怎样证明Rt三角形斜边的中线是斜边的一半_作业帮
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怎样证明Rt三角形斜边的中线是斜边的一半
怎样证明Rt三角形斜边的中线是斜边的一半
作辅助线 RT△ABC C是90°D是AB中点 则CD是斜边AB上的中线延长中线CD到 E使CD=DE 那么AB CE互相平分 并且有一个角是90° 所以ACBE是矩形 那么AB=CE 则CD=AB的一半592011分类解析.矩形的性质与判定,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
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592011分类解析.矩形的性质与判定,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
一．选择题；（2011山东滨州，12，3分）如图，在一张△A；位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的；【答案】C；12；【思路分析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥B；BC．∵∠C=90°，∠B=60°，∴AB＝2B；＝BE＝BC．又∠C＝90°，∴AC＜AB，DC；【方法规律】在拼合时，可以把所有情况列举出来，再；【关键词】三角形的中位线，直角
一．选择题（2011山东滨州，12，3分）如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（
D．4【答案】C 12【思路分析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC．∵∠C=90°，∠B=60°，∴AB＝2BC，AE＝BE＝BC．又∠C＝90°，∴AC＜AB，DC＜BE．如图(1)，把△ADE绕点E旋转180°，使AE与BE重合，由题意可得∠C＝∠D＝∠F＝90°，则四边形BCDF是矩形，且CD＜BC，所以构成邻边不等的矩形，则①成立．如图(2)，把△ADE绕点D旋转180°，使AD与CD重合，由题意可得BC＝BE＝EM＝MC，则四边形BCME是菱形，且∠B＝60°为锐角，则③成立．如图(3)，移动△ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DE∥BN，且DE≠BN，所以四边形BNDE是梯形，又DN＝BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则②成立．因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则④不成立． 【方法规律】在拼合时，可以把所有情况列举出来，再挑出符合条件的情况． 【易错点分析】【关键词】三角形的中位线，直角三角形的性质，矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定（2011四川宜宾，7，3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（
D.6ADBC（第7题图）【答案】D【思路分析】由矩形的性质可得BC＝AD＝8.因为△ABE≌△AFE，所以AB＝AF，BE＝FE＝3，EC＝BC－BE＝AD－BE＝8－3＝5.在Rt△EFC中，由勾股定理，得FC?AB22 EC2?EF22?5?322?4.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2?BC2?AC，即2?8?(AB?4).解得AB＝6.故选D.【方法规律】本题可从条件入手，结合三角形全等、矩形的性质，利用线段代换，在Rt△ABC中，利用勾股定理，构造以所求线段为未知数的一元二次方程求解.【易错点分析】因审题不深入，找不到已知与未知的关系，导致解题中断. 【关键词】矩形的折叠、勾股定理、三角形全等. 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】好题，易错题.（2011湖北宜昌，13，3分）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为(2，1).如果将矩形OABC 绕点0 旋转180°，旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1 的坐标为(
D.(2，-1) （第13题图）【答案】C【思路分析】矩形OA1B1C1是由矩形OABC绕原点旋转180°得到的，矩形OABC与矩形OA1B1C1关于原点成中心对称，因此B1的坐标为(-2,-l).【方法规律】本题通过观察图形中点的坐标，找出图形的变换关系，确定点的坐标．【易错点分析】解答中心对称有关问题时，要熟练掌握中心对称的性质并能灵活运用性质进行解答. 【关键词】图形变换 中心对称 坐标系
【推荐指数】★
【题型】常规题（2011湖南永州，14，3分）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（
）（第14题）【答案】A．【思路分析】直线l在线段BD上匀速平移，从整个过程来看分三个阶段：直线l交矩形的边A B上，此时截线段EF的长度为y逐渐增大，且交于点A处最大，直线l交矩形的边A D上且F与C重合，此时截线段EF的长度为y不变，直线l交矩形的边CD上，此时截线段EF的长度为y逐渐减小。【方法规律】本题为运动型问题，解题策略是“动中取静” ，从动态变化的角度分析分析题意，对三种不同状态下的函数关系进行分类，描绘出相应变量之间的关系，解决本题的关键能够根据图形中的位置与数量的变化来理解函数图像表达的意义。【易错点分析】有的考生没考虑长度有一部分是不变的，而错选B. 【关键词】矩形、运动、图象 【推荐指数】★★★☆☆
【题型】新题二．填空题（2011山东滨州，17，4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形，若∠CED′=56°，则∠AED的大小是_______． 【答案】62° 12【思路分析】由折叠知，∠AED＝∠AED′，又∵∠CED′=56°，∴∠AED＝∠AED′＝62°．【方法规律】通过折叠得到的图形与原图形完全重合． 【易错点分析】(180°－56°)＝【关键词】矩形的性质，折叠 【推荐指数】★★☆☆☆【题型】常规题，操作题 （2011广东佛山，13，3）在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O,若AB=OB = 4,则AD=______ 【答案】 【思路分析】由于矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，所以OA＝OB，而AB=OB＝4，所以△AOB是等边三角形，所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝【方法规律】从图形的特征出发，将问题转化到直角三角形中来，再运用勾股定理求解. 【易错点分析】误认为AD＝2AB＝8.【关键词】矩形的性质、勾股定理. 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题（2011河南，15，3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝60°，BC＝2AD＝，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点C，则△BFG的周长为
． （第15题图） 【答案】3＋【思路分析】∵AD平行且等于BE，且∠ABC＝90°，∴四边形ABED为矩形，∵△DEF是等边三角形，所以∠DEF＝60°，所以∠BEF＝30°，在Rt△DEC中，EC，∠C＝60°，所以DE＝3，所以EF＝DE＝3，在△BEF中，BEEF＝3，∠BEF＝30°，可求得BF＝BE，所以△BFG的周长为3＋．【方法规律】证明一个四边形是矩形的时候，先证明这个四边形是平行四边形，再证明有个直角的，在计算边长的时候，用到了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形边长相等等知识．【易错点分析】不能求出BF的长，也就求不出△BFG的周长． 【关键词】等边三角形，矩形，梯形
【推荐指数】★★★★★
【题型】新题，好题，难题三．解答题（2011山东临沂，11，3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,则四边形BCDE的面积是（
D．43 【答案】A 【思路分析】由题意知，点D,F分别为AC,AB的中点，所以DF为△ABC的中位线，所以DF∥BC,所以∠C=∠CDE=90°，又∠E=90°，所以四边形CDEB为矩形，因为∠A=30°，BC=2,所以AC=23,所以CD=12AC=3,所以四边形BCDE的面积为：BC×CD=2×3=23.【方法规律】求四边形的面积可考虑是否为特殊四边形.把求四边形BCDE的面积转化为求矩形的面积. 【易错点分析】计算容易出错.【关键词】三角形中位线，四边形，矩形.
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题（2011北京市，24，7分）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE?CF；（2）若?ABC?90?，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若?ABC?120?，FG∥CE，FG?CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．D G【答案】(1)证明：如图1．∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F． ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF(2)∠BDG=45°(3)解：分别连结GB、GE、GC（如图3）
∵AB∥DC，∠ABC=120° ∴∠ECF=∠ABC=120° ∵FG∥CE且FG=CE．∴四边形CEGF是平行四边形． 由(1)得CE=CF，平行四边形CEGF是菱形．∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=12∠ECF=60°∴△ECG是等边三角形 ∴EG=CG，
① ∠GEC=∠EGC=60°∴∠GEC=∠GCF．∴∠BEG=∠DCG．
②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB． ∴AB=BE．在平行四边形ABCD中，AB=DC． ∴BE=DC．
③由①②③得△BEG≌△DCG．∴BG=DG．∠1=∠2．∴∠BGD=∠1 +∠3=∠2+∠3=∠EGC=60° ∴∠BDG=180???BGD2=60°．【思路分析】由角平分线及平行线的性质可推出CE=CF；连接BG、CG，由SAS可证△DGF≌△BGC，得到△BGD为等腰直角三角形，所以∠BDG=45°；同理可得△BGD为等腰三角形，再证△BGD为等边三角形，从而得到∠BDG=60°。 【方法规律】特殊图形中包括着边角的关系，只要找到特殊的图形，就能沟通边角间的关系。 【易错点分析】不能做出辅助线从而找到特殊的三角形；不能证明∠BDG为60度。 【关键词】平行四边形，矩形，菱形，角平分线 【推荐指数】★★★★☆ 【题型】新题，好题（2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 【答案】 当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时， 四边形AECF是矩形．………………2分 证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2．………………3分 又∵MN∥BC，∴∠1=∠3． ∴∠3=∠2，∴EO=CO．………………5分 同理，FO=CO．………………6分 ∴EO=FO． 又OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形．………………7分 方法一：又∵∠1=∠2，∠4=∠5， ∴∠1+∠5=∠2+∠4．………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°， ∴∠2+∠4=90°．………………9分 ∴四边形AECF是矩形．………………10分方法二：∵EO=CO，FO=CO，OA=OC，∴EO=CO=FO=OA，即AC＝EF．………8分 ∴平行四边形AECF是矩形．………………10分【思路分析】矩形是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，则只有点O运动到AC的中点时，才能出现平分，才可能是平行四边形，才可能是矩形．【方法规律】矩形的判定方法很多，常用方法是，先证明四边形为平行四边形，再证明有一个角为直角，或证明对角线相等．包含各类专业文献、专业论文、生活休闲娱乐、外语学习资料、文学作品欣赏、592011分类解析.矩形的性质与判定,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等内容。　
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那个“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定律怎么证明来着
那个“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定律怎么证明来着
ΔABC是直角三角形（∠A＝90°），AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）∴DE⊥AB∴E是AB的垂直平分线∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）∴AD=CB/2证明：直角三角形斜边中线等于斜边一半_作业帮
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证明：直角三角形斜边中线等于斜边一半
证明：直角三角形斜边中线等于斜边一半
如上图在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为斜边AC上中点求证&BD=1/2AC证明：取BC中点E,连接DE.∴DE为△ABC的中位线∴DE//AB∴DE⊥BC根据等腰三角形三线合一逆定理∴BD=CD∵D为AC中点∴BD=1/2AC.因此直角三角形斜边中线等于斜边一半.
连接斜边上的中线，三角形内四个角的和是180°，所以那两个在一起的角的和是90°，即为直角三角形
补成一个矩形,矩形对角线相等,得直角三角形斜边中线等于斜边一半直角三角形_百度百科
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有一个为的三角形称为直角三角形。在直角三角形中，直角相邻的两条边称为。直角所对的边称为。直角三角形直角所对的边也叫作“”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。外文名right triangle别&&&&称Rt△适用领域范围分类方法按角或边分类内角和度数180度
直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有（属于特殊情况)等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两相等 直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R。
直角三角形是一种特殊的三角形它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB?+AC?=BC?（)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，半径R=C/2）。该性质称为。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：射影定理图
（1）（AD)?=BD·DC。
（2）（AB)?=BD·BC。
（3）（AC)?=CD·BC。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
证明方法多种，下面采取较简单的几何证法。
先证明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2
∵∠A=30°
∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）
取AB中点D，连接CD，根据可知CD=BD
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BC=BD=AB/2
再证明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°
取AB中点D，连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
又∵BC=AB/2
∴BC=CD=BD
∴∠B=60°
∴∠A=30°
性质7:如图，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则：
证明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC
两边乘以2，再平方得AB?*AC?=AD?*BC?
运用勾股定理，再两边除以 ,最终化简即得
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若 ，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为的直角三角形。
判定4：两个锐角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的之积互为负，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考
判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
判定3和7的证明：
已知△ABC中，∠A=30°，∠A，∠C对的边分别为a，c，且a= c。求证∠C=90°
正弦定理，在△ABC中，有a:sinA=c:sinC
将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1
又∵0&∠C&180°
∴∠C=90°
反证法，假设∠ACB≠90°，过B作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°
∴BD= AB（30°的直角边等于斜边的一半）
又∵BC= AB
但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知BD&BC，从而出现矛盾。
（或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°，那么△BCD中就有两个直角，这是不可能的事情）
∴假设不成立，∠ACB=90°
利用三角形的外接圆证明
作△ABC的外接圆，设圆心为O，连接OC,OB
∵∠BAC=30°，A在圆上
∴∠BOC=60°
∵OB=OC=半径r
∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r
又∵AB=2BC=2r
∴AB是直径
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)等腰直角三角形的边角之间的关系 ：
（1）三角形三内角和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）.
（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
①三角形的内心、重心都在三角形的内部 .
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。
如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：，如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）如图1，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点
立柱为BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，求BC、DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
（一）已知两条直角边的长度 ，可按公式： 计算斜边。
（二）如已知一条直角边和一个锐角，可用直角三角函数计算斜边。
直角三角形ABC的六个元素中除直角C外，其余五个元素有如下关系：
∠A+∠B=90°
sinA=∠A的对边/斜边
cosA=∠A的邻边/斜边
tanA=∠A的对边/∠A的邻边
cotA=∠A的邻边/∠A的对边
例：角A等于30°，角A的对边是4米，计算斜边C是多少？
查表sin30°=0.5，斜边C=4/0.5=8米三角函数值除了查表，也可以用电脑系统自带的计算器，计算。
开始——程序——附件——计算器。这个计算器有两种模式，点‘查看’有一个下拉菜单，有标准型和科学型，选择科学型，输入度数后正弦点sin，余弦点cos，正切点tan，值就直接显示出来了。
这里有一个度和度分秒转换的问题。如 18.69度，其中整数18就是18°，那么18.69-18=0.69，用0.69×60=41.4这里整数41就是41分，再41.4-41=0.4，
再用0.4×60=24这个24就是秒。18.69度=18度41分24秒
也可以用计算器直接转换：输入度数18.69——钩上Hyp——再点dms
就显示出18.4124，这就是18度41分24秒。
如要转换回去就输入18.4124——钩上Inv——再点dms,就转换了。
有一点请注意，显示度分秒时，小数点后面是一位数或三位数如：
15.3； 15.302，应读作15度30分；和15度30分20秒。含义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
1.三条边的关系：
sinA=∠A的对边/斜边
cosA=∠A的邻边/斜边
tanA=∠A的对边/∠A的邻边
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）。
根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
得到数学问题的答案。
得到实际问题的答案。
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