线性代数论行列式的计算方法_中华文本库
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论行列式的计算方法
摘要：归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊 例子进行推广。 关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助 行列式法
行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个 n 阶行列式都可以由它 的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有 n!项，计算量很大，一般情况下 不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非 零元素乘积项时，不一定从第 1 行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计 算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。 方法 1 化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。 这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形 行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列 式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作 为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题 （重庆大学 2004 例 1： ： 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题）的解答中需要计算如下行列式的值：
1 2 3 ? n -1 2 3 4 ? n Dn = 3 4 5 ? 1 ? ? ? ?
n 1 2 ? n - 2 n -1
[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式
的性质。注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的，根据行列 式的性质，先从第 n-1 列开始乘以－1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以－1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以－1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以－1 加到各行去，再将其 化为三角形行列式，计算就简单多了。 解：
1 2 Dn = 3 ?
1 ? 1 ? ? 1+? + n
1 1 ? 1 0 0 0 ? 0 ? -n ? ? ?
1 1- n 1 ? 1 0 0 ? 0 0 0 -n 0
(i = 2, ? , n ) ri = r1
1 -n 0 ? 0 -n 0 ? 0 0
n 1- n 1 ? 1 1 n 2 ? n-2 n -1 =
n - 1 -n 0 ? 0 0 ?
(i = 2, ? , n) r1 + 1 n ri
0 0 ? -n 1 n(n + 1) = ? ? ? ? ? n 2 0 -n ? 0 0 -n 0 ? 0 0
( n -1)( n - 2) 1 n(n + 1) ? ? (- n)n -1 ? (-1) 2 n 2 n ( n -1) (n + 1) n -1 = ? n ? ( -1) 2 2
[问题推广] 问题推广] 例 1 中，显然是 1,2，…，n-1,n 这 n 个数在循环，那么如果是 a0,a
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计算行列式1 2 2 … 2 2 2 2 … 2 2 2 3 … 2 … … … … … 2 2 2 … n
提问者采纳
n-2= -2(n-2)....,. 0
0 ....解.... 02
2 :Dn =ri-r2... 20
所有行减第2行-1
提问者评价
所有行减第2行 第1列减第2列 行列式化为上三角形式 D = -1*2*1*2*...*(n-2) = -2*(n-2)!
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计算行列式
1、将2,3,4列加到第1列, 提出第1列公因子10, 则
1```2```3```4
1```3```4```1
1```4```1```2
1```1```2```3
2、R1*(-1)加到其余各行, 得
1```2```3```4
0```1```1``-3
0```2``-2``-2
0``-1``-1``-1
3、R3-2r1, R4+R1, 得
1```2```3```4
0```1```1``-3
0```0``-4```4
0```0```0``-4
所以行列式=10*(-4)*(-4)=160
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