设向量a.b是两个不共线的非零向量(t∈R)1.记向量OA=向量a,向量OB=向量tb,向量OC=1/3(向量a+向量b),那么当t为何值时,A,B,C 三点共线?2.若|向量a|=|向量b|=1 且 向量a与向量b夹角为120°,那么实数x为何值_作业帮
拍照搜题，秒出答案
设向量a.b是两个不共线的非零向量(t∈R)1.记向量OA=向量a,向量OB=向量tb,向量OC=1/3(向量a+向量b),那么当t为何值时,A,B,C 三点共线?2.若|向量a|=|向量b|=1 且 向量a与向量b夹角为120°,那么实数x为何值
设向量a.b是两个不共线的非零向量(t∈R)1.记向量OA=向量a,向量OB=向量tb,向量OC=1/3(向量a+向量b),那么当t为何值时,A,B,C 三点共线?2.若|向量a|=|向量b|=1 且 向量a与向量b夹角为120°,那么实数x为何值时|向量a-x向量b|的值最小?
一：OA=a OB=tb则b=OB/t OC=1/3(a+b)则OC=1/3（OA+OB/t）去括号OC=1/3*OA+1/3t*OB要使ABC共线则等式左边的系数之和等于右边系数之和则1/3+1/3t=1得出t=1/2二：你把a b两个向量看作共起点|向量a-x向量b|的最小值等于a的末端到b所在直线的垂线,垂足就在1/2*b的地方,所以x=-1/2 或者：ab=|a||b|cos120°|a-xb|^2=（a-xb）^2 则a^2-2xab+(xb)^2因为a^2=|a|^2=1 ab=|a||b|cos120°=-0.5 (xb)^2=x^2*|b|^2=x^2∴a^2-2xab+(xb)^2=1+x+x^2 已知（a-xb）^2大于或等于零∴1+x+x^2的最小值为零,得出x=-1/2122.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)
上亿文档资料，等你来发现
122.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义；沂水二中薛蕾喜；三维目标：；1、知识与技能：；（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面；2、过程与方法；（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体；的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思；（2）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各；感性
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义沂水二中
薛蕾喜三维目标：1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； （3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。 3、情态与价值观通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神； 教学重点：平面向量的数量积定义及应用教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系； 运算律的理解和平面向量数量积的应用。教学过程：一、情景导入、引出新课1、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用2、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义二、合作探究，精讲点拨 探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是
②F（力）是
量， ③S（位移）是
。 （3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 （1） 数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，我们把数量 a?bbcos?叫做a与b的数量积（或内积），记作：a?，即：a?= a?cos?（2）定义说明：①记法“a?b”中间的“? ”不可以省略，也不可以用“? ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与的模有关，还和它们的夹角有关。（4）学生讨论，并完成下表：1.给出向量投影的概念：如图，我们把││cos?（│a│cos?） 叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影， 记做：OB1=││cos?注：投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|.2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积a?等于a的长度a与在a的方向上的投影 bcos? 的乘积。探究三：探究数量积的运算性质1、数量积的性质性质：若ａ和ｂ均为非零向量（1）ａ⊥ｂ?ａ?ｂ＝0 （垂直）（2）ａ与ｂ同向时，ａ?ｂ =ａ?ｂ，ａ与ｂ 反向 时，ａ?ｂ =-ａ?ｂ
特别地：ａ?ａ=ａ2 =a?a （长度）（3）cosθ=a?ba?b（夹角） （4）ａ?ｂ ≤ａ?ｂ（注意等号成立的条件）
探究四、数量积的运算律：（1）交换律：；
（2）对数乘的结合律： ；（3）分配律：
思考：数量积满足结合律和消去律吗？ （1）a??b??a??c??b??c?(2)(a??b?)c??a?(b??c?)探究五：典型例题例1：已知｜a｜＝３，｜b｜＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a?b. 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴a?＝｜a｜?｜｜cos0°＝3×6×1＝18； 若a与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a?b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°， ∴a?＝０；③当a与的夹角是60°时，有a?＝｜a｜｜｜cos60°＝3×6×12＝9评述：
两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.例2：已知a=6，b=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b ）?（a-3b），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：（a+2b ）?（a-3b）=a.a-3a.b+2a.b-6b.b
=36-3×4×6×0.5-6×4×4
= -72评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律 变式：（1）(a+b)2=a2+2a?b+b2 （2）(a+ )?(a-)= a2―2 例3：a??3,b??4,a?与b?不共线,k为何值时，向量a??kb?与a??kb?互相垂直？解：(a?kb)?(a?kb)?(a?kb)?(a?kb)?0
?2?k22?0?9?16k2?0?k??34三、思悟小结：知识线：（1）平面向量的数量积；（2）平面向量的数量积的几何意义；（3）平面向量数量积的重要性质及运算律； （4）平面向量的数量积与向量投影的关系。 思想方法线：（1）公式或定义法；（2）数形结合、分类讨论等思想方法。
四、达标练习：
1、下列命题中（1）若a???0,则对任意向量b?有a??b??0（2）若a???0,则对任一个非零向量b?，有a??（3）若a???????b?0（4）若a?0,a?b?0,则b?0????（5）若ａ??b?０??0,则，ａ?a?ｂ?,b中至少有一个为＝ａ??ｃ?，则ｂ?0＝ｃ? （6）若?b??a??c?,则b??c?,当且仅当a??0时成立其中真命题的个数有2.=4=6，与的夹角为1500，则??. 3.下列等式中，其中正确的是
①?a2②a?b③ a?b?2222?a?b
④a?b?2=2?2??2A.1个
D.4个4.已知单位向量e1和e02的夹角为60，则?2e1?e2???3e1?2e2??能力提高： 课本练习；1、2、3 包含各类专业文献、中学教育、高等教育、外语学习资料、专业论文、行业资料、各类资格考试、生活休闲娱乐、122.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)等内容。
　2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义主备人:汤继源 教学三维目标: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了... 　高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案 隐藏&& § 平面向量的数量积 2.4 第 7 课时 一、 平面向量的数量积的... 　高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案2 隐藏&& 第8 课时 二、平面向量数量积的运算律 教学目的: 1.掌握平面向... 　2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。《2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义》 教 案 课 教学目标 (一)知识目... 　关键词:高中数学必修4教案学案 同系列文档 幼班教师寄语 小学教师开学发言稿 秋季...数学必修4教学案:2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(教、学案) 高中数... 　这节课我们就来研究这一问题,即平面向量的另外一种运算:平面 向量数量积的物理背景及其含义 。二、合作探究,精讲点拨 教学目标: 1、知识与技能: (1)理解平面... 　2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量... 　2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 整体设计 教学分析 前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些... 　2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 整体设计 教学分析 前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些...高中数学题！1，若用向量的方法求f(x)=√5+√6-x的最大值，向量的数量积最大值为√6为什么f(x)的最大值为25？二者有何不同吗？2.点（x0,y0)到直线Ax+By+C＝0的距离公式如何推导？_作业帮
拍照搜题，秒出答案
高中数学题！1，若用向量的方法求f(x)=√5+√6-x的最大值，向量的数量积最大值为√6为什么f(x)的最大值为25？二者有何不同吗？2.点（x0,y0)到直线Ax+By+C＝0的距离公式如何推导？
高中数学题！1，若用向量的方法求f(x)=√5+√6-x的最大值，向量的数量积最大值为√6为什么f(x)的最大值为25？二者有何不同吗？2.点（x0,y0)到直线Ax+By+C＝0的距离公式如何推导？
题目我看不懂，弄完整吧平面向量_百度百科
关闭特色百科用户权威合作手机百科
收藏 查看&平面向量
平面是在二维内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（）。平面向量用小写加粗的字母a，b，c表示，也可以用表示向量的的起点和终点字母表示。外文名Plane vector特&&&&点既有方向又有大小
向量(矢量)这个术语作为现代数学-物理学哈密顿中的一个重要概念，首先是由英国数学家哈密顿使用的。向量的名词虽来自哈密顿，但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。
物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。[1][1]有向线段：具有方向的线段叫做，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB；
：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；
零向量：长度等于0的向量叫做，记作或0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；
：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；
平行向量（）：两个方向相同或相反的非零向量叫做或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；
单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。
相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。[1]具有方向的线段叫做，我们以A为起点、B为终点的有向线段记作，则向量可以相应地记作。但是，区别于有向线段，在一般的数学研究中，向量是可以平移的。[2]在直角坐标系内，向量的坐标表示我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由可知，有且只有一对实数x、y，使得：a=xi+yj，我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作：a=(x,y)。
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
根据定义，任取平面上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。[2]印刷体：只用小写字母表示时，采用加粗黑体；向量加法的四边形法则用首尾点大写字母表示时，需要在字母上加箭头，如；
手写体：均需在字母上加箭头表示，如、。向量同数量一样，也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程，包括线性运算（加法、减法和数乘）、数量积、向量积与混合积等。
下面介绍运算性质时，将统一作如下规定：任取平面上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。向量加法的三角形法则已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。
四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。
（本段文字资料整理自[2]，图片为原始资料）AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连终点、方向指向被减向量。
-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。[2]实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ&0时，λa的方向和a的方向相同，当λ&0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)
设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：
(λμ)a= λ(μa)
(λ + μ)a= λa+ μa
λ(a±b) = λa± λb
(－λ)a=－(λa) = λ(－a)
|λa|=|λ||a|[2]
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2
数量积具有以下性质：
a·a=|a|2≥0
k(a·b)=(ka)b=a(kb)
a·(b+c)=a·b+a·c
a·b=0&=&a⊥b
a=kb&=&a//b
e1·e2=|e1||e2|cosθ[2]
向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，向量积示意图则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角，记作&a,b&。已知两个非零向量a、b，那么a×b叫做a与b的向量积或外积。向量积几何意义是以a和b为边的平行四边形面积，即S=|a×b|。
若a、b不共线，a×b是一个向量，其模是|a×b|=|a||b|sin&a,b&，a×b的方向为垂直于a和b，且a、b和a×b按次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
若a=(x1,y1,0),b=(x2,y2,0)，则有：
向量积具有如下性质：
a‖b&=&a×b=0
a×b=-b×a
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)
(a+b)×c=a×c+b×c[3]
给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合积具有下列性质：
三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
上条性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)[3]
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a= λe1+ μe2。[2]三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。
若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。
若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC的重心。
三点共线：三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看2.1.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
文档贡献者
评价文档：
2.1.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示
把文档贴到Blog、BBS或个人站等：
普通尺寸(450*500pix)
较大尺寸(630*500pix)
大小：539.50KB
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢}