 第24题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第26题&&&&&&&&&&&&&&& 第27题25．如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（& ）A.6：1 　　　B.& 　　　C.3：1　　　 D. 26．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是(&& )A.& 　&&& 　& 　B. 　　　&& 　 C. 　　　&& 　 D.327．如图，在 中， ， ．将其绕 点顺时针旋转一周，则分别以 为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（　）A.& 　　&&&& 　B.&&&&&&&&& 　　C.& 　　&&&& 　D. 28．如图， 是等腰 直角三角形，且 ．曲线 …叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中 ， ， ，…的圆心依次按 循环．如果 ，那么曲线 和线段 围成图形的面积为（ ）A．& 　　B．& 　　C．& 　　D． &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&& 第28题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第29题&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第30题29．图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半径为2，则BC的长为(&& )A．2　　　&&&&& B．1 　　&&& 　C．1.5　　&&& 　 D．0. 530．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与 轴相切于点Q，与 轴交于M(0，2)，N(0，8) 两点，则点P的坐标是(&& ) A． 　　　& B．& 　　& 　C．& 　　　D．&
二、填空题(本大题共30小题，每小2分，共计60分)31．某圆柱形网球筒，其底面直径是10cm，长为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需________________ 的包装膜(不计接缝， 取3).　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　&&&&&&&&&& 第31题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第32题32．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.33.如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为___________.34．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为_____________.　　　 　　&&&&& 　　　 　　　　　35．如图，两条互相垂直的弦将⊙O分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为S1、S2，若圆心到两弦的距离分别为2和3，则|S1-S2|=__________.36.如图，⊙O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若∠EOD=40°，则∠DCF等于________度.　　　 　　　　 　　　 　　　　　　　&&&&&&&&&& 第36题&&&&&&&&&&&&&&&& 第37题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第38题37.如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC ∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为_________.38.劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于_______.39.如图，已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA=3，∠APO=30°，那么OP=_______.　　 　　　 　　 　　　　　　　　　&&&&&&&& 第39题&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第40题&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第41题40．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，则修理工应准备内直径是________cm的管道.41．如图， 为 的直径，点 在 上， ，则 ________．42．如图，在⊙O中，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠AOC=60°，则∠B=________．　 　　　　　 　　　　　 　　　　　　&&&&&& 第42题&&&&&&&&&&&&&&&&& 第47题&&&&&&&&&&&&&&&& 第48题43.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3，两圆相交于点A、B，且AB=2，则O1O2=______.44.已知四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_____.45.用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶需要铁皮(不计接缝)_________厘米2(不取近似值).& 46.已知两圆的半径分别为3和7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_____条.47.如图，以AB为直径的⊙O与直线CD相切于点E，且AC⊥CD，BD⊥CD，AC=8cm，BD=2cm，则四边形ACDB的面积为______.48.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6cm，PO=10cm，则△PDE的周长是______. 49.一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_______.50．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______.51．如图，有一个边长为2cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小半径是________.　　　　&&&& 　 　　　　　　　　　 　　　　　　　&&&&&&&&&&&&&&& 第51题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第53题&&&&&&&&&&&&& 52．如果一条弧长等于 ，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，当圆心角增加30°时，这条弧长增加________.53．如图所示，OA=30B，则 的长是 的长的_____倍.54．母线长为 ，底面半径为r的圆锥的表面积=_______.55．已知扇形半径为2cm，面积是 ，扇形的圆心角为_____°，扇形的弧长是______cm．56．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是__________.(用含 的代数式表示)57．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡.58．如图，某机械传动装置静止状态时，连杆 与点 运动所形成的⊙O交于 点，现测得 ， ．⊙O半径 ，此时 点到圆心 的距离是______cm．　　　　　　　　　 59．如图， 是⊙O的直径，点 在 的延长线上，过点 作⊙O的切线，切点为 ，若 ，则 ______．　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　&&&&&&&&&&&&&& 第59题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第60题60．如图，⊙O1和⊙O2相交于A，B，且AO1和AO2分别是两圆的切线，A为切点，若⊙O1的半径r1=3cm， ⊙O2的半径为r2=4cm，则弦AB=___cm.三、解答题(63～64题，每题2分，其他每题8分，共计60分)61．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为⊙O的切线；(3)若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长.
62．如图所示，已知△ABC中，AC=BC=6，∠C=90°.O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E.设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G.(1)∠BFG与∠BGF是否相等?为什么?(2)求由DG、GE和 所围成的图形的面积(阴影部分).
63．如图，以等腰三角形 的一腰 为直径的⊙O交底边 于点 ，交 于点 ，连结 ，并过点 作 ，垂足为 .根据以上条件写出三个正确结论(除 外)是：(1)___________________________ ________________________________________________；(2)___________________________________________________________________________；(3)___________________________________________________________________________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　&&&&&&&&&&&& 　 64．如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面.问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　&&&&&&&&&&&&&& 　
65．如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥 的侧面展开图形是扇形OAB .经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用 表示) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　&&&&&&&&& 　&
66．如图，在△ABC中，∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点.判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由. 67．有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.（1）证明：RP=RQ.&&&& （2）请探究下列变化：A、变化一：交换题设与结论.已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ.　证明：RQ为⊙O的切线.　　 B、变化二：运动探求.(1)如图2，若OA向上平移，变化一中结论还成立吗？(只交待判断) 答：_________.(2)如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？ &　　68．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2.E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交 轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F.(1)求OA、OC的长；&&&&& 　　(2)求证：DF为⊙O′的切线；(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形.由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”.你同意他的看法吗？请 充分说明理由.　　　　　　　　　　　　　　　&&&&&&&& 69.已知：如图(1)，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点(C、D不与B重合)，连结BD，过点C作BD的平行线交⊙O1于点E，连BE.　　　　　　　　　　& 　　　& (1)求证：BE是⊙O2的切线；(2)如图(2)，若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和⊙O2的位置关系(不要求证明). 答案一、选择题　　01.B&& 02.C&& 03.D&& 04.A&& 05.B&& 06.C&& 07.C&& 08.D& 09.B&&& 10.B　　11.B&& 12.B&& 13.D&& 14.C&& 15.A&& 16.B&& 17.C&& 18.C& 19.C&& 20.B&&& 21.D&& 22.D&& 23.C&& 24.D&& 25.B&& 26.C&& 27.C&& 28.C& 29.B&& 30.D&二、填空题31. 【答案】12000 　32. 【答案】第二种 　33 . 【答案】6cm 　34. 【答案】(2，0) 35. 【答案】24(提示：如图，由圆的对称性可知 ， 等于e的面积，即为4×6=24)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 36. 【答案】200&&&&& 37. 【答案】&&&&& 38. 【答案】90°&&& 39. 【答案】& 40. 【答案】100&&&&& 41. 【答案】40°&&& 42. 【答案】30°&& 43. 【答案】2 ± 44. 【答案】5.&&& 　45. 【答案】 厘米&& 46. 【答案】2&&& 47. 【答案】40cm248.【答案】16cm.&&& 49.【答案】4 ：9.&& 50. 【答案】&&& 51 . 【答案】2cm52. 【答案】45°，&& 53. 【答案】 3　　　54. 【答案】 55 . 【答案】 ， ；　 56. 【答案】130 cm2 　　57. 【答案】158.4 58. 【答案】 7.5 　　&&&&&& 59. 【答案】40°&&&&&&&& 60. 【答案】& 　 & & 三、解答题61.解：(1)证明：连接AD　　　　　　　　　 ∵AB是⊙O的直径　　　　　　　　　 ∴∠ADB=90°　　　　　　　　　 又BD=CD　　　　　　　　　 ∴AD是BC的垂直平分线　　　　　　　　　 ∴AB=AC　　　　　(2)连接OD　　　　　　 ∵点O、D分别是AB、BC的中点　　　　　　 ∴OD∥AC　　　　　　 又DE⊥AC　　　　　　 ∴OD⊥DE　　　　　　 ∴DE为⊙O的切线　　　　　(3)由AB=AC， ∠BAC=60 °知△ABC是等边三角形　　　　　　 ∵⊙O的半径为5　　　　　　 ∴AB=BC=10， CD= BC=5　　　　　　 又∠C=60°　　　　　　 ∴ . 62.解：(1)∠BFG=∠BGF　　　　　　　连接OD，∵ OD=OF(⊙O的半径)，　　　　　　　∴ ∠ODF=∠OFD.　　　　　　　∵ ⊙O与AC相切于点D，∴ OD⊥AC　　　　　　　又∵ ∠C=90°，即GC⊥AC，∴ OD∥GC，　　　　　　　∴ ∠BGF=∠OD F.　　　　　　　又∵ ∠BFG=∠OFD，∴ ∠BFG=∠BGF.　　　　　 (2)如图所示，连接OE，则ODCE为正方形且边长为3.　　　　　　　∵ ∠BFG=∠BGF，　　　　　　　∴ BG=BF=OB-OF= ，　　　　　　　从而CG=CB+BG= ，　　　　　　　∴ 阴影部分的面积=△DCG的面积-(正方形ODCE的面积 - 扇形ODE的面积)　　　　　　　
63.(1) ，(2)∠BAD=∠CAD，(3) 是 的切线(以及AD⊥BC，弧BD=弧DG等). 　　64.设计方案如左图所示，在右图中，易证四边形OAO′C为正方形，OO′+O′B=25，　　　 所以圆形凳面的最大直径为25( -1)厘米.　　　　　　　　　　　　　
　　65.扇形OAB的圆心角为45°，纸杯的表面积为44 .　　解：设扇形OAB的圆心角为n°　　　　弧长AB等于纸杯上开口圆周长： 　　　　弧长CD等于纸杯下底面圆周长： 　　　　可列方程组 ，解得 　　　　所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即S纸杯表面积= =
66.连接OP、CP，则∠OPC=∠OCP.　　　 由题意知△ACP是直角三角形，又Q是AC的中点，因此QP=QC，∠QPC=∠QCP.　　　 而∠OCP+∠QCP=90°，所以∠OPC+∠QPC=90°即OP⊥PQ，PQ与⊙O相切.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 67.解：连接OQ，　　　 　　∵OQ=OB，∴∠OBP=∠OQP　　　 　又∵QR为⊙O的切线，∴OQ⊥QR　　　 　　 即∠OQP+∠PQR=90°　　　 　　而∠OBP+∠OPB=90°　　　 　　故∠PQR=∠OPB　　　 　　又∵∠OPB与∠QPR为对顶角　　　 　　∴∠OPB=∠QPR，∴∠PQR=∠QPR　　　 　　∴RP=RQ　　　 　　变化一、连接OQ，证明OQ⊥QR；　　　 　　变化二、(1)结论成立 (2)结论成立，连接OQ，证明∠B=∠OQB，则∠P=∠PQR，所以RQ=PR. 68.(1)在矩形OABC中，设OC=x 则OA=x+2，依题意得　　　　　& 解得： 　　　　　 (不合题意，舍去) ∴OC=3， OA=5　　　 (2)连结O′D，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE= 　　　　　∴ △OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2　　　　　在⊙O′中， ∵ O′O= O′D ∴∠1=∠3 　　　　　∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE， ∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D　　　　　又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，∴DF为⊙O′切线.　　　 (3)不同意. 理由如下：　　　　　①当AO=AP时，　　　　　　以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点　　　　　　过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=OC=3，∵AP1=OA=5　　　　　　∴AH=4， ∴OH =1　　　　　　求得点P1(1，3) 同理可得：P4(9，3) 　　　　　②当OA=OP时，同上可求得：P2(4，3)，P3( 4，3)　　　　　　因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形. 69.【提示】(1)过B作⊙O2的直径BH，连结AB、AH，证∠EBH=90°.(2)用类似的方法去探求.【证明】(1)连结AB，作⊙O2的直径BH，连结AH.　　　 　则 ∠ABH+∠H=90°，∠H=∠ADB，∠EBA=∠ECA.　　　 　　　　　 ∵ EC∥BD，　　　 　　　　　 ∴ ∠ADB=∠ACE=∠EBA.　　　 　　　　　 ∴ ∠EBA+∠ABH=90°.　　　 　　　　　 即 ∠EBH=90°.　　　 　　　　　 ∴ BE是⊙O2的切线.　　　 (2)同理可知，BE仍是⊙O2的切线.　　　 【点评】证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半径(或直径)，再证直径与半径垂直，但此题已知条件中无9 0°的角，故作直径构造90°的角，再进行角的转换.同时两圆相交，通常作它们的公共弦，这样把两圆中的角都联系起来了.另外，当问题进行了变式时，要学会借鉴已有的思路解题.&
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