梯形蝴蝶定理有几对相等的三角形_百度作业帮
梯形蝴蝶定理有几对相等的三角形
梯形蝴蝶定理有几对相等的三角形
3对详见参考资料蝴蝶定理古今谈蝴蝶定理古今
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蝴蝶定理古今谈
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3秒自动关闭窗口蝴蝶定理最先是作为一个征求初等几何学证明的问题，刊载于1815年的一份欧洲通俗杂志《男士日记》上。由于该定理的几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以蝴蝶来命名。
定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
蝴蝶(Butterfly&theorem)出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推欧洲人霍纳在1815年所给出的证法。至于初等几何学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位欧洲中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是证法，其中应用了：S=1/2BC·sinA。
1985年，在《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。&
这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，OX，OY，OM，SM，MT。&
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵AS=1/2AD，BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°&
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O，S，X，M
同理，O，T，Y，M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY&，
∵OM&PQ
[2]其它证明方法：
令&x&=&XM&,&a&=&PM
则&AX&·&XD&=&PX&·&XQ&=&a²&-&x²
在&ΔDXM&中，由正弦定理：
DX&=&x·sin(α)/sin(180°&-&(α&+&β&+&γ))&=&x·sin(α)/sin(α&+&β&+&γ).
在&ΔAXM&中：&AX&=&x·sin(β)/sin(γ)
AX&·&DX&=&x²sin(α)·sin(β)/sin(γ)·sin(α&+&β&+&γ)&=&a²&-&x²;
∴&x²;&=&a²;·sin(γ)·sin(α&+&β&+&γ))/(sin(α)·sin(β)&+&sin(γ)·sin(α&+&β&+&γ))
在上面的式子中，&α&和&β&是对称的.&如果我们令&y&=&MY，会得到同样的结果
∴&x&=&y，得证
这个定理在中也成立，如图&
1，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，为M（o，r）（b&r&0）。
（Ⅰ）写出椭圆的，求椭圆的及
（Ⅱ）y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2&0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4&0）。
求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证：&|&OP&|&=&|&OQ&|。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''
。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''
证明过程图片
招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：
（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。
（Ⅰ）解：椭圆方程为x2&a2+(y-r)2/b2=1
焦点坐标为
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k?x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，
(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
x1+x2=2k1a2r&(b2+a2k12)，&x1·x2=(a2r2-a2b2)&(&b2+a2k12)，
所以x1x2&(x1+x2)=(&r2-b2)&2k1r&①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得
x3x4&(x3+x4)=(&r2-b2)&2k2r&②
由①，②得k1x1x2&(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4&(x3+x4)
所以结论成立。
（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。
由C，P，H共线，得
(x1-p)&(&x4-p)=k1x1&k2x4
解得P=(k1-k2)x1x4&(k1x1-k2x4)
由D，Q，G共线，同理可得
q=(k1-k2)x2x3&(k1x2-k2x3)
由k1x1x2&(x1+x2)=k2x3x4&(x3+x4)，变形得：
x2x3&(k1x2-k2x3)=x1x4&(k1x1-k2x4)
即：(k1-k2)x2x3&(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4&(k1x1-k2x4)
所以&|p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。
本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。
第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的关系问题。待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐，使人很容易联想起根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。这里用到了最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的组，用得到一元二次方程，利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中，由两个联程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。
第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的，用到了过两点的公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价成了p=&-q（或p+q=0。）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p=&-q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。
设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取，得
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3&①’
设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为&②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4&②’
将①’两边同乘以k1·k2，即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。
上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？
关于圆，有一个有趣的定理：
蝴蝶定理&设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。则MH=MG。
这个定理画出来的几何图，很像一只的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。
盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？
像，而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？
椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《解析几何》全一册（必修）数处提到问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？
实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。你可以用基本——平面上两点间的距离公式
证明|AC|=|AB∣+∣BC∣；你也可以应用x=（x1+λx2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式
证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证S△ABC=0。你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？有许多重点中学的师生，对课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力？我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆地摒弃“”。而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革的真谛。——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。
混沌论中蝴蝶定理
数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常著名的定理——蝴蝶定理。它是说，一些最轻微的因素，能够在复杂的环境中，引起滔天的巨浪，就好比地球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀，那微小的气流，已足已引起的飓风和。
而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢？&所以经济和气象都是不可预测的，正如人生无法预测。
通过，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意（包括，，，甚至退化到两条相交直线的情况）。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
而通过可以非常容易证明这个定理。
里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.
由此对于本题，我们可以通过将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。
在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的而且四边形ACBD是圆M内接矩形，PQ也是一条直径，有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是，所以变换前M也是XY的中点。
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查看: 3441&
本帖最后由 老渝 于
12:41 编辑
几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型& & 1、等底等高的两个三角形面积相等；& & 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；& & 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；& & 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，& && & 则可知直线AB平行于CD。& && && && && && && && && && && && & （2）鸟头（共角）定理模型& & 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；& & 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。& &如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点& && && && && && && && && && && && && && && && & 则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）& & 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！& && && && && && && && && & & & 如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。（3）蝴蝶模型& & 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)& && & 梯形蝴蝶定理& && && && &如图，在梯形中，存在以下关系：
01:31 上传
& && && && &(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a^2/b^2
& && && && &(2)S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab ；
& && && && &(3)S3=S4 ；
& && && && &(4)S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
& && && && &(5)AO：BO=a︰b
& &2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：& && &&&
01:24 上传
& && && & 1） S1∶S2 =S4∶S3& & 或&&S1×S3 = S2×S4& && && & & && && && && && && && && && &&&& && &&&上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积& && &2）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）& & 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4）相似模型& & 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；& & 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相& && & 交，所构成的三角形与原三角形相似。& & 3、相似三角形性质：& && &①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；& && &②相似三角形周长的比等于相似比；& && &③相似三角形面积的比等于相似比的平方。& & 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！& && && && &&&
01:26 上传
& & （5）燕尾模型& && && && && && && && && & & & 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：S△ABG：S△ACG=S△BGE：S△CGE=BE：CES△BGA：S△BGC=S△GAF：S△GCF=AF：CFS△AGC：S△BGC=S△AGD：S△BGD=AD：BD二、例题分析、巩固习题、详细答案 & & & && && &&& & && && && && && && &
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我和我的小伙伴都惊呆了
顶级牛师，霸气专业
神马都是浮云
怎么也是顶级牛师，顶起来！
金币 + 134&
重庆学而思2015中考②群 ；
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<em id="authorposton14-10-29 10:57
感谢老师分享
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<em id="authorposton14-10-22 14:28
谢谢老师，收藏了
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<em id="authorposton14-10-8 14:39
资料很好了，谢谢
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<em id="authorposton14-9-19 22:51
楼主,你的梯形蝴蝶定理面积标示和下面的比例关系不对应啦.您看看是不是S2和S3标记标反了......
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<em id="authorposton14-9-19 22:24
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<em id="authorposton14-8-5 10:38
老师，我下载下来了，但怎么打不开呢
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<em id="authorposton14-8-4 21:20
这个有意思。
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<em id="authorposton14-7-29 23:52
这个很有帮助啊。
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<em id="authorposton14-7-28 16:43
先挣点金币吧，回头再看下不下，不用下载的先学习了
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<em id="authorposton14-7-22 21:56
实在太好了，收藏慢慢学。
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<em id="authorposton14-7-11 09:52
谢谢老师，收藏了！
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<em id="authorposton14-6-13 07:56
学习学习！
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<em id="authorposton14-5-8 10:30
谢谢分享楼主辛苦了
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<em id="authorposton14-4-27 20:38
谢谢老师，收藏了！
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