（2013o武汉四月调考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2+12bx+c与y轴相交于点B，其顶点A在直线上运动．（1）当b=-4时，求点B的坐标；（2）当△AOB为直角三角形时，求b、c的值；（3）已知△CDE的三个顶点的坐标分别为C（-5，2）、D（-3，2）、E（-5，6），当抛物线2+12bx+c对称轴左侧的部分与△CDE的三边一共有两个公共点时，求b的取值范围．
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（1）∵2+12bx+c=（x+b）2-b2+c，∴抛物线顶点A坐标为：（-b，-b2+c），∵顶点在直线y=x上，∴-b2+c=-b，当b=-4时，c=7，∴点B的坐标为：（0，7）；（2）若点A在第三象限时，△AOB不可能为直角三角形，当点A在坐标原点时，△AOB不存在，若点A在第一象限，当△AOB为直角三角形时，显然只有∠BAO=90°．如图1，过点A在x轴的垂线，垂足为H，∵∠BAO=∠AHO=90°，∠OBA=∠OAH（同角的余角相等），∴△OAB∽△AHO，∴=，∴OA2=AHoOB，设A（-b，-b），则AH=|-b|，OA2=b2+b2=b2，∴b2=-bc，①又∵-b=b2+b2+c，②由①②，得b=-，c=；（3）由（1）知，y=（x+b）2-b2+c=（x+b）2-b．当点E（-5，6）在该抛物线上时，6=（-5+b）2-b，解得 b=
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（1）利用顶点式得出M点坐标，再利用顶点在直线上，得出b与c的关系，进而得出c的值，即可得出B点坐标；（2）若点A在第三象限时，△AOB不可能为直角三角形，当点A在坐标原点时，△AOB不存在，若点A在第一象限，当△AOB为直角三角形时，显然只有∠BAO=90°，再利用△OAB∽△OHA，得出OA2=OHoOB．设A（-b，-b），则AH=|-b|，OA2=b2+b2=b2，故b2=-bc①，又-b=b2+b2+c②，由①②求得b、c的值；（3）由（1）可知，y=（x+b）2-b，点E（-5，6）在该抛物线上时，6=（-5+b）2-b，求出b的值，再求出直线ED的解析式为：y=-2x-4（-6≤x≤-3）．代入抛物线解析式得：-2x-4=（x+b）2-b．令△=0．解得：b=0．则b的取值范围为：≤b≤0．
本题考点：
二次函数综合题．
考点点评：
此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式和根的判别式等知识，熟练利用数形结合得出m的取值范围是解题关键．
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如图1，P（m，n）是抛物线上任意一点，是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H， PH交x轴于Q． （1）【探究】 ① 填空：当m=0时，OP=　 　，PH=　 　；当m=4时，OP=　 　，PH=　 　； ② 对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想． （2）【应用】 ① 当OP=OH，且m≠0时，求P点的坐标；
②如图2，已知线段AB=6，端点A，
26. （14分）如图1，P（m，n）是抛物线上任意一点，是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH&l，垂足为H， PH交x轴于Q．
填空：当m=0时，OP=　 　，PH=　 　；当m=4时，OP=　 　，PH=　 　；
对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
（2）【应用】
当OP=OH，且m&0时，求P点的坐标；
②如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
【答案】（1）①1&1&5&5& ②OP=PH（2）①P的坐标为（，2）或（-，2）②6
（2）①在Rt△OHQ中，根据&HOQ=30&，可求OH=2HQ=2&2=4，然后由PH=OH，可知y==4，可解得：x=&2，可求得y==&12-1=2，因此满足条件的点P的坐标为（，2）或（-，2）．
②考虑（2）结论，即函数的点到原点的距离等于其到l的距离．要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OB＞AB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB&6，即A、B两点到l距离的和&6，进而最小值即为6．
试题解析：解：（1）① 填空：当m=0时，OP=　1　，PH=　1　；当m=4时，OP=　5　，PH=　5　；
② 猜想：OP=PH．
证法一：∵P在二次函数上，
∴1，
∴，
∴OP=PH．
证法二：∵P在二次函数上，
∴设P（m，1），
∵△OPQ为直角三角形，
∴OP
&PH=（2）=，
∴OP=PH．
（2）①依题意，由（1）知PH=OP，
∴△OPH是等边三角形，&OHP=60&，
∵△OQH为直角三角形，
∴&HOQ=30&
解法一：不妨设m＞0，在Rt△OHQ中，，
∴ ，
根据抛物线的对称性，
∴满足条件的点P的坐标为（，2）或（-，2）．
②如图2，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为C、D，
由（1）知OB=BD，OA=AC.
当AB不过O点时，连接OA，OB，
在△AOB中，
∵OB+OA＞AB，
∴BD+AC＞AB．
当AB过O点时，
∵OB+OA=AB，
∴BD+AC=AB．
综上所述，BD+AC&AB，
∴BD+AC&6，
即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．
考点：二次函数，点到直线的距离，勾股定理，两点间的距离
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站长QQ：&&解：（1）∵直线y=kx+b经过点A、B，且A（-2，0），B（2，2），∴，解得，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）由（1）可知，一次函数的解析式为y=x+1，当x=4时，y=×4+1=3．分析：（1）把点A、B的坐标代入直线y=kx+b求出k、b的值，即可得出一次函数的解析式；（2）把x=4代入（1）中所求一次函数的解析式即可求出y的值．点评：本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出A、B两点的坐标是解答此题的关键．
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科目：初中数学
已知，如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点．（1）求以OA、OB两线段长为根的一元二方程；（2）C是⊙M上一点，连接BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO，写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式；（3）若延长BC到E，使DE=2，连接EA，试判断直线EA与⊙M的位置关系，并说明理由．
科目：初中数学
（;岳阳）已知：如图，直线MN和⊙O切于点C，AB是⊙O的直径，AE⊥MN，BF⊥MN且与⊙O交于点G，垂足分别是E、F，AC是⊙O的弦，（1）求证：AB=AE+BF；（2）令AE=m，EF=n，BF=p，证明：n2=4mp；（3）设⊙O的半径为5，AC=6，求以AE、BF的长为根的一元二次方程；（4）将直线MN向上平行移动至与⊙O相交时，m、n、p之间有什么关系？向下平行移动至与⊙O相离时，m、n、p之间又有什么关系？
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已知：如图，直线y=kx+b经过点A、B．求：（1）这个函数的解析式；（2）当x=4时，y的值．
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科目：初中数学
已知：如图，直线a∥b，∠1=（2x+10）°，∠2=（3x-5）°，那么∠1=80°．直线y=kx+b（b&0）与x轴交于点（-4,0）,则当y&0时,x的取值范围是多少?
因为 b>0 ,因此直线与 y 轴的交点在原点上方,又由于直线过（-4,0）,因此,在（-4,0）右边的图像都在 x 轴上方,所以 y>0 时,x 的取值范围是 x> -4 .
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（1）作PM⊥OA于M，∵△PBC是等边三角形，∴．∵∠POA=30°，∴，∴，∴，（2）连接PC∵⊙P与直线y=-2相切，∴⊙P的半径为4+2=6，∴PC=6，则2-PM2＝62-22＝42，∵PM⊥BC，∴．
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本题考点：
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考点点评：
本题主要考查切线的性质和等边三角形的性质，此题不是很难．
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