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【算法分析】（33）
【编程语言】（40）
本科课程参见：《》
牛顿迭代公式
设已知方程f(x)=0的近似根x0 ,则在x0附近f(x)可用一阶泰勒多项式近似代替.因此, 方程f(x)=0可近似地表示为p(x)=0。用x1表示p(x)=0的根,它与f(x)=0的根差异不大.&
设 ,由于x1满足解得
重复这一过程,得到迭代公式：
这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为
Jacobi迭代公式解线性方程组
线性方程组基本解法：
若方程组可同解变形为
Jacobi迭代法的计算公式：
/*简单迭代法的代码实现*/
#include&iostream&
#include&string&
#include&cmath&
double e=2.;
double f(double x){
return pow(e,-1*x);
void SimpleDiedai(double x,double d){
double a=x;
double b=f(a);
int k=0;//记录循环的次数
while(((a-b)&d) || ((a-b)&-1*d)){
if(k&100){
cout&&&迭代失败！（可能是函数不收敛）&&&
int main(){
cout&&&请输入初始值x0和要求得结果的精度：&;
double x,d;
cin&&x&&d;
SimpleDiedai (x,d);
/*牛顿迭代法的代码实现*/
#include&iostream&
#include&string&
#include&cmath&
double e=2.;
double f(double x){
double a=pow(e,-1*x);
return x-(x-a)/(1+a);
void NewtonDiedai(double x,double d){
double a=x;
double b=f(a);
int k=0; //记录循环的次数
while(((a-b)&d) || ((a-b)&-1*d)){
if(k&100){
cout&&&迭代失败！（可能是函数不收敛）&&&
int main(){
cout&&&请输入初始值x0和要求得结果的精度：&;
double x,d;
cin&&x&&d;
NewtonDiedai(x,d);
/*雅可比算法的代码实现*/
#include&iostream&
#include&iomanip&
#include&string&
#include&vector&
//函数求数组中的最大值
double MaxOfList(vector&double&x){
double max=x[0];
int n=x.size();
for(int i=0;i&n;i++)
if(x[i]&max) max=x[i];
//雅可比迭代公式
void Jacobi(vector&vector&double& & A,vector&double& B,int n){
vector&double& X(n,0);
vector&double& Y(n,0);
vector&double& D(n,0);
int k=0; //记录循环次数
for(int i=0;i&n;i++){
double tem=0;
for(int j=0;j&n;j++){
if(i!=j) tem += A[i][j]*X[j];
Y[i]=(B[i]-tem)/A[i][i];
cout&&left&&setw(8)&&Y[i]&&& &;
if(k&100){
cout&&&迭代失败！（可能是函数不收敛）&&&
for(int a=0;a&n;a++){
D[a]=X[a]-Y[a];
}while( MaxOfList(D)&0.00001 || MaxOfList(D)&-0.00001);
int main(){
cout&&&请输入方程组未知数的个数n：&;
vector&vector&double& &A(n,vector&double&(n,0));
vector&double&B(n,0);
cout&&&请输入方程组的系数矩阵：&&&
for(int i=0;i&n;i++){
for(int j=0;j&n;j++){
cin&&A[i][j];
cout&&&请输入方程组的值向量：&&&
for(int k=0;k&n;k++){
cin&&B[k];
cout&&&您输入的方程组为：&&&
for(int a=0;a&n;a++){
for(int b=0;b&n;b++){
cout&&A[a][b]&&& &;
cout&&&由雅可比迭代公式求的方程组的解为：&&&
Jacobi(A,B,n);
实验过程原始记录
（1）分别用简单迭代法和牛顿迭代法求方程在x=0.5附近的一个根x*，要求精度为0.00001
（输入0.5 0.000001）简单迭代法得到结果：
（输入0.5 0.000001）牛顿迭代法得到结果：
X0=0.5 &x1=0.=0.567143
（2）用雅可比迭代法求解方程组 &
运行程序，根据提示输入 （3） （10 -1 -2 -1 10 -2 -1 -2 5） & &（7.2 &8.3 &4.2）
实验结果及分析
1、迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固定公式－所谓迭代公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。迭代法是一种求解函数方程f（x）=0的解的方法，他解决了二分法无法求解复根级偶重根的问题，而其提高了收敛速度。迭代的思想是计算方法中基础的求解问题的思想。
2、简单迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根的某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代初值逐步加工成满足精度要求的根。迭代法的设计思想是：f (x) = 0等价变换成 然后由迭代公式 逐步球的满足精度的解。实际迭代中不同迭代函数的求解可能影响求的精确解的运算量，甚至可能因为函数发散而无法求解。解题时可通过对导函数的判断而判断函数是否发散，而编写代码时可以通过判断循环次数——即循环过多次而不能从循环中出来时就判断为死循环，无法求得正解
3、简单迭代法往往只是线性收敛，为得出超线性收敛的迭代格式，通常采用近似替代法，&即牛顿公式。迭代函数为 &- / 牛顿法是一种逐步线性化方法。由实验结果可以看到，虽然选取近似公式，但牛顿迭代法仍能得到精度很高的解，而且牛顿迭代法大大提高了收敛速度。
4、由迭代法求解线性方程组的基本思想是将联立方程组的求解归结为重复计算一组彼此独立的线性表达式，这就使问题得到了简化，类似简单迭代法转换方程组中每个方程式可得到雅可比迭代式
迭代法求解方程组有一定的局限性，例如要求方程组的系数矩阵具有某种特殊性质，以保证迭代过程的收敛性，但迭代法同时有十分明显的优点——算法简单，因而编制程序比较容易，所以在实际求解问题中仍有非常大利用价值。
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高教线性代数第三章
线性方程组——课后习题答案
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线性方程组——课后习题答案
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高教线性代数第三章
线性方程组——课后习题答案
官方公共微信节7.8 空间直线及其方程
空间直线及其方程
可看成两平面和的交线。事实上，若两个相交的平面和分别为
上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组
上，那么它不可能同时在平面和上，所以它的坐标不满足方程组(1)。
可用方程组(1)表示，方程组(1)叫做空间直线的一般方程。
直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就得到了空间直线的方程。
非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称之该直线的方向向量。显然，直线上的任何向量均平行于直线的方向向量。
一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，因此，当直线上的一点和它的一个方向向量给定之后，空间直线的位置就完全确定下来了。
是直线上的任一点，则 ，而
&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2)
不在直线上，则与不平行，从而(2)式不成立。
就是直线的方程。称此方程为直线的对称式方程。
的坐标叫做该直线的一组方向数，而它的方向余弦叫做该直线的方向余弦。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)
叫做直线的参数方程。
】用对称式方程及其参数方程表示直线
，如：取 代入方程组得
，由于两平面的交线与两平面的法线向量
的余弦便是两方向向量夹角的余弦。
的计算公式。
的方向向量与平面的法线向量的夹角为 &或 。
&&&&&&&&&&&&&&&& (5)
与不成比例，亦即由(1)、(2)所表示的两平面不平行。
为任意常数。
与不成比例，对于任何一个值，方程(3)
不全为零，从而(3)表示一个平面。
上，则点的坐标必同时满足方程(1)和(2)，因此，也必满足(3)，则方程(3)表示过直线的一个平面。而且对于不同的值，方程(3)表示过直线的不同平面。
的任何平面(除平面(2)外)，都包含在方程(3)所表示的一族平面内。
，而方程(3)称为过直线的平面束方程。
在平面上的投影直线，也应在过且垂直于平面的平面上，而过直线的平面束方程为
为任意常数。
相垂直条件为&
且垂直于平面的平面为
的对称式方程
，解方程 &有&
且垂直于平面的方程可设为
应适合方程求使方程组
4x+5y=6m+3
的解x、y都是正数的m的取值范围．
解方程组得
，根据题意得
梨一样的苹果（19分）①米哈朵夫是一位出色的小学图画教师，他在这个偏远的小城中教了一年又一年图画课。他一如既往地按照自己的标准评价学生的图画作业，从未出过任何差错。②一天，像以往一样，米哈朵夫翘着有些俏皮的小胡子走上讲台，教学生画苹果。他绕着教室看了一圈，小胡子快活地抖动着，他满意极了。突然，他的目光落在了墙角的课桌上，这里坐的是刚刚转到班里的尤里卡，他的父亲是西伯利亚的护林员，因病调到小城工作。似乎是故意捣蛋，尤里卡的苹果又长又圆，蒂部尖尖的，并且涂上了梨黄色。可以说，他画的根本就不是苹果。“你画的是苹果吗？”孩子回答：“是苹果。”“我看倒有些像梨。”“是的，老师，有些像梨的苹果。”米哈朵夫压着火气告诉那孩子，苹果是扁圆的，应该用浅黄色，再加上一些鲜艳的红色。他的口气非常的温和，他希望用老师惯用的说理、感化方法，使尤里卡放弃这个像梨的苹果。但这个孩子压根儿没在意老师的温和，他说，在西伯利亚大森林里，一棵苹果树和一棵梨树各自被雷劈去了一半，两棵树紧紧靠在了一起，长成了一棵树，上面结的就是这种像梨一样的苹果。他吃过这种苹果。他是这个世界上唯一吃过这种苹果的人，因为，这两棵树只结了一个苹果，后来，两棵树慢慢烂掉，都死了。③专注倾听的米哈朵夫从故事的结尾感到了嘲弄的味道。他“嚓”的一下撕掉了那一页像梨一样的苹果，“要么拿出你所说的苹果，要么就乖乖地画我的苹果。否则，就再也不要来上课了！”④全班同学哄堂大笑。这个从西伯利亚来的土头土脑的小男孩可怜巴巴地缩在墙角，但他仍执拗地坚持：“确实有这种苹果，我吃过这种苹果。”⑤第二天孩子拿着画满了苹果的作业本乖乖地走到他面前。令米哈朵夫吃惊的是，这些苹果比其他学生的苹果都画得好，只是每一个圆润鲜艳的苹果边都洒满了斑斑点点的泪渍。⑥如果尤里卡是一个爱说谎的孩子，事情也就那样过去了。但经过米哈朵夫明察暗访，尤里卡从不说谎。米哈朵夫虽然一如既往地上他的图画课，但是那两撇可爱的小胡子像是患了感冒，再也不会欢乐地抖动了：那些泪渍深深地印在了他的心上。每一节课都是一次折磨——他不敢看缩在墙角的尤里卡，更害怕同学们对尤里卡的嘲笑，那些尖锐的笑声像锥子似的扎在心上。⑦他知道，他必须弄清到底有没有像梨一样的苹果。他到护林员家里打听，他一趟趟到邮电所去发信，他到处询问，但都没有结果。终于有一天，他跳上了一辆破旧的汽车，风尘仆仆地赶到了一千公里外的莫斯科。在国家园林科研所里，园艺家米丘林听完他的故事，突然疯了似的跳起来拿出了伏特加酒，为他的故事、为他身上一千公里的尘土、为他令人尊敬的痛苦与他一次次干杯。米丘林激动地说：“亲爱的米哈朵夫，我的确不知道世界上有没有这种苹果，但我必须感谢你回答这个问题至少需要三年，也许，三年之后的秋天我会送你一个像梨一样的苹果。” ⑧三个秋天过去了。突然有一天，教室的大门被猛地撞开了，一个披着厚厚尘土的人走了进来。这正是伟大的米丘林，他的手里握着两个神奇的金黄金黄的苹果。米丘林走上讲台，向同学们讲述了他从米哈朵夫讲述的故事中得到的启示，采用嫁接术获得梨苹果的经过：“这是植物界的一场真正的革命，有了嫁接术，我们就有了成千上万种没有见过没有吃过的神奇水果。而开始这场伟大革命的两个人，一个是图画老师米哈朵夫，一个是十几岁的学生尤里卡。”⑨像三年前一样，米哈朵夫神气地站在讲台上，小胡子再次快活地抖动着：“同学们，让我们再画一次苹果，我要说的是，请画出和我不一样的苹果。尤里卡同学，请务必再画一幅梨苹果。”⑩尤里卡画好的苹果上，又一次洒满了泪渍。不过，那是米哈朵夫老师不小心弄上去的。（选自《读者》，有删改）小题1:请以“梨苹果”为线索，概括故事的主要情节。（4 分）起因：
经过：米哈朵夫老师怀疑错怪了尤里卡，内心很痛苦；为弄清有没有梨苹果，他到处询问，甚至找到国家园林科研所。结果：______________________________________________
___小题2:文中画线的三个句子运用了什么描写方法？对刻画人物有什么作用？(4分）小题3:结合语境，品味下面加线文字的表达效果。（3 分）每一节课都是一次折磨——他不敢看缩在墙角的尤里卡，更害怕同学们对尤里卡的嘲笑，那些尖锐的笑声像锥子似的扎在心上。小题4:结合文意，谈谈你对第⑦段中加线词语“令人尊敬的痛苦”的理解。（请从“痛苦”的含义、“令人尊敬”的原因两方面阐述）(4分）小题5:批注是一种很好的读书方法，它用简洁的语言及时记录我们阅读时的思考与感悟。批注的角度有赏语言、写理解、谈感悟、作评价等。请参考摘录内容（1）的批注任选一个角度批注摘录内容（2 ）。（4分）
摘录内容（1 )
我的确不知道世界上有没有这种苹果，但我必须感谢你。回答这个问题至少需要三年，也许，三年之后的秋天我会送你一个像梨一样的苹果。
示例：“的确”“必须”，语气坚定，表现出米丘林作为科学家的实事求是的态度和对科学无比热爱的精神。
摘录内容（2 )
① 要么就乖乖地画我的苹果。② 请画出和我不一样的苹果。
阅读下文，回答问题。（23分）一个少年的蹦极 赵伟周末，一个朋友约我去十渡玩。十渡水多，更有蹦极这样高刺激的运动项目，很多人都喜欢在炎热的夏天来这里耍水。至于蹦极，对于大多数人来说，只是个观赏项目，不是谁都敢从50高空跳下来的。我跟我的朋友相交已有10年，第一次去他家时，他的儿子才5岁，叫范一郎，动不动就爬到他爸的脖子上骑着，拿一把木刀挥舞。父子俩一起玩得不亦乐乎。现在范一郎已经15岁了，个头长得比他爸还高。中国家庭有一个普遍现象，儿子越大，越跟父亲戗戗。我这位朋友也一样，他说不知道是从什么时候起，范一郎就总是跟他对着干，两人老是较劲，听说有好几次两人还差点动手，父亲说不认儿子，儿子也说不认父亲，搞得父子关系颇为紧张。他老婆夹在中间，一边是儿子，一边是老公，不知道该怎么劝才好。这次去十渡，范一郎本不想来，他妈说：“这是你爸请他多年的朋友，给你爸一个面子，你要是这么不懂事，妈也不认你了！”儿子在妈面前很乖巧，怕妈生气，就跟着来了。车上，他们父子俩还是相互憋着，谁也不理谁。快到十渡的时候，我为了打破僵局，就说：“一郎，你敢不敢蹦极？”范一郎还没有说话，我那朋友居高临下地斜了一眼儿子，先开口了，用轻蔑的口气说：“就他？还没见过他有这份勇气呢。温室里的花朵，长大了有什么用！”范一郎没有说话，把一张还略显稚气的脸扭到一边，满脸不屑一顾。他老婆说：“有你这样说儿子的吗？那么高那么危险，出了事怎么办？”说着话，车已进了停车场。我们下了车，范一郎一声不吭，径直到售票口去买票，然后坐缆车到了蹦极台上。我们三个大人就站在下面静静地看着。范一郎站在50米高的蹦极台上，因为太远，我们只能隐约看得见他身上衣服的颜色，但范一郎在高音喇叭里的声音却十分洪亮清楚：“我叫范一郎，今年15岁，特意来为某个男人蹦极，请你睁大眼睛看好了！”一字一句，在十渡的上空回响。岸上的游客和水中竹筏上的人，都一齐望着跳台上的范一郎。服务员的声音也跟着从话筒传出来：“那个男人是谁？”范一郎说：“我爸！”然后，我们看见，范一郎从台上一跃而下，他展开双臂，像一只鹰，俯冲而下！朋友的老婆尖叫一声：“儿子！”早已泪流满面，她一边抹泪，一边说：“他是不想让你朋友觉得，你有那么一个窝囊的儿子！”我这朋友没有吭声，只是使劲地捏着下巴。当小艇把范一郎载到岸边，朋友第一个上前抱住范一郎，将他搂在怀里。我看见，他把他儿子搂在怀里的一瞬间，泪水奔涌而出。朋友对我说：“我突然发现他长大了。”去其他地方玩的时候，两人还是绷着，谁也不理谁。（选自《特别关注》2010年10月）小题1:阅读全文，简要概括主要内容。（3分）
小题2:文章第三段交代范一郎儿时与父亲玩耍这一情节，有何用意？（4分）
小题3:在描写范一郎和他父亲的文字部分，有不少精彩的细节描写，请根据示例选择一处关于父亲的细节描写，分析这样写的表达效果。（4分）示例：范一郎没有说话，把一张还略显稚气的脸扭到一边，满脸不屑一顾。（细致描写范一郎的动作和神态，表现了他对父亲的不满。）
小题4:你欣赏本文中父亲的形象吗？为什么？（4分）
小题5:从范一郎的蹦极看，他想要证明什么？（4分）
小题6:游玩回家后，文中父子二人的关系是否会变得和谐融洽起来？你这样推断的根据是什么？（4分）
阅读下面的短篇小说《用善良做底色》，完成后面题目。（14分）用善良做底色松 韵天气冷得出奇，寒风咆哮着卷起雪花，升腾起呛人的白烟。温暖的红砖房里，母亲在厨房里忙碌着，柴火在灶坑里噼啪作响，锅上冒着润白的蒸气。我和弟弟早就饿了，正眼巴巴地等待着第一锅酸菜肉蒸饺出笼。这时，有人叫门。父亲出去片刻，带回一个衣着单薄的外乡人来。看上去是个20多岁的农民，但是很年轻，嘴唇都发青了，显然在风雪中冻了很久。“这丝棉很好的，你看看。”他说着，卸下肩上的旧麻袋，就要往外掏丝棉。“别拿了，我不买丝棉。”父亲止住了他，“外面太冷，请你进屋暖和暖和！”“哦，不买？不买啊？这丝棉好，真的很好。”他有些失望，坐在暖和的火墙旁，一时却也并不想挪动。这时，母亲端上了两大盘热腾腾的酸菜肉蒸饺。“你一定饿了，吃几个饺子挡挡寒吧！”母亲看着仍有些哆嗦的他，把筷子递过去。那人的确是饿了，推辞了一下，便接过筷子狼吞虎咽起来。当他意识到我们一家人还没吃饭时，两盘蒸饺只剩下了小半盘。他尴尬地抬起来，窘迫不安地嗫嚅道：“这……我……我……你们，你们还没吃吧？”母亲笑道：“还有呢，你要吃饱了啊！”蒸饺的确还有，可那一笼是纯素馅儿的，一丁点儿肉都没放。弟弟捏了捏我的衣角，嘟起嘴来。一盘半的蒸饺，对他来说可能也就六分饱，但无论如何他也不肯再吃了。接下来的聊天中，我们知道他是安徽的农民，跟父亲弟弟一起到北方贩丝棉，没想到折了本，近年关了，打算把剩下的丝棉低价处理了，好歹挣回返乡的路费。　　“我兄弟的脚冻坏了，他跟我父亲在车站蹲着呢。今儿天太冷，没让他们出来，我寻思把最后一包丝棉卖了，今晚就跟他们坐火车回去。”他说。 母亲听了，感叹道：“唉，你们做点小生意，也挺不容易啊！”父亲跟母亲轻声说了点什么，母亲便去仓房找了三双半新的棉鞋，还有半面袋的冻豆包回来，递给这个年轻人说：“我们也不是有钱人家，要不然，就把你这丝棉买下了。这双棉鞋你换上，另两双拿去给你父亲和弟弟穿，北方不比南方，脚冻伤了可了不得！冻豆包我们今年蒸得多，你带几个让你的父亲和弟弟尝尝吧！”年轻人站了起来，拘谨地搓着手，一遍遍地说：“这可咋好呢？这可咋好呢？我这是遇上好人家了！”我们把他送出门时，年轻人一眼瞥见院子里一堆锯好的圆木。他突然放下肩上的包，三步两步抢过去，“我干点儿活再走！”说着便抡起大斧，劈起柴来。母亲正要劝阻，父亲说： “让他干吧！”寒风中，雪花飘飞，年轻人已经走了，我家院子里，整整齐齐地码着一垛劈得粗细均匀的柴火。弟弟吃了剩下的半盘有肉的蒸饺，玩去了。我跟父母吃着第二笼纯素馅儿的蒸饺，觉得温暖而香甜。我一直认为，在这个世界上，最赏心悦目的，是纤尘未染的青山绿水；最温暖人心的，是人与人之间纯洁真挚的感情。 暮年回首时，最有价值的财富，应是一颗恬淡宁静的心，和一份丰富无悔的回忆。而所有这一切的拥有，都需要用一颗善良单纯的心做底色。小题1:文章开头第一段的环境描写有何作用？（3分）小题2:“我”和父母吃着纯素馅蒸饺时，为什么会觉得“温暖而香甜”？（2分）小题3:年轻人在作出为“我”家劈柴的决定时，心理活动是怎样的？请联系上下文，用文字写出来。（3分）年轻人在为“我”家劈柴时，母亲要阻止，而父亲却说“让他干吧”， 父亲这样做的原因是什么呢？（3分）读下面的材料，然后结合本文，说说你的感受。（3分）日，刚刚卸任的联合国秘书长安南，在得克萨斯州的一个庄园里举行了一场慈善晚宴，旨在为非洲贫困儿童募捐，应邀参加晚宴的都是富商和社会名流。当天慈善晚宴的主角不是倡议者的安南，不是捐出300万美元的巴菲特，而是仅仅捐出30美元零25美分的小露西。她说了这样一句话：“慈善的不是钱，是心。”让全场的人感动不已。
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实验一用matlab求解线性方程组
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