在三角形ABC中,sinA：sinB：sinC＝m：m＋1：:2m,求m的取值范围_百度作业帮
在三角形ABC中,sinA：sinB：sinC＝m：m＋1：:2m,求m的取值范围
在三角形ABC中,sinA：sinB：sinC＝m：m＋1：:2m,求m的取值范围
由正弦定理,得：sinA:sinB:sinC＝a:b:c＝m:m＋1:2m在三角形中,任意两边之和大于第三边,故有：m＋(m＋1) > 2m…………(1)m＋2m > m＋1……………(2)(m＋1)＋2m > m…………(3)解(1),得：任意m都成立解(2),得：m > 1/2解(3),得：m > -1/2∴m > 1/2
三角形中，由正弦定理： a:b:c = sinA：sinB：sinC也就是说，a:b:c = m：m＋1：:2m。然后就是利用两边之和大于第三边了。
m+1 + 2m > m且 m + m + 1 > 2m且 m + 2m > m+1所以 m > 1/2.在三角形ABC中，已知2b=a+c，且A-C=90度，是分别求sinB，sinC的值_百度知道
在三角形ABC中，已知2b=a+c，且A-C=90度，是分别求sinB，sinC的值
要详细过程
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4sinA+sinC=√7&#47，sinA;42sinAsinC=3/8=0 两根sinC=(2√7-1)/4=7/4sinAsinC=3/4sinB=√7/84sinB^2=(sinA+sinC)^2=sinA^2+sinC^2+3/2sinA^2+cosA^2+2sinAcosA=1&#47!=cosA∴2sinA+2cosA-1=0sinA+cosA=1/2x+3&#47, sinC是方程x^2-√7&#47由正弦定理sinA+sinC=2sinBsinC=sin(A-90度)=-cosAcosC=cos(A-90度)=sinA sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC(sinA-cosA)(2sinA+2cosA-1)=0 A显然不可能是45度;42sinAcosA=(1/2sinA;4)-1=-3/4=sinA^2+cosA^2+3&#47
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三角不等式
[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2&
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2.
对三角形三内角而言，以下必有一个成立
A≥π/3≥B≥C和C≥B≥π/3≥A
总有(sinB/2-1/2)(sinC/2-1/2)≥0
即4sinB/2sinC/2≥2(sinB/2+sinC/2)-1
于是1+4sinA/2sinB/2sinC/2
≥2sinA/2(sinB/2+sinC/2)+1-sinA/2
因为A为常数时，sinB/2sinC/2当且仅当B=C=(π-A)/2时取最大值，
即sinB/2sinC/2≤sin^2(π-A)/4=[1-cos(π-A)/2]/2
=(1-sinA/2)/2
而cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2
≥2(sinA/2sinB/2+sinB/2sinC/2+sinC/2sinA/2)
而原不等式左边
=3/2-(cosA+cosB+cosC)/2
+2(sinA/2sinB/2+sinB/2sinC/2+sinC/2sinA/2)
=3/2+(cosA+cosB+cosC)/2
至此，不等式得证
[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2&
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2.
[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2
&[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2. (1)
设s,R,r分别表示△ABC的半周长，外接圆和内切圆半径。
根据三角形恒等式：
[sin(A/2)]^2+[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2=(2R-r)/(2R)；
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2=(4R+r)/(2R)。
不等式(1)等价于
[sin(B/2)+sin(C/2)]^2+[sin(C/2)+sin(A/2)]^2+[sin(A/2)+sin(B/2)]^2&3
(2)
sin(B/2)*sin(C/2)+sin(C/2)*sin(A/2)+sin(A/2)*sin(B/2)=&(R+r)/(2R)
对不等式(1)、(2)作角变换：A/
在三角形AB中，求证
[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2&
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2.
[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2
&[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2. (1)
设s,R,r分别表示△ABC的半周长，外接圆和内切圆半径。
根据三角形恒等式：
[sin(A/2)]^2+[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2=(2R-r)/(2R)；
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2=(4R+r)/(2R)。
不等式(1)等价于
[sin(B/2)+sin(C/2)]^2+[sin(C/2)+sin(A/2)]^2+[sin(A/2)+sin(B/2)]^2&3
(2)
sin(B/2)*sin(C/2)+sin(C/2)*sin(A/2)+sin(A/2)*sin(B/2)=&(R+r)/(2R)
对不等式(1)、(2)作角变换：A/2&90&-A，B/2&90&-B，C/2&90&-C，
分别等价于,在锐角△ABC中
(cosA+cosB+cosC)^2&(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2
(4)
(cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2+(cosA+cosB)^2&3
设x=tan(A/2), y=tan(B/2), z=tan(C/2) ，
则x&0、y&0、z&0。
据万能置换公式得:
sin(A/2)=x/&(1+x^2)；sin(B/2)=y/&(1+y^2)；sin(C/2)=z/&(1+z^2)。
对不等式(1)作置换得:
&[y/&(1+y^2)+z/&(1+z^2)]^2&3
注意到yz+zx+xy=1，上述两端同乘(y+z)*(z+x)*(x+y) 即证:
&[y&(z+x)+z&(x+y)]^2&3(y+z)*(z+x)*(x+y)
因为[y&(z+x)+z&(x+y)]^2
=y^2(z+x)+z^2(x+y)+2yz&[(z+x)(x+y)]
&y^2(z+x)+z^2(x+y)+yz[(z+x)+(x+y)]
=2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+y^2) ，
即得
[y&(z+x)+z&(x+y)]^2&2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+y^2)
同理可得
[z&(x+y)+x&(y+z)]^2&2xyz+2zx(z+x)+y(z^2+x^2)
(7)
[x&(y+z)+y&(z+x)]^2&2xyz+2xy(x+y)+z(x^2+y^2)
(6)+(7)+(8)得:
&[y&(z+x)+z&(x+y)]^2&&[2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+y^2)]
=3(y+z)*(z+x)*(x+y).
故得不等式(2)。
(5)式证明 由余弦定理,将不等式(5)，化为仅含边长的不等式
-&Sa^6+&Sa^5(b+c)+ &Sa^4*(b^2+c^2)-2&Sb^3*c^3-abc&Sa^3&0
不妨设a=max(a,b,c) ，则b^2+c^2&a^2, 上式化简为
a^2*(a-b)*(a-c)*(b^2+c^2-a^2)+
(b-c)^2*[(ab+ac-bc)*(b^2+c^2-a^2)+b^2*(a^2-b^2)+c^2*(a^2-c^2)]&0
上式显然成立。不等式(5)得证。
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在三角形ABC中，已知sinA^2+sinB^2+sinC^2&2,试判断
中，已知sinA^2+sinB^2+sinC^2&2,试判断该三角形的形状
在三角形ABC中，已知sinA^+sinB^+sinC^&2,试判断该三角形的形状
sinA^+sinB^+sinC^
=1-cos^A+1-(1/2)[cos2B+cos2C]
=2-cos^A-cos(B+C)cos(B-C)
=2-cos^A+cosAcos(B-C)
=2-cosA[cosA-cos(B-C)]
=2+2cosAsin[(A+B-C)/2]sin[(A-B+C)/2]
=2+2cosAsin[(A+B+C)/2-C]sin[(A+B+C)/2-B]
=2+2cosAcosBcosC
---&cosA、cosB、cosC中必有负数
---&该三角形是钝角三角形
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大家还关注在△ABC中,sinA^2≤sinB^2+sinC^2-sinBsinC,则A的取值范围_百度知道
在△ABC中,sinA^2≤sinB^2+sinC^2-sinBsinC,则A的取值范围
！！大家帮忙想想啊啊！！！
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不等号两边同时乘以(2R)^2不等式就变成a^2≤b^2+c^2-bc再利用余弦公式把a^2化成b^2+c^2-2cosAbc带入不等式知道正弦公式吗，得到b^2+c^2-2cosAbc≤b^2+c^2-bc化简得2cosA≥1所以cosA≥1&#47，所以A的范围是0&2又因为0度≤A&180度;A≤60或120≤A&lt?三角形边长与对角的正弦值之比为三角形外接圆半径的两倍
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A≤π&#47，我们有;+c²+c&#178：（b²2故有：0&bc≥1即：（b²2bc≥1&#47：利用正弦定理：a&#178：cosA≥1/+c²≤b&#178，有;2由余弦定理;-bc移项;）&#47，我们得到;-a²）/-a&#178解
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