设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．-乐乐题库
& 直线与圆锥曲线的综合问题知识点 & “设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点...”习题详情
176位同学学习过此题，做题成功率89.7%
设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积...”的分析与解答如下所示：
（1）设出F，Q，R的坐标，求出|QR|，利用△QRS的面积为4，可求p的值；（2）求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0，另一种方法是导数法；求直线MN的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及斜率公式，可求斜率，另一种方法是利用kAM=-kAN，确定斜率，从而可得结论．
（1）解：由题设F(0，p2)，设Q(x1，p2)，则R(-x1，p2)…（1分）|QR|=√(x1-(-x1))2+(p2-p2)2=2√x12=2√2p×p2=2p．…（2分）∴由△QRS的面积为4，得：12×2p×p=4，得：p=2．…（4分）（2）证明：由题意A1（-x0，y0）…（5分）首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．解法一：设抛物线在A1处的切线的斜率为k，则其方程为y=k（x+x0）+y0…（6分）联立{y=k(x+x0)+y0x2=2py，消去y得x2-2pkx-2px0k-2py0=0将2py0=x02代入上式得：x2-2pkx-2px0k-x02=0…（7分）△=(-2pk)2+4(2px0k+x02)=0…（8分）即p2k2+2px0k+x02=0，即(pk+x0)2=0，得k=-x0p．即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为-x0p．…（9分）解法二：由x2=2py得y=12px2，…（6分）∴y′=xp…（7分）∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1（-x0，y0）处的切线的斜率为-x0p．…（9分）再求直线MN的斜率．解法一：设直线AM的斜率为k1，则由题意直线AN的斜率为-k1．…（10分）直线AM的方程为y-y0=k1（x-x0），则直线AN的方程为y-y0=-k1（x-x0）．联立{x2=2pyy=k1(x-x0)+y0，消去y得x2-2pk1x+2pk1x0-x02=0…（1）…（11分）∵方程（1）有两个根x0，x1，∴△=(-2pk1)2-4(2px0k1-x02)＞0∴x0，1=2pk1±√△2，x0+x1=2pk1，即x1=2pk1-x0，同理可得x2=-2pk1-x0…（12分）直线MN的斜率kMN=y2-y1x2-x1=x222p-x122px2-x1=x1+x22p=-2x02p=-x0p．…（13分）∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．…（14分）解法二：∵kAM=-kAN…（10分）∴y0-y1x0-x1=-y0-y2x0-x2…（11分）将y0=x022p，y1=x122p，y2=x222p分别代入上式得：x022p-x122px0-x1=-x022p-x222px0-x2，整理得2x0=x1+x2．…（12分）∴直线MN的斜率kMN=y2-y1x2-x1=x222p-x122px2-x1=x1+x22p=-2x02p=-x0p．…（13分）∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．…（14分）
本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力．
找到答案了，赞一个
如发现试题中存在任何错误，请及时纠错告诉我们，谢谢你的支持！
设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△Q...
错误类型：
习题内容残缺不全
习题有文字标点错误
习题内容结构混乱
习题对应知识点不正确
分析解答残缺不全
分析解答有文字标点错误
分析解答结构混乱
习题类型错误
错误详情：
我的名号（最多30个字）：
看完解答，记得给个难度评级哦！
还有不懂的地方？快去向名师提问吧！
经过分析，习题“设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的综合问题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题．
与“设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积...”相似的题目：
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，（1）试求椭圆M的方程；（2）若斜率为12的直线l与椭圆M交于C、D两点，点P(1，32)为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论．
如图，F1（-c，0），F2（c，0）分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a，b＞0）的左，右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F1作直线PF1的垂线交直线l：x=-a2c于点Q．（1）若点P的坐标为（4，6），求双曲线C的方程及点P处的切线方程；（2）证明：直线PQ与双曲线C只有一个交点；（3）若过l：x=-a2c上任一点M作双曲线C：x2a2-y2b2=1（a，b＞0）的两条切线，切点分别为T1，T2，问：直线T1T2是否过定点，若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．
已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为&&&&
“设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点...”的最新评论
该知识点好题
1设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，离心率为54．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（　　）
2已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆x216+y212=1的右焦点，点Q在椭圆上移动，|QF|+12|PQ|的最小值是（　　）
3设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（　　）
该知识点易错题
1设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，离心率为54．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（　　）
2已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆x216+y212=1的右焦点，点Q在椭圆上移动，|QF|+12|PQ|的最小值是（　　）
3设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．”的答案、考点梳理，并查找与习题“设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．”相似的习题。当前位置：
＞＞＞抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜..
抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同）且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1），（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（Ⅲ）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围。
题型：解答题难度：偏难来源：天津高考真题
（Ⅰ）解：由抛物线C的方程，得焦点坐标为，准线方程为；（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为，直线PB的方程为，点的坐标是方程组的解，将②式代入①式得=0，于是，③ 又点的坐标是方程组的解，将⑤式代入④式得，由已知得，， ⑥ 设点M的坐标为，由，将③式和⑥式代入上式得，即，所以线段PM的中点在y轴上。（Ⅲ）解：因为点P（1，-1）在抛物线上，所以a=-1，抛物线的方程为，由③式知，将λ=1代入⑥式得，因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为，于是，，因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有，求得k1的取值范围为，又点A的纵坐标y1满足，故当；当；所以∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围为。
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜..”主要考查你对&&抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率），向量共线的充要条件及坐标表示，用坐标表示向量的数量积，直线与抛物线的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）向量共线的充要条件及坐标表示用坐标表示向量的数量积直线与抛物线的应用
&抛物线的性质（见下表）:
抛物线的焦点弦的性质：
&关于抛物线的几个重要结论：
(1)弦长公式同椭圆．(2)对于抛物线y2=2px(p&0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部&(3)抛物线y2=2px上的点P（x1，y1）的切线方程是抛物线y2=2px(p&0)的斜率为k的切线方程是y=kx+ (4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是(5)过抛物线y2=2px上两点&的两条切线交于点M(x0，y0)，则 (6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F, 又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F．
利用抛物线的几何性质解题的方法：
根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明．
抛物线中定点问题的解决方法：
在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。
利用焦点弦求值：
利用抛物线及焦半径的定义，结合焦点弦的表示，进行有关的计算或求值。
抛物线中的几何证明方法：
利用抛物线的定义及几何性质、焦点弦等进行有关的几何证明是抛物线中的一种常见题型，证明时注意利用好图形，并做好转化代换。 向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.两个向量的数量积的坐标运算:
非零向量，那么，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。 向量的数量积的推广1：
设a=(x,y)，则|a|=x2+y2 ，或|a|=
向量的数量积的推广2：
向量的数量积的坐标表示的证明：
&设直线l的方程为：Ax+By+C=0（A、B不同时为零），抛物线的方程为y2=2px（p＞0），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y（或x） 得到一元二次方程，进而应用根与系数的关系解题。直线与抛物线的位置关系:
直线和抛物线的位置关系，可通过直线方程与抛物线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，同时注意过焦点的弦的一些性质，如：
发现相似题
与“抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜..”考查相似的试题有：
328339281661622309622505559940572557如图,设抛物线C:x^2=4y的焦点为F,P(x0,y0)为抛物线上的任一点（x不等于0）过P点的切线交y轴于Q点.1.证明:PF=FQ_百度作业帮
拍照搜题，秒出答案
如图,设抛物线C:x^2=4y的焦点为F,P(x0,y0)为抛物线上的任一点（x不等于0）过P点的切线交y轴于Q点.1.证明:PF=FQ
如图,设抛物线C:x^2=4y的焦点为F,P(x0,y0)为抛物线上的任一点（x不等于0）过P点的切线交y轴于Q点.1.证明:PF=FQ
抛物线X²=4y即y=1/4x²F(0,1)求导得y'=1/2x那么PQ的斜率k=1/2x0PQ：y-y0=1/2x0(x-x0)令x=0得y=y0-1/2x²0=-y0∴Q(0,-y0)∴FQ=1+yoFP=√[(x²0+(y0-1)²]=√[4y0+y²0-2y0+1]=√(1+y0)²=1+y0∴FP=FQ（2013辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1-2时，切线MA的斜率为-12．（I）求P的值；（II）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
来源试卷：
考点分析：
答案解析：
考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（II）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程解答：解：（I）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=x2，且切线MA的斜率为-12，所以A点的坐标为（-1，14），故切线MA的方程为y=-12（x+1）+14因为点M（1-2，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是y0=-12（2-2）+14=-3-224&&&& ①y0=-(1-2)22p=-3-222p&&&&&&&&& ②由①②解得p=2（II）设N（x，y），A（x1，x124），B（x2，x224），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=x1+x22& ③，y=y1+y22=x12+x228&&& ④切线MA，MB的方程为y=x12（x-x1）+x124，⑤；y=x22（x-x2）+x224⑥，由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=x1+x22，y0=x1x24因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=-4y0，所以x1x2=-x12+x226⑦由③④⑦得x2=43y，x≠0当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=43y因此中点N的轨迹方程为x2=43y
其他类似试题
Copyright ? 2011- Inc. All Rights Reserved. 17教育网站 版权所有 备案号：
站长：朱建新}