如何直观理解矩阵和线性代数？
想从直觉上理解矩阵的定义，运算规则和属性，比如特征向量什么的。网上有流传甚广的《理解矩阵》老三篇 。非常欣赏这样的教程的思路、文笔，也很赞同作者关于学习的方法论，可惜这三篇只是开了个头，大约只讲到了矩阵的定义的直观理解，没有讲到秩、特征值、奇异值之类的。
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一条直线，由一个一维向量与一个系数相乘即可表达。一个平面，由两个相互独立的二维向量与两个系数相乘即可表达。一个三维空间，由三个相互独立的三维向量与三个系数相乘即可表达。一个四维空间，由四个相互独立的四维向量与四个系数相乘即可表达。一个五维空间，……%￥#向量A与向量B相互独立，即A不能用B与一个系数k相乘得到。系数k属于实数。矩阵的秩就是相互独立的向量的个数。不知道谁起的名字，抽向又难懂。矩阵的列数就是向量的维数。仅当维数等于相互独立的向量的个数时才能表达一个完整的维度空间。当然四个相互独立的四维向量也能表达三维，二维，一维空间。四个相互独立的四维向量表达三维空间必有一个向量为0向量。四个相互独立的四维现量表达二维空间必有二个向量为0向量。四个相互独立的四维现量表达一维空间必有三个向量为0向量。1000010000100001四维空间里四个相互独立的单位向量，正交向量，相互垂直。任意两个可组成一个平面，就是三个不平行平面。看了孟岩的《理解矩阵》，认为线性变换不是运动，而是在不同方向的投影。
可以搜搜《神奇的矩阵》，对《理解矩阵》做了更进一步的理解
自己去找了找题主说的那篇文章贴个地址出来 吼吼吼理解矩阵一二三
建议参考《线性代数的几何意义》一书。
从个人经验来说，多去理解，线性空间，线性变换，向量这些基本概念，再去寻找各种运算有什么意义。为什么呢？数学某种意义上来说是现实的抽象，抽象过程的第一步就是建立与现实对应的数学概念，然后在进一步研究这些性质。或许数学的发现过程并不是这样的，可能是先发现了某个性质后有概念，但是我们理解的时候一定要深刻的理解概念。具体到这个问题，我们看向量吧，基本上很多事物都能抽象成向量，比如说一篇文章可以用词做维度词频做权重的向量，对于一个人也可以用同样的方法抽象成向量，比如身高，体重就能大致描述一个人的体型，如果你要研究的问题是人的体型相似性就可以转化为向量的问题，向量有个很重要的意义就是几何意义，两维，三维的时候很好理解因为我们能很形象的想象出来。高维空间可能就会对应上些超平面之类，但是本质上和低维是一个道理。比如线性变换就是在对矩阵的行向量，或列向量平移，拉伸（已经不能确定有没旋转了）。再说个栗子，svd分解貌似也就是在寻找一个能最大程度上代表原空间的低维空间。至于具体细节公式就看看书，或者深刻理解一些基本定理之后这些东西都可以自行推出来的吧！（显然我还没到这境界）总之，数学是抽象的，把他与形象相结合是理解它的最好方法，也是将数学应用到现实世界的唯一途径。
《理解矩阵》老三篇以矩阵为线代的中心，是错误的和业余的（作者孟岩本来也就不是数学专业人士）。可以参考蓝以中的《高等代数简明教程》前言。1、代数的基本研究对象应当是各类代数系统及其相互关系（态射），对于线性代数，其核心是线性映射（变换）。扩展出来的关系有：线性变换和双线性函数的关系，双线性函数和内积空间的关系，线性空间的应用（向量空间、多项式空间、线性方程组）2、对有限维线性空间，取定一组基后，可以把问题转换为具体的矩阵论课题。但对无限维线性空间以至一般代数系统（群、环、模等），则不可能。所以矩阵论不能全面反映代数学的基本思想、方法，它不是线性代数（高等代数）的主线，不应占太大分量，冲击主线3、处理矩阵论的核心课题，对于抽象代数很熟练的读者，无疑会看清其捷径的。（N.Jacobson《抽象代数学第二卷线性代数》）
矩阵（非奇异矩阵，满秩方阵），是一个向量，也是一种变化。我是这么瞎琢磨的。
去听网易公开课里的麻省理工线性代数去。。。其实我觉得矩阵只是一种表示方法是次要的了，你要先理解为什么他会被称为线性。
就是线性变换呗，可以认为它是三维图形的仿射变换及退化。高维情况可类比
线性代数主要研究的是（有限维）和，矩阵不是线性代数主要研究的。-------向量空间-------什么是向量空间呢？数域上向量空间就是一个集合，里面的元素叫作向量，并且上面定义了两个运算，向量加法和数量乘法，加法和数乘要满足向量空间的八个公理。详细请见：。定义了向量空间后，就可以定义生成(span)空间、线性相关和基。向量空间的子集的生成空间就是包含作为子集的最小向量空间：的子集说是线性相关的，如果存在各不相同的元素以及不全零的数使得。说是线性无关的，如果它不是线性相关的。向量空间的一个基就是的一个生成集合（即），并且是线性无关的。前面说过线性代数主要研究的是有限维向量空间，那么什么是维数呢？在定义维数之前，有一点细节要处理，花一点力气论证一下，就可以得到向量空间的每个基包含的元素个数是相同的。因此我们说向量空间有维数如果它有一个基含有个元素，我们说是有限维的如果它的维数是有限的，否则我们说是无限维的。-------线性变换-------线性变换就是从向量空间到向量空间的函数，并且保持向量空间的运算。设是向量空间，一个从到的线性变换是一个函数，并且满足下面性质：（保持向量加法）对任意，。（保持数量乘法）对于任何和数，。线性变换可以用矩阵来表示，为此，我们需要有序基的概念，设是有线性维向量空间，一个有序基是中的有限向量序列使得集合是的一个基。设是的一个有序基，是中的向量，我们知道有唯一的表示形式，我们把叫做相对于的坐标，记作。-------线性变换的矩阵表示-------设是有限维向量空间，是线性变换，中的向量相对于基有坐标表示，因为在中，它相对于基也有坐标表示。我们很自然地要问和有怎样的关系？这依赖于相对于和的矩阵表示。我们先求向量在基下坐标表示：定义线性变换相对于基和的矩阵表示为矩阵稍微计算一下就可以得到和的关系：。线性变换的和、数乘和复合也可以用矩阵来表示，因为我们有下面的命题：命题. 设是有限维向量空间有有序基，设和是线性变换，设是数，那么。命题.
设是维向量空间有有序基，是维向量空间有有序基，是维向量空间有有序基，那么。可以看到，矩形的加法表示线性变换的和，矩阵的乘法表示线性变换的复合。我们可以表这一点说的更明白。设是的实矩阵，我们定义线性变换为，这里我们认为和中的向量是列向量。根据上面的定义，计算一下就可以得到设是的实矩阵，是的实矩阵，那么。设是的实矩阵，是的实矩阵，那么。
我是一名大四狗，学习线性代数也不过是一本同济五版的教材，有自己的一些理解，但是不敢说完全正确。Action
我开始以为矩阵是为了把线性方程组的系数抽取出来，方便方程组化简和求解，后来发现矩阵的用处不止如此，不然就不会写一本书了。
矩阵可以方便的用来表示线性空间，一个简单的二维数阵，就可以表示成n维线性空间。
一个毫无意义的有序数阵，我们赋予它意义，他就可以表示成一个空间。那为什么要这么做呢？这是因为矩阵的运算可以表示线性空间的变换。以向量举例，我们求两个向量相加，可以让(x1，y1)和(x2，y2)相加，而不必真的在图上画出来这个相加后的向量。到三维空间我们就画不出来了，因为二维空间中的向量不能表示三维空间中的向量。同样，n大于3以上维度的空间中的向量我们不但不方便表示，甚至根本实现不了，但是矩阵可以帮助我们表示出来。一个3x3的矩阵，我们把他分成三列，就得到三个三维的列向量，同样4阶方阵中包含了4个4维向量。--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------为了直观理解，下面全部用二维向量举例。平面内引入直角坐标系之后，二维空间内所有的向量都可以用两个基向量i=(1,0)和j=(0,1)的线性组合来表示，例如a=(4,6)，可以表示为a=4i+6j。但是也可以由i=(2,0)和j=(0,2)两个向量来表示，例如a=2i+3j。还可以由i=(1,1)和j=(1,-1)来表示，例如a=5i-1j。或者由i=(1,0)和j=(1,-1)表示，例如a=10i-6j。在1的基础上，我们还可以将a表示为i=(1,0),j=(0,1),k=(1,1)三个向量的线性组合，也就是a=4i+6j+0k或者a=0i+2j+4k或者a=2i+4j+2k等等等等我举不完了。这其中k=i+j。通过上面的举例我们可以总结出几条。由5点到4点，将多余的基向量k去掉，得到最大线性无关向量组。由4点到3点，将两个基向量的夹角变成直角，实现正交化。由3点到2点，将构成正交的两个基向量旋转，使其与坐标轴重合，实现对角化。由2点到1点，通过伸缩将两个基向量的长度变成单位长度，实现规范化。通过上面的几个步骤，我们可以看出，任何一组向量构成的坐标系，都可以通过化简，正交，对角，规范的过程，将任何乱七八糟莫名其妙的坐标系变换成笛卡尔坐标系。那这么做有什么用呢？到这里我开了一下脑洞：假如说，平面内有两个椭圆，将直角坐标系的原点放在一个椭圆的长轴和短轴交点处，这样就可以得到这个椭圆的标准方程，就是高中课本上那个。由于这两个椭圆的位置相对，这样一来另一个椭圆的位置也就定下来了，可惜很难看，长得很歪，很难用方程表示。这时就可以以这个椭圆为原点再建立一个坐标系，并且在这个坐标系下用标准方程表示出来，这样两个椭圆都有了方程来表示，问题就化简为了两个坐标系之间的关系，这时再用矩阵来运算就好了。可惜这里不能画矩阵，关于矩阵的好多问题都不能解释。BTW，上面列举的例子都是同维度内的问题，关于升维和降维的问题其实关系到求矩阵的秩，以及线性方程组有解无解多解的问题。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------关于特征向量和特征值我还没想到，想到我再告诉你
第一次回答问题。努力尝试讲得明白点。若有不妥请指正。我对矩阵这么理解的。首先还原矩阵的物理意义。我把矩阵看作方程组的系数。那么，一个n个变量的方程，最多有n个独立的行，再多就是冗余了。所以我把秩看作方程组有意义的方程的个数，也就是一种信息的度量。
整数维上面的游戏。。。我能想到的最为简单的解释。。。
线性代数研究的是线性空间问题，只要这个问题域和解在线性空间中，就能使用线性代数。从图形学角度说，线性代数强大的地方有很多：1.齐次空间的丰富含义，仿射矩阵，升降维度等等2.矩阵变换在算法推导中的应用，很多数学推导回归线性空间时，采用矩阵表达式3.向量是数据，矩阵封装了对向量的变换。通过矩阵乘法，你可以把数据和操作看成一类东西，编程中也有这种思想4.强大的计算工具，同时计算所有维度的解，跟程序中的POD配合很好还有很多很多……
看这个其实矩阵想要的就是一个简单的R^m到R^n的映射秩就是保证是在R^n上而不是R^n上的一个sub space(其实我不知道这东西的英文或者中文怎么说所以我随意扯了一个名词)特征值和SVD放在一起比较好，就是把线性映射分解成一个旋转镜像和一个拉伸收工了，现在你可以去学学统计学看看线性代数有什么应用了（之所以不说量子或者电动是因为这两科我不敢推荐textbooks，因为学得时候没有好好看textbooks
看再多不如自己体会，自己掌握。其实我的线代学的也不太好，这个东西本来就很抽象。
读完Linear Algebra Done Right就行
好好看一遍这本书。真正做到每一个重要概念都有对应的来由，每一章都有相关领域的应用范例。学过线性代数、甚至用过好多年了再回头来翻也可，直接拿来入门也可。
个人的经验是，把大部分重要的定理自己独立证出来，基本上你就懂了。
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录线性代数中,4阶行列式是不是不能用沙路法计算?如题
沙路法对三阶以上的行列式不适用,它只是与三阶行列式展开式偶然吻合,当阶数进一步增加时（如四阶）其展开式与所谓的沙路算法所得结果大相径庭.
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应该是不能它这种方法是按照行列式的乘积项是按行下表递增而列下表不相等的原则取出，可能四阶及以上就不再满足三阶恰好满足的很规律的取数了。最好的方法还是根据代数余子式按行或者列展开，这是最不容易错也是最基本的方法。
恩， 真的不能， 一楼的说的对
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于线性代数行列式计算方法总结的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：线代学习小组第4组例1 计算四阶行列式D=2 5325例2 计算下列行列式解:将第i+1(i=1,2,…,n)列的倍加到第1列,得=0 1 2 11 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0ni ini innb ca b b baaDaa
iica1 2 0 1( )ni ini ibca a a aa 0 1 2 1 1 1 2 2 0 0 0 0 , 0, 1,2, ,0 0nn in na b b bc aD c a a i nc a
上三角行列式箭形例3 计算n阶行列式解:这个行列式的特点是各列(行)的元素之和相等,故可将各行加到第一行,提出公因子,再化为上三角行列式。nirr i,...,2,1 1加法x a aa x aa a x
x a aa x aa a x
( 1) ( 1) ( 1)x n a x n a x n aa x aa a x
小提示: 在求矩阵特征值时若特征多项式满足上述行列式特征,亦可以使用以简化运算。niarri,...,2 1 1 1 1( 1)a x ax n aa a x
1 1 1 1 0 0( 1) ( 1) ( )0 0nx ax n a x n a x ax a
例4 计算n阶行列式,其中解:由题意得将第n-1行的(-1)倍加至第n行,第n-2行的(-1)倍加至第n-1行,…,第1行的(-1)倍加至第2行,有将第n列分别加到前边的第1,2,…,n-1列.0 1 2 2 1 1 0 1 3 2 2 1 0 4 3 2 3 4 0 1 1 2 3 1 0nn nn nn nDn n nn n n
0 1 2 n-2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1nnD
n ijD a ( , 1,2, , )ija i j i j n
逐行相减法=1 2( 1)2n nn (-1)1 1 2 3 1 0 2 2 2 1 0 0 2 2 1=0 0 0 2 1 0 0 0 0 1n n n n n
例5 计算n阶行列式解: 用加边法,即构造n+1阶行列式,使其按第一列(行)展开后,等于原行列式1 23 , , 1, , .n ina b b bb a b bD b b a b a i nbb b b a
1 21 00 0nnb b ba b bD b a bbb b a
1 12 2, , 1 11 1 0 0 1 0 01 0 0ir ri nn nb b ba ba ba b
加边法=1 11 1 21 10 0 01 0 0 00 0 0ni iiin nbb b ba ba bc ca ba ba b
1 2 1( )( ) ( )(1 )nni iba b a b a ba b1播放器加载中，请稍候...
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线代学习小组第4组例1 计算四阶行列式D=2 5325例2 计算下列行列式解:将第i+1(i=1,2,…,n)列的倍加到第1列,得=0 1 2 11 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0ni ini innb ca b b baaDaa
iica1 2 0 1( )ni ini ibca a a aa 0 1 2 1 1 1 2 2 0 0 0 0 , 0, 1,2, ,0 0nn in na b b bc aD c a a i nc a
上三角行列式箭形例3 计算n阶行列式解:这个行列式的特点是各列(行)的元素之和相等,故可将各行加到第一行,提出公因子,再化为上三角行列式。nirr i,...,2,1 1加法x a aa x aa a x
x a aa x aa a x
( 1) ( 1) ( 1)x n a x n a x n aa x aa a x
小提示: 在求矩阵特征值时若特征多项式满足上述行列式特征,亦可以使用以简化运算。niarri,...,2 1 1 1 1( 1)a x ax n aa a x
1 1 1 1 0 0( 1) ( 1) ( )0 0nx ax n a x n a x ax a
例4 计算n阶行列式,其中解:由题意得将第n-1行的(-1)倍加至第n行,第n-2行的(-1)倍加至第n-1行,…,第1行的(-1)倍加至第2行,有将第n列分别加到前边的第1,2,…,n-1列.0 1 2 2 1 1 0 1 3 2 2 1 0 4 3 2 3 4 0 1 1 2 3 1 0nn nn nn nDn n nn n n
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线性代数行列式 图片中第八大题里的第四小题怎么做？
/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=44673bea0ecf/1f178a82b307abbee0a.hiphotos://c://c.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="/zhidao/pic/item/1f178a82b307abbee0a.hiphotos://c;<img class="ikqb_img" src="http.jpg" esrc="http把下面题中的y换成x.hiphotos，就是本题<a href="/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=f49d0baf0d/1f819ab7ceaf0d8b44aed2e73e72b./zhidao/pic/item//zhidao/wh%3D600%2C800/sign=21575bcee9f81a4c2667e4cfe71a4c61/1f819ab7ceaf0d8b44aed2e73e72b.hiphotos://f.baidu://f
谢谢，学霸。我终于算出来了。
恭喜。帮到你的话，请采纳！以后有问题可以向我或我的团队求助。
请问上面两道题怎么做？
第一个先用性质将某行（某列）化成只有一个非0元素，然后按这一行展开，就变成低一阶的行列式，再同样往下做。第二个，可以直接展开，也可以先把第2列加到第1列，再把第1行乘a加到第2行，之后按第1列展开。
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