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江泽民1999五点共圆
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用超级画板证“五点共圆”
【摘要】：正张景中院士主持开发的Z+Z智能教育平台软件——超级画板除了具有几何画板的所有功能外,还基于我国数学家吴文俊先生所提出的数学机械化的思想,实现了几何定理可读性证明的可视化。下面将介绍如何利用超级画板来真正地推导证明"五点共圆",而更重要的是该证明的过程完全由计算
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【分类号】：G633.6【正文快照】：
张景中院士主持开发的Z+Z智能教育平台软件———超级画板除了具有几何画板的所有功能外,还基于我国数学家吴文俊先生所提出的数学机械化的思想,实现了几何定理可读性证明的可视化。下面将介绍如何利用超级画板来真正地推导证明“五点共圆”,而更重要的是该证明的过程完全由
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五点共圆问题 与 Clifford’s 链定理 北京师范大学 张英伯 2007 …
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官方公共微信[转载]平面几何定理欣赏-Miquel五点共圆定理
Miquel五点共圆定理:：五边形FGHIJ的边延长后得五角星ABCDE（如图），每个"角"（三角形）的外接圆相交，除F、G、H、I、J外又有五个交点F&、G&、H&、I&、J&。证明这五点共圆.
在任意歪斜的不规则五角星形外侧,五个"角"的外接圆两两相交,有一组交点居然五点共圆.这个定理有许多的证明方法,特别要提到的它的知名度与前国家主席江泽民在澳门提到有关,当时很多报纸都提到这个定理.
下面引自一网络上的一文章，本人觉得写得较好所以抄录如下：
从点到“江问题”
海南中学高一班
指导教师：贺航飞
年江泽民主席视察澳门濠江中学，他兴致勃勃的出了一道关于五点共圆的几何证明题，引起了海内外数学界人士的广泛关注，人称“江问题”。
江问题：给出一个不规则的五角星，作五角所在的五个小三角形的外接圆，每相邻两个外接圆交于两点，其中之一是小三角形的公共点，构成五角星内五边形的顶点，那么另外五个交点共圆。
这是一道非常有趣的初等几何问题，这个“五点共圆”把圆共点及点共线紧密的联系起来。本文拟从三角形的点入手，解决并推广“江问题”。
．三角形的点与定理
先看一个事实：如图，在中，，，分别是三边上的高，我们知道三线共点，交于垂心。显然，及，均四点共圆，也就是说分别以，，作圆，这三个圆共于一点，这个点就是垂心，即的交点．我们称点是对于的点。
三角形的点可以推广。
中，，，分别是直线，，上的点，则⊙ ⊙ ⊙三圆共于一点。这样的点称为，，对于的点。
证明：如右图，设⊙与⊙交于点，连，只需证四点共圆。
∵与为两组四点圆，
∴∠∠∠∠，
∴四点共圆。
上述证明方法，是证明圆共点的一般方法。圆共点问题与点共圆问题，是初等几何中的对偶问题，两者的推证方法本质上是相同的。为了更好的推广有关点的性质，为证明“江问题”中的五点共圆奠定思想基础，我们先来看初等几何中的一组重要对偶命题，定理及其逆，这是关于“点共线”与“点共圆”的一个基本结论。
命题（定理）：是外接圆上一点，过点作垂直，垂直于，垂直于，则，，是共线的三点。直线称为点关于的线。
证明：如图，连．要证明三点
共线，只需证明∠∠。
∵及四点共圆，
∴∠∠，∠∠
又∵四点共圆，∠∠
∴∠∠，故∠∠。
由对顶角性质知三点共线。
定理的逆也同样成立。
命题（逆定理）：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上，即该点与三角形三顶点共圆。
证明：如图到△的射影分别为、、，且、、共线。
∵∠∠° ∠∠°
∴、、、四点共圆，、、、四点共圆
有∠∠，∠∠
∵∠∠°
∴∠＋∠∠＋∠°
故、、、四点共圆，在△外接圆上
命题得证。
如将命题推广，则有：
命题：三角形外任意一点，向三角形三边所在直线引斜线，使其与三边的同向夹角相等，则该点也在该三角形外接圆上。
证明方法与上述相同。
．完全四边形的点
我们发现，在定理中的线与三角形三边形成了一个完全四边形（两两相交且无三线共点的四条直线围成的四边形），而在其证明过程中，我们知道；；；均四点共圆，也就是说，，，的外接圆皆过点。结合命题、，我们猜测：既然任意三角形存在点，那任意完全四边形所在的平面上也存在一点，使得该四边形中每三边所在的直线围成的三角形，其外接圆皆过该点。
证明：如图，设△和△外接圆交于点、。
只须证△和△外接圆也过点，
即证明、、、四点共圆，
同理可得、、、四点共圆。
连接、、。
∵为圆内接四边形，
∵为圆内接四边形，
∵∠∠∠∠
∴∠∠∠∠∠∠∠∠°
故、、、四点共圆，命题得证。
命题（完全四边形的定理）：平面内任意四条直线，它们两两相交且无三线共点，这四条直线围成的四个三角形，它们的外接圆交于一点，这点称为该四边形的点。
显然，定理是完全四边形的定理是等价的。
．完全五边形的圆
我们知道，
（）平面内任意两条不平行的直线交于一点。
（）任意三条直线，它们两两相交且不共点，这三条直线围成的三角形有且仅有一个外接圆。
现知任意完全四边形确定一个点，那平面内两两相交且无三线共点的五条直线（这里称之为完全五边形）是否可以看作五组完全四边形，而它们的点是否存在某些内在的联系？
江问题的“五点共圆”实质上就是关于完全五边形的一个性质。
已知平面内有、、、、五点顺次相连，得到五角星，如图所示。设、、
、分别交于点、、、、。△、△、△、△、△外接圆依次交于、、、、五点（除、、、、外）。
求证：、、、、五点共圆。
证明：观察发现，、、、、为图中五个完全四边形的五个点。要证、、、、共圆，只须证任意四点共圆，由对称可知另一点与这四点共圆。
∵在△外接圆上，
∴、、、四点共圆
同理、、、四点公圆，故、、、、五点共圆
∵、、、四点共圆，
∵、、、四点共圆，、、、四点共圆，
∵∠∠∠，
∴∠∠∠∠，
∵∠∠°
∴、、、四点共圆
、、、、五点共圆
命题得证。
于是我们又得出：
命题：平面内任意五条直线，它们两两相交且无三线共点，这五条直线中，每四条直线所围成的四个三角形的外接圆有一个交点。这样的交点有个，这五个点共圆。我们称这个圆为圆。
至此，“江问题”中的五点共圆，已经全部证明，但通过对三角形的点、完全四边形的点，及完全五边形的圆的探究，我们感觉此题意犹未尽。
回味整个问题的研究过程，我们发现：
当时，体现的是四圆共点，为完全四边形的点；
当时，体现的是五点共圆，为完全五边形的圆；
那么当以及，等时，又有怎样的圆共点及点共圆性质呢？
．定理的推广
通过几何画板工具作图，我们发现完全六边形的六个完全五边形的圆共点，我们称之为完全六边形的点；那完全七边形的七个完全六边形的点是否共圆？我想答案是肯定的。前者可以借鉴命题的证明思路进行证明，后者可以借鉴命题的证明思路进行证明。
至此，我们得出以下猜想：
平面内完全边形的个完全边形的圆共点，我们称之为完全边形的点；平面内完全边形的个完全边形的点共圆，我们称之为完全边形的圆。
本文写作源于校本课程《几何万花筒》中的“江问题”，在学习推演过程中，笔者提出了上述猜想，但无法利用初等几何方法进行证明。在老师的建议下，我查阅了文，发现这个猜想其实就是著名的链定理。
平面内任意条直线，它们两两相交且无三线共点，这条直线中每条直线确定一个圆，共有个这样的圆，这个圆共点。
平面内任意条直线，它们两两相交且无三线共点，这条直线中每条直线确定一个点，共有个这样的点，这个点共圆。
参考文献：
．张英伯，叶彩娟．五点共圆问题与链定理．数学通报，，
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