少年曰报上的古堡怪钟解题步骤是什么?
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数学运算专项知识讲义(完整篇)_图文
公务员考试辅导交流教材
天字最新版-数学运算部分
作者：天字 1 号（徐克猛） 时间：
数学运算常用 数理 基础知识 介绍与应 用 一、 一、数学运算常用 数学运算常用数理 数理基础知识 基础知识介绍与应 介绍与应用
1、数理特点介绍与应用。
数理知识看起来很简单， 常常都是大家知晓的， 但是在考试的过程中常常会忽视它们的 应用价值。 因此， 在这个部分我们将从小学到初中的所有基础性数理知识进行一次相对全面 的应用性介绍。 （1）常见数值的特征应用 0 是我们最常见的数字，是一个占位符，算不得一个个位数，因此最小的个位数实则是 1，而非零。零乘以任何数都为零，反过来可以这样认为零可以包含任意自然数做为因子。 零不能做除数或者分母，否则无意义，同样零也不能同时做指数和底数，即 0^0 是没有意义 的。零是最小的自然数，这一点大家务必要纠正过来，因为在我们这个年龄阶段的人所学课 本上的知识时零是不作为自然数的。 1 是最小的个位数也是最小的奇数，且 1 也是所有非零自然数的最小约数，1 也是既不 是合数也是质数.1 也是所有非 0 数的 0 次方的结果。 1 和 0 相对，0 表示趋向无穷小。1 可表示代替整体。趋向最大。因此通常概率中取值的范围就在 0～1 之间。 0 和 1 在使用过程中，通常有这样几种特点： a.“代入法”中采用率最高数值 代入法做一些题目的时侯，我们通常会选择一些便于口算的数值代入已知条件验证， 然 后通过这些代入的特殊数值对结果进行简单口算。而在我们代入法通常所选择的数值当中 0，1，2，3 四个数字最常见，其中 1 是使用频率最高的数值。下面我们通过几个例题来说 一说如何在代入法中使用 1. 例题 1：已知：
x y z = = ，且 a≠b≠c，求 x+y+z=（ ） a－b b－c c－a
A.-1 B.1 C.0 D.2 【天字 1 号解析】参考答案 C。 令等号左右的三个表达式均等于 0，则说明分子也是 0，即 x=y=z=0 即答案就是 0。 或令等号左右三个表达式均等于 1，则说明 x＝a－b，y＝b－c，z＝c－a， 那么 x+y+z＝a －b+b－c+c－a＝0，相互抵销了。 例题 2：已知 x－y＝1，则 x^3－3xy－y^3＝（ ） 【09 江苏】 A．1 B．2 C．3 D．5 【天字 1 号解析】参考答案 A。 根据已知条件 x－y＝1，我们可以假设 x＝1，y＝0 代入。这样要求计算的表达式就为 1－0－0＝1. 在选择代入数值的时侯，往往 0 便于简化运算过程，此题过程中的后 2 项就 基本因为 0 的关系忽略不计了。
例题 3：已知 a＋b＋c＝2( a + b ? 1 + c ? 2 )，则 a^2＋b^2＋c^2＝（ ） 【09 江苏】 A．14 B．15 C．3 D．1 【天字 1 号解析】参考答案 A。 此题根据所表现的特点，我们应该选择特值代入法，如何选择特殊值呢，看要能完整开 放且又满足表达式的。 可令三个根号部分等于 0 或 1， 在这里我们判断用 1 准确， 即当 a＝1， b ＝2 ，c ＝3 时，其三个根号部分均等于 1 ，因此是满足前面的表达式的。故而答案为： 1^2+2^2+3^2=14。 b.单位“1”的概念应用 单位“1”的概念是相对于分数或百分数而言，也就是说单位 1 的应用价值在于取代设 立未知数而转化为用一个临时特殊值“1”代替。 比如说：甲占乙的 1/4（或 25%） ，我们就 可以把乙看作是单位“1” 是相对于 1/4 而言。 例题 4：妹妹和弟弟 3 人做一堆花，姐姐做 5 朵，妹妹做 4 朵，姐姐做的占这堆花的 5/11．弟弟做了多少朵？ 分析：此题我们我们就是参照 5/11 做为研究，那么我们就可以假设这堆花数量为单位 “1” 。姐姐即为 5/11，那么弟弟和妹妹就占 1－5/11=6/11, 姐姐做了 5 朵，对应 5/11 即 一个 1/11 是 1 朵花。因此妹妹和弟弟合计是 6 朵。 弟弟即为 2 朵。 例题 5： 某人沿电车线路行走,每 12 分钟有一辆电车从后面追上,每 4 分钟有一辆电车迎 面而来.2 个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少？ 分析： 这个题目我们看不到分数或者百分数， 但是我们可以根据题目的提问特点来假设， 如此题要求的是发车时间间隔是多少。则必须知道发车间隔距离，发车速度。这里我们可以 任意假设单位“1”.因为题干中没有明确的距离数值和速度数值。 假设发车间隔距离为单位“1”则根据追击需要 12 分钟可知速度差＝距离差÷时间：v 车－v 人＝1÷12，同理相遇需要 4 分钟可知速度和＝距离和÷时间：v 车+v 人＝1÷4。这 2 个表达式相加就可以抵销 v 人的速度得到我们想要的汽车的速度了。即 2v 车＝1÷12+1 ÷4, v 车＝1÷6, 距离假设的是 1，则发车间隔时间为 1÷(1÷6)=6 分钟了。 假设发车速度为单位“1” 。 则根据 可建立 2 个表达式分别为 4(1+v 人)＝12(1-v 人) 得到 V 人＝0.5 因此发车间隔距离就是 4×1.5＝6 或 12× （1 －0.5）＝6. 因此发车间隔时间＝6÷1=6. 当然单位“1”的应用还在资料分析当中使用到。 例题 6：全国 2007 年认定登记的技术合同共计 220868 项，同比增长 7％；总成交金 额 2226 亿元， 同比增长 22.44％； 平均每项技术合同成交金额突破百万元大关， 达到 100.78 万元。 2007 年平均每项技术合同成交金额同比增长率为多少（ ） A.8.15％ B.14.43％ C.25.05％ D.35.25％ 【天字 1 号分析】参考答案 B。 2007 年的每项技术合同成交金额同比增长率＝2007 年每项技术合同成交金额÷2006 年每项技术合同成交金额-1. 题目已经给出了 2007 年的数据，但是没有 2006 年的。如果 我们根据现有的数据来计算，那显然是增加计算量的。就算估算水平再高，方法不合理， 不 能解决做题速度的根本问题。 平均每项成交金额＝当年总额÷当年合同量； 我们完全可以利用 2006 年的情况做为 参照单位”1“。 也就是说 2006 年的总额和合同量均可以假设为 1. 这样 2006 年平均成
交金额即为 1÷1=1. 那么 2007 年平均成交金额＝1×（1+22.44%）÷1×(1+7%)，当然这 里有一个小的估算技巧，在数学篇章中就不赘述了。答案接近 22.44%－7%＝15.44% 2 是最小的质数，在质数序列中 2 是一个特例，只有 2 是唯一的偶数质数，2 的次方也 是考察应用的侧重点。3 也是质数，3 在公考过程中通常考察整除特性。即能被 3 整除的数 必须具备各个数字之和能被 3 整除，如：119 能否被 3 整除，就要看 1+1+9＝11，11 不能被 3 整除那么 119 就不能，同时 11 除以 3 余数是 2，则 119 除以 3 余数也是 2. 2 和 3 之间的关系也是在次方上转换比较明显的问题 当一个自然数拆分成若干个 2 的 乘积和拆分成若干个 3 的乘积。这就是一个分水岭。如：12=2+2+2+2+2+2，则 2^6=64， 12=3+3+3+3，3^4=81，12=4+4+4 ，4^3=64 我们发现 3 是拆分之后乘积“最大配额” 。 下面通过几个例子来说明公考中 2 和 3 的应用 例题 7：有 7 个不同的质数，它们的和是 58，其中最小的质数是多少？ A.7 B.5 C.3 D.2 【天字 1 号解析】参考答案 D。 7 个质数的和为 58，通常质数都是奇数，偶数个奇数相加结果为偶数，奇数个奇数相 加为奇数。则个题目是 7 个质数，按照常理答案是奇数才对。现在是偶数 58，说明必含 2 这个特殊的质数。故而最小的质数即为 2. 例题 8： 1 到 300 这 300 个自然数编号的多米诺骨牌排成一排， 从编号 1 开始按照这样 的规则：拿掉每排奇数位置上的多米诺骨牌，留下偶数位置上的。进行一次操作后，在从头 开始再次按照这样的规则拿，直到剩下最后一张，请问最后一张的编号是多少？ A.100 B.128 C.192 D.256 【天字 1 号解析】参考答案为 D。 每轮都拿掉奇数位置上的骨牌， 骨牌数目基本上是呈现倍数缩小。 那什么样的数字才能 确保它的 1÷2 仍然是偶数，从而确保不在下一轮种被拿走呢？自然是 2^n。因此每一轮操 作 2n 位置上的数都会变为 2^(n－1) 。 当位置最终变为 1 时被拿走。也就是说，最大的 2^n 将“坚持到最后”。故得出只看 300 内最大的 2^n 的归纳总结。 例题 9：N 是 1，2，3，...，1997，的最小公倍数，请回答 N 等于多少个 2 与一个奇数的积？ A.5 B.8 C.10 D.12 【天字 1 号解析】参考答案为 C。 题干中给出了明确的提示， 这个 N 与 2 的关系， N 有多少个 2 主要取决于这 1997 个自 然数当中含 2 因子最多的自然数 如此题当然是 , 为什么这么说呢 我们在计 算最小公倍数的时侯，往往是提取相同因子部分只取 1 个 如：4 和 6 的最小公倍数是 12， 4＝2×2，6＝2×3， 他们有公共因子 2. 因此我们计算最小公倍数的时侯是通过乘积再除 以这个公共因子。也就是说 这就回避掉了含 2 因子数量较少的那一个数字中的 2，直接取 决于含 2 因子数量最多的那个自然数。 例题 10：1 的值为： 【10 江西】 A. B. C. D. 【天字 1 号解析】参考答案 B。 此题我们发现选项绝大部分数字相同， 唯有中间的一个数字不同。 这种情况一般都是估 算或者判断数字的整除特征。所以数字，如 25593 这个数能被 3 整除，那么就证明我们的 结果也是能被 3 整除；前面 2901 能被 3 整除，后面 3434 除以 3 余数是 2（4+4＝8，8 除 以 3 余数是 2） ，因此看不同的那个数字：3，7，6，5，要能整除，就必须有一个数除以 3 的余数和 2 构成 3 的倍数 即 7.
例题 11：某俱乐部中女会员的人数比男会员的一半少 61 人，男会员的人数比女会员的 3 倍多 2 人，问该俱乐部共有会员多少人（ ）【10 浙江】 A．475 人 B．478 人 C．480 人 D．482 人 【天字1号解析】参考答案D。 此题我们来看 假设男生的一半是a人，那么实则总人数相当于a－61+2a＝3a－61人。 61＝3n+1， 即正确选项除以3余数是2，我们可以通过各项数值之和除以3来判断。 例题12：把23拆成若干个自然数的和，将这些自然数相乘所得的乘积最大是多少？ A.2187 B.4374 C.3072 D.4749 【天字 1 号解析】参考答案 B。 此题在上述总结介绍中提及到，拆分是以３为最小单位的。因此２３÷3=7 余数是２， 故而此题答案是３ ^7×2 估算技巧在于３的周期是４ 则７跟３对应尾数是７ 即答案 尾数是４。 5 是质数，也代表着一半的意思，这是因为我们通常把整十整百看作是一个整体，而 10 倍数的自然数的特征就是必含 5 这个因子。含有 5 的因子个数与偶数因子搭配就决定了 0 的数量，比如 5×4＝20，在 20 里面只含有一个 5，所以他只能有１个 0； 25×4＝100， ２5 含有２个 5，而 4 含有 2 个 2 这刚好构成２个 0。另外５这个数倍数的特点也很鲜明， 5 的整数倍尾数不是 0 就是 5。5 的任何非零的整数次方其尾数均为 5 . 另外在我们熟悉的 斐波那契数列中，5 的倍数也充分体现出规律性。 如 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 144，233，377，610...... 这个数列 5 的倍数出现的第一个位置是在第四个位置上，则以 后出现的是 5 的倍数的项均为周期 5，即 4+5n。 关于 5 的考察应用与这样几个例子: 例题 13：在乘积 1×2×3×4×............×698×699×700 中,末尾只有( )个零。 A.172 B.174 C.176 D.179 【天字 1 号解析】参考答案 B。 此题问有多少个 0，实则就是看有多少个 5，有一个 5 就能跟偶数乘积搭配成一个 0 出 来。因此我们来看看 700 个数字中有多少个 5？：700÷5=140. 但是我们要注意 5 的个数 不只是 140 这么简单，事实上我们需要注意的是有些 5 的倍数是不止 1 个 5 的，如 5^n 次 方数。25，125，625...... 因此这 140 只对 5^n 的数算了 1 次 5，所以我们还可以通过两种 方法继续找出其他的 5. 700÷25=28, 这 28 个 25 应该有 56 个 5.但是在前面 140 中已经被算了 28 个 这里 就只考虑 28. 700÷125=5 同理前面算了 2 次，这第三个 5 就含在这里。 700÷625=1 因此最终答案就是 140+28+5+1＝174. 或者我们在原来 140 的基础上连续除以 5. 140÷5=28, 28÷5=5, 5÷5=1 再求 和也可以。道理很简单对于商来说 5 为周期即相当于 5 的次方数+1. 例题 14：有一数列：3，7，10，17，27，44，...从第三个数开始,每个数都等于它前面 两个数的和,那么第 1998 个数除以 5 的余数是多少? A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【天字 1 号解析】参考答案 D。 题干是描述的一个斐波那契数列。 如果你对斐波那契数列的一些性质了解的话。 此题就 很容易得出答案了。从数列中可以看出，第 3 项 5 是第一个能被 5 整除的项。根据斐波那 契数列的基本规律。其每 5 项就会出现一个能被 5 整除的项。 （1998－3）刚好能被 5 整除， 故因此直接得到 1998 项也是能被 5 整除的数。则答案为 0. 例题 15：工人甲一分钟可生产螺丝 3 个或螺丝帽 9 个：工人乙一分钟可生产螺丝 2 个
或螺丝帽 7 个，现在两人各花 20 分钟，共生产螺丝和螺丝帽 134 个，问生产的螺丝一共多 少个（ ） 【10 浙江改编题】 A．34 个 B．56 个 C．64 个 D．84 个 【天字 1 号解析】参考答案 D。 这个题目看不出任何快速解决方法的前提下，不需要多想，走一步看一步。假设工人甲 和工人乙全部都是生产的螺丝，则共计生产（3+2）×20＝100 个 比 134 差了 34 个。 这是因为 工人甲有 a 分钟是做螺丝帽而不是螺丝。这里每分钟数量相差 9－3＝6 个，同理 工人乙有 b 分钟是做螺丝帽而不是螺丝，则每分钟相差 7－2＝5 个。 所以可以得到这样一 个等式关系 6a+5b＝34. 这里就抓住了 5 的特点 6a 是偶数，则 5b 也是偶数则 5b 尾数 就是 0，即 6a 尾数就是 4， 简单枚举一下：4，14，24，34 当中就 24 满足。故而 a＝4， b＝2. 则螺丝减少了 4×3+2×2＝16 个 即螺丝是 84 个 9 是最大的个位数，很多数理性质跟 9 都有一些关联性。下面我们就来说说 9 相关联的 特点。 能被 9 整除的数继承了能被 3 整除的特征， 判断方法就是看被除数各个位置上数值之和 能否被 9 整除， 如： 1823 数值之和＝1+8+2+3＝14 14 不能被 9 整除 则这个数就不能被 9 整除，同理 ......5 我们也可以用 14÷9 判断余数。 任意一个两位数 其和它自己的颠倒数差值均为 9 的倍数。 如：63－36＝（6－3）×9 ＝27. 81－18＝（8－1）×9＝63。 9 做为个位数最大的因子 在乘积上往往会产生进位。 如果不要求进位只有一种可能与 9 相差的数必须只能是 1 或 0. 如要一个两位数×9 之后还是两位数，则这个两位数只能是 10 和 11. 例题 16：一个四位数“□□□□”分别能被 16、11 和 9 除尽，且被这三个数除尽时所得的三 个商的和为 1676，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少（ ） 【10 浙江改编题】 A．18 B．16 C．15 D．12 【天字 1 号解析】参考答案 A。 此四位数既然能被 9 整除，那么就说明这个四位数的各个位置上的数值之和也是 9 的 倍数，因此答案就应该选择 9 的倍数即 18。 例题 17： 一个正常普通的伦理家庭中， 小明的年龄是爸爸年龄和爷爷年龄的差距除以 4， 已知去年爷爷的年龄颠倒过来刚好就是今年爸爸的年龄，则请问小明今年几岁？ A.9 岁 B.8 岁 C.7 岁 D.6 岁 【天字 1 号解析】参考答案 C。 此题我们假设小明今年是 a 岁。 那么去年爷爷和今年爸爸的年龄差值是 9n。 则 9n+1 ＝4a， 那么我们可以利用要的 9n+1 是 4 的倍数 则就要求 9n 除以 4 余数是 3. 即 9÷4 余 数是 1，则 n 的取值为 3，7， 当 n＝3 时 a＝7，当 n＝7 时 a＝16 故而可知答案是 C。 这里需要说明的是 当 n＝7 时 则说明爸爸和爷爷去年年龄相差 7×9＝63 岁。 也就是说爷 爷 64 岁才有了爸爸这个儿子。有违正常家庭条件的描述。 例题 18： 一个三位数的被除数除以 9， 商仍然还是一个三位数， 且商与余数的和为 118， 则被除数和余数之和是多少？ A.990 B.998 C.1006 D.1015 【天字 1 号解析】参考答案为 C。 商和余数之和＝118，我们知道余数肯定是小于除数 9 的。即最大也只能是 8，即商最 小也是 118－8＝110. 因为 ，所以商是小于 112 的。则我们只需判断 111 是否
也可以 111×9＝999，如果还有余数肯定不是三位数了。因此除数只能是 110，被除数就 只能是 110×9+8＝998. 因此答案是 998+8＝1006. 除了以上几个特殊数字我们在判断整除和次方尾数方面还需要了解下列一些数字的特 点。 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字的次方数特点， 5 和 6 的次方尾数不变，比如 5^2=25，5^3=125， 6^2=36，6^3=216. 2 的次方除了 2^0=1 特殊以外，其它均为偶数。且从尾数循环周期为 4， （2，4，8，16， 32，64，128，256......） 3 的次方周期是 4（1，3，9，27，81，243，729......） 4 的次方周期是 2（4，16，64，256，1024......） 7 的次方周期是 4（7，49，343，......） 8 的次方周期是 4（8，64，512，......） 9 的次方周期是 2（9，81，729，6561......） 归纳总结：次方周期不变的是 5 和 6，周期为 2 的是 4 和 9. 其它数次方周期均为 4。 另外，观察（ 1，9） ， （2，8） ， （3，7） ， （4，6）他们的和为 10 围绕 5 的对称。那么 其次方数的结果是不是也有关联性呢？ 我们发现当 a+b 这 2 个数的个位数之和为 10 的时 侯，那么 a^m+b^m 次方就会存在这样的规律：当指数 m 为奇数时，则 ab 两个数的次方 数尾数之和也是 10，当指数 m 为偶数时，则 ab 两个数的次方数尾数相同。 整除判断： 能被 3 整除的数，是所有位置上数字之和能被 3 整除。 能被 4 整除的数，末尾两位数能被 4 整除，则这个数就能被 4 整除。 能被 5 整除的数，尾数是 0 或者 5 的数；能被 9 整除的数。 能被 6 整除的数，同时满足能被 2 和 3 整除的数，就能被 6 整除。 能被 7 整除的数，截掉个位数之后的数减去个位数的 2 倍能被 7 整除，则这个数就能 被 7 整除。数字大可以继续按照同样的方法继续循环操作试验。如：168 16－8×2＝0 0 能被 7 整除，所以 168 就能倍 7 整除；392 39－2×2＝35 35 能被 7 整除，则 392 就 能被 7 整除。 能被 8 整除的数，末尾三位数能被 8 整除的数，就能被 8 整除。 能被 9 整除的数，各个位置上数字之和能被 9 整除的数，就能被 9 整除。 能被 11 整除的数，奇数位置上的数字之和与偶数位置上的数字之和差值是 11 的倍数即 能倍 11 整除。如：19745 奇数位置数字之和＝ 1+7+5＝13，偶数位置数字之和 9+4＝13， 差值为 0，即说明 19745 能被 11 整除。 例题 19：1^1+5^1+9^2011 的值的个位数是（ ） 。 【07 浙江】 A．5 B．6 C．8 D．9 【天字 1 号解析】参考答案为 A。 方法一：将题目的 5 个基数分成 3 部分， （1，9） ， （3，7）和 5， 当基数之和为 10 的 时候，指数 2011 是奇数。则两数的 2011 次方之和的个位数也是 10，因此此题答案为 10＋ 10＋5＝25， 即个位数为 5。 方法二：1 和 5，的尾数不变，3 和 7 的尾数周期是 4，9 的尾数周期是 2. 2011 是 4 的倍数+3， 2 的倍数+1，因此尾数相加即等同于：1+3^3+5+7^3+9^1=1+7+5+3+9=25 例题 20：用 0、1、2、3、…、9 十个数字组成 5 个两位数，每个数字只用一次，要求 它们的和是一个奇数，并且尽可能大，问这五个两位数的和是多少?( ) 【07 安徽】
A．279 B．301 C．351 D．357 【天字 1 号解析】参考答案 C。 按照题目要求，第一十位数尽可能选用大的数值，个位数尽可能都用小的，个位数之和 则为（0+1+2+3+4）＝10， 这样之和为 10. 但不满足五个两位数和为奇数的条件，这时 侯只需把十位数的一个奇数和个位数的一个偶数最交换即可， 交换的条件是必须是对十位 数影响降到最低。因此我们可以把 4 和 5 进行交换 。即十位数之和（4+6+7+8+9）×10 ＝340，个位数之和 0+1+2+3+5=11 因此答案是 340+11＝351。 例题 21：某公司甲乙两个营业部共有 50 人，其中 32 人为男性，已知甲营业部的男女 比例为 5U3，乙营业部的男女比例为 2U1，问甲营业部有多少名女职员? 【09 国家】 A.18 B.16 C.12 D.9 【天字 1 号解析】参考答案 C。 此题就是抓住数字的特征快速解题，甲乙男性之和为 32，其中甲是 5 的倍数，乙是 2 的倍数，则说明甲的男性人数也是偶数，且尾数是 0，则乙的男性人数尾数就是 2，因此可 能的值就是 2×6＝12， 则甲 5：3 的每个比例点的对应值就是 20÷5=4 即甲女性职员人 数是 4×3＝12 人。 例题 22－1： 厨师从 12 种主料中挑出 2 种， 从 13 种配料中挑选出 3 种来烹饪某道菜肴， 烹饪的方式共有 7 种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴? 【09 国家】 A.131204 B.132132 C.130468 D.133456 【天字 1 号解析】参考答案 B。 这是一道基础的排列组合题，分三步骤：主料 C（12，2） ；配料 C（13，3） ；烹饪方法 C（7，1）.因此答案是 C（12，2）×C（13，3）×C（7，1） 在这个表达式中隐含这 11 和 7 的因子，可以通过特殊因子的整除特性来排除，或者尾数法来解决。 例题 22－2：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于 0）拿到这个数最左边一位数 字的左边得到一个新的六位数，再与原数相加，下面四个数可能正确的是（ ） A.172536 B.568741 C.620708 D.845267 【天字 1 号解析】参考答案 C。 我们假设前面五位数是 a，个位数是 b，则这样一个六位数就是 10a+b，如果按照要求 把个位数放到最左边， 则构成新的六位数就是 100000b+a， 这 2 个六位数之和就是 （10a+b） +（100000b+a）＝11a+100001b 这个时侯我们发现 11 这样一个不错的数字，判断发现 100001 也是 11 的倍数，则答案只需找出 11 的倍数即可。 （2）一般数理关系 一般性数理关系主要是介绍公务员考试题目中一些规律性的东西。 被除数，除数，商和余数的关系 被除数÷除数＝商...余数，这四个量之间的关系可以用过这个表达式体现出来，在公务 员考察的题目中，重点考察随着除数或者被除数的变化我们的商和余数会出现什么样的变 化。如：a÷b＝c...d a 代表被除数，b 代表除数，c 代表商，d 代表余数。 变化一：被除数 a 如果 N 倍之后的其它量的变化情况 表达式 a＝bc+d， 即 Na＝Nbc+Nd 即可以看出如果被除数 N 倍， 则余数就变为 Nd， 也是原来的 N 倍，这个时侯我们要注意余数是不能大于除数 b 的。实际余数就要看 Nd÷b 的余数是多少。如 100÷8＝12...4, 如果 100 变为 5 倍即 500， 则 500÷8＝12×5...4×5, 因 为 4×5 大于除数 8，则实际余数是 4×5÷8=2...4 还是余 4.而商的变化则是在原来 5 倍 的基础上补上余数部分多出来的商 即 2， 因为是 12×5+2＝62. 除数扩大 N 倍之后的其它量的变化情况
原表达式可以转化为 （a－d）÷b＝c，如果除数 b 变为 5 倍，则 c 就要变为 1÷5，这 个时侯就要看我们的商 c 除以 5 取整。如：100÷8＝12...4, 如除数 8 变成 40，则商 12 就要 变为 1÷5 事实上 12 不能被 5 整除 12÷5=2.4 实则就只能取整为 2 。 即 100÷40=2...20 而余数则变为 5 倍。 变化二：多组除法关系表达式中被除数和余数固定的情况。 如：130÷7=18...4, 130÷9=14...4，商和除数之间是反比关系 除数之比 7：9＝商的反比 14：18。通式来看： （a－d）＝bc，ad 固定，则差值固定，即 bc 乘积固定，因此 bc 成反比。 变化三：多组除法关系表达式中，除数和余数固定的情况。 如：130÷7＝18...4，151÷7＝21...4 此时 被除数之差一定含除数因子。通式来看：a1 ＝bc1+d，a2＝bc2+d 两式相减得 a1－a2＝b（c1－c2） 。另外，商之差也是被除数之差的 因子。 下面我们通过几个例题来具体学习关于除法关系中的特殊应用。 例题 23：已知某数 N 除以 45 余 12，则 N 的 12 倍除以 45 余数是多少？ A．26 B．19 C．13 D．9 【天字 1 号解析】参考答案 D。 我们知道当被除数 N 倍后，余数也被 N 倍 即 12×12＝144，则此时的实际余数是 144 ÷45＝3...9. 例题 24：在一个除法算式里，被除数、除数和商之和是 319，已知商是 21，余数是 6， 问被除数是( )? A .237 B. 258 C. 279 D. 290 【天字 1 号解析】参考答案 C。 根据被除数＝除数×商+余数 假设除数是 a，则 （21a+6）+a+21+6＝319，则可以 解得 a＝13，因此被除数为 13×21+6 尾数为 9，即选 C。 例题 25： 一个数同时除 82， 117， 138， 其余数相同， 则这个数被 100 整除余数是多少？ A.2 B.3 C.4 D.5 【天字 1 号解析】参考答案 A。 要的求出这个数被 100 整除余数是多少，我们就必须知道这个除数是多少，而除数可 以从被除数的差值中找出关联。 因为我们知道被除数差值含除数因子， 即 117－82＝35， 138 －82＝56，138－117＝21， 35＝5×7 和 56＝7×8 和 21＝3×7 因此可知除数是 7， 即 100 除以 7 的余数为 2. 质数的本质应用 质数的本质要通过定义来看，一个自然数只能被 1 和自身整除，也就是说这个数只含有 1 和自身这 2 个约数。因此在质数问题上，排除 1 和自身，我们可以抓住它的相对不可分解 性来发挥。当然最小的质数是 2，我们也在上面谈到了应用。这里就来谈谈质数的相对不可 分解性的应用。 例题 26： 四位数的四个位置上的数值乘积为质数， 则满足这样条件的四位数有多少个？ A.4 B.8 C.12 D.16 【天字 1 号解析】参考答案 D。 四个位置数值乘积为质数， 因为质数本身具有相对不可分解性， 如果要拆分成四个因子， 则这个质数只能＝1×自身 其它 2 个因子就只能都是 1 了， 因此四个数值其中含 3 个 1， 还有一个质数。即 三个 1 和（2，3，5，7）的搭配 可以构成 16 种组合。如：3 个 1 和 2 组合成四位数，主要取决于 2 的位置 2 有四个位置可以选择，即四种，同理四个质数即 4 ×4＝16 种。
例题 27：某学校组织一批学生乘坐汽车出去参观，要求每辆车上乘坐的学生人数相同， 如果每辆车乘 20 人，结果多 3 人；如果少派一辆车，则所有学生正好能平均分乘到其它各 车上，已知每辆汽车最多能乘坐 25 人，则该批学生人数是（ ） 【10 江苏】 A．583 B．256 C．324 D．483 【天字 1 号解析】参考答案 D。 假设有 n 辆汽车， 少 1 辆汽车的人数 20 人和剩下的 3 人合计 23 人刚好分配给 n－1 辆， 因为 23 是质数具有相对不可分解性，那么要分只能每辆汽车分 1 人或者 23 人，因为总人 数不能超过 25 人， 20+23 超出 25 人， 故而只能分配 1 人， 即剩下的车辆 n－1＝23 辆， 即 答案是 23×21 或者是 24×20+3＝483 人。 例题 28：张大伯卖白菜，开始定价是每千克 5 角钱，一点都卖不出去，后来每千克降 低了几分钱，全部白菜一共卖了 22.26 元，则每千克降低了几分钱【07 北京】 A．3 B．4 C．6 D．8 【天字 1 号解析】参考答案 D。 此题新的单价和数量都不清楚， 唯一知晓的是总收入是 22.26 元， 我们可以抓住的就是 22.26 进行分解，从中了解关于数量和新的单价的信息。22.26＝2×3×7×53×0.01 这里 虽然不是根据质数来求解， 但是我们运用的是同样的思想， 利用分解下来的因子具有特定范 围而找出答案，单价是 4 角～5 角之间，因此总因式组合上来看只有 2×3×7＝42 因此可 以确定降价后的价格是 0.42 元，因此每千克降低了 8 分钱。 连续性质自然数相加、相乘的规律 从 1 开始的连续奇数之和为项数的平方数。如：从 1 到 2n-1 所有的奇数之和为 n^2， 1+3+5+7＝4^2 从 2 开始的连续偶数之和为项数和（项数+1）的乘积。如：从 2 开始到 2n 所有偶数之 和为 n（n+1） ，2+4+6+8+10＝5×6 三个连续自然数乘积为中间项的三次方减去中间项。如 2×3×4=3^3-3=24；7×8×9 ＝8^3-8=504. 四个连续自然数的乘积为（首尾 2 个自然数乘积+1）的平方数－1，或（中间 2 个数的 乘积－1）的平方数－1。如 5×6×7×8＝（5×8+1）^2－1＝（6×7－1）^2－1. 例题 29：十个连续偶数的和是以 1 开始的十个连续奇数和的 2.5 倍，其中最大的偶数 是多少? A．34 B．38 C．40 D．42 【天字 1 号解析】参考答案 A。 从 1 开始的 10 个连续奇数和为 10^2=100,则连续偶数之和为 250， 则可知中间项为 25， 即最大项为 25+1+4×2＝34. 当然此题也可以根据连续奇数和连续偶数项数相同和为 2.5 倍，则中间项也为 2.5 倍，因为连续奇数的中间项是 10，则连续偶数的中间项是 25 也可以 推导。 例题 30：有四个连续自然数的乘积为 3024，则这四个连续自然数的和为多少？ A.26 B.28 C.30 D.34 【天字 1 号解析】参考答案 C。 方法一：连续自然数是其平方数－1，则 3024+1 是一个平方数 3025，尾数是 5 则应 该是 55，即连续自然数的乘积等于 55+1＝56，7×8 即这四个连续自然数为 6，7，8，9。 和为 30. 方法二：因为乘积 3024 不含 5 的倍数，所以这四个连续自然数不含 5 或 5 的倍数， 因 此其尾数只能是 1，2，3，4 或 6，7，8，9 因此结合选项来看就是 6，7，8，9＝30.
当然一般性数理关系很多， 我们在这里不可能一一枚举， 这里只是介绍一些公务员考试 中常见的又容易被大家忽视的简单数理知识， 如需要在这一块有一个根本性的提高， 这需要 大家在平时复习做题时要多多积累这些方面的经验， 把这些日常发现的小规律小经验进行总 结并用小本子摘录下来。
2、四则混合运算定律的运用。
运算表达式主要是介绍四则混合运算里面的交换律、结合律、分配律及其运用。 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变.a+b=b+a 乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变.a×b=b×a 交换加数或因子的位置的目的是在混合运算中达到简便快速的技巧， 如： 394+4+606++。 4×17×25＝4×25×17＝100×17＝1700. 加法结合律:三个数相加,先把前面两个数相加,再加第三个数,或者先把后面两个数相加,再 和第一个数相加,它们的和不变. 乘法结合律:三个数相乘,先把前面两个数相乘,再乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再 和第一个数相乘,它们的积不变. 结合律通常跟交换律一同使用， 通过交换律调整位置， 或者规避运算优先级的运算规则将易 于口算的项先结合起来运算。如： 25×125×32＝25×（4×8)×125=(25×4)×(8×125)=100× 分配律：两个数乘上一个相同的数，他们的积相加，等于两个不同的数相加乘上相同的数。 公式形式：am+an＝a（m+n） ，逆向看 a（m+n）分解成 am+an。 例如：35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700 运用这些定律解题，需要我们善于抓住题目各个数据的共同特征或易于计算的组合部分。 例题 31：03－02 的值为： 【04 国考】 A．－60 B．60 C．0 D．80 【天字 1 号解析】参考答案 C。 我们发现减号两边都含有共同部分就是 2002 和 2003 这个明显的数值，如何才能将其 分离使我们需要思考的切入点。 03－02＝×1×＝0， 分 离之后的答案一目了然。当然你也可以用简约形式来代入解题，如把 2002 看作 1，2003 看作 2，那么题干可以转化为 1×22-2×11=0。 例题 32： (1 + 【08 北京】 A.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + )( + + + ) ? (1 + + + + )( + + ) 的值是多少？ 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4
【天字 1 号解析】参考答案 D。 抓住相同部分， 我们可以把减号的左边部分的第二个括号里面加上 1 就和减号后面部分 具有相同的表达式，再利用分配律即可快速解答。
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + )(1 + + + + ) ? (1 + + + ) ? (1 + + + + )( + + ) 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4
把减号之间的表达式利用交换律调配一下。先用第一个减去第三个再计算
1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ) ? (1 + + + ) = 2 3 4 5 2 3 4 5
3、数理关系中的最大值和最小值问题
当两个数值和固定，则两个数乘积有最大值 如：a+b＝12，则 ab 的最大值为 a＝b＝6 时，ab 最大值为 36。论证过程：a=12-b， ab=(12-b)b=12b-b^2=-b^2+12b-36+36=-(b^2-12b+36)+36=-(b-6)^2+36 最终的形式就是一个一元二次函数，在坐标轴上是一个开口向下的抛物线有最大值。 当两数 a/N 和 N/b 乘积固定，a/N 和 N/b 随着同一个变量 N 一个变小，一个变大时： 如 a 在逐渐变小，b 在逐渐变大，则当 a/N=N/b 时和有最小值。 在我们公务员考试题目应用中也涉及到类似的问题。 下面我们就来通过几个真题看看是 如何应用这种知识的。 例题 33：将进价为 90 元的商品按 100 元一个出售，能卖出 500 个，已知这种商品如 果每个涨价 1 元，其销量就会减少 10 个，为了获得最大利润，售价应定为( ) 【06 黑龙江】 A.110 元 B.120 元 C.130 元 D.150 元 【天字 1 号解析】参考答案 B。 利润最大化，主要取决于单个利润和数量的乘积最大化。利润的增加 x 和数量的减少 10x，则可以得到总利润表达式(x+10)×(500－10x)＝10(x+10)(50-x) 我们这个时侯就发 现 x+10 和 50-x 之和是一个固定值 因此乘积最大就是 x+10＝50-x 即 x＝20 因此答案就 是 120. 例题 34：数列（1/4 +9） ， （1/2 +9/2） ， （3/4 +3） ， （1+ 9/4） ， （5/4 + 9/5） ，……中， 数值最小的项是： 【10 福建】 A. 第 4 项 B. 第 6 项 C. 第 9 项 D. 不存在 【天字 1 号解析】参考答案 B. 先把表达式整理出来， 表达式为 N/4+9/N。 我们知道 N/4 是增加的，9/N 是减少的， 一开始因为 N/4 是小于 9/N 所以结果变化是逐渐减少的。当 N/4 大于 9/N 时则呈现开始 变大的趋势。 因此 N/4=9/N 是一个最小值。即 N＝6.
4、比较大小
这种题型往往并不需要将全部数字都直接计算，只需找到某个判断标准进行判断即可。 如何寻找判断标准，就需要应试者从题干中取寻找相互比较数据之间的相似性 或者找参照 数。 例 35：分数 4/9、17/35、101/203、3/7、151/301 中最大的一个是（ ） 【05 国家】 A．4/9 B．17/35 C．101/203 D．151/301 【天字 1 号解析】参考答案 D。 仔细观察这道题，很快就发现各分数的分子跟分母之间具有相同的关系，分子×2＋1＝ 分母。这样这几个分数可以表示为：1/2－1/18，1/2－1/70，1/2－1/406，1/2－1/14，1/2 －1/602； 减数分子都是 1， 分母越大分数越小。 减数越小， 差值越大。 参照标准数就是 1/2. 因此得到答案为 151/301. 例 36：满足不等式的最大数应为：35×（ ）&250 A．8 B．6 C．7 D．9 【天字 1 号解析】参考答案 C。
可先对不等式进行化简，去掉公约数 5 后，即得 7×（ ）&50，显然括号中应该是 7。 例 37：3^55 ，4^44，5^33 这三个数中最大的数是（ ） A．3^55 B．4^44 C．5^33 D．一样大 【天字 1 号解析】参考答案 B。 此题很明显可以看出幂指数数 33，44，55 均含有共同的约数 11，因此我们可以对此题 提炼。 3^55 ＝3^(5×11) ＝(3^5)^ 11 ； 4^44 ＝4^(4×11) ＝(4^4)^ 11； 5^33 ＝5^(3×11) ＝(5^3)^ 11。 这样再来看这三个数， 发现幂指数均为 11， 基数比较大小。 显然是 4^4 最大。 例题 38：比较大小：a= 3 －15 ，b= － 6 【04 江苏】
A．a&b B．a&b C．a=b D．无法确定 【天字１号解析】参考答案Ａ 我们发现其实开根也可以用幂指数的方式来表达 ，如ａ =-15^(1/3)=-(15^2)^(1/6) b=-6^(1/2)=-(6^3)^(1/6),因为-225&-216,因此 a&b. 或者将 a 和 b 的负号提出，然后 a,b 均为６次方根来看。
5、代数常用表达式的转换技巧。
代数常用表达式主要集中在关于完全平方、平方差、立方差、李方和、一元二次方程函 数以及二项式定理等问题的应用上，下面将逐一介绍。 完全平方：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2. 也可逆向推导。且相互 之间也可以转换：(a+b)^2-4ab=(a-b)^2，完全平方在应用的时侯一定要观察清楚是否具有 公式中出现的形式。 例题 39：已知两个数 a ,b 的积是 3/4，和是 2，且 a＞b,则 a/b 的值是：( )【09 浙江】 A．3 B．7/2 C．4 D．9/2 【天字 1 号解析】参考答案 A。 此题考试要点在于对完全平方数公式的变换是否熟悉，因为题目中出现了 a+b 和 ab， 这些都是完全平方中具有的形式，我们可以把 a＋b＝2 转化为(a＋b)^2＝4，即 a^2+2ab ＋b^2＝4,而(a－b)^2＝a^2－2ab＋b^2＝(a＋b)^2-4ab＝4－3＝1，因为 a＞b，因此 a－b ＝1， 结合 a＋b＝2，可求出 a＝1.5，b＝0.5 进而得到 a÷b＝3。 当然你可以不必这么考虑，我们来看 2 数之积＝3÷4 说明两个数有分数形式存在，其 次两数之和是 2，则说明不可能一个是整数，一个是分数，那么从而得到 ab 均为分数形式， 且分母相同，否则不可能之和为整数。故而 可知 ab 的分母应该是开方 4，即 2. 因此我们 很快就得出 a＝3÷2, b＝1÷2 即答案为 3 倍。 平方差：a^2-b^2=(a+b)×(a-b) 利用平方差我们可以快速的帮助计算一些稍许复杂 的运算，也可以通过形式上的转换构建简化的代数表达式。 例题 40：
1 1 1 1 + 2 + 2 +…+ +…= 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2n + 1)2 ? 1
【08 江苏】
D．无法计算
【天字 1 号解析】参考答案 A。 这是由无穷数字组成的求和问题， 这里就可以对分母运用平方差分解拆分， 从而发现可 以相互抵销的“捷径” 。分解各项得：
1 1 1 + + +… (3 ? 1)(3 + 1) (5 ? 1)(5 + 1) (7 ? 1)(7 + 1)
1 1 1 + + +… 2×4 4×6 6×8 1 1 1 1 1 1 1 （ - ）+（ - ）+（ - ）+…］ = ×［ 2 2 4 4 6 6 8 1 1 1 = × = 2 2 4
= 例题 41：自然数乘 1999，末尾 6 位数都是 9，是哪个数？（ ） 【07 河南】 A．2001 B．2011 C．2111 D．30001 【天字 1 号解析】参考答案 A。 此题看上去很复杂，其实还是我们常见的考察知识点即平方差的运用，这个数末尾 6 个数字全是 9 ，如果这个数字＋1，那么末尾 6 个数字应该都是 0 了，我们根据平方差公示 这个数的开方应该是 3 个 0 ，A^2－1=(A＋1)×(A－1) ，因为一个数字是 1999 ，只能是 A-1=1999 ，则 A=2000 ，那么另外一个数字就是 A+1=2001。 当然我们也可以利用平方差巧算一些计算表达式。 当两数之和是 10 的倍数的时侯， 我们就可以利用平方差构建。 如： 37×63， 因为 37+63 ＝100 我们可以利用中间数 50 即（50+8） （50－8）＝50^2-64 .
提示快速口算小技巧：尾数带 5 的平方数的计算方式也很简单，这里稍许说一下这个技巧。当两个两 位数相乘，十位数相同且个位数之和为 10 的情况下，我们可以用十位数数值×自身+1，然后在后面添上个 位数的乘积即可构成答案（45×45=4×5 添上 5×5＝2025， 41×49＝4×5 添上 1×9＝2009）
在资料分析中我们也可以利用平方差的思想来估算。比如有这样一道计算表达式： 19100÷(1-3%)=%)÷(1-3%)(1+3%)，此时分母就是一个平方差，我们分解下来 就是 1^2-0.03^2 估算为 1（0.03^2 实在太小可以忽略） ，则 19100× 1.03=673. 立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；立方差：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。这 部分知识的考察通常都是在代数式转换技巧上来使用。前面例 2 我们就讲了一道关于立方 差方面的题目。在这里我们就来用立方差的思想解题： 已知 x－y＝1，则 x^3－3xy－y^3＝（ ） 【09 江苏】 A．1 B．2 C．3 D．5 分析：题目中很明显发现了关于立方差的形式即要求的表达式可以进行如下转换。原式＝ x^3-y^3-3xy=(x-y)(x^2+xy+y^2)-3xy=x^2+xy+y^2-3xy=(x-y)^2=1 例题 42：已知 a^2＋a＋1＝0，则 a^2008＋a^2009＋1＝（ ） 【09 江苏】 A．0 B．1 C．2 D．3 【天字 1 号解析】参考答案 A。 有人说这题是错题， 这是局限于实数范围内的狭隘思维。 其实此题不可能去考察你是否 为实数还是虚数，而是在于如何转换的问题。根据条件 a^2+a+1=0，这个就是我们立方差 的分解之后其中一个因式表达式部分，根据立方差公式得 (a-1)(a^2+a+1)=a^3-1=0，解出 a^3=1， 而 a^2008+a^2009+1=a^2007 ×(a+a^2 )+1， 我们知道 a^2007= （a^3） ^669=1， 因此最后转换等价与原式=a^2+a+1=0。 一元二次方程与函数：ax^2+bx+c=0 这是一个一元二次方程的通式，求解 x 的解通常
是运用两种方法：其一是根据公式：x=
- b ± b 2 ? 4ac ,如 2x^2+5x+3=0 ,根据公式可知 2a
x=(-5±1)÷4 即 x1=-1，x2=-1.5；其二是运用十字相乘方法来求解 如： 2 3 2×1+1×3=5 1 1 原方程即可转化为（2x+3）(x+1)＝0 即 x1=-1.5 ，x2=-1. 一元二次函数： y=ax^2+bx+c a 如果是正数则在坐标系上表现为一个开口向上的抛物 线图形，这样的函数 y 有最小值就是抛物线的谷底值；a 如果是负数，则在坐标系上表现为 一个开口向下的抛物线图形， 这样的函数 y 有最大值就是抛物线的峰值。 计算最小值和最大 值的方法就是给这样一个一元二次形式配成完全平方： 如：y=x^2+6x+18=(x^2+6x+9)+9=(x+3)^2+9 当 x＝－3 时 y 有最小值为 9。 如：y=-x^2+6x+18=-(x^2-6x+9)+27=-(x-3)^2+27 当 x＝3 时 y 有最大值为 27。 例题 43 ：某企业的净利润 y(单位：10 万元) 与产量 x( 单位：100 万件) 之间的关系为 y=-x2+4x+1，问该企业的净利润的最大值是多少万元? 【05 江苏】 A. 10 B．20 C．30 D．50 【天字 1 号解析】参考答案 D。 y=-x2+4x+1＝-（x－2）^2+5 因此当 x＝2 是有最大值为 5，注意单位的变化。因此 是 50 万。 回到上述例题 33，我们再次来分析 也可以运用这种函数思想解题。 将进价为 90 元的商品按 100 元一个出售，能卖出 500 个，已知这种商品如果每个涨 价 1 元，其销量就会减少 10 个，为了获得最大利润，售价应定为( ) 【06 黑龙江】 A.110 元 B.120 元 C.130 元 D.150 元 天字分析：假设涨价 x 元，则单价利润是 10+x，销售数量 500－10x，即总利润就是 (10+x)(500-10x)。我们知道如果看作是一个一元二次方程的话即 (10+x)(500-10x)＝0 会产 生 2 个解。而这样一个开口向下的抛物线的最大值一定是介于 2 个解的中间，因为抛物线 是对称的。因此 2 个解为 10+x＝0 和 500－10x＝0，x1＝－10，x2＝50 因此 x1 和 x2 之 间的中间值就是 20. 故而答案就是 100+20＝120 元。 二项式定理：具体先来看看二项式定理的形式 (a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)×b+C(n,2)a^(n-2)×b^2+...+C(n,n)b^n 我们发现单独只有 a 和单独只有 b 的项都只有 1 个。其它的都是含 a 和 b 两个因子。 其次指数的逐渐变化也给我们带来了估算上一些思路。 下面我们就通过 1 个推导和 2 个例题 来看看二项式定理的应用。 推导：在排列组合中 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+......C(n,n)=? 这实际上就是上述 二项式定理表达式的系数部分。如果要求这个结果 我们只需令 a＝b＝1，这样通过二项式 定理就可以知道答案就是(1+1)^n。 例题 44：今天是 2011 年 1 月 14 日星期五，那么再过 2^2011 天后是星期几？ A.星期六 B.星期日 C.星期四 D.星期三 【天字 1 号解析】参考答案 B。 这个题目主要是考察 2^2011 次方除以周期 7 余数是多少。然后根据余数往后调整即可 知道答案。 现在就是集中判断 2^2011÷7 的余数。 这里我们就可以利用二项式定理把 2^2011 形式转换成含有 7 的倍数的二项式形式。这就要找一个 2 的 n 次方最靠近 7 或者 7 的倍数 的值 即 2^3=8 详细解答如下： 2^^2010=2×(2^3)^670=2×(7+1)^670 。 (7+1)^670 就是一个二项式，展
开后唯一不含 7 这个因子的项就是最后一项 1^670，因此这个部分除以 7 余数是 1. 但前面 还有个 2 因子。因此余数是 2. 则答案就是从星期五往后推 2 天，即星期日。 例题 45：2005 年我国轻工业总产值是 3000 亿元，年均增长率为 2%。则 2010 年我 国轻工业总产值约为多少？ A.3300 B.3305 C.3312 D.3320 【天字 1 号解析】参考答案 B。 2010 年即为 %)^5. 这个时侯根据选项的区分度来判断是否需要利用二项式 定理估算 (1+2%)^5=1+C(5,1)*2%+C(5,2)*2%^2=1+0.1+0.004=1.104. 答案为
5、几何图形的基础知识介绍
图形公共知识部分介绍： 几何图形给我们的整体影像就是一个封闭的区域构造， 其分为 平面和立体两大部分，从线的构造上又分为曲线图形（圆、椭圆、球） 、直线图形（多边形、 多边体） 、直曲混合图形（圆柱、圆锥） 在脑中的影像中切记不可陷入一种思维定势，这里 需要强调说明的，有些几何图形有凹有凸。比如：一个四边形有没有办法一刀切成三份？ 在平面图形当中，如果周长相等的情况下，图形越规则、边越多其面积越大。如圆是最 规则和边最多的图形（无数条边）因此圆的面积最大。 平面直线边图形的内角和计算方法为边数(n-2)*180 度,外角和为固定的 360 度。其对 角线的计算方法为（n－3）n/2 在立体图形当中，如果表面积相等的情况下，图形越规则、面越多其体积越大。如球体 是最规则和面最多的立体图形，因此球体的体积最大。 在计算图形面积或体积的时侯， 根据公式的共性我们可以从中找出规律： 计算正多边形 或正多面体的时侯面积与相关的变量如边长的平方成正比，体积与边长的立方成正比关系。 平面图形： 圆：直径 L＝2 倍半径 R，圆的周长＝∏*直径 L，圆的面积 S＝∏*R^2，圆具有的相关 性质有：圆弧上的任意一点和不经过该点的直径构成一个直角三角形。 三角形： 三角形是有三条直线边构成的图形， 其根据角度性质分可以分为锐角三角 形，直角三角形和钝角三角形。从边的性质上可以分为非等腰三角形、等腰三角形（含 等边三角形） 。三角形的性质上有：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边。三角形相关计算公式有：周长＝三边之和。 面积＝底*高/2。特殊三角形-等边三 角形的面积计算公式也可以为面积＝
1 3a ，a 为边长。另外一个特殊三角形即 *a* 2 2
直角三角形要注意勾股定理的使用：直角边 a 和 b 与斜边 c 之间满足 a^2+b^2=C^2 矩形（正方形） ：周长＝（ 长+宽）*2. 面积＝长*宽。正方形的周长＝边长*4，面积 ＝边长*边长。 平行四边形（棱形） ：面积计算公式＝底*高。 梯形：梯形的本质属于等差数列。其面积计算公式符合等差数列求和公式 S＝（上底+ 下底）*高/2. 当梯形对角线相互垂直时。则面积 S＝对角线乘积/2. 立体图形： 球体：球体表面积计算公式：S＝4∏R^2, 体积计算公式 V＝4/3*∏*R^3. 正四面体：共有四个面，为全等的正三角形。共有 6 条棱和 4 个顶点。假设正四面体
6a 2a 3 2 边长为 a，则高为 ，中心把高分为 1：3，表面积为 3a ，体积为 3 12
长方体（含正方体） ：长方体有 12 个棱长和 8 个顶点 6 个面，周长＝（长+宽+高）*4， 表面积＝(长*宽+长*高+宽*高)*2，体积＝长*宽*高, 特殊长方体－正方体，假设边长为 a， 的周长＝12a，表面积 6a^2, 体积为 a^3. 圆柱体： 一个圆柱体是由两个底面和一个侧面组成的。 圆柱体的两个底面是完全相同的 两个圆，侧面是一个矩形。侧面面积＝圆周长*高。圆柱体的表面积=侧面积+2*∏R^2，体 积=底面积*高。 圆锥体：圆锥体是等底等高的圆柱体的 1/3, 故而体积计算表达式＝1/3 *底面积*高。 表面积＝1/2×高×底面周长＋底面积。 关于几何图形的基本知识在公务员考试当中主要从 3 个方向考。 其一、 借助其图形固有 的性质来拓展思维。其二、运用求解复杂图形的面积体积的变化关系。其三、运用“割补思 想”计算几何图形面积或体积，这一部分将会专题讲解。 下面我们通过一些例题来学习几何图形知识的应用。 例 46：相同表面积的四面体，六面体，正十二面体以及正二十面体，其中体积最大的 是： （ ） 【08 国考】 A．四面体 B.六面体 C.正十二面体 D.正二十面体 【天字 1 号解析】参考答案 D。 上述内容已有总结。图形越规则，边数越多其表面积相同的情况下，体积最大。 例 47：一个正八面体的边长增加了 20%，则这个正八面体的表面积将增加多少？ A.40% B.36% C.44% D.20% 【天字 1 号解析】参考答案 C。 根据表面积与边长的平方正比关系 因此假设边长原来是 1，则现在就是 1.2，因此原来 的表面积是 1^2 决定, 现在是 1.2^2=1.44 决定， 即增长 44%。 此题我们不需要知道正八面 体的表面积计算公式如何。只需知道一个规则的几何体，其表面积与边长的平方决定，其它 都是恒定的，因此直接可以看平方的增长率。 例 48：在一只底面半径是 20cm 的圆柱形小桶里，有一半径为 10cm 的圆柱形钢材浸 没在水中，当钢材从桶中取出后，桶里的水下降了 3cm。求这段钢材的长度。 【09 北京】 A．3cm B．6cm C．12cm D．18cm 【天字 1 号解析】参考答案 C。 根据半径之比 1：2 在体积固定的情况下，半径的平方和高是成反比关系的，因此， 高度比是反比了 4：1，即 4*3＝12cm. 例 49：一个正三角形和一个正六边形的周长相等。则正六边形面积是正三角形面积的 多少倍？ 【10－4.25 联考】 A
【天字 1 号解析】参考答案 B。 通过周长相等 边的数量是 2 倍关系 可知正六边形边长如果为 1,则 正三角形边长就是 2 如图:
正三角形 BRE 相当于四个小的正方形，正六边形则是 6 个。故而面积之比就是 6：4＝1.5 例 50：用一个平面将一个边长为 1 的正四面体切分为两个完全相同的部分，则切面的 最大面积为： 【11 国考】 A.1/4 B.√2/4 C.√3/4 D.1/2 【天字 1 号解析】参考答案 B。 如图所示： 因为是正四面体，因此切面也是一个规则的切法，即直接取底边从 B 垂直 于底边的线和 A 构成切面。因此就构成等腰三角形。AB＝1，腰长＝√3/2，因此切面 AB 为 底，则高 h^2=(√3/2)^2-(1/2)^2=1/2 即高 h=√2/2 面积即为√2/2*1*1/2=√2/4. 此题我们也可以直接看出 B 答案，首先排除 AD 不含根号的选项，把所有选项除以 1/2 就是高切面是在 2 个正三角形中间构成的最小值。而四面体的一个面的面积就是√3/4，因 此排除 C。
例 51：科考队员在冰面上钻孔获取样本，测量不同孔心之间距离，获得的部分数据分 别为 1 米、3 米、6 米、12 米、24 米、48 米。问科考队员至少钻多少个孔？【10 国家】 A.4 B.5 C.6 D.7 【天字 1 号解析】参考答案 D。 此题就是利用了三角形边定理，即任意两边之和大于第三边的性质。我们发现给出的 6 个数值， 其都不能满足任意 3 个数值做为边构成三角形。 因此他们只能是单线连接而不可能 构成循环封闭。即 6 段距离由 7 个点构成。 例 52： 一个圆的圆弧被 10 个点均分，其中任意取出 3 个点为三角形顶点构成直角三角 的情况有多少种？ A.20 B.40 C.60 D.80 【天字 1 号解析】参考答案 B。 这个题目信息关键对象， 圆和直角三角形。 在我们了解的关于圆的性质里面确实有关于 直角三角形的。那就是任意一条直径都可以和不在直径上的圆弧上的点构成直角三角形。 题 目说 10 个点均分圆。 则可以构成 10/2=5 条直径。 以任意一条直径为研究就可以和剩下的 8 个点中的一个构成三角形。因此答案是 C(5,1)C(8,1)=40. 例 53：三边长均为整数，且最大边长为 11 的三角形的个数为（ C ） A.25 个 B.26 个 C.36 个 D.37 个 【天字 1 号解析】参考答案 C。
根据三角形边的原理 两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边， 根据最大的边是 11。 假设剩下的 2 条边其中一条为 a，从 a 的取值开始分析，a 的范围在[1，11]之间。 a=11，则另外一个边的长度是范围在[1,11]之间 情况有 11 种 a=10，则另外一个边的长度是范围在[2,10]之间 情况有 9 种 a=9，则另外一个边的长度是范围在[3,9]之间 情况有 7 种 ...... a=7，则另外一个边的长度是范围在[5,7]之间 情况有 3 种 a=6，则另外一个边的长度是范围在[6,6]之间 情况只有 1 种。 规律出现 总数是 11＋9＋7＋。 。 。 。1＝（1＋11）×6÷2＝36 提示这里有一个小技巧。a 的取值使用要保证 11－a&a ,a 的取值最大只能取到 6. 这里也可 以通过几何面积图解法。 如图：
消“元”思想 二、 二、消
“元”是指未知数，通俗点说，在解题的过程中我们要学会设而不求，利用关系表达式的 加减乘除关系抵销某些未知数，从而简化运算形式。 如我们中学所学的解二元一次方程组 的方法，即采用了消“元”思想。 求解 (1)2x+5y=13 (2)4x+7y=28 的 x 和 y 的值。
分析：我们可以通过 2 个表达式之间的关系，将某一个未知数通过相减的关系抵销。 如此题 我们可以把未知数 x 的系数配成相同的。然后通过 2 个表达式的整体加减去相互抵 销。(1)=4x+10y=26 变化后的(1)和(2)相减=3y=26-28 则 y=-2/3. 这个时侯再去代入 任意一个表达式求解出 x。 消“元”思想的应用非常广泛，其核心是选出一个参照，然后把另一组与之相关的情况与 参照做对比 找出变化的部分来求解。也就是说利用参照标准和实际情况的对比，或者利用 两组表达式之间的相对参照关系，进行消“元”。 那么也就是说我们要充分去假设一个参照 或者去寻找一个参照是首要掌握的问题。 下面我们将重点介绍公务员考试当中比较重要的两种消“元”思想解答的类型题。
“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中，许多小学算术应 用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法－&假设法&来求解，因此很有必要学会 它的解法和思路。 “鸡兔同笼”核心是在于通过假设一种理想情况与事实情况做对比。通过 差量关系快速运算的一种方法。 “鸡兔同笼”题型最重要的特征具有三点： (1)必须是总量不变的情况下发生的。 (2)关于总量的描述表达式至少有两种。 (3)在处理关系表达式的判定时，不要落入思维定势，不仅仅有减法消“元” ，也有加法 消“元” 。 我们来看看经典的“鸡兔同笼”例题 小明家养了一些鸡和兔子，已知在鸡和兔子当中，头共有 100 个，脚共有 300 个，则 小明家养了多少只鸡？ 分析：鸡和兔头都是各有一个，脚鸡是 2 只，兔子是 4 只，假设法就是基于理想状态 与现实状态的区别，从区别入手，采用假设法。 我们假设鸡的脚也是 4 只，那么每只鸡就 多算 2 只脚。 如果按照都是 4 只脚来算，那么 100 个头 就相当于有 100 只鸡和兔子（总 和） ，脚都是 4 只，那么脚的总数就是 4*100＝400 只，现在是 300， 少了 100 只，就是 因为理想情况，我们每只鸡多算了 2 只，因此 少了的 100 只脚里面有多少 2 只 就有多少 只鸡。 故而答案是 100/2=50 只鸡。 例 54：某零件加工厂按工人完成的合格零件和不合格零件支付工资。工人每做一个合 格零件得工资 10 元，每做一个不合格零件被扣除 5 元。已知某人一天共做了 12 个零件得 工资 90 元。那么他在这一天做了多少个不合格零件？（ ） 【08 国考】 A．2 B．3 C．4 D．6 【天字 1 号解析】参考答案 C。 假设都是合格的零件，那么我们应该得到 10*12＝120 元，实际情况只有 90 元，说明 减少的 30 元就是因为不合格产生的。一个不合格的零件的获利变化情况是从得到 10 元， 到倒扣 5 元，也就是相差 15 元，因此每少 15 元即相当于有一个不合格零件，即答案为 30/15=2。 例 55：有大小两个瓶，大瓶可以装水 5 千克，小瓶可装水 1 千克，现在有 100 千克水 共装了 52 瓶。问大瓶和小瓶相差多少个？（ ） 【09 浙江】 A. 26 个 B. 28 个 C. 30 个 D. 32 个 【天字 1 号解析】参考答案 B。 假设大小瓶子的装水能力都一样，以 1 千克为参照。那么 52 个瓶子就只能装 52 千克 水，与实际情况比，差 100－52＝48 千克。 那是因为我们把一个装 5 千克的瓶子看作是 1 千克，减少了 4 千克所导致的，也就是说 48 里面有多少个 4 就证明有多少个从 5 到 1 的 转换，即证明就有多少个大瓶子。即 48/4=12 个大瓶子，小瓶子就是 52－12＝40 个，则 答案就是 40－12＝28。 例 56：有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共 18 只，共有腿 118 条，翅膀 20 对（蜘蛛 8 条腿； 蜻蜓 6 条腿，2 对翅膀；蝉 6 条腿，1 对翅膀） ，三种动物各几只？ 【天字 1 号解析】 此题不是两个对象， 而是涉及到 3 个对象， 也就是 3 个未知数的关系， 那么我们就需要观察 3 个未知数相同特点的地方。我们发现，三个动物都有腿。那么我们可 以假设所有动物腿都是 6 条， 那么 18 只动物就有 18*6＝108 条。 比实际情况少了 118－108 ＝10 条，这个是因为我们把蜘蛛 8 条看作 6 条了。一个蜘蛛少 2 条，则说明有 10/2=5 只 蜘蛛；扣除蜘蛛 18－5＝13，剩下的就构成了典型的“鸡兔同笼”问题了。根据翅膀总共是
20 只，我们假设蝉和蜻蜓的翅膀都是 1 对，那么 13 只就有 13 对，比实际情况少 7 对，这 是因为我们把每只蜻蜓少算了 1 对，因此蜻蜓的数量就是 7/1=7 只，蝉的数量就是 13－7＝ 6 只了。 鸡兔同笼不仅仅是对数值的假设理想状态，有时候也需要假设一种理想的相对关系。 比 如我们下面这个例题。 例题 57：有黑白棋子一堆，黑子的个数是白子的 2 倍，如果从这堆棋子中每次同时取 出黑子 4 枚，白子 3 枚。问：几次以后，白子余 1 枚，黑子余 18 枚？【天字社区经典题】 A.6 B.7 C.8 D.9 【天字 1 号解析】参考答案 C。 题目涉及 2 个对象黑白棋子，题目没有告诉我们一个关于两个未知数的总量固定值， 而只是告诉我们一个相对关系，即黑子是白子的 2 倍，那么我们就需要以这个关系做为假 设的关键参照，比如我们每一次操作是 拿掉黑子 4 枚，白子 3 枚。如果操作拿掉黑白子的 数量也按照 2：1 的关系拿掉。那么剩余的棋子的数量之比也是 2：1， 利用这样的关系， 黑子拿掉 4 个不变，则要满足 2：1 的关系，即白子必须是拿掉 2 个。比实际情况少拿 1 个， 我们剩余的棋子就应该是 18：9＝2：1 结果白子不是剩余 9 个，而是剩余 1 个 ，少了 8 个，那是因为我们每一次操作多拿了 1 个，所以少了 8 个白子，即应为前面操作了 8 次。 下面关于鸡兔同笼问题，布置几道习题供大家练习 习题 1：某市居民生活用电每月标准用电量的基本价格为每度 0.50 元，若每月用电量 超过标准用电量，超出部分按其基本价格的 80%收费，某户九月份用电 84 度，共交电费 39.6 元，则该市每月标准用电量为（ ） 。 【06 国考】 A. 60 度 B. 65 度 C. 70 度 D. 75 度 习题 2：鸡兔同笼，共 200 只，鸡的脚比兔的脚少 56 只。问：鸡比兔多几只？ A.76 B.48 C.60 D.44 习题 3：一份中学数学竞赛试卷共 15 题，答对一题得 8 分，答错一题或不做答均倒扣 4 分。有一个参赛学生得分为 72，则这个学生答对的题目个数是( )。 【08 安徽】 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 习题 4：一盒子里面装有红球、黄球和绿球，球的数量之比为 1：2：3，现在每次从盒 子里面拿出 4 个红球、7 个黄球和 12 个绿球，拿了若干次之后，盒子里面还剩下 2 个红球、 11 个黄球和 6 个绿球。则这个盒子一共有多少个球？ 【11 天字模考】 A.150 B.160 C.180 D.198
【习题参考答案：A,B,C,C】
消去法是指在一道问题中，存在两个或两个以上的未知数，解题时，通过一定的方法， 消去一些未知量，只保留一个未知量，解决这种类型题目的方法就叫消去法。 消去法一般分为加减消去法、比较消去法、和代入消去法三类。但不管是哪一种，我们 的解题目的和解题步骤都是一样的， 都是为了使一个问题中的未知量由多个转为 1 个， 或者 转化为一个便于求解的一个整体，使问题简化。 消去法的特点与鸡兔同笼相似， 不同的地方在于鸡兔同笼类型其个体之间具有相同特点 和不同特点， 而消去法的个体之间无明显共同特点。 两者相似之处都是采用了 “消元” 思想， 鸡兔同笼消元的目的是直接求解个体，而消去法的“消元”思想是直接把我们要求的一个整
体做为直接求解的未知数，通过已知的表达式相互之间的转换直接形成。 例 58：甲购买 3 支签字笔、7 支圆珠笔、1 支铅笔共花费 32 元，乙购买同样价格的笔， 其中签字笔 4 支，圆珠笔 10 支，铅笔 1 支，共用去 43 元，问：单独购买签字笔、圆珠笔、 铅笔各一支共需多少钱? 【09 国家】 A. 21 B. 11 C. 10 D. 17 【天字 1 号解析】参考答案 C。 假设每支签字笔是 x 元，每支圆珠笔是 y 元，每支铅笔是 z 元。根据题意，可以列出两 个方程。 （1） 3x＋7y＋z＝32 （2） 4x＋10y＋z＝43 要求解的是 x＋y＋z， 这个时候我们不是通过逐个求解未知数来解决的。 此题就是要运用 （1） ， （2）的变型通过加减法消去多余的未知数，使之和要求解的表达式直接建立联系。具体解 法如下： （1）×3－（2）×2＝（9x＋21y＋3z）－（8x＋20y＋2z）＝x＋y＋z；因此此题答 案为 32×3－43×2＝10。 说到代入消去法是什么概念呢？这就要从需要我们对方程这个概念有一个真题认识， 一 般情况下：表达式出现 n 个未知数，就需要有 n 个等式关系才能分别求解出各个未知数， 否 则我们的未知数会出现多解情况， 那么我们就可以假设固定其中一个未知数为常数， 那么就 可以求解其它的未知数，进而最终求解所有未知数的恒定关系 如上述题目的 2 个表达等式，我们可能一下子无法找到他们之间的转换关系，那么我 们不妨利用代入消“元”思想，令 y＝0 (要看表达式中，未知数系数不利于运算的，我们就 假设它为常数)， 这样 2 个表达式就转化为 3x+z＝32， 4x+z＝43，则直接可以解得 x ＝11，＝－1， 则 我们的答案就清晰了 x+y+z＝11+0+(-1)=10. 例 59：到超市购买商品，如买 7 件 A 商品，3 件 B 商品，1 件 C 商品共需 50 元；如买 10 件 A 商品，4 件 B 商品，l 件 C 商品共需 69 元。若这三种商品各购买两件，则所需的钱 数是( ) 【09 江苏】 A．28 元 B．26 元 C。24 元 D．20 元 【天字 1 号解析】参考答案 C。 方法与上述例题如出一辙。具体做法如下： 假设 A 商品单价为 x 元，B 商品单价为 y 元，C 商品单价为 z 元。则构成 2 个等式方程 (1) 7x＋3y＋z＝50 (2) 10x＋4y＋z＝69 要求解的是 2（x＋y＋z） ， 即令（1） ， （2）等式变型相减 （1）×3－（2）×2＝x＋y＋z＝50×3－69×2＝12 故 2（x＋y＋z）＝2×12＝24 代入消去法则令 x＝0， 即可求解 y＝19，z＝-7, 则答案就是 2*(0+19-7)=24. 例 60：如果按原价买 2 个书包，5 支钢笔，4 本书需要 80 元，如果书包五折，钢笔二 五折，书按照原价的 1/3 出售，买一个书包一只钢笔一本书需要 12 元。请问原价买一个书 包一只钢笔一本书共需多少钱？ A．28 B．29 C．30 D．32 【解答】答案为 A。消去法不仅仅是通过变型相减直接得到我们要求的表达式，同样也 可以采用加法，例如此题，具体解法如下： 假设书包的价格是每个 x 元，钢笔每支 y 元，每本书 z 元，则
（1） 2x＋5y＋4z＝80 （2） x/2＋y/4＋z/3＝12 等价于 6x＋3y＋4z＝144 我们发现（1）＋（2）＝（2x＋5z ＋4z）＋（6x＋3y＋4z）＝8（x＋y ＋z）,因此答案为： （80＋144）÷8＝28 下面我们给出 1 个习题供大家思考练习 习题： 某校六年级分为甲乙丙三个班级， 先决定把校办厂生产多出来的一批练习本共计 720 本全部分给这三个班级，甲班每人是 2 本，乙班每人是 3 本，丙班每人是 5 本，后来 校领导发现这种做法是不可取的并予以纠正，改为甲班每人 6 本，乙班每人 5 本，丙班每 人 3 本。请问该校六年级学生人数为多少人？ 【11 年天字模拟题】 A.135 B.150 C.165 D.180
”思想 三、 “比例法 比例法”
比例法是什么，比例是数量之间的对比关系，或指一种事物在整体中所占的分量。运用 比例法的目的是为了将繁琐的数值简化为简单的数值来进行分析， 同时比例法的实则也是把 握住了数学的核心思想： 相对关系。 利用这种相对关系可以扩展出很多比例法上的解题技巧。
1、“比例法”应用的基本条件
比例法的采用的一个重要条件就是含有一个固定的乘除等式关系。如：M＝A*B，M， A，B 分别代表三个不同的量，在实际的应用中如：路程＝速度*时间，总量＝效率*时间、 溶剂＝溶液*浓度等。只要符合这种等式关系。不管是不是行程问题、效率问题、工程问题 都可以采用。在采用的过程中，切记注意三个量中必须要有一个量是固定的，这样另外 2 个量才会有相对关系。 如：M＝A*B，当Ｍ固定，则Ａ和Ｂ之间就是反比关系；当Ａ固定时，Ｍ和Ｂ之间就是 成正比关系；当Ｂ固定时，Ｍ和Ａ也是成正比关系。 另外研究相对关系，不仅仅从数值上看，还需要从整体上看。 如：Ｍ1=A1*B1 和Ｍ2=A2*B2, 当Ｍ1=M2 时，相当于把这２个表达式合并了，等同 于Ａ1*B1=A2*B2，那么我们就可以看出这里的反比关系:即Ａ1:Ａ2=Ｂ2:Ｂ1,进而我们可以 进行相同的推理，当 A1=A2 时，Ｍ1:M2=B1:B2, 当Ｂ1=B2 时，Ｍ1:M2=A1:A2. 例题 61:甲乙二人分别从相距若干公里的 A、B 两地同时出发相向而行，相遇后各自继 续前进，甲又经 1 小时到达 B 地，乙又经 4 小时到达 A 地，甲走完全程用了几小时？ A．2 B．3 C．4 D．6 【天字 1 号解析】参考答案 B。 题目描述的一个关键就在于他们都是用不用的时间去走对方相遇前走的距离， 这里如果 要建立某种等式关系， 那么就是他们的速度之比是一个固定关系。 假设他们用了 t 小时相遇， 那么在甲走的 t 小时距离上，乙用了 4 小时走完，速度之比为时间反比， V 甲:V 乙=4:t,同 理，我们再看乙走的 t 小时，那么也可以根据反比关系得到 V 甲:V 乙=t:1,因此得到了这样 的关系 4:t=t:1,解得 t=2, 答案为 2+1=3 小时。
2、差、和关系 比例法应用介绍 、和关系比例法应用介绍
差值比例在比例法中是最经常适用的一种方法， 我们通过量之间的变化部分， 运用比例
的缩放求解。只要找到差值所对应的具体比例点数，就可以求解实际数值。 差值比例是怎么来的呢 ，我们来看一下简单推理： 在关系表达式 M=A*B 中，当 M 不变的情况下，A 和 B 的反比关系是固定的，当 A 发生变 化，则 B 发生变化。可以产生这样一种情况 A1：A2＝B2：B1，用分数形式表示就是
A1 B2 A B A ? A2 B2 ? B1 ，我们令等号左右同时减去 1，即可转换为 1 ? 1 = 2 ? 1 ? 1 ， = = A2 B1 A2 B1 A2 B1
A1－A2 和 B2－B1 这就是差值关系，差值和所对应的量也是一种反比关系。 例题：甲行使一段路程按照 30 千米/小时的速度比按照 25 千米/小时的速度要快 1 小 时。则这段路程是多少千米。 分析： 我们就抓住路程不变， 时间和速度是成反比关系的即 30 的速度和 25 的速度时 间之比是为 25：30＝5：6，这里 5 就代表着 30 的速度用时，6 就代表这 25 速度的用时， 他们相差 6－5＝1 个比例点，即对应 1 小时。因此实际时间就是 1*6 小时和 1*5 小时。这样 答案就明显了 30*5＝25*6＝150 千米。 下面我们通过几个题目来看看差值比例法的应用： 例题 61：小王步行的速度比跑步慢 50%，跑步的速度比骑车慢 50%。如果他骑车从 A 城去 B 城，再步行返回 A 城共需要 2 小时。问小王跑步从 A 城到 B 城需要多少分钟？ 【11 国考】 A.45 B.48 C.56 D.60 【天字 1 号解析】参考答案 B。 此题已知条件可知步行跑步速度比是 1：2，跑步和骑车速度比是 1：2，则步行速度： 跑步速度：骑车速度＝1：2：4， 骑车去，步行返回，这是路程相同的情况下，时间比等于 速度反比，是步行用时：骑车用时=4:1，时间和为 4+1＝5 对应 2 小时。则每个比例点就是 2/5=0.4 小时。因为问的是跑步时间跟骑车时间是 2:1 关系即为 0.8 小时即 48 分钟。 例题 62：两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是 3: 1，另 一个瓶子中酒精与水的体积比是 4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积 之比是多少？ A.31:9 B.7:2 C.31:40 D.20:11 【天字 1 号解析】参考答案 A。 体积相同，这就要求我们把两个比例 3：1 和 4：1 变成“和”同比例。代表着体积相同。 因此实际上是招 3+1＝4 和 4+1＝5 的最小公倍数 20， 因此 3：1＝15：5， 4：1＝16：4， 这样和相同，即酒精和水的比例就是 15+16：5+4＝31：9 了。 例题 63：甲车以每小时 160 千米的速度，乙车以每小时 20 千米的速度，在长为 210 千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速 增速
1 ，而乙车则 3
） 【05 北京】
1 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？（ 3
A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310 【天字 1 号解析】参考答案 A。 像这样的行程问题， 比例法是最佳的解答方法。 首先我们确定需要几次相遇速度相等， 我们先来看需要多少次相遇才能速度相等：160×（2/3）的 N 次方＝20×（4/3）的 N 次方， N 代表了次数 解得 N＝3，说明第三次相遇即达到速度相等 第一次相遇前： 开始时速度是 160：20＝8：1，用时都一样， 则路程之比＝速度之比 ＝8：1，每一次相
遇则路程之差为一圈的距离， 所以 8－1＝7，对应一圈的距离即 210， 所以 2 人路程之和 是 210÷7×（8＋1）＝270 第二次相遇前： 速度比是 甲：乙＝4：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比＝4：1，所以 4－1＝3，等 于一圈的距离对应的比例，即 210 ，所以这个阶段 2 人路程之和是 210÷3×（4＋1）＝35 第三次相遇前： 速度比是 甲：乙＝2：1 用时都一样，则路程之比＝速度之比=2：1，所以 2－1＝1 对应的 是一圈的比例即 210，所以第 3 阶段 2 人路程之和是 210÷1×（2＋1）＝630 则总路程是 270＋350＋630＝1250。 下面将会通过一些习题来巩固一下： 习题 1：为了把 2008 年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。 某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知 一条路的长度是另一条路长度的两倍还多 6000 米，若每隔 4 米栽一棵，则少 2754 棵；若 每隔 5 米栽一棵，则多 396 棵，则共有树苗（ ） 。 【06 国考】 A. 8500 棵 B. 12500 棵 C. 12596 棵 D. 13000 棵 习题 2：甲、乙两个容器均有 50 厘米深，底面积之比为 5 : 4，甲容器水深 9 厘米， 乙容器水深 5 厘米．再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深 是： 【07 国考】 A．20 厘米 B . 25 厘米 C . 30 厘米 D .35 厘米 习题 3：A、B 两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站，甲火车 4 分钟走的路程等于乙火车 5 分钟走的路程．乙火车上午 8 时整从 B 站开往 A 站，开出 一段时问后， 甲火车从 A 站出发开往 B 站， 上午 9 时整两列火车相遇． 相遇地点离 A、 .B 两站的距离比是 15：16．那么．甲火车在（ ） 从 A 站出发开往 B 站． 【07 国考】 A ．8 时 12 分 B .8 时 15 分 C . 8 时 24 分 D . 8 时 30 分 习题 4：某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单，如果每天加工 50 双，要比 原计划晚 3 天完成，如果每天加工 60 双，则要比原计划提前 2 天完成，这一订单共需要加 工多少双旅游鞋？( ) 【08 北京】 A.1200 双 B.1300 双 C.1400 双 D.1500 双 习题 5： 有 20 名工人修筑一段公路， 计划 15 天完成。 动工 3 天后抽出 5 人去其他工地， 其余人继续修路。如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用（） 【10 广东】 A.19 天 B. 18 天 C. 17 天 D. 16 天 习题6：小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。 如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要 求准时到校。问：小明家到学校多远？ 习题7：一汽车从 a 城开往 b 城，如果把车速提高到20%，则可比原来提前1个小时到 b 城，如果原来速度行驶100千米后，再将速度提高到30%，恰好比原来提前1个小时到 b 城。 请问 ab 城距离？ 习题8：王师傅要加工一批零件，若每小时多加工12个零件，则所用的时间比原计划少 1/9；若每小时少加工16个，则所用的时间比原来多3/5小时.这批零件有多少个？ 习题 9：一辆汽车以每小时 40 千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全 程的 4 分之 3 多 5 千米，再改用每小时 30 千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的
时间比前往乙城的时间多用了 10 分钟，甲、乙两城相距多远？ 习题 10：某工程由小张小王两人合作刚好可以在规定的时间里完成,如果小张的工作效 率提高 20%,那么两人只需要用规定时间的 9/10 来完成工程， 如果小王的工作效率降低 25%, 那么两人就需要延迟 2.5 小时来完成工程.问规定的时间是多少? A.20 小时 B.24 小时 C.26 小时 D.30 小时
3、恒值比例法应用介绍
恒量比例法是比例问题当中一个比较突出的问题， 在我们研究的比例关系中， 如果某一 个量是恒定的， 他从头到尾都没有发生变化， 那么我们就可以利用这样的一个对象所代表的 比例点来求解。一般情况下，这种恒量对象在不同的情况下所代表的比例点不同，这个时侯 我们就要学会把这些不同的比例点化为相同的数值来代替， 这就可以建立不同的比例参照标 准之间的联系。 下面我们就通过几道真题来研究一下关于恒量比例关系的运用。 例题 63：一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度变为 10%，再蒸发掉同样多的 水后，溶液浓度变为 12%，第三次蒸发掉同样多水后，溶液浓度将变为多少？【09 国考】 A.14% B.17% C.16% D.15% 【天字 1 号解析】参考答案 D。 这个题目中“恒量”对象就是溶质，因为我们的溶质一直没有变化，而溶剂水在不断减 少， 那么我们抓住溶剂的比例关系来寻找突破，第一次,溶质质量:溶液质量=10:100, 第二 次，溶质质量:溶液质量=12:100 这个时侯我们只需要将这两次代表溶质的比例点 10 和 12 都变为相同的数值，这样就可以找出这 2 个比例的关系。10 和 12 最小公倍数是 60，则我 们就可以得到 10:100=60:600, 12:100=60:500 , 我们就发现溶液代表的比例点数值减少 了 600-500=100,说明被蒸发了 100 的水。 那么再次这样的操作，即溶液质量就剩下 400 了。因此答案是 60/400=15%. 例题 64：一个袋子里放着各种颜色的小球，其中红球占四分之一，后来又往袋子里放 了 10 个红球，这时红球占总数的三分之二，问原来袋子里有多少小球？ 【08 安徽】 A.8 B.16 C.20 D.44 【天字 1 号解析】参考答案 A。 此题的变化情况发现了一个“恒量”:非红色球(数量没变),刚开始非红色球:总数=3：4， 再放进 10 个红球后，非红色球:总数=1:3, 则两个比例关系中的 3 和 1 均代表非红色球，寻 找相同比例点代替即最小公倍数 3， 3:4 和 3:9,我们发现总数增加了 5 个比例点即对应增加 的 10 这个数值， 因此每个比例点就是 10/5=2 个。 总数最初的比例点是 4， 即答案为 4*2=8 个。 例题 65：有银铜合金 10 公斤，加入铜后，其中含银 2 份，含铜 3 份。如加入的铜增加 1 倍，那么银占 3 份，铜占 7 份，试问初次加入的铜是多少公斤？【09 北京】 A.3 B.4 C.5 D.6 【天字 1 号解析】参考答案 C。 此题中“恒量”是银的重量，第一次加入铜后，银:铜=2:3，第二次加入铜后,银:铜=3:7, 比例关系中 2 和 3 均代表银，最小公倍数是 6，我们统一用 6 在 2 个比例关系中表示银，即 2:3=6:9，3:7=6:14，则可以看出铜增加了 14-9=5 个比例点。那么第一次增加也是 5 个比例 点，则第一次之前 9-5=4、 因此第一次之前总共重量是 4+6=10 个比例点对应 10 公斤，则 1 个比例点是 1 公斤，答案每次是增加 5 个比例点即答案为 5.
4、“凑变”比例关系
“凑变”关系是在上面讨论的基础上进一步拓展开来的。数学不是算术，不仅仅是数值 之间的加减乘除， 就好比逻辑里面一样， 逻辑不可能单纯考你几个逻辑对象之间是什么关系， 逻辑还会考察几种逻辑关系之间的是什么样的关系。 同样数学也是如此， 除了对某一些特定 对象的数值进行分析之外，我们还需要能够对数学题目中数学关系与数学关系之间的联系。 说到恒量关系比例法中， 就要谈到的某一种关系的不变， 然后利用这种恒定的比例关系切入 题目，要得到一种恒量比例关系，以后需要我们对题目进行适当的调整，使之满足题目理想 状态的一种比例关系，这就是“凑变”的过程。通过这个“变”进而求解。 下面我们来看几个例题： 例题 66： 目前某单位女职工和男职工的人数之比为 1:30。 如果女职工的人数增加 5 人， 男职工的人数增加 50 人。则两者之比变为 1:25，则目前女职工的人数是( )人。 【09 上海】 A.8 B.10 C.15 D.25 【天字 1 号解析】参考答案 C。 此题我们选择了一种“恒量”关系，那就是 1：30， 现在女职工和男职工增加人数之 比并不是 1：30，这个时侯就需要“凑变” ，那么我们可以让男职工多增加 100 人，这样就 是 1：30， 其结果也就是 1：30， 而实际情况是 1：25，减少了 30－25＝5 个比例点就 对应这 100 个男职工了，所以每个比例点就是 20 人。注意这个地方求出来的 1 个比例点是 关于最后形成的 1：30 的比例点。也就是说女职工是在增加 5 人之后构成的 1 个比例点，即 原来女职工人数是 20－5＝15 人。
公倍数与公约数 四、 四、公倍数与公约数
公倍数是指在两个或两个以上的自然数中， 如果它们有相同的倍数， 那么这些倍数就叫 做它们的公倍数。这些公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 如 10 和 15，我们知道同时满足这 2 个自然数倍数的是 30，60，90，120，150......,其 中 30 是最小的称之为最小公倍数 公约数亦称“公因数” 。是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整 数的约数，称这个整数为它们的“公约数” ；公约数中最大的称为最大公约数。 公约数与公倍数相反， 就是既是 A 的约数同时也是 B 的约数的数， 12 和 15 的公约数有 1，3，最大公约数就是 3。再举个例子，30 和 40，它们的公约数有 1，2，5，10，最大公 约数是 10。
1、如何求解最小公倍数和最大公约数
求解最大公约数的方法：把 2 个自然数进行因式分解，从中找出相同因子最大的组合 情况。 如 72=2^3*3^2, 84=2^2*3*7 ，那么最大公约数就是找出相同因子 2 和 3，且均要 满足两个自然数，即 2 个 2 和 1 个 3 即为 12。 求解最小公倍数的方法：两个自然数的最小公倍数求法通常是先乘积在除以最大公约 数。 三个自然数的最小公倍数的求法先找出最大公约数， 提取出最大公约数后的因子相乘再 乘以最大公约数：如 10，12，18：最大公约数是 2 因此提取之后是 5，6，9 ；6 和 9 提取 3 之后为 2 和 3 则最小公倍数＝2*3*5*2*3＝180。通常情况下我们是两两比较先找出其中 一对最小公倍数，然后再与剩下的数字做分析。如 10 和 12 最小公倍数是 10*12/2=60，60 再和 18 做比较 60*18/6=180.
2、一个数的约数个数的求解方法
约数个数的求解方法。 通过因式分解如下列表达式 X＝a^m*b^m*c^p..... 计算约数的 个数即为指数+1 的乘积： （ m+1 ）(n+1)(p+1)...... 如： 72 ＝ 2^3*3^2 。约数的个数就是 (3+1)(2+1)=12. 另外关于约数个数的一个特点： 我们知道一个平方数自然数是可以表示为一个数的平方 或偶数次方， 如 9＝3^2, 那么其约数的个数根据公式就是 2+1 或 2n+1，这就说明平方 数的约数都是奇数个，而非平方数的约数个数都是偶数个。 换个思考方式也能帮助我们理解。M＝a*b，a 和 b 均是 M 的约数，a 和 b 是成对出现 的，因此一般情况下是偶数个，如果 a＝b 时，这样一对约数就变成了 1 个约数 就会减少 1 个，那么就变成奇数了。 对于约数个数和约数特征的考察有这样几个题目我们来探讨一下： 例题 67：A、B 两数恰含有质因数 3 和 5，它们的最大公约数是 75，已知 A 数有 12 个 约数，B 数有 10 个约数。那么，A、B 两数的和等于（ ） 。 【07 山东】 A.2500 B.3115 C.2225 D.2550 【天字 1 号解析】参考答案 D。 此题先从快速技巧解题 75 为最大公约数，说明 ab 均含有 75 因子，那么其 AB 之和也 必然含有 75 因子 即 3 和 25 的倍数。3 的倍数的只有 D。 从约数个数求解方式上看 75=3*5^2 这是 A 和 B 均共同拥有的因式分解后的部分， 而且只含 3 和 5 我们知道 A 的约数为 12 个， 12＝3*4, 也就是说指数是 2 和 3 而 10＝2*5 指数分别是 1 和 4， 现在共同部分要求 3 只能是 1 次，所以 B 是含 1 个 3 的，5 必须都有 2 次，且不能都超过 2 次。 B 的 5 只能是 4 次，那么 A 的 5 就只能是 2 次了。故而 A ＝ 3^3*5^2=675, B=3*5^4=1875 求和就是 2550. 例题 68：从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数有（）个？ A.25 B.23 C.17 D.7 【天字 1 号解析】参考答案 D。 此题根据上述总结可知只有平方数含奇数个约数，即我们就是要观察 360 到 630 之间 的平方数 360 最接近的是 19^2=361, 630 最接近的是 25^2=625. 因此是 19～25 合计 7 个。 例题 69：一间教室，共有 100 盏灯。有一个人，先将这一百盏灭着的灯贴上序号，从 1 贴到 100，第一轮，他按下所有贴有 1 的倍数序号灯的开关，第二轮，他又按下了所有贴 有 2 的倍数序号灯的开关，……，经过一百轮后，请问，教室里总共亮着多少盏灯。 A.5 B.10 C.15 D.20 【天字 1 号解析】参考答案 B。 此题从提问来看，要知道还剩下多少盏灯亮着，就需要知道这盏灯被开关了几次。最初 是灭着的，如果要最终亮着，则只要是经过奇数次开关就会亮着。而题目要求是只有其自身 的约数才能碰它（灯） ，因此也就是说看灯的编号为平方数的才是奇数个约数。即只要是编 号为平方数的都会被碰了奇数次 即最终都亮着，即答案是 1～100 的平方数。
”和“公倍数 ”思想的应用 3、“公约数 公约数” 公倍数”
在我们解题过程中， 这种思想往往可以拓展到其它题目上。 如公约数的应用通常可以帮 助我们快速的通过整除特征来求解。 例题 70：有一只怪钟，每昼夜设计成 10 小时，每小时 100 分钟，当这只怪钟显示 5 点时，实际上是中午 12 点，当这只怪钟显示 8 点 50 分时，实际时间是（ ） 【10 浙江】
A.17 点 50 分 B.18 点 10 分 C.20 点 04 分 D.20 点 24 分 【天字 1 号解析】参考答案 D。 我们知道怪钟和标准时间的比例关系是根据“每昼夜设计成 10 小时”这句话得出 24： 10＝2.4：1，也就是说最终通过怪钟时间差还需要乘以 2.4 得到实际时间差。因此答案肯定 是含 2.4 这个因子。也就是说含 3 的倍数。同理我们也要知道时间问题的进制是 60 进制。 60 本身就是 3 的倍数。说明此题我们只需看分钟数部分。即发现只有 D 答案是满足 3 的倍 数的 即选 D。 例题 71：若商品的进货价降低 8%，而售出价不变，那么利润(按进货价而定)可由目前 的 P%增加到(P+10)%。问 P 的值是： 【08 浙江】 A.20 B.15 C.10 D.5 【天字 1 号解析】参考答案 B。 此题拿到手之后首先假设进价为 100，现在是降低 8% 那么就是变为 92，原来利润是 P，现在就应该是 P+8，根据利润率=利润/成本，因此现在的利润率就是(P+8)/92，要得利 润率的百分比为整数，则要求 92 能被整除，因为 92=23*4, 含 23 这样一个不能被整除的 约数，这就要求分子必须也含有 23 因子，否则整除不尽，即根据选项大小得到 p+8＝23， 即 p＝15. 公倍数的思想应用是公务员考察的重要方向，他有助于我们将公倍数看作一个整体， 可 化解代单位“1”这种容易出现分数不利于计算的尴尬，同时也代替单位“1”的作用。 例题 72：一个三位数除以 9 余 7， 除以 5 余 2， 除以 4 余 3，这样的三位数共有多少 个？ 【06 国考】 A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 【天字 1 号解析】参考答案 A。 此题类似于“剩余定理” ，大家一直在思考“剩余定理”会不会是公务员考试的一类题 型呢？这里我要说的是 公务员考试一般不考 “剩余定理” 。 此类题目通常是考察最用公倍数 的应用。假设这个三位数是 m，那么 m=9a+7, m=5b+2, m=4c+3,可以有这三种表现形式， 其中我们发现 m=5b+2=5(b-1)+7, m=4(c-1)+7, 这样就可以看出这个三位数是关于 9、5 和 4 的公倍数+7 的。 因此三位数通式就是 180n+7， 只需观察 1000 里面有多少个 180 的倍 数即可。 总结：对于这类问题，我们通常是观察余数和除数的关系。余数和除数存在下列这些关 系的时侯可以考虑应用公倍数求解。除数表示为 b，余数表示 p，n 是自然数系数(0,1,2,3...) 当均满足 nb+p 为相同值时 即“和”同，那么就是公倍数+(nb+p)。 当均满足 b-p 为相同}