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第11章 级数的敛散性习题及解答
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第11章 级数的敛散性习题及解答
官方公共微信利用等价无穷小判断级数的收敛性--《高等数学研究》1995年02期
利用等价无穷小判断级数的收敛性
【摘要】：正关干正项级数的收敛性问题，有如下极限形式的比较判别法：
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O173【正文快照】：
关于正项级数的收敛性问题,有如下极限形式的比较判别法:设级数二U。与级数】V。为两个正项级数,如果timUn;。。;。、—_———一、————,。。。。。。一。。。。’。’‘。“二二六一一Z（OZ十co）’”””V””””””’一”’则级数二U。与级数】厂。同时收敛或同时
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数项级数收敛性的判别.doc 15页
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数项级数收敛性的判别
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班级：数学091姓名：韩海飞数项级数收敛性的判别摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，得到一般的解题思路.关键词：判别方法归纳总结数项级数敛散性解题思路引言：在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时，学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱.所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.一、定义定义1：设有数列表达式（1）称为数项级数，可记为，其中称为数项级数（1）的第n项或一般项。定义2：称为级数（1）的第n个部分和，数列称为它的部分和数列。定义3：设是级数（1）的部分和数列，若则说级数（1）的和是S，这时也说级数（1）是收敛（于S）的。记为：。若是发散数列，则称级数（1）发散。余项：定义4：绝对收敛：若收敛，则称级数绝对收敛条件收敛：若发散，则称级数条件收敛二、性质定理定理12.2若级数与都收敛，则对任意常数，级数也收敛.定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.定理12.4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.三、分类1、等比级数（几何级数）:2、级数：3、正项级数:若，则称为正项级数4、一般级数：任意，则称为一般级数三、等比级数收敛性的判别法等比级数（几何级数），
时，级数收敛时，级数发散四、级数收敛性判别法：级数(1)当时，级数发散(2)当时，级数收敛例：为p-级数，p=2&1，显然此级数是收敛的.五、正项级数收敛性的判别法（1）比较原则：设与是两个正项级数，若当时，两级数同时收敛或同时发散；当且级数收敛时，级数也收敛；当且级数发散时，级数也发散；例：判别级数的敛散性解：由于，根据比较原则，及调和级数发散，所以级数也发散.（2）比式判别法（极限形式）若为正项级数，且则(1)当时，级数也收敛；(2)当时，或时，级数发散；注：当时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数与，它们的比式极限都是但是收敛的，而是发散的.（3）根式判别法（极限形式）若为正项级数，且则(1)当时，级数收敛(2)当时，级数发散注：当时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数与，二者都有，但是收敛的，而是发散的.但是收敛的，而是发散的.例：判别级数的敛散性解：由于故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于所以由根式判别法知原级数收敛.（4）积分判别法：设是上非负递减函数那么正项级数与非正常积分同时收敛或同时发散；例：讨论级数的敛散性解：研究非正常积分，由于当时收敛时发散，由积分判别法级数在时收敛时发散（5）拉贝判别法（极限形式）若为正项级数，且存在，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当时拉贝判别法无法判断.例：讨论级数当时的敛散性解：无论哪一个值，级数的比式极限都有所以用比式判别法都无法判别此级数的敛散性，现在应用拉贝判别法来讨论，当时，由于所以级数是发散的.当时，由于这时，拉贝判别法也无法对此级数作出判断，当时，由于所以级数收敛.六、一般级数收敛性的判别法（1）级数若，则此级数发散.例：判断级数的敛散性解：由于，所以原级数发散（2）（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例：判定正项级数的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断.解记,则 级数的前项和所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛.（3）柯西收敛准则级数收敛的充要条件：当时，有：例：证明级数的收敛证明：由于=&==&因此，对任给正数，取，使得当m&N及任意自然数p，由上式就有&&由柯西收敛准则推得级数是收敛的.（4）绝对收敛定义法：若级数各项绝对值所组成的级数收敛，则原级数收敛；例：的各项绝对值所组成的级数是应用比式判别法，对于任意实数都有=0因此，所考察的级数对任何实数都绝对收敛.（5）莱布尼兹判别法：若交错级数满足下述两个条件：(1)数列单调递减；(2)则级数收敛.例：考察级数的敛散性.解：因为发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.（6）阿贝耳判别法：设级数若为单调有界数列，且级数收敛，则级数收敛.例：讨论级数(x&0)的敛散性.解：对于数列{}来说，当
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