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分子模拟基础
基​础​介​绍​,​适​合​初​学​。
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量子力学习题100（初稿）修订稿
发布：李茂泉 &&&时间：
21:35 &&&阅读次数： 189
量子力学习题100（初稿）修订稿
&《量 子 力 学 习 题 100》
(初 稿) 修 订 稿
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1.由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即
T=b（常量）；
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
2. 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
3.氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。
4.利用玻尔&&索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H=10T，玻尔磁子，试计算运能的量子化间隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。
5. 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
6. 估计M=1G，人走路时对应的量子波长。
函数和方程
7.证明在定态中，几率流与时间无关。
8.由下列定态波函数计算几率流密度：
&从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。
9.一粒子在一维势场
&&&&&&&&&&&&
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
10.证明（2.6-14）式中的归一化常数是
11.求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
12.在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
13.一粒子在一维势阱中
运动，求束缚态()的能级所满足的方程。
14.分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
&求束缚态的能级所满足的方程。
15.设，求A = ？
16.求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。
17.试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。
18.估计一维无限深阱的粒子的基态能量。
19. 估计一维无限深阱的粒子的动量起伏。
20. 估计线性放大器的带宽与增益的积。
21.一维谐振子处在基态，求：
&&& (1)势能的平均值；
&&& (2)动能的平均值；
&&& (3)动量的几率分布函数。
22.氢原子处在基态，求：
&&&&&& (1)r的平均值；
&&&&&& (2)势能的平均值；
&&&&&& (3)最可几半径；
&&&&&& (4)动能的平均值；
&&&&&& (5)动量的几率分布函数。
23.证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&
24.由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。
&&&&& (1)求一圆周电流的磁矩。
&&&&& (2)证明氢原子磁矩为
&&&& 原子磁矩与角动量之比为&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
这个比值称为回转磁比率。
25.一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
(1)转子绕一固定轴转动：
(2)转子绕一固定点转动：
26.设t=0时，粒子的状态为
&&&&&&&&&&&&&
求此时粒子的平均动量和平均动能。
27.一维运动粒子的状态是
其中，求：
&&&&& (1)粒子动量的几率分布函数；
&&&&& (2)粒子的平均动量。
28.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
29.设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
30.一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
求粒子的能级和定态函数。
31. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系
32.粒子处于状态
&&&&&&&&&&&&&
式中为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系
33.利用测不准关系估计氢原子的基态能量。
34.评估一维无限深阱中基态和第一激发态的正交关系，由此理解重叠积分的意义。
35.计算27题坐标的几率分布函数和不确定值。
36*.计算光子相干态的动量与位置的不确定量。
37*.计算光子相干压缩态的动量与位置的不确定量。
（二）算符
38．试以基态氢原子为例证明：的本征函数，而是的本征函数。
39．证明：的氢原子中的电子，在的方向上被发现的几率最大。
40．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为的球壳内被发现的几率最大(为第一玻尔轨道半径 )。
41.当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
& 其中，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。
42.指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
& ①&；&& ②&& &；&&& ③&
43.指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
44.下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？
&& ①，& ②，&& ③，　④，　⑤
45.试求算符的本征函数。
46.如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。
47.证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为的球壳处的几率最（为第一玻尔轨道半径）。
48.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
49.粒子在势能为
&&&&&&&&&&&&&&
的场中运动。证明对于能量的状态，其能量由下式决定：
50.设波函数，求
51.说明：如果算符和都是厄米的，那么
&&&&&&&&&&&&&&&&& (+)也是厄米的
52.问下列算符是否是厄米算符：
&&&&&&& ①&&&&&&&&&&&&&&&&& ②
53.如果算符满足关系式，求证
&&&&&&&&&&& ①
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
56.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。
57.求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
58.求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
59.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
60.设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为
&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&
& 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。
61.求连续性方程的矩阵表示
62.计算exp(d/dx)=?
63.以d/dx为例子，讨论构造厄米算符的数学要求。
64.以氢原子为例，说明算符表象的物理与数学要求。
65.在P表象中解一维无限深阱问题。
66. 在L表象中解一维无限深阱问题，估计能量的不确定度。
67.12在P表象中解一维线性谐振子问题，证明：在经典极限以外粒子出现几率为16%。
68.在P表象中解一维自由粒子问题，说明归一化的困难。
69. 试讨论一维H原子问题，求不确定关系表达。
近似方法（微扰）
70.如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
71.转动惯量为I、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
72.设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。
73.设在时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为，及均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻跃迁到电离态的几率。
74.基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
&&&&&&&&&&&&&&
&& 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。
75.计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。
76.计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。
77.求线性谐振子偶极跃迁的选择定则
78. 一维无限深势阱中的粒子受到微扰
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
作用，试求基态能级的一级修正。
79具有电荷为的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为。其波长较长，求：
&&&&& ①原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。
&&&&& ②讨论跃迁的选择定则。
&&&&& （提示：利用积分关系
80.电荷e的谐振子，在时处于基态，时处于弱电场之中(为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。
81.如果微扰已经在H表象表达出来，如何计算扰动的级次修正。
82.在STARK效应中，选择态基矢时，张开的空间的序列与修正值有何关系，可否任意排序。
83.作突发近似假定时，体系介入的时间数量级与体系的特征时间有何关系，请估计这种假定导致的误差。
纯量子效应（自旋-全同粒子）
85.求在自旋态中，和的测不准关系：
&&&&&&&&&&
86.求的本征值和所属的本征函数。
87.求自旋角动量方向的投影
本征值和所属的本征函数。
&&& 在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？
88.设氢的状态是&
①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；
&②求总磁矩
的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
89. 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
90.证明和组成的正交归一系。
91.设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
92.请阐明pauli矩阵一个分量的物理意义。
93. pauli矩阵的一个分量在实验室如何测出，说明实验过程。
94.计算自旋态向上这一定态的不确定量估计。
95.自旋态的数值已在z方向测出，如何表达出任意方向的测量值。
96.设计一个实验对自旋进行过滤，如何测出自旋的翻转时间。提示：考虑量子测量的纠缠特征。
97.以自旋为例，提出一种测量内部空间力学量的方法。
98.考虑钠原子的电子分布特征，说明如何利用它检测不确定关系的极限及修正。提示：考虑质心与原子态的关系。
99.用MATALAB，AS3 ，C++实现电子的干涉花样。
100.用MATALAB，AS3 ，C++实现电子的衍射花样。
主要参考文献：
[1]周世勋编，量子力学教程，高等教育出版社，1979.2第1版
[2]张宏宝编&量子力学教程学习辅导书，高等教育出版社，2004.2第1版
[3]曾谨言著，量子力学教程，科学出版社，2003第1版
[4]谭维翰编，量子光学导论，科学出版社，2009第1版
[5]刘莲君等编，量子力学与原子物理学学习指导，武汉大学出版社，2000.第1版
[6]刘自信等编，量子力学考研指导与习题精析，科学出版社，版
[7]钱伯初著，量子力学基本原理与计算方法，甘肃人民出版社，1984.第1版
[8]梁绍荣等编，量子力学，北京师范大出版社& ，1987。10.第1版&&&
[9]l曾谨言，钱伯初合著，量子力学专题分析（上），高等教育出版社，1990.6第1版&
[10][日] 大鹿 让 ，森田正人 合著，王友棠 译，量子力学习题选解，高等教育出版社，1982.7第1版&&
[11]张泽慈编，量子力学简明教程，高等教育出版社，1979.5第1版&&
[12]张哲华，刘莲君 编著，量子力学与原子物理学，武汉大学出版社，版&&
[13] ][日] 野村昭一郎 著，李彬等译，量子力学入门，高等教育出版社，1985.1第1版&&
[14]李梧龄 著，量子力学概论，同济大学出版社，版
[15]文焕邦，刘敬乾 著，量子力学，四川科学技术出版社，1985.5第1版
[16]陈中纤编， 现代量子力学教程，原子能出版社，2000.2第2版
[17]关洪编，量子力学基础，高教出版社，1999.6第1版
[18][罗] F. 康斯坦丁内斯库 ，E.马基亚里著，葛源等译，量子力学习题与解答，高等教育出版社，1987.7第1版
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&量子力学试卷_中华文本库
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模拟试卷一
一、名词解释（本题 40 分，每小题 5 分） 1．波粒二象性 2、测不准原理 3、定态波函数 4、算符 5、隧道效应 6、宇称 7、Pauli 不相容原理 8、全同性原理 二、问答题（本题 28 分，每小题 7 分） 1、波函数有哪些性质？ 2、变分法求能量的步骤有哪几步？ 3、对称波函数和反对称波函数有何区别，举例说明。 4、以两个相同粒子（a,b）分配给 3 种状态为例，说明三种统计方法的不同。 三、计算题（本题 32 分，每小题 8 分） 1、试将笛卡尔坐标转化为球极坐标，写出推导过程。 2、一粒子在一维势场
??，x ? 0 ? U ( x) ? ?0， 0 ? x ? a ??，x ? a ?
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 3、试根据热力学公式推导出麦氏关系。 4、根据公式 P ? ?
?? l 证明，对于非相对论粒子： ?V
2U p2 1 2?? 2 2 2 2 ? ( ) (n x ? n y ? n z ) ， n x , n y , n z =0，±1，±2，…，有 p ? 3V 2m 2m L
上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。
一、名词解释（本题 40 分，每小题 5 分） 1．波粒二象性 ： 一切微观粒子均具有波粒二象性（2 分） ，满足 E ? h? （1 分） P ? ，
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