小学二年级奥数：数列问题练习题
　　我们把按规律排列起来的一列数叫数列。学习数列关键就是通过分析数与数之间的关系，找出它们的规律，然后可以自己推导出其他的数。
　　如：常见的自然数列，奇数列，偶数列，等差数列，等比数列。
　　自然数列的规律就是后一个数比前一个数大一，自然增长。
　　奇数列的规律就是所有的数全部是奇数，而且后一个数比前一个数大2。
　　等差数列就是后一个数与前一个数的差值是一个固定的数。
　　等比数列就是后一个数与前一个数的商值是一个固定的数。
　　1 .如5，10，15，20， ，35，40，45
　　2 .找规律：1，2，4，8，16， ，128，256
　　3.找规律填空：1，2，4，7，11， ，29，37
　　4,一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上1为乘客，第二站上2为乘客，第三站上3为，依次下去，多少站以后，车上坐满乘客？（在坐满以前没有人下车）（数列求和？）
　　5.爸爸给小明100块糖，又给他10个盒子，要求小明往第一个盒子里放2块糖，第二个盒子里放4块糖，第三个盒子里放8块糖，第四个&&&.照这样下去，要放满这10个盒子，你说这100块糖够不够？
　　6.有一本书共200页，页码依次为1，2，3，&&，199，200，问数字&1&在页码中共出现了多少次？（所有的情况都写出来，例如，分类讨论1在个位上的时候，1在十位上的时候，1在百位上的时候）
　　7.在1至100的奇数中，数字&3&出现了多少次？
　　8.像11，12，13这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9。问自然数列的前20个数的数字之和是多少？
《小学二年级奥数：数列问题练习题》摘要：一个数的商值是一个固定的数。 1 .如5，10，15，20， ，35，40，45 2 .找规律：1，2，4，8，16， ，128，256 3.找规律填空：1，2，4，7，11， ，29，37 4,一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上1为乘客，第二...： ◇
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电话：010-第六章_时间数列练习题及解答49_数列练习题-牛bb文章网
第六章_时间数列练习题及解答49_数列练习题
《时间序列》练习题及解答一、单项选择题从下列各题所给的4个备选答案中选出1个正确答案，并将其编号（A、B、C、D）填入题干后面的括号内。1、构成时间数列的两个基本要素是（ ）。A、主词和宾词 B、变量和次数 C、时间和指标数值 D、时间和次数 2、最基本的时间数列是（ ）。A、时点数列 B、绝对数数列 C、相对数数列 D、平均数数列 3、时间数列中，各项指标数值可以相加的是（ ）。A、相对数数列 B、时期数列 C、平均数数列 D、时点数列 4、时间数列中的发展水平（ ）。A、只能是总量指标 B、只能是相对指标 C、只能是平均指标 D、上述三种指标均可以 5、对时间数列进行动态分析的基础指标是（ ）。A、发展水平 B、平均发展水平 C、发展速度 D、平均发展速度6、由间断时点数列计算序时平均数，其假定条件是研究现象在相邻两个时点之间的变动为（ ）。A、连续的 B、间断的 C、稳定的 D、均匀的 7、序时平均数与一般平均数的共同点是（ ）。 A、两者均是反映同一总体的一般水平 B、都是反映现象的一般水平 C、两者均可消除现象波动的影响D、共同反映同质总体在不同时间上的一般水平 8、时间序列最基本的速度指标是（ ）。A、发展速度 B、平均发展速度 C、增长速度 D、平均增长速度 9、根据采用的对比基期不同，发展速度有（ ）。 A、环比发展速度与定基发展速度 B、环比发展速度与累积发展速度 C、逐期发展速度与累积发展速度 D、累积发展速度与定基发展速度10、如果时间序列逐期增长量大体相等，则宜配合（ ）。A、直线模型 B、抛物线模型 C、曲线模型 D、指数曲线模型A、B、100%?124%?104%350?62?7850100%?62124%?78104%?108.6%?108.6%50C、100%D、124%104%?92.1% 50?62?78?62?7850?100%?62?124%?78?104%50?62?78?109.5%12、增长速度的计算公式为（ ）。 A、增长速度?增长量基期水平增长量报告期水平B、增长速度?增长量期初水平增长量期末水平C、增长速度? D、增长速度?13、如果逐期增长量相等，则环比增长速度（ ）。A、逐期下降 B、逐期增加 C、保持不变 D、无法做结论14、以1980年为基期，2007年为报告期，计算某现象的平均发展速度应开（ ）次方。A、25 B、26 C、27 D、2815、某商场5年的销售收入如下：200万元、220万元、250万元、300万元、320万元。则平均增长量为（ ）。A、1205B、1204CD二、多项选择题从每题所给的5个备选答案中，选出2个至5个正确答案，并将其编号（A、B、C、D、E）填入题干后面的括号内。1、构成时间序列的统计指标数值，可以是（ ）。 A、全面调查所搜集到的统计资料 B、非全面调查所搜集到的统计资料 C、抽样调查资料D、计算口径不一致的资料 E、总体范围不一致的资料2、时间序列的水平指标有（ ）。A、发展速度 B、发展水平 C、平均发展水平 D、增长量 E、平均增长量 3、时间序列按统计指标的表现形式不同，可分为（ ）。 A、绝对数时间数列 B、时期数列 C、相对数时间数列 D、时点数列 E、平均数时间数列4、下列时间数列中，各项指标数值不能相加的有（ ）。A、强度相对数时间数列 B、时期数列 C、相对数时间数列 D、时点数列 E、平均数时间数列5、以下社会经济现象属于时期数列的有（ ）。 A、某工厂“十五”计划期间产值B、某农场“十五”计划期间生猪存栏数 C、某商场“十五”计划期间各年末利税额D、某学校“十五”计划期间毕业生人数 E、某兵营“十五”计划期间各年末战士数 6、影响时间数列的因素主要有（ ）。A、长期趋势 B、季节变动 C、循环变动 D、不规则变动 E、规则变动 7、将不同时期的发展水平加以平均，得到的平均数称为（ ）。 A、一般平均数 B、算术平均数 C、序时平均数 D、平均发展速度 E、平均发展水平 8、时间数列的速度指标有（ ）。 A、定基增长速度和环比增长速度 B、定基发展速度和环比发展速度 C、平均增长速度 D、平均发展速度 E、平均发展水平9、计算平均发展速度的方法有（ ）。A、几何法 B、简单序时平均法 C、方程法 D、加权序时平均法 E、首尾折半法10、直线趋势方程yt?a?bt中，参数b是表示（ ）。 A、趋势值 B、趋势线的截距 C、趋势线的斜率 D、当t每变动一个时间单位时，yt平均增减的数值 E、当t?0时，yt的数值三、判断题试判断下列各题的正误，若正确，在题后的括号内划“√”表示；若错误，在题后的括号内划“×”表示。1、某高校历年毕业生人数时间数列是时期数列。（ ） 2、若季节指数为1，说明没有季节变动。（ ） 3、发展水平只能用绝对数表示。（ ）4、若平均发展速度大于100%，则环比发展速度也大于100%。（ ） 5、当时间数列环比增长速度大体相同时，应该配合指数曲线。（ ）6、当发展水平增长时，增长量指标就为正值；当发展水平下降时，增长量指标就为负值。（ ）7、某企业产品产值同去年相比增加了4倍，即翻了两番。（ ） 8、时间数列的指标数值只能用绝对数表示。（ ）9、采用移动平均法测定长期趋势，主要是为了削弱随机因素的影响。（ ） 10、平均增长速度=平均发展速度+1。（ ）四、简答题1、编制时间数列有何作用？2、时期数列与时点数列有何异同？3、什么是平均增长速度？它与平均发展速度存在什么关系？ 4、什么是移动平均法？应用移动平均法要解决的问题是什么？5、在测定季节变动时为什么要剔除长期趋势的影响？ 五、计算题1、某商场历年销售额资料如下： 单位：万元试根据上述资料，计算有关的分析指标。根据上述资料计算第一季度月的平均劳动生产率。3、某厂2000年的产值为500万元，规划十年内产值翻一番，试计算：（1）从2001年起，每年要保持怎样的平均增长速度，产值才能在十年内翻一番？ （2）若年两年的平均发展速度为105%，那么，后八年应有怎样的速度才能做到十年翻一番？（3）若要求提前两年达到产值翻一番，则每年应有怎样的平均发展速度？ 4、某地区2003年至2007年水稻产量资料如下：（2）按移动平均趋势剔除法计算季节指数。练习题解答 一、单项选择题答案：C B B D A D B A B A B A A C B 二、多项选择题答案：ABC、BCDE、ACE、ACDE、ACD、ABCD、CE、ABCD、AC、CD 三、判断题答案：√ √ × × √ √ × × √ × 四、简答题 1、答：编制和分析时间数列具有以下作用：（1）可以反映现象发展变化的过程和结果；（2）可以研究现象发展变化的方向、水平、速度和趋势：（3）通过对时间数列的分析，可以进―步对现象的发展变化进行预测；（4）通过对比相关联的时间数列，可以发现同一空间不同现象之间或不向空间同一现象之间在发展变化过程中的相互关系。2、答：共同点：它们都属于绝对数时间数列。 不同点：（1）时期数列中各时间上的指标值可以直接相加，相加的结果反映现象在更长时间内的总量水平；而时点数列中各时间上的指标值直接相加是没有实际意义的。（2）时期数列的指标数值大小与所属时期长短有直接关系，对于指标值非负的时期数列，其时期长度越长，指标数值越大；反之，指标数值越小。而时点数列的指标值大小与时点间隔无直接关系，如年末人口数就不一定比季末人口数大。（3）时期数列中各指标值表明了现象在一段时间内发展变化的总量；而时点数列中各指标值表明了现象在某一时刻上的总量水平。3、答：平均增长速度是反映现象在一定时期内逐期平均增长程度的指标，它与平均发展速度的关系是：平均增长速度?平均发展速度?14、答：移动平均法是以时间数列的第一项数值开始，按一定项数求出第一个序时平均数，然后按数列顺序依次逐项移动，边移动边平均的方法。5、答：测定季节变动要剔除长期趋势影响的原因是：（1）由于长期趋势影响月（季）平均数，时间数列中后期各月平均数会比前期各月平均数产生较大影响；（2）月（季）平均数包含着长期趋势的季节变动就需先剔除长期趋势再测定季节变动。五、计算题2561.126平均发展水平 ?285?327.5?391.2?413.82?562.8?580.86??426.85（万元）第六章_时间数列练习题及解答49_数列练习题平均增长量?42.5?63.7?22.62?148.98?185?295.85?59.16（万元）平均发展速度??115.3%平均增长速度?115.3%?1?15.3% 2、解：第一季度月平均劳动生产率?((90?124?143)/3582?60?64?662)/3?11962。 ?1.9194（万元/人）3、解：注意，翻一番即为原来的两倍，也就是目标产值为1000万元。 （1）此时，平均增长速度?1??1?107.18%?1?7.18%；（2）设后八年的平均发展速度为x，则有1.052x8?2，即x??107.73%（3）平均发展速度???109.05%设趋势方程为y?a?bx，则由最小二乘法，得n?xy??x?yn?x?(?x)22b??5?85?55?151552?72050?14.4a??nyx??bn?17285?14.4??302.4因此，所求趋势方程为：y?302.4?14.4x2009年（即x=7）水稻产量的预测值?302.4?14.4?7?403.2（万吨）（2）按移动平均趋势剔除法计算季节指数。 5、（1）计算结果见下表：（2）计算结果见下表1、表2：调整季节指数?季节指数?4?季节指数 分享： >
“数列练习题”相关文章考点：等差数列的性质,等比数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由新定义当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n-1，n-2，…，3，2，1；（2）由题意可得b2＞b3＞b1＞b4＞…＞bn，可得序数列为2，3，1，4，…，n，进而可得2＜t2＜52，解不等式可得；（3）由{d2n-1}的序数列单调递减可得d2n-d2n-1=(12)2n-1=(-1)2n22n-1，同理可得d2n+1-d2n=-(12)2n=(-1)2n+122n，进而可得dn+1-dn=(-1)n+12n，可得dn=d1+（d2-d1）+（d3-d2）+…+（dn-dn-1）=1+12-122+…+(-1)n2n-1=1+12•1-(-12)n-11+12=43+13•(-1)n2n-1，既得答案．
解：（1）由题意，当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n-1，n-2，…，3，2，1；（2）∵bn=n•(35)n，∴bn+1-bn=(35)n3-2n5，当n=1时，易得b2＞b1，当n≥2时，易得bn+1＜bn，又∵b1=35，b3=3•（35）3，b4=4•（35）4，b4＜b1＜b3，即b2＞b3＞b1＞b4＞…＞bn，故数列{bn}的序数列为2，3，1，4，…，n，∴对于数列{cn}有2＜t2＜52，解得4＜t＜5；（3）∵{d2n-1}的序数列单调递减，∴数列{d2n-1}单调递增，∴d2n+1-d2n-1＞0，∴（d2n+1-d2n）+（d2n-d2n-1）＞0，而(12)2n＜(12)2n-1，∴|d2n+1-d2n|＜|d2n-d2n-1|，∴d2n-d2n-1＞0，∴d2n-d2n-1=(12)2n-1=(-1)2n22n-1，①∵{d2n}的序数列单调递增，∴数列{d2n}单调递减，同理可得d2n+1-d2n＜0，∴d2n+1-d2n=-(12)2n=(-1)2n+122n，②由①②可得dn+1-dn=(-1)n+12n，∴dn=d1+（d2-d1）+（d3-d2）+…+（dn-dn-1）=1+12-122+…+(-1)n2n-1=1+12•1-(-12)n-11+12=43+13•(-1)n2n-1即数列{dn}的通项公式为dn=43+13•(-1)n2n-1
点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题．
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科目：高中数学
中华人民共和国关于《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》（HJ633-2012）中，关于空气质量指数划分如下表所示：AQI0～5051～100101～150151～200201～300＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市为了监测该市的空气质量指数，抽取一年中n天的数据进行分析，得到如下频率分布表及频率分布直方图：分组频数频率[0，50）x0.06[50，100）100.2{100，150）20y[150，200）150.3[200，250）20.04合计n1（Ⅰ）求n、x、y和p的值；（Ⅱ）利用样本估计总体的思想，估计该市一年中空气质量指数的平均数为多少？（Ⅲ）该市政府计划通过对环境进行综合治理，使得今后Ⅲ的空气质量指数比上一年降低5%，问至少经过多少年后该市的空气质量可以达到优良水平？（参考数据：0.954≈0.815，0.955≈0.774）
科目：高中数学
下列命题：①k＞4是方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件；②把y=sinx的图象向右平移π3单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数y=sin（2x-π3）的图象；③函数f（x）=sin（2x+π3）在[0，π6]上为增函数；④椭圆x2m+y24=1的焦距为2，则实数m的值等于5．其中正确命题的序号为（　　）
A、①③④B、②③④C、②④D、②
科目：高中数学
已知函数f（x）=14x-λ2x-1+3（-1≤x≤2）．（1）若λ=32时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．
科目：高中数学
若f（x）=4log2x+2，则f（2）+f（4）+f（8）=（　　）
A、12B、24C、30D、48
科目：高中数学
等差数列{an}中，a3=0，Sn是数列{an}的前n项和，则下列式子成立的是（　　）
A、S3=0B、S4=0C、S5=0D、S9=0
科目：高中数学
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a-c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小，（2）若a=3，△ABC的面积为332，求BA•AC的值．
科目：高中数学
函数f（x）=lgx+x的零点所在的区间是（　　）
A、（-10，-110）B、（110，1）C、（1，10）D、（0，110）
科目：高中数学
贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站．其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站．记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：车站怀集站广宁站肇庆东站三水南站佛山西站广州南站满意度得分7076727072x已知6个站的平均得分为75分．（1）求广州南站的满意度得分x，及这6个站满意度得分的标准差；（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率．2016届高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题：10数列求和及综合应用&&&Word版含解析（数理化网）&&人教版
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第一部分 一 10一、选择题1．(文)(2015?新课标Ⅱ文，5)设Sn是等差数列的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )A．5 B．7C．9D．11[答案] A[解析] 考查等差数列的性质及求和公式．a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.故选A.(理)(2015?新课标Ⅰ文，7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝( )A. B.C．10D．12[答案] B[解析] 本题主要考查等差数列的通项及求和公式．由题可知：等差数列{an}的公差d＝1，因为等差数列Sn＝a1n＋，且S8＝4S4，代入计算可得a1＝；等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则a10＝＋(10－1)×1＝.故本题正确答案为B.[方法点拨] 数列求和的类型及方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．(2)错位相减法这种方法主要用于求数列{an?bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．(文)设{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2013的两个零点是a2、a3，则a1a4＝( )A．2013 B．1C．－1D．－2013[答案] D[解析] 由条件得，a1a4＝a2a3＝－2013.(理)已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝.若函数f(x)＝sin2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )A．0B．－9 C．9D．1[答案] C[解析] 据已知得2an＋1＝an＋an＋2，即数列{an}为等差数列，又f(x)＝sin2x＋2×＝sin2x＋1＋cosx，因为a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，故cosa1＋cosa9＝cosa2＋cosa8＝…＝cosa5＝0，又2a1＋2a9＝2a2＋2a8＝…＝4a5＝2π，故sin2a1＋sin2a9＝sin2a2＋sin2a8＝…＝sin2a5＝0，故数列{yn}的前9项之和为9，故选C.3．(2014?辽宁协作联校三模)已知数列{an}的通项公式an＝2014sin，则a1＋a2＋…＋a2014＝( )A．2012B．2013C．2014D．2015[答案] C[解析] 数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝2014(sin＋sinπ＋sin＋sin2π)＝0，又∵3＋2，∴a1＋a2＋…＋a2014＝a1＋a2＝2014sin＋2014sinπ＝2014.4．(文)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝，则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为( )A．305B．315C．325D．335[答案] D[解析] ∵f(1)＝，f(2)＝＋，f(3)＝＋＋，…，f(n)＝＋f(n－1)，∴{f(n)}是以为首项，为公差的等差数列．∴S20＝20×＋×＝335.(理)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于( )A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)[答案] A[解析] 设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)?k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋(2×6×1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.[方法点拨] 解决数列与函数知识结合的题目时，要明确数列是特殊的函数，它的图象是群孤立的点，注意函数的定义域等限制条件，准确的进行条件的转化，数列与三角函数交汇时，数列通常作为条件出现，去除数列外衣后，本质是三角问题．5．(文)已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a1、a49是2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1?a2?a25?a48?a49的值为( )A.B．9C．±9D．35[答案] B[解析] ∵{an}是等比数列，且a1，a49是方程2x2－7x＋6＝0的两根，∴a1?a49＝a＝3.而an>0，∴a25＝.∴a1?a2?a25?a48?a49＝a＝()5＝9，故选B.(理)(2015?江西质检)如果数列{an}中，相邻两项an和an＋1是二次方程x＋2nxn＋cn＝0(n＝1,2,3，…)的两个根，当a1＝2时，c100的值为( )A．－9984B．9984C．9996D．－9996[答案] C[解析] 由根与系数关系，an＋an＋1＝－2n，则(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝－2.即an＋2－an＝－2，∴a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为－2的等差数列，∵a1＝2，a1＋a2＝－2，∴a2＝－4，即a2k＝－2k－2，∴a100＝－102，a2k－1＝－2k＋4，∴a101＝－98.∴c100＝a100?a101＝9996.6．等差数列{an}中，a1>0，公差d0，公差dN时，恒有|an－A|N时，恒有|an－2|1－log2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|0，∴b4b6≤()2＝b＝100.(理)(2014?河南十所名校联考)对于各项均为整数的数列{an}，如果ai＋i(i＝1,2,3，…)为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”，不论数列{an}是否具有“P性质”，如果存在与{an}不是同一数列的{bn}，且{bn}同时满足下面两个条件：①b1，b2，b3，…，bn是a1，a2，a3，…，an的一个排列；②数列{bn}具有“P性质”，则称数列{an}具有“变换P性质”，下面三个数列：①数列{an}的前n项和为Sn＝(n2－1)；②数列1,2,3,4,5；③数列1,2,3，…，11.其中具有“P性质”或“变换P性质”的有________(填序号)．[答案] ①②[解析] Sn＝(n2－1)，Sn－1＝[(n－1)2－1](n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝(n－1)(n＋1)－(n2－2n)＝(n－1)(n＋1－n＋2)＝n(n－1)(n≥2)，又a1＝S1＝0，∴a1＋1＝1＝12，a2＋2＝4＝22，a3＋3＝9＝32，…，an＋n＝n2，∴数列{an}具有“P性质”；数列1,2,3,4,5排为3,2,1,5,4，则a1＋1＝4＝22，a2＋2＝4＝22，a3＋3＝4＝22，a4＋4＝9＝32，a5＋5＝9＝32，∴数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”，同理可验证数列1,2,3，…，11不具有“P性质”和“变换P性质”．[方法点拨] 脱去新定义的外衣，将问题化为基本数学模型，用相应的知识方法解答是解决此类问题的基本方法．9．(2015?安徽文，13)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．[答案] 27[解析] 考查1.等差数列的定义；2.等差数列的前n项和．∵n≥2时，an＝an－1＋，且a1＝1，∴{an}是以1为首项，为公差的等差数列．∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.10．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{}的最大项的值为________．[答案] [解析] ∵a⊥b，∴a?b＝2Sn－n(n＋1)＝0，∴Sn＝，∴an＝n，∴＝＝，当n＝2时，n＋取最小值4，此时取到最大值.三、解答题11．(文)(2015?云南省检测)已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S18wS9＝7w8.(1)求证：S3，S9，S6依次成等差数列；(2)a7与a10的等差中项是否是数列{an}中的项？如果是，是{an}中的第几项？如果不是，请说明理由．[解析] (1)证明：设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S18＝18a1，S9＝9a1，S18wS9＝2w1≠7w8.∴q≠1.∴S18＝(1－q18)，S9＝(1－q9)，S18wS9＝1＋q9.∴1＋q9＝，解得q＝－2－.∴S3＝＝×，S6＝＝×.S9＝(1－q9)＝×.∵S9－S3＝－×，S6－S9＝－×，∴S9－S3＝S3－S9.∴S3，S9，S6依次成等差数列．(2)a7与a10的等差中项等于＝＝.设a7与a10的等差中项是数列{an}中的第n项，则a1(－2－)n－1＝，化简得(－2)－＝(－2)－4，则－＝－4，解得n＝13.∴a7与a10的等差中项是数列{an}中的第13项．(理)(2015?唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn，满足(1－q)Sn＋qan＝1，且q(q－1)≠0.(1)求{an}的通项公式；(2)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．[解析] (1)当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1，∴a1＝1，当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，两式相减得(1－q)an＋q(an－an－1)＝0，∴an＝qan－1，∵a1＝1，q(q－1)≠0，∴an＝qn－1，综上an＝qn－1.(2)由(1)可知＝q，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列．所以Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8.故a2，a8，a5成等差数列．[方法点拨] 1.在处理数列求和问题时，一定要先读懂题意，分清题型，区分等差数列与等比数列，不是基本数列模型的注意运用转化思想化归为等差、等比数列，在利用分组求和时，要特别注意项数．2．在处理等差与等比数列的综合问题时，先要看所给数列是等差数列还是等比数列，再依据条件建立方程求解．12．(文)已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，f＝－1，且满足对任意x、y∈(－1，1)，有f(x)＋f(y)＝f，数列{xn}中，x1＝，xn＋1＝.(1)证明：f(x)在(－1,1)上为奇函数；(2)求数列{f(xn)}的通项公式；(3)求证：＋＋…＋>－.[分析] (1)要证f(x)为奇函数，只需证明f(－x)＋f(x)＝0，只需在条件式中令y＝－x，为了求f(0)，令x＝y＝0即可获解．(2)利用f(x)＋f(y)＝f()可找出f(xn＋1)与f(xn)的递推关系，从而求得通项．(3)由f(xn)的通项公式确定数列{}的求和方法，求和后利用放缩法可证明．[解析] (1)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在(－1,1)上为奇函数．(2)f(x1)＝f＝－1，f(xn＋1)＝f＝f＝2f(xn)，∴＝2，即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(xn)＝－2n－1.(3)＋＋…＋＝－＝－＝－＝－2＋>－2，而－＝－＝－2－－.(理)在直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，对于每个正整数n，点Pn均位于一次函数y＝x＋的图象上，且Pn的横坐标构成以－为首项，－1为公差的等差数列{xn}．(1)求点Pn的坐标；(2)设二次函数fn(x)的图象Cn以Pn为顶点，且过点Dn(0，n2＋1)，若过Dn且斜率为kn的直线ln与Cn只有一个公共点，求Tn＝＋＋…＋的表达式；(3)设S＝{x|x＝2xn，n为正整数}，T＝{y|y＝12yn，n为正整数}，等差数列{an}中的任一项an∈(S∩T)，且a1是S∩T中最大的数，－2250，q>0，所以b1＝1，因为b3和b5的等差中项是2a3，且2a3＝10，所以b3＋b5＝20，所以q2＋q4＝20，解得q＝2，所以bn＝2n－1.(2)由于cn＝anbn，所以Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)2n－1 ①2Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n ②所以－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)2n＝1＋2×－(2n－1)2n＝－3＋2×2n－(2n－1)2n＝－3＋(3－2n)2n，Tn＝3＋(2n－3)2n.14．(文)政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价，用an表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用，用bn表示该企业第n年的产值．设a1＝a(万元)，且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a万元；又设b1＝b(万元)，且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.用Pn＝表示企业第n年“对社会的有效贡献率”．(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；(2)试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%?[解析] (1)∵a1＝a，b1＝b，Pn＝，∴P1＝＝1%，P2＝＝＝3.3%.故该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%.(2)由题意，得数列{an}是以a为首项，以2a为公差的等差数列，数列bn是以b为首项，以1.1为公比的等比数列，∴an＝a1＋(n－1)d＝a＋(n－1)?2a＝(2n－1)a，bn＝b1(1＋10%)n－1＝1.1n－1b.又∵Pn＝，∴Pn＝＝.∵＝×1.1＝×1.1>1，∴Pn＋1>Pn，即Pn＝单调递增．又∵P6＝≈17.72%20%.故从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%.(理)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额都为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多()n－1a万元．(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年．[解析] (1)设甲、乙两超市第n年销售额分别为an、bn，又设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn＝(n2－n＋2)(n≥2)，因n＝1时，a1＝a，则n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝a(n－1)，故an＝又因b1＝a，n≥2时，bn－bn－1＝()n－1a，故bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝a＋a＋()2a＋…＋()n－1a＝[1＋＋()2＋…＋()n－1]a＝a＝[3－2?()n－1]a，显然n＝1也适合，故bn＝[3－2?()n－1]a(n∈N*)(2)当n＝2时，a2＝a，b2＝a，有a2>b2；n＝3时，a3＝2a，b3＝a，有a3>b3；当n≥4时，an≥3a，而bnbn，则(n－1)a>[3－2?()n－1]a?n－1>6－4?()n－1，即n>7－4?()n－1.又当n≥7时，07－4?()n－1.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．[方法点拨] 1.用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型――数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，还是解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．2．数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．3．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．15．(文)定义：若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．(1)证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn＝(2a1＋1)(2a2＋1)…(2an＋1)，求Tn关于n的表达式；(3)记bn＝log2an＋1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn>2012成立的n的最小值．[解析] (1)证明：由题意得an＋1＝2a＋2an，∴2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2.所以数列{2an＋1}是“平方递推数列”．令cn＝2an＋1，所以lgcn＋1＝2lgcn.因为lg(2a1＋1)＝lg5≠0，所以＝2.所以数列{lg(2an＋1)}为等比数列．(2)由(1)知lg(2an＋1)＝(lg5)×2n－1，∴2an＋1＝10(lg5)×2n－1＝52n－1，∴Tn＝520×521×522×…×52n－1＝520＋21＋…＋2n－1＝52n－1.(3)∵bn＝log2an＋1Tn＝＝2－()n－1，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n－＝2n－2＋，由2n－2＝2012得n＝1007，∴S06－2＋∈()，S07－2＋∈()．故使Sn>2012成立的n的最小值为1007.(理)已知曲线C：xy＝1，过C上一点An(xn，yn)作一斜率为kn＝－的直线交曲线C于另一点An＋1(xn＋1，yn＋1)，点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1＝.(1)求xn与xn＋1的关系式；(2)令bn＝＋，求证：数列{bn}是等比数列；(3)若cn＝3n－λbn(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．[分析] (1)由直线方程点斜式建立xn与yn关系，而(xn，yn)在曲线xy＝1上，有xnyn＝1，消去yn得xn与xn＋1的关系；(2)由定义证为常数；(3)转化为恒成立的问题解决．[解析] (1)过点An(xn，yn)的直线方程为y－yn＝－(x－xn)，联立方程，消去y得x2－x＋1＝0.解得x＝xn或x＝.由题设条件知xn＋1＝.(2)证明：＝＝＝＝＝－2.∵b1＝＋＝－2≠0，∴数列{bn}是等比数列．(3)由(2)知，bn＝(－2)n，要使cn＋1>cn恒成立，由cn＋1－cn＝[3n＋1－λ(－2)n＋1]－[3n－λ(－2)n]＝2?3n＋3λ(－2)n>0恒成立，即(－1)nλ>－n－1恒成立．①当n为奇数时，即λ－n－1恒成立，又－n－1的最大值为－，∴λ>－，即－cn.
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