若二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的两个偏导数f′x（x0，y0），f′y（x0，y0）都存在，则z=f（x，y）_百度知道
若二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的两个偏导数f′x（x0，y0），f′y（x0，y0）都存在，则z=f（x，y）
若二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的两个偏导数f′x（x0，y0），f′y（x0，y0）都存在，则z=f（x，y）在点（x0，y0）必连续．______（判断对错，正确的证明，否则给出反例）
提问者采纳
设2+y2，(x，y)≠(0，0)0，(x，y)＝(0，0)，由定义可以求出f′x（0，0）=f′y（0，0）=0但f（x，y）2x2(1+k2)＝k1+k2，极限值与k有关，故f（x，y）不存在，因而f（x，y）在点（0，0）不连续
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粉线部分极限求当X趋向0时,是0/0式子.用罗比塔法则来求解.=[6-6cos6x]/[3x²]=[2-2cos6x]/[x²]=[12sin6x]/[2x]=6sin6x/x=6*6cos6x当X趋向0时=36
这个是经验，(x-sinx)与x^3是同阶无穷小书上有sinx~tanx~x的等价无穷小，还有tanx-sinx~x^3/2的，但是没有(x-sinx)~x^3的不是等价无穷小，是同阶无穷小
你没有见过，现在见到了啊能证明他是同阶无穷小吗？马上给你证明一下：
lim(x→0) (x-sinx)/x^3
=lim(x→0) (1-cosx)/(3x^2)
(等价无...
不是等价无穷小，是同阶无穷小
你没有见过，现在见到了啊
能证明他是同阶无穷小吗？
马上给你证明一下：
lim(x→0) (x-sinx)/x^3
=lim(x→0) (1-cosx)/(3x^2)
(等价无穷小代换)
=lim(x→0) (x^2/2)/(3x^2)
可见是同阶无穷小
方法1.用2次罗比达法则：lim(x-sinx)/x^3=lim(1-cosx)/3x^2=limsinx/6x=1/6方法2：用泰勒公式：sinx=x-x^3/3!+o(x^3),所以：x-sinx ~ x^3/3!1.粉线部分的极限36；2.只有在lim存在的时候，才能用罗比达法则，可现在我不知道怎么证明极限存在<img class="ikqb_im...
1.lim(6x-sin6x)/x^3
=lim(6-6cos6x)/3x^2
=lim(36sin6x)/6x=36
2.sin6x=6x-(6x)^3/6+o(x^3)
所以：(6x-sin6x)/x^3=[(6x)^3/6+o(x^3)]/x^3趋于36
粉线部分显然极限不存在lim(x-y)=0能否推出limx=limy_百度作业帮
lim(x-y)=0能否推出limx=limy
lim(x-y)=0能否推出limx=limy公考,家教,作文,写作,阅读,诗歌,散文,答案,中考,高考,语文,英语,培训,教师
&>&&>&高等数学作业集答案9
高等数学作业集答案9
多元函数微分学及其应用
多元函数的基本概念
1、求下列各函数的定义域，并作出其草图.
(1) z??x2??y2；
解: 定义域D??(x,y)?1?x?1,?1?y?1?
4x?yln(1?x2
?4x?y2?0解: 由??1?x2?y2
1?x2?y2?1定义域D??
z?arcsin（x2
?1）． 解: 由?1?x2
?2y2?1?1得:
定义域D??(x,y)x2?2y2
２．设f(x?y,
)?x2?y2，求f(x,y)． ?x?y?t?x?t解:令??y?1?s
?t2代入得f(t,s)(1?s)
故f(x,y)?x2(1?y)
3、求下列极限：
1?(xy)2?ex
y??0解: (直接代入)原式=1?0?1
1?cos(xy)xy??00
y2?1?1)解:原式=lim
x(1?xy)y；
解:原式= limx(1?xy)xy
4、判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值．
； 解:当x?0时，令y?kx2，则
limx2?yx?limx2?kx21?k2?，其值与k有关，故极限不存在．y??00
； 解:当x??,y??时，有
5x?6yx2?y2?5x6y5x6y
x2?y2?x2?y2?x2
2?0， 故lim
． 5、设f(x,y)?
，求lim[limf(x,y)]和lim[limf(x,y)]．试问：
x?0y?0y?0x?0极限limf(x,y)是否存在？为什么？
解: limx?0[limy?0
f(x,y)]?1，limy?0[limx?0
f(x,y)]??1
极限limf(x,y)不存在，因为当x?0时，令y?kx，其值与k有关．xy??0
6、研究函数f(x,y)???1,x2?y2?0
的连续性?22
（在哪些点连续，哪些点不连续）．
f(x,y)?1?0?f(0,0)，故函数在(0,0)处不连续，其它处均连续．y?0
１．填空题：
?zxy?z?(1?xy)x[ln(1?xy)?]
，?x2(1?xy)x?1． ?x1?xy?y
fx,fy在(x0,y0)处均存在是f(x,y)在该点连续的必要
(3) u?xy ；
，?yzlny?xylnx．?zyz?1xylnx， ?x?z?y
??z??x2?y2
(2)曲线 ? 在点(1,1,3)处的切线与y轴正向所成
6(3)设z?ln
??，?； ，则
3．求下列函数的二阶偏导数：
(1)z?xln(x?y)
?zx?zx?ln(x?y)??
，， ?xx?y?yx?y
(4)设f(x,y,z)?zexy，则fx(0,0,1)?0，fy(0,0,1)?0，fz(0,0,1)?1．
2．求下列函数的一阶偏导数：
?2zx?2y?2zy
，， ??222
?x?y(x?y)?x(x?y)?2zx?2zy， ???
?y2(x?y)2?y?x(x?y)2
x(2)z?arcsin ；
?x(x?y)?y(x?y)
(2) z?(1?xy)x
???2z?2z22222
?x(y?x)，??y(y?x)2， 2
Δycos?lim
?zx2?(y?x)22
，极限不存在，故此点处关于y
???2z1222222
??[(y?x)?x(y?x)2]． ?y?xy
,x2?y2?0,?ycos22
4．设函数f(x,y)??判断其在点(0,0)处的x?y
?0,x2?y2?0,?
连续性和偏导数是否存在． 解: 1）?limf(x,y)?limycos
故函数在点(0,0)处连续； 2）fx(0,0)?lim
f(0?Δx,0)?f(0,0)0?0
?lim?0 Δx?0ΔxΔx
fy(0,0)?lim
f(0,0?Δy)?f(0,0)
的偏导数不存在．
１．填空选择题：
(1)二元函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微的充分必要条件是
?0，其中Δz?f?x?Δx,y?Δy??f(x,y), dz为表达式fx(x,y)Δx?fy(x,y)Δx,??
(2) 在点(x,y)处df(x,y)存在的充分条件为C．
A．f的全部二阶偏导数均存在；
B．f连续；
C．f的全部一阶偏导数均连续；
D．f连续且fx,fy均存在．
2．求函数z?xy当x?2，y?1，?x?0.1，?y??0.2时的全增量和全微分．
解:Δz?2.1?0.8?2?1??0.32
?z?xΔx??z?y
Δy?1?0.1?2?(?0.2)??0.3
3．求下列函数的全微分：
(1) z?x3y2
?2x3?x?y dz?
dy?3x2y2dx?2x3ydy (2) z?
，?y??y2 dz?
?z?xdx??z?ydy?1
(3) u?ln(x2?y2?z2
?u2x?x?x2?y2?z2
x?y?zx?y?zx?y?z
4．讨论函数z?xy在点(0,0)处的可导性与可微性．
Δx?0?0Δx
?x(0,0)Δx?0
?z?0, ?lim
?y(0,0)Δx?0
0?Δy?0Δy
xy在点(0,0)处的偏导数存在；
Δz?dz但lim?limρ?0ρ?0ρ
Δx?2??Δy?2
?沿直线y?x趋于(0,0)时此极限不存在。故函数易知当?Δx,Δy
z?xy在点(0,0)处不可微．
多元复合函数的求导法则
１．求下列函数的偏导数或全导数：
(1) z?x2?y2，x?3t,y?4t3．
dzdt=?z?x?dxdt??z?y?dydt=1
(3x?12yt3)
= 169t2?16t6
(2) z?y?f(v),v?y2?x2，其中f可导．
?z?x?f??v???v?x
??2xf??v? ?z?y
?1?f??v???v?y?1?2yf??v?
(3) z?xey，y??(x)，其中?可导．
解: dz?zdx=
?xey?x?ydx
(4)设z?u2v3,u?x?2y,v?x?y，求
?z??z??u??z??v
?2uv3x?u?x?v?x
?3u2v2? ?z??z??u??z??v?4uv3y?u?y?v?y
?3u2v2? (5) z?u2v3w，u?2t?1,v?t3,w?3t?1．
=4uvw?9uvwt2?3u2v3
2．求下列函数的偏导数：
(1) z?f(x2?y3,sin(xy))，其中f可导，求
?2xf1??ycos(xy)f2? ?z
?3y2f1??xcos(xy)f2? (2) u?f(x?exy?xsin(yz))，其中f可导，求
?u?x，?u?u?y，?z
?(1?exy?sin(yz))f?， 7
=(?ex?xzcos(yz))f? ，?u?z=xycos(yz)f?．
设z?f(u,x,y),u?xey
，其中f二阶可导，求?z?2(3)z
?eyf1??f2?， ?2z
=eyf1??xe2yf11
???eyf13???xeyf21???f23??． (4) 设z?f(xy,x2
y),f具有二阶连续偏导数，求?2z?2z?22z?x2?x?y?y2
?z?x?y2f?2xyf?z
=2xyf21??xf2? ?2z432?x
?2yf2??yf11???4xyf12???4xy2
f22?? ?2z3
=2yf1??2xf2??2xyf11
???5x2y2f12???2x3yf22?? ?2z?y
=2xf1??4x2y2f11???4x3yf12???x4
3．已知函数f，g可导，验证u?f(x?at)?g(x?at)满足
2?t2?a?u?x2
． 证明：?u?t?，?2?af?-agu?t
2?a2f???a2g??， ?u?x?f??g?，?2u?2u2
2?u?x2?f???g??，故?t2?a?x2
隐函数的求导公式
1．设方程xy?x2?y2?2确定了隐函数y?y(x)，求
cos(x?y?z)?1cos(x?y?z)
cos(x?y?z)?1cos(x?y?z)?1
3．设方程e?e
解:（公式法）令F(x,y)?xy?x2?y2?2，Fx?y?2x
解:令F(x,y,z)?e
?2z确定了隐函数z?z(x,y)，求，2．
?e?z?2z，Fx??yexy
Fdyy?2x??x??，
，Fz??ez?2 则
提示：另还可用两边直接对自变量求偏导或两边求全微分的方法，过程略。下同。
2．设方程sin(x?y?z)?z?x确定了隐函数z?z(x,y)，求
??x??ye?xy(e?z?2)，
?2zy2e?xy[(e?z?2)2?e?(z?xy)]
=． 2?3?x(e?2)
4．设隐函数z?z(x,y)由方程F(x?
解（公式法）:令F(x,y,z)?sin(x?y?z)?z?x，Fx?cos(x?y?z)?1
,y?)?0所确定，证明yx
?y?z?xy． ?x?y
Fy?cos(x?y?z)，Fz??cos(x?y?z)?1
FyFxcos(x?y?z)?1?z?zcos(x?y?z)
????则，=? ?xcos(x?y?z)?1Fzcos(x?y?z)?1?yFz
证明：Fx?F1??
???F?F2?, F?F?F，112z2
zz?F?F1??F2222FyF?zy?zx??x????,=?,
1111?x?yFzFzF1??F2?F1??F2?F1??
3u?v?x?0??u?3v3?x?v3u2?yv??x?x
故=22，=22 ?
?x9uv?xy?x9uv?xy?3v2?v?y?u?1
yxy故x?z?x?y?z?y
5．求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：?x2?y2?z2(1)设??50?0，求dydz?
x?2y?3z?4dx，dx．
解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得：
??2x?2ydy?2zdz?
?0 ?dydz??
1?2dx?3dx?0故
dy?3x?zdz2xdx?3y?2z，dx??y3y?2z
． (2)设??u3?xu?y，求?u，?u，?v，?v
?x?y?x?y．
解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得：
?x?x?u3v2?xu?v?3u3同理可得到：?y=9u2v2?xy，?y=?y9u2v2?xy
6．设y?f(x,t),而t是由F(x,y,t)?0所确定的x,y的函数，其中f,F均有一阶连续的偏导数，求
． 解:联立方程组?
F(x,y,t)?0
两边直接对自变量x求偏导，得：
???dy???t?
dx?fx?ft?x
Fdy?tx?Fydx?Ft?x?0故
?fxFt?ftFxdxf tFy?Ft
多元函数微分学的几何应用
1．求曲线x?解:用隐函数组求导的方法得到
,y?sint,z?cost在对应t?的点处的切线方程和dydz2xz?x0
??， dx?y?2yzdx?y?2yz
法平面方程．
解:切向量T??(x?,y?,z?)122
曲线在对应t?
的点处的切线方程为：
，法平面方程为：22?
12(x??22228)?2(y?2)?4(z?4)?0，即2x?22y?2z??
2．求曲线??x2?y2?z2?6
在点M?z?x2?y
0(1,1,2)处的切线方程及法平面方程．
点M(1,1,2)处的切向量T??(1,dydx,dz
0dx)?(1,-1,0)
曲线在对应点M0(1,1,2)处的切线方程为：
x?1y?11?-1?z?2
，法平面方程为：x?y?0．
3．求曲面z?x2?y2在点(1,1,2)处的切平面方程和法线方程． 解: 法向量n?
?(zx,zy,?1)
故所求切平面方程为2(x?1)?2(y?1)?(z?2)?0即
2x?2y?z?2?0．
法线方程为：x?1y?1z2??2
4．求椭球面
x2?2y2?3z2?21上某点M
处的切平面?的方
程，使平面?过已知直线L:
x?6y?2?31?2z?1
解:设点M的坐标为(x0y0,z0) ，则切平面?的法向量
n?(2x0,4y0,6z0)，直线L过点(6,3,)，且方向向量为l?(2,1,?1)，
?4x0?4y0?6z0?0?1?
故有?2x0(x0?6)?4y0(y0?3)?6z0(z0?)?0，
?x0?2y0?3z0?21?
,,1?，有n?s?0，即n?s， ?aa?
s就是过点M(x,y,z)的某直线的方向向量（常向量），该直线就是所求平
行于切平面的定直线．
?x0?3?x0?1??
解得?y0?0或?y0?2
?z?2?z?2?0?0
所求切平面方程为x?2z?7或x?4y?6z?21．
注：上题中在直线L上任取两点的坐标代入平面?的方程，同样可求得点
(x0y0,z0)，过程略．
5．设F(u,v)是可微函数，证明：曲面F(ax?bz,ay?cz)?0(abc?0)的切平面平行于某定直线．
证明：曲面在任意点M(x,y,z)处切平面的法向量
n?(aF1,aF2,?bF1?cF2)，
第七节 方向导数与梯度
1．填空题：
（3，4，?5），其方向余弦为cos??
f,f在点(x0,y0)处均存在是在该点的方向导数存在的既不充分
也不必要条件．
函数在点(1,0)沿i?j方向的方向导数最大，其最大值是
2．求函数z?ln(x?y)在点(1,2)处沿着抛物线y2?4x在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数．
?cos?=62 ??cos?+?cos??
4．设f(x,y,z)?x2yz，求gradf(1,2,?1)，并求函数沿该梯度方向的方向导数．
解:fx?2xyz，fy?xz，fx?x2y
?z?1?z1dy2
??解: ，，tan??，??， ?
4?xx?y?yx?ydx(1,2)2?z?z?z2
?cos???sin?=?．
3．求函数u?xyz在点(3,4,5)处沿着锥面z?方向导数． 解:
?gradf(1,2,?1)?21． gradf(1,2,?1)=?4i?j?2k，?l
x2?y2的外法线方向的
，锥面的外法线方向为5
第八节 多元函数的极值及其求法
1．填空题：
(1)处取得．
3．求由6x2?4y2?3z2?12x?6z?3?0确定的函数z?f(x,y)的极值．
解:令F(x,y,z)?6x2?4y2?3z2?12x?6z?3由隐函数求导得
(2)若函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极
值，则有fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?．
2．求函数f(x,y)?xy(a?x?y)的极值．
Fx2x?2??z?????0?Fzz?1??x
得驻点(1,0)， 代入原方程得： ?F
??z??y??4y?0?Fz3z?3??y
z2?2z?3?0，解得z?1,z??3，由方程知此曲面为椭球面，故
函数z?f(x,y)的极大值为1，极小值为?3．
4．求函数z?cosx?cosy?cos(x?y)在闭区域
?fx?y(a?x?y)?xy?0aa
解:由?得驻点(0,0)，(0,a)，(a,0)，(,)
33?fy?x(a?x?y)?xy?0A?fxx??2y，B?fxy?a?2x?2y，C?fyy??2x
对四个驻点分别计算AC?B，易知(0,0)，(0,a)，(a,0)处都有
?0，AC?B?0，故都不是极值点，而(,)处AC?B?
解: (1)求D内的驻点：
上的最大值和最小值．
A??2y??a,所以当a?0时，函数在此点取得极小值，当a?0
??sinx?sin(x?y)?0???x
由??z得sinx?siny?0，无零点，故D内???siny?sin(x?y)?0???y
时，函数在此点取得极大值．
无驻点，函数的最值只能在边界上达到； (2) 求函数在边界上的最值
当x?0,0?y?
时，z?1?2cosy，z(0,0)?3,z(0,)?1，同理可22
6．求函数u?xyz在条件x2?y2?z2?1，x?y?z?0下的极值． 解: 作拉格朗日函数L(x,y,z)?xyz?λ(x2?y2?z2?1)?μ(x?y?z)
讨论另外三条边界，得z(
,0)?z(,)?1
(,)(,0)，函数的最大值3在(0,0)处达到，最小值1在(0,)，
三点处达到．
5．经过第一卦限中的点a,b,c作平面与三坐标轴相交，如何作法使该平面与坐标面围成的四面体体积最小．
?Fx?yz?2λx?μ?0?F?xz?2λy?μ?0y?112?
,,?)，由?Fz?xy?2λz?μ?0得驻点M1,2??(
66?x2?y2?z2?1
??x?y?z?0?
?1，则有???1， 解:设该平面方程为??
目标函数：四面体体积V?ABC，
作拉格朗日函数L(A,B,C)?ABC?λ(???1)
)，M5,6??(
两曲面x2?y2?z2?1，x?y?z?0的交线为一个圆心在原点，半径为1的大圆，易得函数在M1,M3,M5三点处有极小值?
??A?3aLB?0??由?得驻点?B?3b LC?0
由于驻点唯一且此问题定有最小值存在，故知作该平面与三坐标轴的截距分别为3a,3b,3c时，满足题意。
M2,M3,M6三点处有极大值
第八章综合练习
1．用不等式和图形表示下列二元函数的定义域：
(1)z?4y?x2?y2?x2?y2?2y
解: 定义域：D??
?x,y?2y?x2?y2?4y
?，图略．(2)z?ln[(y?x)2x?y]
解: 定义域：D??
?x,y?x?y?2x?，图略．
2．求下列函数的极限：
解: 原式=2
（直接代入）
(2) lim(x2?y2)sin
解: 原式=０（无穷小量乘有界量）
3．求下列函数的偏导数：
(1)z?(y?2)sinxln(y?ex2
(1,2)． 解: ?z
d(zy?2)?x(1,2)?
dx?2xx?1?２；
?3，求u?x?y?z
解:?z?x?yzexyz
?(xyz2?z)exyz ，?3u
?exyz(x2y2z2?3xyz?1)
4．求下列函数的全微分：
?z?x??y?zxxdy?x2?y
2，?y?x2?y2?dz?ydx
解: du?()[(ln)dx?dy?dz]．
5．已知y?ety?x，而t是方程y2?t2?x2?1确定的x,y的函数，求
??0，证明：7．设f(u,v)具有二阶连续的偏导数，且满足
?(x,y)?f(x?y,2xy)也满足2?2?0．
???f?f???f?f
?2x?2y，??2y?2x， ?x?u?v?y?u?v
?y?ety?x?y?y(x)
解: 方程组?2确定隐函数组，将它两边直接对?22
?t?t(x)?y?t?x?1
自变量x求偏导，得：
?2??f?2f2?f2?f?8xy?4y?2?4x， 22
?u?u?v?u?v2?x
22?f?2f?2?2?f2?f?8xy?4x， ??2?4y?u?u?v?u2?v2?y2
?e(y?t)?1??dxdxdx
?2ydy?2tdt?2x?0?dx?dx
?故． dxt?(y2?t2)ety
6．设z?z(x,y)由方程F(x?
?2f?2f?2??2?22
?2?2?4(x?y)(2?2)?0
8．在螺旋线x?2cos?,y?sin?,z??
(0???2?)上求一点，使曲
,y?)?0确定，求和．
线在该点的切线平行于平面x?2z?4．
FyxzF1'?xy2F2'FxyzF2'?x2yF1'?z?z
??解: =，=?= ?x?yFzx2F1'?xyF2'FzxyF1'?y2F2'
解: 切向量T?(x?,y?,z?)?(?2sin?,cos?,1)
平面的法向量为法向量n?(1,0,2)
???3?由T?n?0得2sin??2，???或??
故所求点为(2,,)． ,)或(?2,
9．求函数u?ln[x?2y?z??(x?2y?z)]在点(1,1,1)处沿向量
-(x?2y?z)?(x?2y?z)2
x?2y?z??(x?2y?z)
l?(1,2,2)方向的方向导数．
解:方向余弦为cos??
?u?u?u?u2?51
?cos?=??cos?+ ??cos??
?x?z?l?y5?25
10．设f(x,y)?3x?4y??x2?2?y2?2?xy，试问：参数?,?满足什么条件时f(x,y)有唯一极大值？有唯一极小值？
，cos??，cos?? 333
x?2y?z?(x?2y?z)2
x?2y?z??(x?2y?z)
解:fx?3?2αx?2βy, fy?4?4αy?2βx,当2???一驻点??
?0函数有唯
2(x?2y?z)?(x?2y?z)2
?3β?4α3??2??
?，又在此点处有 ,2
222??2β?4α2????
x?2y?z??(x?2y?z)
A?fxx??2α,B?fxy??2β,C?fyy??4?,
AC?B2?8?2?4?2
故当2????0且??0时函数有唯一极大值，当2????0且
??0时函数有唯一极大值．
11．求曲面x?y?z?1的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截
距之积为最大．
解: 曲面上任意点?x,y??111
?00,z0?处的法向量n?????
切平面方程为
12x(x?x0)?102y(y?y0)?
2z(z?z0)?0，即
yzz?1，所以截距分别为x0y0z0
目标函数设为f?x0,y0,z0??x0y0z0，
作拉格朗日函数L(x0,y0,z0)?x0y0z0?λ(x0?
λ?Lx0?y0z0??
?x10?由?L?x?
0得唯一驻点?y0?
0故所求切平面的方程是x?y?z?13
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免费下载文档：设函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处的二阶偏导数存在，则下列结论正确的个数为（　　）①f（x，y）在点P0_百度知道
提问者采纳
①错误：取f（x，y）=2+y2，其它，则f（x）在P0（0，0）处的二阶偏导数存在，均为2，但，而f（0，0）=0，故f（x，y）在P0处不连续．②错误：取f（x，y）同①，则f（x，y）在D={（x，y）|y=x，0＜|x|＜1}上不连续，从而f（x，y）在D上的一阶导数不存在，故与不存在，从而与在（0，0）处不连续．③错误：取f（x，y）同①，则，=2=0，从而不存在．④正确：因为f（x，y）点P0（x0，y0）处的二阶偏导数存在，由二阶偏导数的定义可得，函数在点P0（x0，y0）处的一阶偏导数存在．综上，正确选项的个数为1．故选：A．
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