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考研概率论复习-假设检验
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《概率论与数理统计》习题
《​概​率​论​与​数​理​统​计​》​习​题
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12数理统计的基本知识习题-0
第八章假设检验习题；1．某种零件的尺寸方差为σ=1.21，对一批这类；取α=0.05时，问这批零件的平均尺寸能认为是3；2．五名学生彼此独立地测量同一块土地，分别测量得；设测定值服从正态分布，试根据这些数据检验这块土地；3．一种元件，要求其使用寿命不得低于1000小时；4．某工厂欲引入一台新机器，由于价格较高，故工程；5．某商店人员到工厂去验收一批产品，双方
假设检验习题1．某种零件的尺寸方差为σ=1.21，对一批这类零件检验6件得尺寸数据（毫米）为：
31.03取α=0.05时，问这批零件的平均尺寸能认为是30.50毫米？（设零件尺寸服从正态分布）22．五名学生彼此独立地测量同一块土地，分别测量得面积为：（公里）： 1.27
1.23设测定值服从正态分布，试根据这些数据检验这块土地的面积是否为1.23 （公里2），取α=0.053．一种元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25件测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差σ=100小时的正态分布，试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格。4．某工厂欲引入一台新机器，由于价格较高，故工程师认为只有在引入该机器能使产品的生产时间平均缩短 8.05％方可采用，现随机进行6次试验，测得平均节约时间4.4％，样本标准差为0.32％，设新机器能使生产时间缩短的时数服从正态分布，问该厂是否引进这台新机器？（α=0.05）5．某商店人员到工厂去验收一批产品，双方协议产品中至少只要有60％的一级品，今抽查了600件产品，其中有一级品346件，问可否接收这批产品？（α=0.05）6．某香烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取容量大小相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，实验实分别做了六次试验测定，数据记录如下：甲 乙27 2828 2323 3026 2530 2122 272试问这两种尼古丁含量有无显著差异？已知α=0.05，假定香烟尼古丁含量服从正态分布，且方差齐性。7．为了降低成本，想变更机件的材质，试研究：材质变化后，零件外径的方差是否改变了？原来材质的零件外径标准差为0.33毫米，材质变更后，零件外径尺寸的数据如下，（α=0.05）32.54
8．在某机床上加工的一种零件的内径尺寸，据以往经验服从正态分布，标准差为σ＝0.033，某日开工后，抽取15个零件测量内径，样本标准差S＝0.050，问这天加工的零件方差与以往有无显著差异？（α=0.05）（α=0.05）22H0:?A??B 10. 某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，均方差为1.60根。现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？ 12. 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布N（100，2）。某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9。问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异? （α=0.05）13 某电器厂生产一种云母片，根据长期正常生产积累的资料知道云母片厚度服从正态分布，厚度的数学期望为0.13毫米。如果在某日的产品中，随机抽查10片，算得子样观察值的均值为0.146毫米，均方差为0.015毫米。问该日生产的云母片厚度的数学期望与往日是否有显著差异（显著水平α=0.05）？14. 某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的均方差为0.048。某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44。问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著水平α=0.1）？15. 某项考试要求成绩的标准为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差 为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符合要求（α=0.05）?16. 设（X1，…，Xn）为从正态总体N（μ，1）中抽取的样本。在显著性水平α下检验（x1，…，xn）:?|X|??1??},试求当μ=1时，H0:??0;H1:??0。取拒绝域w为｛所犯的第Ⅱ类错误的概率。17 某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,得子样观察值为：甲：25，28，23，26，29，22； 乙：28，23，30，25，21，27。假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著水平α=0.05，）？ 18. 对第1题中两种香烟的尼古丁含量，检验它们的方差有无显著差异（显著水平α=0.1）？ 19. 为检验两架光测高温计所确定的温度读数之间有无显著差异，设计了一个试验，用两架仪器同时对一组10只热炽灯丝作观察，得数据如下：且方差相同，试根据这些数据来确定这两只高温计所确定得温度读数之间有无显著差异（α=0.05）?20. 由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从N(?1,?1)及N(?2,?2)。现从两矿各抽几个试件，分析其含灰率为：甲矿：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4（%）； 乙矿：18.2，16.9，20.2，16.7（%）。22问甲、乙两矿所采煤的平均含灰率是否有显著差异（α=0.05）？ 第六章 数理统计的基本知识习题1．求下列各组样本值的中位数、极差、平均数和方差： （1）
2807 （2）11.20
11.40（3）54
69（4）99.3
99.7 （5）100.3
2．利用样本均值和样本方差性质，计算下各组样本值的均值和方差： （1）410
440（2）10.02
9.98（3）576
5743.设X~N(?,?),?未知,且?已知, X1,?,Xn为取自此总体的一个样本,指出下列各式中哪些是统计量,哪些不是,为什么?(1) X1?X2?Xn??
(2)Xn?Xn?1
(3)22???6(4)?i?1n(Xi??)2?2 4.设X1,?,Xn是来自具有?2(m)分布的总体的样本.求样本均值的期望与方差. 5.设总体X~N(10,9),X1?,X6是它的一个样本,Z?P(Z&11).6. 设从总体X~N(?,?2)中抽取容量为18的样本, μ,σ2未知 ,(1)求P(S2/σ2≤1.2052),?Xi?1i,(1)写出Z的概率密度; (2)求其中S2??(Xi?1ni?)2.,(2) 求D(S2).n?1227. 设X~N(0,1),Y~?(n),X与Y相互独立,又t?X,证明t~F(1,n).Yn8. 设总体X~N(80,202)，从总体中抽取一个容量为100的样本，问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？9. 设总体X~N(0,1),从此总体中取一个容量为6的样本(X1,?,X6),设Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2,试决定常数c,使得随机变量cY服从?2分布.,625),各从中抽取容量为5的样本,,10. 总体X,Y独立,X~N(150,400),Y~N(125分别样本均值,求??0的概率.包含各类专业文献、中学教育、高等教育、生活休闲娱乐、应用写作文书、外语学习资料、各类资格考试、专业论文、行业资料、文学作品欣赏、12数理统计的基本知识习题等内容。
　数理统计的基本知识习题 -5。南京理工考研 单片机大数定律与中心极限定理习题 第五章 大数定律与中心极限定理习题 1.用切贝谢夫不等式估计下列各题的概率: (1)... 　24页 1下载券 3第三章基本数理统计知识... 44页 免费喜欢此文档的还喜欢 ...习题二 2.1 将一颗骰子抛掷两次,以 X 表示两次抛掷的最大点数,求 X 的分布... 　数理统计的基本知识习题数理统计的基本知识习题隐藏&& 习题三 3.1 将一硬币抛掷 3 次,以 X 表示在 3 次中出现正面的次数,以 Y 表示 3 次中 出现正面次数与... 　综合练习 一 单项选择题 1. 知, 设 数理统计的基本知识 X1 , X 2 , X 3 , X 4 是来自总体 X ~ N (? ,? 2 ) 的样本,其中 ? ) 已 ? 未知,... 　概率4数理统计的基本知识章习题概率4数理统计的基本知识章习题隐藏&& 第四章 数理统计的基本知识典型例题分析例 1 设正态总体 中 未知, 已知,又设 是来自总体的... 　这是数理统计所要解决的一个首要问 题。为了要掌握上述车辆速度的分布、不合格...107 概率论与数理统计 第 6 章 数理统计的基本知识 108 概率论与数理统计 第... 　第六章数理统计的基本知识数理统计的内容主要包括以下两个方面:一、如何收集、...0.75 练习 1 设 X 1 ,?, X 6 是来自总体 N (0,1) 的样本, 又设 Y... 　数理统计的基本知识习题 第六章 数理统计的基本知识习题 1.求下列各组样本值的中位数、极差、平均数和方差: (1)63
(2)11.20 11.28... 　数理统计的基本知识习题 3页 5财富值 第六章、数理统计的基本知... 6页 5财富值 数理统计的基本知识习题 +... 3页 20财富值 数理统计的基本知识习题 1.....概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 第一章 随机事件及其概率（一） 学号一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 （A）不可能事件 （B）必然事件 （C）随机事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 （A） A1 ? {抽到的三个产品全是合格品} （B） B1 ? {抽到的三个产品全是合格品} （C） C1 ?
{抽到的三个产品中合格品不少于 2 个} （D） D1 ? {抽到的三个产品中有 2 个合格品} 3．下列事件与事件 A ? B 不等价的是 （A） A ? AB （B） ( A ? B) ? B （C） AB[ C （D）样本事件 [ B] ]A2 ? {抽到的三个产品全是废品} B2 ? {抽到的三个产品中至少有一个废品} C2 ? {抽到的三个产品中废品不多于 2 个} D2 ? {抽到的三个产品中有 2 个废品}[ （D） AB [ C] C]4．甲、乙两人进行射击，A、B 分别表示甲、乙射中目标，则 A ? B 表示 （A）二人都没射中 （C）二人没有都射着 （B）二人都射中 （D）至少一个射中5．以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对应事件 A 为. （A） “甲种产品滞销，乙种产品畅销” ； （C） “甲种产品滞销” ； （B） “甲、乙两种产品均畅销” ； （D） “甲种产品滞销或乙种产品畅销 [[D]6．设 ? ? {x | ?? ? x ? ??}, A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 3} ，则 AB 表示 （A） {x | 0 ? x ? 1} （C） {x |1 ? x ? 2} （B） {x | 0 ? x ? 1} （D） {x | ?? ? x ? 0} ?{x |1 ? x ? ??}A]7．在事件 A ， B ， C 中， A 和 B 至少有一个发生而 C 不发生的事件可表示为 （A） AC ? B C ； （C） ABC ? A BC ? ABC ； 8、设随机事件 A, B 满足 P( AB) ? 0 ，则 （A） A, B 互为对立事件1[A]（B） ABC ； （D） A ? B ? C . [ D (B) ]A, B 互不相容(C)AB 一定为不可能事件(D)AB 不一定为不可能事件二、填空题 1．若事件 A，B 满足 AB ? ? ，则称 A 与 B 互不相容或互斥 。2． “A，B，C 三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为ABC ? ABC ? ABC ? ABC 或AB ? AC ? BC。三、简答题： 1．一盒内放有四个球，它们分别标上 1，2，3，4 号，试根据下列 3 种不同的随机实验，写出对 应的样本空间： （1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果； （2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果； （3）一次从盒中任取 2 个球，记录取球的结果。 答： （1） ｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝ （2） ｛ （1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)｝ (3） ｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝2．设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件。 （1）A、B、C 中只有 A 发生； （2）A 不发生，B 与 C 发生； （3）A、B、C 中恰有一个发生； （4）A、B、C 中恰有二个发生； （5）A、B、C 中没有一个发生； （6）A、B、C 中所有三个都发生； （7）A、B、C 中至少有一个发生； （8）A、B、C 中不多于两个发生。 答：(1) ABC (6) ABC(2) ABC(3) ABC ? ABC ? ABC (5) ABC (8)C ? A ? B ? ABC(4) ABC ? ABC ? ABC (7) A ? B ? C2概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 第一章 随机事件及其概率（二） 学号一、 选择题： 1．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为 3”的概率是 （A）[ B （D）]1 36（B）1 18（C）1 121 112．袋中放有 3 个红球，2 个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球 的概率是 [ B] （A）9 25（B）3 10（C）6 25（D）3 20[ B]3． 已知事件 A、B 满足 A ? B ，则 P( B ? A) ? （A） P( B) ? P( A) （C） P( A B) （B） P( B) ? ( A) ? P( AB) （D） P( B) ? P( AB)4．A、B 为两事件，若 P( A ? B) ? 0.8 , P( A) ? 0.2, P( B) ? 0.4 ，则 （A） P( A B ) ? 0.32 （C） P( B ? A) ? 0.4 （B） P( A B) ? 0.2 （D） P( B A) ? 0.48[B]5．有 6 本中文书和 4 本外文书，任意往书架摆放，则 4 本外文书放在一起的概率是 （A）[D]4!? 6! 10!（B）7 10（C）4 10（D）4!? 7! 10!二、选择题： 1．设 A 和 B 是两事件，则 P( A) ? P( AB) ?P( A B)2．设 A、B、C 两两互不相容， P( A) ? 0.2 , P( B) ? 0.3, P(C ) ? 0.4 ，则 P[( A ? B) ? C ] ? 0.5P[( A ? B) ? C ] ? P( A ? B) ? P(( A ? B)C）解答： ? P( A ? B) ? P(? )(因为A,B,C两两互不相容）＝P(A)+P( B) ? 0.53．若 P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.4, P( A ? B) ? 0.3 ，则 P( A ? B ) ? 0.8 。P( A ? B) ? P( A) ? P( AB) 解： 0.3 ? 0.5 ? P( AB) ? P( AB) ? 0.2 P( A ? B) ? P( AB) ? 1 ? P( AB) ? 0.834．设两两独立的事件 A，B，C 满足条件 ABC ? ? ， P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ?1 ，且已知 2P( A ? B ? C ) ?9 ，则 P( A) ? 1/4 16。P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC )解： 9 /16 ? 3P( A) ? 3P 2 ( A)( A, B, C两两独立，且ABC=? )P( A) ? 1/ 4(3/ 4舍）1 1 ， P( AB) ? 0 , P( AC ) ? P( BC ) ? ，则 A、B、C 全不发生的概 8 45．设 P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? 率为 1/2 。解：P( ABC ) ? 1 ? P( A ? B ? C ) P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC ) ? 3/ 4 ? 2 / 8 ? 0 ? 1/ 2 ( ABC ? AB)6．设 A 和 B 是两事件， B ? A ， P( A) ? 0.9, P( B) ? 0.36 ，则 P( AB ) ? 0.54 解： P( AB) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.54。( B ? A)三、计算题： 1．罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子，4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求： （1）取到的都是白子的概率； （2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的 3 颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的 3 颗棋子颜色相同的概率。3 3 (1) P 1 ? C8 / C12 ? 14 / 55 1 3 (2) P2 ? C82C4 / C12 ? 28 / 55解： （1）(3) P3 ? 1 ? P 1 ? 41/ 553 3 (4) P4 ? (C83 ? C4 ) / C12 ? 41/ 552．加工某一零件共需经过 4 道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为 2%、3%、5% 和 3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解：A,B,C,D 分别表示第一、二、三四道工序出现次品P( A) ? 2%, P( B) ? 3%, P(C ) ? 5%, P( D) ? 3% 加工出的成品率P( ABC D) ? P( A) P( B) P(C ) P ( D) ? 0.98*0.97 *0.95*0.97 ? 0.876 次品率1－P( ABC D) ＝ 0.12443．袋中人民币五元的 2 张，二元的 3 张和一元的 5 张，从中任取 5 张，求它们之和大于 12 元的 概率。法一：大于12的有13,14,15,16 P（大于12元）＝P(13) ? P(14) ? P(15) ? P(16)2 3 5 2 2 1 5 2 1 2 5 2 3 5 解： ? C2 C3 / C10 ? C2 C3 C5 / C10 ? C2 C3C5 / C10 ? C2 C5 / C10 ? 2/9法二：2 3 5 P（大于12元）＝C2 C8 / C10 ? 2/9概率论与数理统计练习题系 一、 选择题： [A ] 专业 班 姓名 第一章 随机事件及其概率（三） 学号1．设 A、B 为两个事件， P( A) ? P( B) ? 0 ，且 A ? B ，则下列必成立是 （A） P( A | B) ? 1 （D） P( B | A) ? 1 （C） P( B | A) ? 1（D） P( A | B ) ? 02．设盒中有 10 个木质球，6 个玻璃球，木质球有 3 个红球，7 个蓝色；玻璃球有 2 个红色，4 个 蓝色。现在从盒中任取一球，用 A 表示“取到蓝色球” ，B 表示“取到玻璃球” ，则 P(B|A)=[ D ]。 （A）6 10（B）6 16（C）4 7（D）4 11[ B ]3．设 A、B 为两事件，且 P( A), P( B) 均大于 0，则下列公式错误的是 （A） P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) （C） P( AB) ? P( A) P( B | A) （B） P( AB) ? P( A) P( B) （D） P( A) ? 1 ? P( A)4．设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中有一件是不合格品，则 另一件也是不合格品的概率为 [ B ] （A）2 5（B）1 5（C）1 2（D）3 55解：A：至少有一件不合格品，B：两件均是合格品。 B ? A2 C4 P( AB) P( B) 4 ? 3/ 2 P( B | A) ? ? ? 2 ? ? 1/ 5 1 1 P( A) P( A) C4 ? C4C6 6 ? 245．设 A、B 为两个随机事件，且 0 ? P( A) ? 1, P( B) ? 0, P( B | A) ? P( B | A) ，则必有 （A） P( A | B) ? P( A | B) （C） P( AB) ? P( A) P( B) （B） P( A | B) ? P( A | B) （D） P( AB) ? P( A) P( B)[C]0 ? P ( A) ? 1, P( B) ? 0, P ( AB ) P ( BA) P ( B ) ? P ( AB ) ? ? P ( A) P ( A) 1 ? P ( A) 解：? P ( AB )(1 ? P ( A)) ? P ( A)( P ( B ) ? P ( AB )) P ( B | A) ? P ( B | A) ? ? P ( AB ) ? P ( AB ) P ( A) ? P ( A) P ( B ) ? P ( A) P ( AB ) ? P ( AB ) ? P ( A) P ( B )二、填空题： 1．设 A、B 为两事件， P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.6, P( B) ? 0.3 ，则 P( B | A) ? 1/6? P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.6, P( B) ? 0.3 ? 0.8 ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 0.6 ? 0.3 ? P( AB) 解： P( AB) ? 0.1 P( AB) 0.1 ? P( B | A) ? ? ? 1/ 6 P( A) 0.62．设 P( A) ? 0.6 , P( A ? B) ? 0.84 , P( B | A) ? 0.4 ，则 P( B) ? 0.6P( AB ) P( A) ? P( AB) 0.6 ? P( AB) ? ? P( A) P( A) 0.6 解：? 0.6 ? P( AB) ? 0.24, ? P( AB) ? 0.36 ? P( A) ? 0.6 , P( B | A) ? 0.4 ? ? P( A ? B) ? 0.84 ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 0.6 ? P( B) ? 0.36 ? P( B) ? 0.63．若 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.8 , P( B | A) ? 0.2 ，则 P( A | B) ? 0.96P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.8 , P( B | A) ? 0.2 ?解：P( BA) 0.8 ? P ( AB) 0.8 ? P ( AB ) ? ? P ( A) 1 ? P( A) 0.4? P( AB) ? 0.72 P( A | B) ? P( AB) 0.72 ? ? 0.9 P( B) 0.84．某产品的次品率为 2%，且合格品中一等品率为 75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的 概率为 0.735 解：A：合格品；C：一等品. P(C | A) ? 0.75, P(C) ? P( A) P(C | A) ? 0.98*0.75 ? 0.7355．已知 A 1, A 2,A 3 为一完备事件组，且 P( A 1 ) ? 0.1, P( A 2 ) ? 0.5, P( B | A 1 ) ? 0.2 P( B | A 2 ) ? 0.6P( B | A3 ) ? 0.1，则 P( A1 | B) ?P( A1 | B ) ?解：1/18P( A1 B ) P ( A1 )( B | A1 ) ? P( B) P( A1 )( B | A1 ) ? P( A2 )( B | A2 ) ? P( A3 )( B | A3 )?0.1? 0.2 ? 1/18 0.1? 0.2 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.1? 0.4三、计算题： 1．某种动物由出生活到 10 岁的概率为 0.8，活到 12 岁的概率为 0.56，求现年 10 岁的该动物活到 12 岁的概率是多少？ 解：A: 某种动物由出生活到 10 岁.B: 某种动物由出生活到 12 岁B? A ? P( B | A) ? P( AB) P( B) ? ? 0.7 P( A) P( A)2．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占 60%，乙车间占 40%，且甲车间的正品率为 90%，乙 车间的正品率为 95%，求： （1）任取一件产品是正品的概率； （2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。 解：A：某产品由甲两车间生产。B：任取一件产品是正品。P( A) ? 0.6, P( A) ? 0.4, P( B | A) ? 0.9, P( B | A) ? 0.95已知： (1) P( B) ? P( A) P( B | A) ? P( A) P( B | A) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.4 ? 0.95 ? 0.92(2) P( A | B) ?P( AB) P( A) P( B | A) 0.4 ? (1 ? 0.95) ? ? ? 25% 1 ? P( B) 1 ? 0.92 P( B)73．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统 A 与 B，每种系统单独使用时，其有效的概率系 统 A 为 0.92，系统 B 为 0.93，在 A 失灵的条件下，B 有效的概率为 0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。 解: 设 A 为系统 A 有效, B 为系统 B 有效, 则根据题意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, P( B | A ) ? 0.85 (1) 两个系统至少一个有效的事件为 A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即 A ? B ? A B , 而 P( B | A) ? 1 ? P( B | A) ? 1 ? 0.85 ? 0.15, 则P ( A B ) ? P ( A ) P ( B | A ) ? (1 ? 0.92) ? 0.15 ? 0.08 ? 0.15 ? 0.012 P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A B ) ? 1 ? 0.012 ? 0.988(2) B 失灵条件下 A 有效的概率为 P( A | B ) , 则P( A | B ) ? 1 ? P ( A | B ) ? 1 ?P( A B ) 0.012 ? 1? ? 0.829 P( B ) 1 ? 0.934．某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区 别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内 10 瓶一等品，8 瓶二等品，6 瓶三等品，销售部主任从中任取 1 瓶，请 3 位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲 说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙 3 位专家判 定的准确率分别为 0.96,0.92和0.90 。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？ 解：A：这瓶酒是一等品。B1 , B2 , B3 分别表示甲、乙、丙说是一等品。 B1 , B2 , B3 相互独立。已知：8P ( B1 | A) ? 0.96, P ( B2 | A) ? 0.92,1 C10 P ( B3 | A) ? 0.9, P ( A) ? 1 ? 5 /12 C24P ( B1 B 2 B 3 ) ? P ( B1 B 2 B 3 | A) P ( A) ? P ( B1 B 2 B 3 | A) P ( A) ? P ( B1 | A) P ( B 2 | A) P ( B 3 | A) P ( A) ? P ( B1 | A) P ( B 2 | A) P ( B 3 | A) P ( A) ? 0.96 ? 0.08 ? 0.1? 5 5 ? 0.04 ? 0.92 ? 0.9 ? (1 ? ) 12 12 P ( B1 B 2 B 3 A) P ( A | B1 B 2 B 3 ) ? P ( B1 B 2 B 3 )P ( B1 B 2 B 3 | A) P ( A) ? P ( B1 B 2 B 3 ) ? 0.96 ? 0.08 ? 0.1? 5 125 5 0.96 ? 0.08 ? 0.1? ? 0.04 ? 0.92 ? 0.9 ? (1 ? ) 12 12 ? 14.2%9概率论与数理统计练习题系 一、选择题： 1．设 A，B 是两个相互独立的事件， P( A) ? 0, P( B) ? 0 ，则一定有 P( A ? B) ? （A） P( A) ? P( B) （B） 1 ? P( A) P( B ) （C） 1 ? P( A) P( B) [ B ] 专业 班 姓名 第一章 随机事件及其概率（四） 学号（D） 1 ? P( AB) [ B ]2．甲、乙两人各自考上大学的概率分别为 0.7，0.8，则两人同时考上大学的概率是 （A）0.75 （B）0.56 （C）0.50（D）0.94 [ D ]3．某人打靶的命中率为 0.8，现独立的射击 5 次，那么 5 次中有 2 次命中的概率是 （A） 0.8 ? 0.22 3（B） 0.82（C）2 ? 0 .8 2 5（D）C2 50 . 8 2 ? 0 .2 3[ C ]4．设 A，B 是两个相互独立的事件，已知 P( A) ?1 1 , P( B) ? ，则 P( A ? B) ? 2 32 3（D）（A）1 2（B）5 6（C）3 4[ B ]5．若 A，B 之积为不可能事件，则称 A 与 B （A）独立 二、填空题： 1．设 A 与 B 是相互独立的两事件，且 P( A) ? 0.7 , P( B) ? 0.4 ，则 P( AB) ? 0.12 （B）互不相容 （C）对立（D）构成完备事件组2．设事件 A，B 独立。且 P( A) ? 0.4 , P( B) ? 0.7 ，则 A，B 至少一个发生的概率为 0.82 3．设有供水龙头 5 个，每一个龙头被打开的可能为 0.1，则有 3 个同时被打开的概率为2 C5 (0.1)3 (0.9)2 ? 0.00814．某批产品中有 20%的次品，进行重复抽样调查，共取 5 件样品，则 5 件中恰有 2 件次品的概率 为2 C5 (0.2)2 (0.8)3 ? 0.2048 ，5 件中至多有 2 件次品的概率 0 5 2 3 C5 (0 .8 ) ? C51 ( 0. 2 )0 ( 8 .4?) C5 2 0 ( 2. ) 0( ? 8 . ) 0 9 .4 2。 08三、计算题： 1．设某人打靶，命中率为 0.6，现独立地重复射击 6 次，求至少命中两次的概率。 解：所求的概率为10P ? ? P6 (k ) ? 1 ? P6 (0) ? P6 (1)K ?26? 1 ? (0.4)6 ? 6 ? (0.6)(0.4)5 ? 0.959042．某类灯泡使用寿命在 1000 个小时以上的概率为 0.2，求三个灯泡在使用 1000 小时以后最多只 坏一个的概率。 解：设 A =“灯泡使用寿命在 1000 个小时以上” ， 则 P( A) ? 0.20 1 所求的概率为 P ? C3 P( A)3 P( A)0 ? C3 P( A)2 P( A)? (0.2)3 ? 3 ? (0.2)2 ? 0.8 ? 0.1043．甲、乙、丙 3 人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为 0.4，0.5，0.7。如果只有一人击 中飞机，则飞机被击落的概率是 0.2；如果 2 人击中飞机，则飞机被击落的概率是 0.6；如果 3 人都 击飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。 解：设 A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机” Dk =“k 人击中飞机” （k =1，2，3） H =“敌机被击中”P( D1 ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC)? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.36P( D2 ) ? P( ABC ) ? P( ABC) ? P( ABC)? 0. 4 ? 0 . 5? 0 . 3 ? .0 ? 4 .0 ? 5 . 0 ?7 . 0 ? 6. 0 ?5 . ? 0 7. 0 41P( D3 ) ? P( ABC ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.14 P( H )? P( 1 D ) P( H |1 D ?) P( D) 2 D ) P( H2 | ?3P( D ) P( H 3 | D )? 0.36 ? 0.2 ? 0.41 ? 0.6 ? 0.14 ? 1 ? 0.4584．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查 新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为 p 。 （1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程） ； （2）求缺陷在第 n 个过程结束之前被查出的概率； （3）若缺陷经 3 个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注： （1） 、 （2） 、 （3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。 （4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为 0.1 ，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3） 的假设下一元件通过检查的概率； （5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设 p ? 0.5 ） 。11解：设 Ak =“第 k 个过程前有缺陷的元件被查出” B =“元件有缺陷” C =“元件通过检查”2 （1） P( A 1 ?A 1A 2 ) ? P( A 1 ) ? P( A 1 )P( A 2 ) ? p ? p(1 ? p) ? 2 p ? p（2） P( A 1 ?A 1A 2 ?A 1A 2A 3 ?? ? A 1A 2 ?A n?1 A n)? p ? p(1 ? p) ? p(1 ? p)2 ? ? ? p(1 ? p)n?1 ? 1 ? (1 ? p)n3 （3） P( A 1A 2A 3 ) ? (1 ? p) 3 （4） P(C) ? P( BA 1A 2A 3 ? B ) ? 0.1? (1 ? p) ? 0.9（5） P( A1 A2 A3 | C ) ?P( BA1 A2 A3 ) P(C )?0.1(1 ? p)3 ? 0.(1 ? p)3 ? 0.9（ p ? 0.5 ）5．设 A，B 为两个事件， P( A | B) ? P( A | B), P( A) ? 0, P( B) ? 0 ，证明 A 与 B 独立。 证： 由于 P( A | B ) ?P( AB ) P( B )P( A | B ) ?P( AB ) P( A) ? P( AB) ? P( B ) 1 ? P( B)已知P( A | B) ? P( A | B)P ( AB ) P( A )? P ( AB ) ? P( B ) 1 ? P( B )P( AB) ? P( A)P( B)有即所以 A 与 B 独立概率论与数理统计练习题系 一、选择题：12专业 班 姓名 第一章 随机事件及其概率（五）学号1．对于任意两个事件 A 和 B （A）若 AB ? ? ，则 A，B 一定独立 （C）若 AB ? ? ，则 A，B 一定独立[ B （B）若 AB ? ? ，则 A，B 有可能独立 （D）若 AB ? ? ，则 A，B 一定不独立 []2．设 0 ? P( A) ? 1, 0 ? P( B) ? 1 , P( A | B) ? P( A | B) ? 1 ，则 （A）事件 A 和 B 互不相容 （C）事件 A 和 B 互不独立 （B）事件 A 和 B 互相对立 （D）事件 A 和 B 相互独立D ]3．设 A，B 为任意两个事件且 A ? B ， P( B) ? 0 ，则下列选项必然成立的是 （A） P( A) ? P( A | B) （C） P( A) ? P( A | B) 二、填空题： 1．已知 A，B 为两个事件满足 P( AB) ? P( AB) ，且 P( A) ? p ，则 P( B) ? 2．设两两独立的事件 A，B，C 满足条件 ABC ? ? ， P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? （B） P( A) ? P( A | B) （D） P( A) ? P( A | B)[B ]1? p1 ，且已知 2P( A ? B ? C ) ?9 ，则 P( A) ? 160.253．假设一批产品中一，二，三等品各占 60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品， 则取到的是一等品的概率是 三、计算题： 1．设两个相互独立的事件都不发生的概率为 率相等，求 A 发生的概率 P ( A) 解：已知 P( AB ) ? P( A ) P( B ) ? 而 P( AB ) ? P( A) ? P( AB) 所以，有 P( A) ? P( B) 故 2/31 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概 91 9又 P( AB ) ? P( BA)P( BA) ? P( B) ? P( AB)P( A ) ? 1 3P( A) ?2 32．如果一危险情况 C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善13可靠性。在 C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个 这样的开关并联连接，它们每个具有 0.96 的可靠性（即在情况 C 发生时闭合的概率） ，问这时系统 的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为 0.9999 的系统，则至少需 要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。1 解：设一个电路闭合的可靠性为 p，已知 C2 p(1 ? p) ? p2 ? 0.96 ，所以p ? 0.8设 n 个开关并联，可使系统可靠性至少为 0.9999 则? Cnk pk (1 ? p)k ? ? Cnk (0.8)k (0.2)n?k ?1 ? (0.2)n ? 0.9999k ?1 k ?1nn即(0 .2 n ) ? 0 .0 0 0 1 n ?lg 0. 0 0 0 1 ? 5. 7 2 2,7 lg 0.2所以 取 6 个开关并联，可使系统可靠性至少为 0.9999。 3．将 A、B、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 ? ，而输出为其他一字母的概率 为1?? 。今将字母串 AAAA, BBBB, CCCC 之一输入信道，输入 AAAA, BBBB, CCCC 的概率分 2别为 p1 , p2 , p3 ( p1 ? p2 ? p3 ? 1) ，已知输出为 ABCA ，问输入的是 AAAA 的概率是多少？（设信 道传输各个字母的工作是相互独立的） 解： P( AAAA | ABCA)?P( AAAA) P( ABCA | AAAA) P( AAAA) P( ABCA | AAAA) ? P( BBBB) P( ABCA | BBBB) ? P(CCCC ) P( ABCA | CCCC )?1?? ? p1 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 3 ?1?? ? ?1?? ? 2 ?1?? ? p1 ? ? ? ? ? p2 ? ? ? ? ? p3 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?2 23?2 p1? (3 p1 ? 1)? ? p 2 ? p34．一条自动生产线连续生产 n 件产品不出故障的概率为?nn!e? ? (n ? 0,1, 2,?) ，假设产品的优质14率为 p (0 ? p ? 1) 。如果各件产品是否为优质品相互独立。求： （1）计算生产线在两次故障间共生产 k 件（k = 0，1，2，?）优质品的概率； （2）若已知在某两次故障间该生产线生产了 k 件优质品，求它共生产 m 件产品的概率。 解：An : 生产n件产品不出故障； B : 共生产k件优质品。 （ 1 ）P( B) ? ? P( B | An )P( An ) ? ? Cn P (1 ? P)k k n?k n?k ?? ?? n?k?nn!e ??（2）P( Am | B) ?P( Am B) P( B | Am ) P( Am ) ? P( B) P( B)概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 第二章 随机变量及其分布（一） 学号一．选择题： 1．设 X 是离散型随机变量，以下可以作为 X 的概率分布是[]X（A）x1 1 2x2 1 4x3 1 8x4 1 16 x4 1 12X（B）x1 1 2x2 1 4x3 1 8 x 3 1 4x4 1 8 x 4 ? 1 12]p Xp X（C）x1 1 2x2 1 3x3 1 4p（D）x 1 1 2x 2 1 3p2．设随机变量ξ 的分布列为 （A）0.2 二、填空题：X 0 1 2 3 F ( x) 为其分布函数，则 F (2) = [ p 0.1 0.3 0.4 0.2（C）0.8 （D）1（B）0.41．设随机变量 X 的概率分布为X 0 1 2 p a 0.2 0.515，则 a =2．某产品 15 件，其中有次品 2 件。现从中任取 3 件，则抽得次品数 X 的概率分布为 3．设射手每次击中目标的概率为 0.7,连续射击 10 次，则击中目标次数 X 的概率分布为 三、计算题： 1．同时掷两颗骰子，设随机变量 X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2） P( X ? 3) ； （3） P( X ? 12)2．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20% 及 10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量 X 描述检查结果。3．已知随机变量 X 只能取 ?1 ，0，1，2 四个值，相应概率依次为 数 c，并计算 P( X ? 1)1 3 5 7 , , , ，试确定常 2c 4c 8c 16c4．一袋中装有 5 只球编号 1，2，3，4，5。在袋中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中最大号 码，写出随机变量 X 的分布律和分布函数。165．设随机变量 X ~ B(2, P) , Y ~ B(3, P) ，若 P{ X ? 1} ?5 ，求 P{Y ? 1} 9概率论与数理统计练习题系 一、选择题： 1．设连续性随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ? ? （A）P( X ? ?1) ? 1 解： （A） P( X ? ?1) ? （Ｂ）P ( X ? 专业 班 姓名 第二章 随机变量及其分布（二） 学号?2 x 0 ? x ? 1 ，则下列等式成立的是 其他 ?0（Ｃ）P ( X ?[ A]1 1 )? 2 21 1 )? 2 2（Ｄ）P ( X ?1 1 )? 2 2???1f ( x)dx ? ? 2 xdx ? 1012．设连续性随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ? ? （A） e （B） e ? 1?ln x x ?[1, b] ，则常数 b ? 0 x ? [1, b ] ?（C） e ? 1 （D） e2[ A]171? ?????b f ( x)dx ? ? ln xdx ? x ln x |1 ? ? xd ln x 1 1bb解： ? b ln b ??b1b dx ? b ln b ? x |1 ? b ln b ? b ? 1 ? 1ln b ? 1(b ? 0舍） b?e3．设 X ~ N (? ,? 2 ) ，要使 Y ~ N (0,1) ，则 （A） Y ? [C （C） Y ? ]X???（B） Y ? ? X ? ?X ???（D） Y ? ? X ? ?1 4．设 X ~ N (0,1) ， ?( x) ? 2??x ??e?x2 2dt（x ? 0) ，则下列等式不成立的是? ( ? x) ? ? ( x) （C）[ C]?( x) ? 1 ? ?(? x) （B） ?(0) ? 0.5 （A）5．X 服从参数 ? ? （A） F (1) ? F ( )9P(| x |? a) ? 2?(a) ?1 （D）[ C ]1 的指数分布，则 P(3 ? X ? 9) ? 9（B）1 31 1 1 ( ? ) 9 3e e1 3 9 9（C）1 1 ? 3 e e（D）?9 3e 9 dx?x解：P(3 ? X ? 9) ? ? ?e? ? x dx ? ?3e?1 x 9dx?? e39?1 x 9d (? 1 9 x ) ? ?e?1 x 9 9 3| ? ?e?1 ? e?1 3二、填空题： 1．设连续性随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ? ?? Ax 2 ? 00 ? x ?1 其他，则常数 A = 3解：1? ????f ( x)dx ? ? Ax 2 dx ?01Ax 3 1 A |0 ? 3 3?A?32 2．设随机变量 X ~ N (2, ? ) ，已知 P(2 ? X ? 4) ? 0.4 ，则 P( X ? 0) ?0.1三、计算题： 1．设 X ~ U (1, 4), 求 P( X ? 5) 和 P(0 ? X ? 2.5)18X ~ U (1, 4) ,1 ? x ? 4 ?1 f ( x) ? ? 3 ? 0, 其它解： P( X ? 5) ?1 1 4 dx ? x |1 ?1 3 3 2.5 1 1 2.5 P(0 ? X ? 2.5) ? ? dx ? x |1 ? 0.5 1 3 3 或用分布函数来求也可以?5??f ( x)dx ? ?410 ? x ?1 ? x 3 7 ? 2．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ? ?ax ? b 1 ? x ? 2 ，且 P (0 ? X ? ) ? 2 8 ? 0 其他 ?求： （1）常数 a , b 解 （2） P (1 3 ?X? ) 2 2（3） X 的分布函数 F ( x) ：3 1 3 7 7 2 2.(1)由P (0 ? X ? ) ? ? ? xdx ? ? (ax ? b )dx ? 0 1 2 8 8又1= ??? ??f ( x )dx ? ? xdx ? ? (ax ? b )dx .可得a ? ?1，b ? 2.0 1123 1 1 3 3 2 (2)P ( ? X ? ) ? ? 1 xdx ? ? ( ? x ? 2)dx ? 1 2 2 2 4 x?0 ?0 ? 0.5 x 0? x?1 ? (3) F ( x ) ? ? 2 ? ?0.5 x ? 2 x ? 1 1 ? x ? 2 ? x?2 ?13．设某种电子元件的使用寿命 X（单位：h）服从参数 ? ? 个该电子元件，且它们工作时相互独立，求：191 的指数分布，现某种仪器使用三 600（1）一个元件时间在 200h 以上的概率； （2）三个元件中至少有两个使用时间在 200h 以上的概率。1 1 x ? 1 ? 600 3.(1)P ( X ? 200) ? ? e dx ? e 3 200 600 (2)Y ? & 使用时间在200h以上的元件个数 & ?? 2 3 P (Y ? 2) ? C 3 (e ) (1 ? e ) ? C 3 ( e ) ? 3e ? 1 3 2 ? 1 3 ? 1 3 3 ? 2 3? 2e ? 1概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 第二章 随机变量及其分布（三） 学号1．已知 X 的概率分辨为X pi?2 ?1 0 1 2 3 ，试求： 2a 0.1 3a a a 2a2（1）常数 a；（2） Y ? X ? 1 的概率分布。(1) 2a ? 0.1 ? 3a ? a ? a ? 2a ? 1 ? a ? 0.1 (2) Y -1 0 3 8 p（1） Y ? e 的概率密度；X0.30.20.30.22．设随机变量 X 在（0，1）服从均匀分布，求：（2） Y ? ?2 ln X 的概率密度。202.(1)FY ( y ) ? P (Y ? y ) ? P (e X ? y ) ? P ( X ? ln y ) ?0 ? ? FX (ln y ) ? ? ln y ?1 ? ?1 dFY ( y ) ? ? fY ( y ) ? ??y y ?0 ? y?1 1? y ? e y?e1? y ? e other? y 2(2)FY ( y ) ? P (Y ? y ) ? P ( ?2ln X ? y ) ? P ( X ? e )y ? ? 2 ? ? 1 ? P ( X ? e ) ? ?1 ? e ? ? 0 y ? 2 y ?1 ?2 dF ( y ) ? e ? fY ( y ) ? Y ? ?2 y ?0 ?3．设 X ~ N (0,1) ，求： （1） Y ? 2 X ? 1 的概率密度；20 ? y ? ?? y?00 ? y ? ?? other（2） Y ?| X | 的概率密度。213.(1)FY ( y ) ? P (Y ? y ) ? P (2 X 2 ? 1 ? y ) y ?1 ? P (? ?X? 2 ? 2P( X ?? fY ( y ) ? 2 f X ( ? 1 1y ?1 ) 2y ?1 y ?1 ) ? 1 ? 2 FX ( )?1 2 2y ?1 1 1 ) 2 2 2 y ?1 ey ?1 ? 2 22( y ? 1) 2??112( y ? 1) 2? y?1 othere?y ?1 4( y ? 1)y ?1 ? ? 1 e 4 ? ? fY ( y ) ? ? 2 ? ( y ? 1) ?0 ?22(2)FY ( y ) ? P (Y ? y ) ? P ( X ? y ) ? P ( ? y ? X ? y ) ? 2? X ( y ) ? 1 ? 1 ?y e 2 ?2 ? fY ( y ) ? ? 2? ?0 ?? 2x ? 4．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? ? 2 ? ?0 0? x ?? 其他2y?0 other，求 Y ? sin X 的概率密度。4.FY ( y ) ? P (Y ? y ) ? P (sin X ? y ) ? P ( X ? arcsin y ? X ? ? ? arcsin y ) ? P ( X ? arcsin y ) ? 1 ? P ( X ? ? ? arcsin y ) 1 1 ? fY ( y ) ? f X (arcsin y ) ? f X (? ? arcsin y )( ? ) 2 2 1? y 1? y ? 2arcsin y 1 1? y2?2?2(? ? arcsin y )1 1? y2?20? y?1 other(0 ? y ? 1)2 ? ? ? fY ( y ) ? ? ? 1 ? y 2 ?0 ?23概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号 第三章 多维随机变量及其分布（一） 一、填空题： 1 、 设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 联 合 密 度 函 数 为 f ( x, y ) ? ?? Axy 2 , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ?0, 其他，则常数A ? 1/6。?1? ???? ???f ( x, y )dxdy ?A? xdx ? y 2 dy ? A0 011x2 1 y3 1 |0 |0 ? 6 A 2 3? A arctan x ? arctan y , x ? 0, y ? 0 ，则常 ?0, 其他2、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y ) ? ? 数 A ? 4/?2。1 ? F (??, ??) ? A lim arctan x lim arctan y ? Ax ?? y ???24二、计算题： 1．在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样； （2）不放回抽样。我们定义随机变量 X，Y 如下：?0 若第一次出的是正品 ， X ?? ?1 若第一次出的是次品?0 若第二次出的是正品 Y ?? ?1 若第二次出的是次品试分别就（1） ， （2）两种情况，写出 X 和 Y 的联合分布律。 解：1． （1）放回抽样 （2）不放回抽样 Y X 0 1 0 25/36 5/36 1 5/36 1/36 Y X 0 1 0 15/22 5/33 1 5/33 1/662．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求1 3 （1） P{ ? X ? , 0 ? Y ? 4} ， 2 224XY1 2 31 1/ 4 1/16 02 0 1/ 43 0 04 1/16 1/ 4 01/16 1/16（2） P{1 ? X ? 2,3 ? Y ? 4}1 3 P{ ? X ? , 0 ? Y ? 4} 2 2 解： （1） ? P ( X ? 1, Y ? 2) ? P ( X ? 1, Y ? 3) ? P ( X ? 1, Y ? 1) ， ? 1/ 4P{1 ? X ? 2,3 ? Y ? 4} （2） ? P( X ? 1, Y ? 3) ? P( X ? 1, Y ? 4) ? P( X ? 2, Y ? 3) ? P( X ? 2, Y ? 4) ? 5 /163．设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律如表： Y 求： （1）a 值； （2） ( X , Y ) 的联合分布函数 F ( x, y) X 1 2?11/4 1/60 1/4 a（3） ( X , Y ) 关于 X，Y 的边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y) 解： （1）1/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3? 0 ?1 ? ?4 ? ?5 F ( x, y ) ? ? （2） ?12 ?1 ?2 ? ?1 ?（3）x&1或y&-1 1 ? x ? 2, ?1 ? y ? 0 x ? 2, ?1 ? y ? 0 1 ? x ? 2，y ? 0 x ? 2, y ? 025X 0 1p? jY-1 1/4 1/6 1/4 1/30pi?1/2 1/25/12 7/12?0 y ? ?1 ?5 ? FY (y ) ? ? ? 1 ? y ? 0. 12 ? ? ?1 y ? 0?k (6 ? x ? y) 0&x&2,2&y&4 ，求： 0 其他 ?（3） P{ X ? 1.5} ； （4） P{ X ? Y ? 4}?0 x ? 1 ?1 ? FX (x ) ? ? 1 ? x ? 2 ； ?2 ? ?1 x ? 24．设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y) ? ? （1）常数 k；2 4（2）求 P{ X ? 1, Y ? 3} ；1 k (6 ? x ? y ) dydx ? 1 ? k ? ; ? ?2 8 1 31 3 P ( X ? 1, Y ? 3) ? (6 ? x ? y ) dydx ? ; （2） ?0 ?2 8 8（1） 0 （3） P (X ? 1.5) ? P (X ? 1.5, 2 ? Y ? 4) ? ? （4） P (X ?Y ? 4) ? ?021.5 0?421 27 (6 ? x ? y )dydx ? ; 8 32?4 ?x21 2 (6 ? x ? y )dydx ? . 8 326概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号 学号概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 第三章 多维随机变量及其分布（二） 一、选择题：2 Y 仍服从正态分布， 1、设随机变量 X 与 Y 独立，且 X ? N (?1 , ?12 ), Y ? N (?2 , ? 2 ) ，则 Z ? X ?且有 [ D2 （A） Z ? N (?1 ? ?2 , ?12 ? ? 2 )](B) (D)2 Z ? N (?1 ? ?2 ,?12 ? ? 2 ) 2 Z ? N (?1 ? ?2 ,?12 ? ? 2 )(C)2 Z ? N (?1 ? ?2 ,?12 ? ? 2 )2、若 ( X , Y ) 服从二维均匀分布，则 （A）随机变量 X , Y 都服从均匀分布 （C）随机变量 X , Y 一定不服从均匀分布 二、填空题：[ B （B）随机变量 X , Y 不一定服从均匀分布 （D）随机变量 X ? Y 服从均匀分布]27? 2 xy ? x ? , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 1、设二维随机变量 ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) ? ? ， 3 ? 其他. ?0,则 P( X ? Y ? 1) ?1。1? x 1 x xy 2 x 2 5 x3 7 ( x ? )dy ? 1 ? ? ( ? ? )dx ? 0 3 6 3 6 8 21 ? P( X ? Y ? 1) ? 1 ? ? dx ?00?3 2 ? x , 0? x ? 2 2 、设随机变量 X , Y 同分布， X 的密度函数为 f ( x) ? ? 8 ，设 A ? { X ? a} 与 ? ?0, 其他B ? {Y ? a} 相互独立，且 P ( A ? B ) ?3 ，则 a ? 4a 034。P( A) ? P( X ? a ) ? 1 ? P( X ? a ) ? 1 ? ?3x 2 a3 dx ? 1 ? 8 8P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) ? 2P( A) ? [ P( A)]2? 2(1 ?三、计算题：a3 a3 a6 3 ) ? (1 ? )2 ? 1 ? ? 8 8 64 4a b , P{Y ? ?k} ? 2 , (k ? 1, 2,3) ，X 与 Y 独立，确定 a，b 的值，求出 ( X , Y ) k k X ? Y 的联合概率分布以及 的概率分布。1．已知 P{ X ? k} ? 解：由归一性? P( X ? k ) ? a ? 2 ? 3 ?kaa11a ?1 6所以 a ?6 11由归一性? P(Y ? ?k ) ? b ? 4 ? 9 ?kbb36 49b ? 1 所以 b ? 49 36Y X 1 2 3( X , Y ) 的联合概率分布?324/539 12/539 8/539?254/539 27/539 18/539?1216/539 108/539 72/539由于 P (X ? Y ? ?2) ?24 539P (X ?Y ? ?1) ?66 6 ? 539 4928P (X ?Y ? 0) ?251 539P (X ?Y ? 1) ?126 539P (X ?Y ? 2) ?72 539X ? Y 的概率分布为：X ?Y P?2 24 539?1 66 5390 1 251 126 539 5392 72 539?12e?3 x ?4 y , x ? 0, y ? 0 2．随机变量 X 与 Y 的联合密度函数为 f ( x, y ) ? ? ，分别求下列概率密度函 其他 ?0,数： （1） Z ? X ? Y ； （2） M ? max{ X , Y }； （3） N ? min{ X , Y } 。解： （1） FZ ( z) ? P(Z ? z) ? P( X ? Y ? z )?x? y? z??0f ( x, y )dxdy ? ? dx ?0zz?x012e?3 x?4 y dy? 3? e?3 x (1 ? e?4( z ? x ) )dxz ? (?e?3x ? 3ex?4 z ) |0z? 1 ? 4e?3 z ? 3e?4 z即 FZ ( z ) ? ?0 ? ?3 z ?4 z ?1 ? 4e ? 3ez?0 z?0 0 ? ?3 z ?4 z ?12e ? 12e z?0 z?0所以 Z 的概率密度函数为 f Z ( z ) ? ? 或 当 z ? 0 时， f Z ( z) ? 0 当 z ? 0 时，f Z ( z)? ?0????f ( x, ? zx ) dx? ? 12e?3 x?4( z ? x ) dxz ? 12e?4 z ? ex |0z29? 12e?4 z ? (ez ? 1)所以 Z 的概率密度函数为 f Z ( z ) ? ?0 ? ?3 z ?4 z ?12e ? 12e??z?0 z?0（2）由于 f X ( x) ??????f ( x, y)dy ? ? 12e?3 x?4 y dy ? 3e?3 x0fY ( y) ? ?????f ( x, y)dy ? ? 12e?3 x?4 y dx ? 4e?4 y0??则 X 与 Y 相互独立。 当 z ? 0 时， FM ( z ) ? 0 当 z ? 0 时， FM ( z) ? P(M ? z) ? P( X ? z, Y ? z) ? P( X ? z) P(Y ? z)? FX ( z)FY ( z) ? (1 ? e?3z )(1 ? e?4 z )所以 f M ( z ) ? ?0 ? ?3 z ?4 z ?4 z ?3 z ?3 z ?4 z ?7 z ?3e (1 ? e ) ? 4e (1 ? 3 ) ? 3e ? 4e ? 7ez?0 z?0（3）当 z ? 0 时， FN ( z) ? 0当 z ? 0 时，FN ( z) ? P( N ? z) ? 1 ? P( N ? z) ? 1 ? P( X ? z, Y ? z) ? 1 ? P( X ? z) P(Y ? z)? 1 ? [1 ? FX ( z)][1 ? FY ( z)] ? 1 ? e?3z e?4 z ? 1 ? e?7 z所以 f N ( z ) ? ?? 0 ?7 z ?7ez?0 z?03．设 X 与 Y 是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布 U (0,1) 。试求 （1） Z ? X ? Y 的分布函数与概率密度函数； （2） U ? 2 X ? Y 的概率密度函数。 解： （1） f Z ( z ) ??????f X ( x) fY ( z ? x)dx( 0? x ? 1, 0 ? z ?x ? 1 )当 z ? 0 或 z ? 2 时， f Z ( z) ? 030当 0 ? z ? 1 时， f Z ( z ) ? 当 1 ? z ? 2 时， f Z ( z ) ??1z0dx ? z dx ? 2 ? z?z ?10 ? z ?1 ? z ? 所以， f Z ( z ) ? ? 2 ? z 1 ? z ? 2 ? 0 其他 ?（2）当 u ? ?1 时， FU (u) ? 0 ；当 u ? 2 时， FU (u) ? 1 当 ?1 ? u ? 0 时， FU (u ) ??1udy ?y ?u 2 0dx ? ?1uy?u 1 dy ? (1 ? 2u ? 3u 2 ) ； 2 4当 0 ? u ? 1 时， FU (u ) ?? dy ?01y ?u 2 0dx ?2 x ?u1 (1 ? 2u ) ； 4当 1 ? u ? 2 时， FU (u ) ? 1 ??u dx ?210dy ? u ?u2 4即 U ? 2 X ? Y 的分布函数为：0 u ? ?1 ? ?1 ? (1 ? 2u ? 3u 2 ) ?1 ? u ? 0 ?4 ? ? 1 (1 ? 2u ) 0 ? u ?1 FU (u ) ? ? 4 ? ? u2 u ? 1? u ? 2 ? 4 ? 1 u?2 ? ?所以 U ? 2 X ? Y 的概率密度函数为：? 1 3u ?2 ? 2 ? 1 ? ? fU (u ) ? FU? (u ) ? ? 2 ? u ? 1? 2 ? ? ? 0?1 ? u ? 0 0 ? u ?1 1? u ? 2 其它31? Ae? y ?1 0 ? x ? 1 4．设 X 和 Y 相互独立，其概率密度函数分别为 f X ( x) ? ? ， fY ( y ) ? ? 其它 ?0 ? 0求： （1）常数 A， （2）随机变量 Z ? X ? Y 的概率密度函数。 解： （1） 由于 1 ? FY (??) ???y?0 y?0，???0?? Ae? y dy ? ? Ae? y |0 ? A ，所以 A = 1（2） 随机变量 Z ? X ? Y 的概率密度函数fZ ? z ? ? ???f X ? x ? fY ? z ? x ? dx（ 0 ? x ? 1, z ? x ? 0 ）当 Z ? 0 时， f Z ? z ? ? 0 当 0 ? z ? 1 时， f Z ? z ? ? 当 z ? 1 时， f Z ? z ? ?1? 1? e0 ?( z ? x)z?( z ? x )dx ? e? z ? e x dx ? 1 ? e? z0 1 0z?e0dx ? e? z ? e x dx ? e? z ?1 ? e? z概率论与数理统计练习题系 一、选择题： 1．设随机变量 X，且 E ( X ) 存在，则 E ( X ) 是 （A）X 的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 [ （D）x 的函数 专业 班 姓名 第四章 随机变量的数字特征（一） 学号B]32x ?1 ? 9 ? e 2．设 X 的概率密度为 f ( x) ? ? 9 ? 0 ?x 1 ?? 9 （A） ? x ? e dx 9 ??x?0 x?0，则 E ( ?1 X) ? 9[C]x 1 ?? 9 （B） ? ? x ? e dx 9 ??（C） ?1（D）13．设 ? 是随机变量， E (? ) 存在，若? ? （A） E (? ) 二、填空题： （B）? ?23，则 E (? ) ? （C） E (? ) ? 2 （D）[D]E (? ) 3E (? ) 2 ? 3 31．设随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，相应的概率分布为 0.6 , 0.3 , .01，则 E ( X ) ?( x ?1) ? 1 2．设 X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f ( x) ? e 8 ，则 E(2 X 2 ?1) ? 2 2?20.5 9 116/153．设随机变量 X 的概率分布X P0 1 2 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30? 2 ?1，则 E ( X ? 3 X 2 ) ?4．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ?1 ?| x| e (?? ? x ? ? ?) ，则 E ( X ) ? 20三、计算题： 1．袋中有 5 个乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，从中任取 3 个，以 X 表示取出的 3 个球中最大编 号，求 E ( X ) 解：X 的可能取值为 3，4，5P( X ? 3) ?1 1 ? ， 3 C5 10P( X ? 4 )?C32 3 ? 3 C5 10P( X ? 5) ?2 C4 6 ? 3 C5 10E( X ) ? 3 ?1 3 3 ? 4 ? ? 5 ? ? 4.5 10 10 52．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ? ??2(1 ? x) 0 ? x ? 1 ，求 E ( X ) 其它 ? 0解： E ( X ) ??10x ? 2(1 ? x )dx ?1 3333．设随机变量 X ~ N (? , ? 2 ) ，求 E (| X ? ? |) 解：?? ??|x??|y2 21 2??dy ?e2?? ( x ? ? )2 2? 2dx 令y ?x???? 2?????| y|e?y2 2dy?2? 2???0ye???4．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ? ? （1） Y1 ? e ? 2 X 解： （1） E ( Y ) ? （2） E (Y2 ) ??e ? x ? 0x?0 x?0，试求下列随机变量的数学期望。 （3） Y3 ? min{X , 2}（2） Y2 ? max{X , 2}???0e?2 x ? e ? x dx ???1 3?2202e? x dx ? ?2xe? x dx? 2 ? 2e?2 ? 3e?2 ? 2 ? e?2（3） E (Y3 ) ??0xe? x dx ? ? 2e? x dx2??? 1 ? 3e?2 ? 2e?2 ? 1 ? e?2概率论与数理统计练习题系 一、选择题： 1．已知 E ( X ) ? ?1, D( X ) ? 3 ，则 E[3( X ? 2)] ?2专业 班 姓名 第四章 随机变量的数字特征（二）学号[ （D）36 [B D]（A）9（B）6（C）302．设 X ~ B(n , p) ，则有 （A） E (2 X ? 1) ? 2np （C） E (2 X ? 1) ? 4np ? 1 （B） D(2 X ? 1) ? 4np(1 ? p) ? 1 （D） D(2 X ? 1) ? 4np(1 ? p)]343．设 ? 服从参数为 ? 的泊松分布，? ? 2? ? 3 ，则 （A） E (? ) ? 2? ? 3 D(? ) ? 2? ? 3 （C） E (? ) ? 2? ? 3 D(? ) ? 4? ? 3 二、填空题： （B） E (? ) ? 2?[D]D(? ) ? 2?（D） E (? ) ? 2? ? 3 D(? ) ? 4?1．设随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，相应的概率分布为 0.6 , 0.3 , .01，则 D( X ) ? 2．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ?0.451 ?| x| e (?? ? x ? ? ?) ，则 D( X ) ? 223．随机变量 X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则D( X ) ? [ E ( X )]21/3 1/24．设正态分布 Y 的密度函数是1?e ? ( y ?3) ，则 D( X ) ?2三、计算题： 1．设随机变量 X 的可能取值为 1，2，3，相应的概率分布为 0.3 , 0.5 , .02，求： Y ? 2 X ? 1 的期 望与方差； 解： E ( X ) ? 1 ? 0.3 ? 2 ? 0.5 ? 3 ? 0.2 ? 1.9D( X ) ? E( X 2 ) ? ( EX )2 ? 1 ? 0.3 ? 4 ? 0.5 ? 9 ? 0.2 ? (1.9)2 ? 0.49E (Y ) ? 2 E( X ) ? 1 ? 2.8 D(Y ) ? 4 D( X ) ? 1.963 4 2．设随机变量 X ~ N (0,1) ，试求 E | x | 、 D | X | 、 E ( X ) 与 E ( X )解：E| X ? | ?????| x ?|1 2??ex2 2d? x 2???1 2?0e?x2 2d x = sqrt( ? / 2 )E( X ) ? ?2??x2 2???e?x2 2dx ? ????x 2???de?x2 2??1 2?[ xe?x2 2?? ???? e?????x2 2dx] = 135所以 D | X |? E(| X |2 ) ? ( E | x |)2 ? E( X 2 ) ? 1 ? ? / 2 ? 1?E( X ) ?3?? ??x3 2? x4 2?e??x2 2dx = 0?E( X ) ?4???ex2 2dx ? ? ?x3 2?de?x2 2??? 3??x2 2?e?x2 2dx= 3??0? x?2 ? ax 3 ? 3． 设随机变量 X 的分布密度为 f ( x) ? ?bx ? c 2 ? x ? 4 ， 已知 E ( X ) ? 2 , P(1 ? X ? 3) ? ， 求： 4 ? 0 其它 ?（1）常数 A，B，C 的值； 解： （1） 2 ? E ( X ) ? （2）方差 D( X ) ；4（3）随机变量 Y ? e 的期望与方差。X?20x ? axdx ? ? x(bx ? c )dx2?56 a 3 2 b 3 4 c 2 4 8 x |0 ? x |2 ? x |2 ? a ? b ? 6c 3 3 3 3 2 8 56 a? b ? 6c ? 2 3 3 3 4得 得得P (1 ? X ? 3) ?3 5 3 a? b?c ? 2 2 42a ? 6b ? 2c ? 1?所以????f ( x )dx ? 1解得 a ?1 1 , b ? ? , c ? 1. 4 4(2) D( X ) ??????( x ? 2)2 f ( x )dx ??204 1 1 x( x ? 2)2 dx ? ? (1 ? x )( x ? 2)2 dx 2 4 4?2 3(3) E (Y ) ??????e x f ( x )dx ??204 1 x 1 1 xe dx ? ? (1 ? x )e x dx ? (e 2 ? 1)2 2 4 4 436D(Y ) ? E (Y 2 ) ? ( E (Y ))2 ? 1 2 2 e (e ? 1)2 4?1 e 2 x f ( x )dx ? [ (e 2 ? 1)2 ]2 ?? 4???概率论与数理统计练习题系 一、选择题： 1．对任意两个随机变量 X 和 Y ，若 E ( XY ) ? EX ? EY ，则 （A） D( XY ) ? D( X ) D(Y ) （C）X 与 Y 相互独立 2．由 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) 即可断定 （A）X 与 Y 不相关 （C）X 与 Y 相互独立 二、填空题： 1．设维随机变量 ( X , Y ) 服从 N (0,0,1,1,0) ，则 D(2 X ? 3Y ) ? 2．设 X 与 Y 独立，且 D( X ) ? 6 ， D(Y ) ? 3 ，则 D(2 X ? Y ) ? 三、计算题： 1． 已知二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律如表： 试验证 X 与 Y 不相关，但 X 与 Y 不独立。 解：X 的分布律为: X P 0.375 Y 的分布律为: X P 13 27 [ 专业 班 姓名 第四章 随机变量的数字特征（三） 学号C]（B） D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) （D）X 与 Y 不相互独立 [ （B） F ( x, y) ? FX ( x) ? FY ( y) （D）相关系数 ? XY ? ?1 A ]XY?10 1?10.125 0.125 01250 0.125 0 0.1251 0.125 0.125 0.125?10 0.25 0 0.251 0.375 1 0.37537?10.375E( X ) ? (?1) ? 0.375 ? 0 ? 0.25 ? 1? 0.375 ? 0 E(Y ) ? (?1) ? 0.375 ? 0 ? 0.25 ? 1? 0.375 ? 0 E( X Y)? (? 1 )? (1 ) ?0 1. 2 5? ? (1) ? 0 ? 0 .1 2 5 ? (? 1 )? 1 ? 0 . 125?0 ? 1? (?1) ? 0.125 ? 0 ? 1? 1? 0.125 = 0?xy ? E( XY ) ? E( X )E(Y ) ? 0所以 X 与 Y 不相关。P( X ? ? 1, Y ? ? 1) ? 0 .1 2≠ 5 P( X ? ?1)P(Y ? ?1) ? 0.375 ? 0.375所以 X 与 Y 不相互独立。2．设 D( X ) ? 25, D(Y ) ? 36, ? XY ? 0.4 ，求： D( X ? Y ) , D( X ? Y ) 解： Cov( X , Y ) ? ? xy ? D( X ) D(Y ) ? 0.4 ? 5 ? 6 ? 12D( X ? Y ) ? D( X ) ? 2Cov( X , Y ) ? D(Y ) ? 85 ， D( X ? Y ) ? D( X ) ? 2Cov( X , Y ) ? D(Y ) ? 373．设 X ~ N (0, 4), Y ~ U (0, 4) ，且 X，Y 相互独立，求： E ( XY ) , D( X ? Y ) , D(2 X ? 3Y ) 解： E ( X ) ? 0 , D( X ) ? 4 ， E (Y ) ?4?0 42 4 ? 2 ， D(Y ) ? ? ， ? xy ? 0 2 12 3E ( XY ) ? 0 ,D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 4 ? 4 16 ? , 3 3D(2 X ? 3Y ) ? 4D( X ) ? 9D(Y ) ? 16 ? 12 ? 284．设 X，Y 相互独立，其密度函数分别为 f X ( x) ? ??e? ( y ?5) ?2 x 0 ? x ? 1 ， fY ( y ) ? ? 其它 ?0 ? 0y ?5 y?5，求38E ( XY )解： E ( X ) ??10x ? 2 xdx ?2 x3 1 2 |0 ? 3 3E (Y )? ???5) ?? y ? e?( y ? 5 dy ? ?e e5? y ( y ? 15 )? |6E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ?2 ?6 ? 4 3概率论与数理统计练习题系 一、选择题： 1．设 ?n 是 n 次重复试验中事件 A 出现的次数，p 是事件 A 在每次试验中出现的概率，则对任意 的 ? ? 0 均有 lim P{n ??专业 班 姓名 第五章 大数定律与中心极限定理学号?nn? p ? ?}（B） ? 12[ （C） ? 0 （D）不存在 [A ]（A） ? 02．设随机变量 X，若 E( X ) ? 1.1, D( X ) ? 0.1 ，则一定有 （A） P{?1 ? X ? 1} ? 0.9 （C） P{| X ? 1|? 1} ? 0.9 （B） P{0 ? X ? 2} ? 0.9 （D） P{| X } ? 1} ? 0.1B ]3． X1 , X 2 , ? , X1000 是同分布相互独立的随机变量， X i ~ B(1, p) ，则下列不正确的是 [D]1 1000 （A） ? Xi ? p 1000 i ?11000（B） P{a ?1000 i ?1?X1000 i ?1i? b} ? ?(b ? 1000 p a ? 1000 p ) ? ?( ) 1000 pq 1000 pq（C）? X i ~ B(1000, p)i ?1（D） P{a ??Xi? b} ? ?(b) ? ?(a)二、填空题： 1．对于随机变量 X，仅知其 E ( X ) ? 3, D( X ) ?224 1 . ，则可知 P{| X ? 3 |? 3} ? 225 252．设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为 ? 2 和 2 ，方差分别为 1 和 4 ，而相关系数为 ? 0.5 ，则39根据契比雪夫不等式 P X ? Y ? 6 ? 三、计算题：??1 . 121．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为 0.5kg，均方差为 0.1kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少？ 解：设第 i 件零件的重量为随机变量 X i ，根据题意得 EX i ? 0.5, DX ? 0.1.E ( ? X i ) ? 5000 ? 0.5 ? 2500, D( ? X i ) ? 5000 ? 0.01 ? 50.i ?1 i ?1500050005000P ( ? X i ? 2510) ? P (i ?15000?Xi ?1i? 2500 50 ?10 ) 50? 1 ? ? ( 2) ? 1 ? 0.9207 ? 0.0793.2 ．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(?0.5,0.5) 上服从均匀分布。（1）若将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？ （2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90 ？ 解： （1） X ? U (?0.5,0.5), E (1500 i ?1? X i ) ? 0, D(? X i ) ? 1500 ?i ?115001 ? 125. 12i 15 3 5 P(| ? X i |? 15) ? P( i ?1 ? ) ? 2[1 ? ?( )] ? 2[1 ? ?(1.3)] ? 0.18. 5 125 125 i ?1n?X（2） P(|?Xi ?1ni|? 10) ? P(| ? Xi |i ?1n 12?10 10 ) ? 0.90 ? ? ( ) ? 0.95 . n n 12 12根据 ? 的单调性得10 2 10 ) ? 443.4. ? 1.645 ，故 n ? 12 ? ( 1.645 n 1240所以 n 最多为 443 个数相加. 3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8，医院检验员任 意抽查 100 个服用此药品的病人，如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断 言。 （1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 解： （1）令 X i ? 1 为第 i 个病人治愈成功，反之则 X i ? 0. 令Y ?? X , Y ? B(100,0.8), E(Y ) ? 80, D(Y ) ? 16.i ?1 i100Y ?8 0 7 ? 5 80 5 P( Y ? 7 5 ? ) P ( ? ?)? (? ) 4 16 160.8944.（2）令 X i ? 1 为第 i 个病人治愈成功，反之则 X i ? 0. 令Y ?? X , Y ? B(100,0.7), E(Y ) ? 70, D(Y ) ? 21.i ?1 i100P(Y ? 75) ? P(Y ? 70 75 ? 70 5 ? ) ? 1 ? ?( ) ? 0. 214．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个 随机变量，它取 1 元、1.2 元、1.5 元各个值的概率分别为 0.3、0.2、0.5。某天售出 300 只蛋糕。 （1）求收入至少 400 元的概率； （2）求售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率。 解： （1）设 Xi (i=1,2,3?,300)为蛋糕的价格，其分布律为:X P11.2 1.50.3 0.2 0.5E( X i ) ? 1? 0.3 ? 1.2 ? 0.2 ? 1.5 ? 0.5 ? 1.29(i ? 1, 2, 3,?300)D( Xi )? 1 ? 0 .3 ? 1. 4 4 ? 0 . 2 ? .2 2 ?5 . 0 ?5 ( 2. 1 ) 2? 9记X ?. 2 6 4i0 9 (? ? , , 1, 2 3 ) 3 0 0?Xi ?1300i? X ? 300 ? 1.29 400 ? 300 ?1.29 ? P( X ? 400) ? P ? ? ? 300 2.6409 ? ? 300 2.640941? X ? 300 ? 1.29 400 ? 300 ? 1.29 ? ? 1? P? ? ? 300 2.6409 ? ? 300 2.6409? 1 ? ?(0.462)? 1 ? 0.6772 ? 0.3228记 Y 为售出蛋糕的价格为 1.2 元的数量，则 Y ~ B(300, 0.2)P(Y ? 60) ? 1 ? P(Y ? 60)? Y ? 300 ? 0.2 60 ? 300 ? 0.2 ? ? 1? P? ? ? 300 ? 0.2 ? 0.8 ? ? 300 ? 0.2 ? 0.8? 1 ? ?(0) ? 0.5概率论与数理统计练习题系 一、选择题： 1． x1 , x2 , x3 是取自总体 X 的样本，a 是一未知参数，则统计量是 （A） x1 ? ax2 ? x3 （B） x1 x3 （C） ax1 x2 x3 （D） [ B ] 专业 班 姓名 第六章 样本及其分布 学号1 3 ? ( xi ? a)2 3 i ?1422． x1 , x2 ,?, xn 是取自总体 X 的样本，则 （A）样本矩1 n ( xi ? x )2 是 ? n i ?1（C）二阶中心矩[ C （D）样本方差]（B）二阶原点矩3．对于样本 X1 , X 2 ,?, X n 作变换 Yi ? （A）Xi ? a (a, b 是常数， b ? 0) ，则样本均值 X = [ C ] b（C）b n a Yi ? ? n i ?1 n（B）b n ? Yi n i ?1b n ? Yi ? a n i ?1（D）b n ? Yi ? a n i ?12 4 ． 设 X1 , X 2 ,?, X n 与 Y1 , Y2 ,?, Yn 2 分 别 来 自 正 态 总 体 N (?1 ,?12 ) ， N (?2 ,? 2 ) ，其中 1?1 , ?2 , ?1 , ?已知，且两正态总体相互独立，则不服从标准正态分布的统计量是 2（A）[D]( X ? ?1 ) n1?1（B）X n 1 ? ?1?1（C）Y1 ? ? 2?2（D）( X ? Y ) ? ( ?1 ? ?2 )2 ? 12 ? 2n15．设 X1 , X 2 , ?, X 20 来自正态总体 N (? ,? 2 ) 的样本，则?n2[ D ]?(i ?120Xi ? ??)2 服从（A） N (0,1)（B） N ( ? ,?2n)（C） ? 2 (19)（D） ? 2 (20)6．设总体 X ~ N (? , ? ) ， x1 , x2 ,?, xn 为其样本，记 x ?21 n 1 n 2 ， x S ? ( xi ? x )2 ，则 ? ? i n i ?1 n ? 1 i ?1[ C ]Y?n(x ? ?) 服从的分布是 S2（A） ? (n ? 1)（B） N (0,1)（C） t (n ? 1)（D） t (n)二、计算题： 1．设 X ~ N (?, ? ) ， X1 , X 2 ,?, X10 为简单随机样本， S 为样本方差，求：22（1）若 ? ? 4 ，求 P( S ? 2.9)2（2）若 ? ? 4 ， ? ? 4 ，求 P( X ? 6.5)2（3）若 ? ? 4 ， S ? 2.5 ，求 P( X ? 6.5)43解： （ 1）( n ? 1)S 2 ~ ?2 ( n ? 1) 4P( S ? 2.9) ? P(?10 ? 1?4S2 ?9 ? 2.92 ) 4? P(?2 (9) ? 18.9225) ? 0.025（2）X ?? ?/ n?X ?4 2 / 10~ N (0,1) 4 . 6? 5 4 ? ) 10/ 2 10P( X ? 6.5) ? P(6 . 5 ? 4 X? ? ) ? 1 ? P( 2/ 1 0 / 2 10 /26.5 ? 4 2 / 10 ) ? 1 ? ?(3.95) ? 0X ?4? 1 ? ?(（3）X ?? S/ n?X ?4 2.5 / 10~ t ( n ? 1) ? t (9) 6.5 ? 4 2.5 / 10P( X ? 6.5) ? P(X ?4 2.5 / 10?)? P(t (9) ? 3.162) ? 0.0052．总体 N (?, ? ) ，在该总体中抽取一个容量为 n =16 的样本（ X1 , X 2 ,?, X n ） 。2求： （1） p{?22?1 n ?2 1 n 2 2 ； （ 2 ） ( X ? ? ) ? 2 ? } p { ? ? ( X i ? X )2 ? 2? 2 } ? i n i ?1 2 n i ?1n ( X i ? ? )2 1 n n 2 2 解： （1） p{ ? ? ( X i ? ? ) ? 2? } ? p{ ? ? ? 2n} 2 n i ?1 2 i ?1 ?2?2? p(8 ? ? 2 (16) ? 32) ? 1 ? P{?2 (16) ? 32} ? P{(?2 (16) ? 8}? 1 ? 0.01 ? 0.95 ? 0.9444（2） p{?22?1 n n n ( X i ? X )2 2 2 ( X ? X ) ? 2 ? } ? p { ?? ? 2n} ? i n i ?1 2 i ?1 ?2? p(8 ? ? 2 (15) ? 32) ? 1 ? P{?2 (15) ? 32} ? P{(?2 (15) ? 8}? 1 ? 0.005 ? 0.92 ? 0.9153．设 X1 , X 2 ,?, X 5 是取自正态总体 N (0, ? ) 的一个样本，试证：2（1）当 k ?3 时， k 2X1 ? X 22 X 32 ? X 4 ? X 52~ t (3)（2）当 k ?( X ? X )2 3 时， k 2 1 2 2 2 ~ F (1, 3) 2 X3 ? X4 ? X52证： （1）因为 X1 , X 2 ,?, X 5 是取自正态总体 N (0, ? ) 的一个样本，2 X 32 X 4 X 52 X1 X 2 ? ~ N (0, 2) ， 2 ? 2 ? 2 ~ ?2 (3) 且相互独立。由 t 分布的 定义， ? ? ? ? ?k要使kX1 ? X 22 X 32 ? X 4 ? X 52?X1 X 2 ? ) ? 3 ? (2 X 32 X 4 X 52 ( 2 ? 2 ? 2 )/3 ? ? ?服从 t 分布，则有kX1 X 2 ? ) ~ N (0,1) ? 3 ? (由于X1 X 2 X X ? ~ N (0, 2) 而 ( 1 ? 2 ) / 2 ~ N (0,1) ? ? ? ?所以k 3?1 2，解得k?3 2?3 。 2（*）（2）要使k( X 1 ? X 2 )2 ~ F (1, 3) 2 X 32 ? X 4 ? X 5245由于X1 ? X 2 2?~ N (0,1)所以 U ? (X1 ? X 2 2?)2 ~ ?2 (1) ，2 X 32 X 4 X 52 V ? 2 ? 2 ? 2 ~ ? 2 (3) 根据 F 分布的 定义 ? ? ?)2 U /1 3 ( X 1 ? X 2 )2 2? F? ? 2 ? ~ F (1, 3) 2 2 V / 3 X3 X4 2 X 32 ? X 4 X 52 ? X 52 ? 2 ? 2 /3 ?2 ? ? (比较 （*）和（**）式，解得 k ?X1 ? X 2（**）3 2概率论与数理统计练习题系 一、选择题： 1．矩估计必然是 （A）无偏估计 专业 班 姓名 第七章 参数估计（一） 学号（B）总体矩的函数（C）样本矩的函数[ C ] （D）极大似然估计 D ]2．设 x1 , x2 是正态总体 N ( ? ,1) 的容量为 2 的样本， ? 为未知参数， ? 的无偏估计是 [ （A）2 4 x1 ? x2 3 3（B）1 2 x1 ? x2 4 4（C）3 1 x1 ? x2 4 4（D）2 3 x1 ? x2 5 53．设某钢珠直径 X 服从正态总体 N ( ? ,1) （单位：mm） ，其中 ? 为未知参数，从刚生产的一大堆2 2 钢珠抽出 9 个， 求的样本均值 x ? 31.06 ， 样本方差 S9 ? 0.98 ， 则 ? 的极大似然估计值为 [ A]（A）31.06 二、填空题：（B）(31.06 ? 0.98 , 31.06 + 0.98)（C）0.98（D）9×31.06? 与? ? 都是总体未知参数 ? 的估计量，称 ?? 比 ? ? 有效，则 ?? 与 ? ? 的期望与方差一定满 1．如果 ? 1 1 1 2 2 2足 E ? 1 ? E ? 2 ? ? , D? 1 ? D? 2 2． 设样本 x1 ? 0.5, x2 ? 0.5, x3 ? 0.2 来自总体 X ~ f ( x,? ) ? ? x46? ?1^ ^ ^ ^， 用最大似然法估计参数 ? 时，似然函数为 L(? ) ?? 3 (0.05)? ?1.3． 假设总体 X 服从正态分布 N (?, ? 2 ), X1, X 2 ?, X n (n ? 1) 为 X 的样本， ?2 ?C?(Xi ?1n ?1i ?1? X i )22 是 ? 的一个无偏估计，则 C ?1 . 2(n ? 1)三、计算题： 1．设总体 X 具有分布律，其中 ? (0 ? ? ? 1) 为未知参数，X 1 pi ? 22 3 2? (1 ? ? ) (1 ? ? )2已知取得了样本值 x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 1 ，试求 ? 的最大似然估计值。 解：该样本的似然函数为 L(? ) ? ? 4 ? 2? (1 ? ? ) ? 2? 5 ? 2? 6 .? ) ? 0 得? ? 令 L' (5 . 6?1 ? 2． 设 x1 , x2 ,?, xn 是来自于总体 X ~ f ( x) ? ?? ? ?00 ? x ?? 其它(? ? 0) 的样本,?) 试求（1） ? 的无偏估计 ?1 ； （2） ? 的极大似然估计 ?2 ，并计算 E(? 2解：(1) 由于 X 服从均匀分布， E ( X ) ??2， E( X ) ??2? ? 2X. 令?? ? 2 E X? 2 ? ? , 因为 E? 2故 ? 的无偏估计为 2 X .?? ，因而直接考虑按最大似然法的思想来确定 ?? (2) 由于无法从 L?(? ) ? 0 得到最大似然估计 ?欲使 L(? ) 最大， ? 应尽量小但又不能太小，它必须满足 ? ? xi i ? 1, 2, 3,?n 即? ? m a xx { ,2 x ,3?, nx 1 x}否则 L(? ) ? 0 ，而 0 不可能是 L(? ) 的最大值。因此，当 ? ? max{ x1 , x2 , x3 ,? xn } 时，47? ? max{ x , x , x ,?x } 即为 ? 的最大似然估计值， L(? ) 可达最大。 ? 1 2 3 n ? ? max{ X , X , X ,? X } 即为 ? 的最大似然估计量 ? 1 2 3 n3． 设总体 X 的概率密度为 f ( x) ? ??(? ? 1) x? ? 00 ? x ?1 其它， 其中 ? ? ?1 是未知参数，X1 , X 2 ,?, X n为一个样本，试求参数 ? 的矩估计量和最大似然估计量。 解：因为 EX ??10x ? (? ? 1) x? dx ?? ?1 , ? ?22 X ?1 . 1? X用样本一阶原点矩作为总体一阶原点矩的估计， 即：X ? EX ?? ?1 , ? ?22 X ?1 . 1? X?? 得?故 ? 的矩估计量为n设似然函数 L(? )??i ?1? ( ? 1 x)i? ，即 l nL ? ( ? ) n l? n( ?1 ?) ? ?i ?1nixl n则n d ln L(? ) d l nL ? ( ) n ? 0， ? ? ? ln xi ，令 d? d? ? ? 1 i ?1得? ? ?1 ? ? Ln? ln xi ?1ni48概率论与数理统计练习题系 一、选择题： 专业 班 姓名 第七章 参数估计（二） 学号? 已知， 1． 设总体 X 服从正态分布 X ~ N (? , ? ) ， 其中 ? 未知， x? x1 , x2 ,?, xn 为样本，221 n ? xi , n i ?1则 ? 的置信水平为 0.95 的置信区间是 （A） ( x ? Z 0.95[ （B） ( x ? Z 0.05D]?n, x ? Z 0.95?n)?n, x ? Z 0.05?n)（C） ( x ? Z 0.975?n, x ? Z 0.9752?n)2（D） ( x ? Z 0.025?n, x ? Z 0.025?n)[ D ]2．设总体 X ~ N (? , ? ) ，对参数 ? 或 ? 进行区间估计时，不能采用的样本函数有X ?? （A） ?/ n二、填空题：X ?? （B） S/ n?X ?X ? （C） ? ? i ? ? i ?1 ? ?n2（D） X n ? X1491．设总体 X 的方差为 (0.3) 2 ，根据来自 X 的容量为 5 的简单随机样本，测得样本均值为 21.8， 则 X 的数学期望的置信度为 0.95 的置信区间为( x ? Z0 . 0 2 5三、计算题：?n, x? Z?0.025n=(21.54,22.06) )1．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布 X ~ N (? , ? 2 ) ，从一批铜丝任取 10 根，测得折断力如下： 578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差 ? 的 0.90 的置信区间。2(n ? 1) S 2 (n ? 1) S 2 解： ? 未知，求 ? 置信水平为 1 ? ? 的置 xm 信区间为 ( 2 , ). ?? / 2 (n ? 1) ?12?? / 2 (n ? 1)2这里 n ? 1 0 S , 2 ? 7 5 .? 73 ?,22 2 ?0 . 01, 16 1 ?9 , 0. 5 ? (9) ? 0 .. 9 95(9)3.325.代入得 ? 的置信区间为 ( 4 0 . 2 8 4 , 2 0 4 . 9 8 4 ) .2．设自总体 X ~ N ( ? , 25) 得到容量为 10 的样本， 算的样本均值 X ? 19.8 ，自总体 Y ~ N ( ? ,36) 得到容量为 10 的样本，算的样本均值 Y ? 24.0 ，两样本的总体相互独立，求 ?1 ? ?2 的 90%的置 信区间。2 解： ?12 , ? 2 均已知，求 ?1 ? ?2 置信水平为 1 ? ? 的置信区间为( X ? Y ? Z?2? 12n1?2 ?2n2, X ? Y ? Z?2? 12n1?2 ?2n2)2 2 这里 n1 ? n2 ? 10 ， X ? 19.8 ， Y ? 24.0 ， ?1 ? 25, ? 2 ? 36 ， ? ? 0.1, Z0.05 ? 1.645 .代入得 ?1 ? ?2 的置信区间为 (?8.2628, ?0.1372).3．某车间两条生产线生产同一种产品，产品的质量指标可以认为服从正态分布，现分别从两条生 产线的产品中抽取容量为 25 和 21 的样本检测，算的修正方差分别是 7.89 和 5.07，求产品质量指 标方差比的 95%的置信区间。50解： ?1 , ?2 未知，求? 12 置信水平为 1 ? ? 的置信区间为 ? 22S12 S12 1 1 ( 2 , 2 ) S2 F? / 2 (n1 ? 1, n2 ? 1) S2 F1?? / 2 (n1 ? 1, n2 ?1)2 ,0 . 0 2 这里 n1 ? 25, n2 ? 21 ， S12 ? 7.89, S2 (5 24, 2? 0) ? 5.07 ， ? ? 0 . 0 5F2 . 4 1,F0.975 (24, 20) ?1 1 ? . F0.025 (20, 24) 2.33? 12 代入得 2 的置信区间为 (0.0). ?2概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号 一、选择题： 1．假设检验中，显著性水平为 ? ，则 [ B ] (A) 犯第二类错误的概率不超过 ? (B) 犯第一类错误的概率不超过 ? (C) ? 是小于等于 10 % 的一个数，无具体意 (D) 可信度为 1 ? ? . 2．设某产品使用寿命 X 服从正态分布，要求平均寿命不低于 1000 小时，现从一批这种产品中随 机抽出 25 只，测得平均寿命为 950 小时，方差为 100 小时，检验这批产品是否合格可用 [ A ]51（A）t 检验法（B） ? 2 检验法（C）Z 检验法（D）F 检验法3．从一批零件中随机抽出 100 个测量其直径，测得的平均直径为 5.2cm，标准方差为 1.6cm，若 这批零件的直径是符合标准 5cm，采用了 t 检验法，在显著性水平 ? 下，接受域为 [ A ] （A） | t |? t1??2(99)（B） | t |? t1??2(100)（C） | t |? t1??2(99)（D） | t |? t1??2(100)x ? ?0 S/ nC ]4． 设样本 x1 , x2 ,?, xn 来自正态分布 X ~ N (? , ? 2 ) ， 在进行假设检验是时， 采用统计量 t ? 是对于2 （A） ? 未知，检验 ? 2 ? ? 0 2 （B） ? 已知，检验 ? 2 ? ? 0[（C） ? 未知，检验 ? ? ?02（D） ? 已知，检验 ? ? ?02二、计算题： 1．已知某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下，服从正态分布 N (4.52,0.1082 ) ，现在测定了 5 炉铁 水，其含碳量分别为 4.33 4.77 4.35 4.36 若标准差不变，给定显著性水平 ? ? 0.05 ，问 （1）现在所炼铁水总体均值 ? 有无显著性变化？ （2）若有显著性变化，可否认为现在生产的铁水总体均值 ? ? 4.52 ？ 解：(1) 这里 ?0 ? 4.52 ， ?24.29已知。设 H 0 ： ? ? 4.52 ；H 1 ： ? ? 4.52 H 1 ： ? ? 4.52用 Z 检验量（双侧） （2）这里 ?0 ? 4.52 ， ? 2 已知。设 H 0 ： ? ? 4.52 ； 用 Z 检验量（单侧）2．设某种灯泡的寿命服从正态分布，按规定其寿命不得低于 1500 小时，今从某日生产的一批灯 泡中随机抽取 9 只灯泡进行测试，得到样本平均寿命为 1312 小时，样本标准差为 380 小时，在显52著水平 ? ? 0.05 下，能否认为这批灯泡的平均寿命显著地降低? 解：这里 ? 未知，检验 ? 。2设 H 0 ： ? 2 ? 1500；H 1 ： ? 2 ? 15003．某维尼龙厂长期生产的维尼龙纤度服从正态分布 N (?,0.0482 ) 。由于近日设备的更换，技术 人员担心生产的维尼龙纤度的方差会大于 0.048 。现随机地抽取 9 根纤维，测得其纤维为 1.38 1.40 1.41 1.40 1.41 1.40 1.35 1.42 1.4322 给定显著性水平 ? ? 0.05 ，问这批维尼龙纤度的方差会大于 0.048 ？解；解：这里 ? 未知，检验 ? 。2设 H 0 ： ? 2 ? 1500；H 1 ： ? 2 ? 15004．某厂生产的铜丝，要求其折断力的方差不超过 16 N 。今从某日生产的铜丝随机抽取容量为 9 的样本，测得其折断力如下（单位：N） ：289 286 285 286 284 285 286 298 292 体服从正态分布，问该日生产的铜丝的折断力的方差是否符合标准（ ? ? 0.05 ） 设总253概率论与数理统计练习题专业 班 姓名 学号 第八章 假设检验（二） 1．欲知某种新血清是否能抑制白血球过多症，选择已患该病的老鼠 9 只，并将其中 5 只施予此 种血清，另外 4 只则不然，从实验开始，其存活年限如下： 接受血清 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9 在 ? ? 0.05 的显著性水平下,且假定两总体均方差相同 的正态分布,试检验此种血清是否有效? 未接受血清 1.9 0.5 2.8 3.1 系2．某设备改装前后的生产效率（件/小时）记录如下： 改装前 20 21 24 24 21 22 21 19 17 改装后 25 21 25 26 24 30 28 18 20 23 设改装前后的生产效率均服从正态分布，且标准差不变，问改装前后生产效率有无显著差异？ （ ? ? 0.05 ）3、某地区居民平时比较喜欢吃豆腐.该地区一家超市打算对每千克豆腐提价 0.2 元,但又担心提价 后会降低销售量.于是通过居委会对 10 个爱吃豆腐的家庭调查了每个月对豆腐的需求量(千克/月): 提价前 2.7 2.6 2.8 2.9 3.0 3.2 3.5 3.8 4.0 4.1 提价后 2.8 2.5 2.9 2.7 3.1 3.0 3.3 3.6 3.7 4.02 2 设商品的价格变动对销售量的影响服从正态分布 N (?,? ),? 未知.给定显著性水平 ? ? 0.05 ,问:该地区居民对豆腐的需求量会显著下降吗?544．某轴承厂按传统工艺制造一种钢珠，根据长期生产资料知钢珠直径服从以2 ?0 ? 1cm,? 0 ? 0.152 cm2 为参数的正态分布，为了提高产品质量，采用了一种新工艺，为了检验新工艺的优劣，从新工艺生产的钢珠中抽取 10 个，测其直径并算出样本平均值 x ? 1.1cm 。假定 新工艺生产的钢珠直径仍服从正态分布，且方差与以前的相同，问： (1) 对于给定显著性水平 ? ? 0.05 ，能否采用新工艺? (2) 对于给定显著性水平 ? ? 0.01 ，能否采用新工艺?5．非典型性肺炎患者的体温都很高，药物治疗若能使患者的体温下降，说明该药有一定疗效。 设药物疗效服从正态分布。为试验“抗非典一号”药的疗效，现测试 9 名患者服用该药前的体温， 依次为38.2?38.6?38.5?38.8?38.2?38.6?38.4?38.9?38.9?服用该药 24 小时后再测试这 9 名患者的体温，依次为37.6?38.7?38.6?38.4?38.2?38.4?38.1?38.6?38.7?给定显著性水平 ? ? 0.05 ，问服用该药有无显著性效果？55概率论与数理统计练习题专业 班 姓名 学号 第九章 方差分析与回归分析 1．粮食加工厂试验 5 种贮藏方法，检验它们对粮食含水率是否有显著影响，在贮藏前这些粮食 的含水率几乎没有差别，贮藏后含水率如表。问不同的贮藏方法对含水率的影响是否有明显差异 ? ? 0.05 ）？ 含水率% 试验批号 1 2 3 4 5 因素 A1 7.3 8.3 7.6 8.4 8.3 （贮 A2 5.4 7.4 7.1 藏方 A3 8.1 6.4 法） A4 7.9 9.5 10.0 A A5 7.1 系2．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀浓度 y 与腐蚀时间 t 之间对应的一组数据如表： 时间 t 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 浓度 y 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 试求腐蚀浓度 y 对时间 t 的回归直线方程。563．假设儿子的身高（y）与父亲的身长（x）适合一元正态回归模型，观察了 10 对英国父子的身 长（英寸）如下： x 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 y 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 63.3 70.1 70 (1) 建立 y 关于 x 的回归方程； （2）对线性回归方程作假设检验（检验水平为 0.05） ； （3）给出 x0 ? 69 时， y0 的置信度为 95%的预测区间。57
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