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比例边界有限元法
比​例​边​界​有​限​元​法​在​势​流​理​论​中​的​应​用
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比例边界有限元法及快速多极子边界元法的研究与应用
【摘要】：
比例边界有限元法(SBFEM)是近年来提出和发展的一种半解析数值方法,它结合了有限元法和边界元法的优点,只需对计算域边界进行数值离散,减少了一个空间维数;在没有离散的径向方向利用解析的方法求解,具有较高的计算精度。运用SBFEM进行计算时,不需要基本解,不存在奇异积分问题;而对于无限域问题,不需要人为引入截断边界,能够自动满足无穷远处的边界条件。SBFEM已成功地应用于固体力学领域,最近又求解了一些流体力学问题,有着很大的应用空间。
SBFEM求解Poisson方程边值问题时,不存在体积分,而且可以精确处理无限域问题,与有限元法和边界元法相比,具有很大的优势。但是,目前该方法对Poisson方程右端项有特殊的要求,限制了其在Poisson方程边值问题上的应用范围。此外,SBFEM目前只能求解线性问题,依然处于发展之中,需要进一步研究。本论文先后引进了切比雪夫多项式逼近和同伦分析方法,对SBFEM进行了改进和发展。
首先,引进切比雪夫多项式逼近,对SBFEM进行了改进,同时还提出了一种更为高效的求解技术,并运用改进后的方法求解若干Poisson方程边值问题。计算结果表明改进后的方法同样保持了高精度的优点,而且大大拓宽了SBFEM所能求解的Poisson方程边值问题的范围,具有广泛的应用前景。
其次,引进一种求解强非线性问题的解析方法――同伦分析方法,并与改进后的SBFEM相结合,提出了一种新的求解非线性边值问题的半解析数值方法――基于同伦的SBFEM。该方法既保持了半解析数值方法的优点,又可以将SBFEM应用于求解非线性问题。本论文运用该新方法求解了一个二维Poisson型非线性边值问题,验证了该方法求解非线性边值问题的可行性和有效性。
快速多极子边界元法(FMBEM)是最近发展起来的一种能够快速计算的数值方法,它克服了传统边界元法计算效率低下、存储量大的缺点,适合于求解大规模问题。本论文还运用该方法求解了海洋工程中圆柱体波浪绕射问题和水下三维复杂结构物附加质量计算问题,充分展现了该方法高效、低存储以及高精度的特性,证明了FMBEM在求解海洋工程中超大规模数值问题中具有巨大的潜力。
本论文的主要创新点为:
(1)首次运用切比雪夫多项式逼近,对SBFEM进行了改进,使其能够求解具有复杂右端项的Poisson方程边值问题,扩大了SBFEM的解题范围。
(2)首次将同伦分析方法与SBFEM结合起来,提出了一种新的求解非线性问题的半解析数值方法――基于同伦的比例边界有限元法。该新方法克服了传统比例边界有限元法仅能求解线性问题的局限性,大大地拓宽了比例边界有限元法的应用领域,为求解非线性工程问题提供了一条有效途径。
(3)应用FMBEM成功求解了海洋工程中大规模势流问题,边界离散单元数目已高达十万,而所需的计算时间仅在一个小时以内,证明该方法在求解海洋工程大规模势流问题中具有广泛的应用前景。
【关键词】：
【学位授予单位】：上海交通大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2010【分类号】：O241.82【目录】：
ABSTRACT5-11
第一章 绪论11-17
1.1 基本理论和方法回顾11-14
1.1.1 比例边界有限元法回顾11-12
1.1.2 同伦分析法回顾12-13
1.1.3 快速多极子边界元法回顾13-14
1.2 本论文研究目的和意义14-15
1.3 本论文主要工作和创新15-16
1.4 论文的组织16-17
第二章 比例边界有限元法介绍及改进17-37
2.1 比例边界有限元法17-29
2.1.1 比例边界坐标变换17-20
2.1.2 比例边界有限元方程的推导20-24
2.1.3 比例边界有限元方程的求解24-28
2.1.4 比例边界有限元法的优点及局限性28-29
2.2 切比雪夫多项式逼近29-33
2.2.1 切比雪夫多项式29-31
2.2.2 切比雪夫插值多项式31-33
2.3 比例边界有限元法的改进33-35
2.3.1 前提条件33
2.3.2 改进策略33-34
2.3.3 改进后的求解方法34-35
2.4 本章小结35-37
第三章 比例边界有限元法求解二维Poisson方程边值问题37-59
3.1 有限域算例37-50
3.1.1 算例一38-41
3.1.2 算例二41-45
3.1.3 算例三45-50
3.2 无限域算例50-58
3.2.1 算例一50-54
3.2.2 算例二54-58
3.3 本章小结58-59
第四章 基于同伦的比例边界有限元法59-71
4.1 同伦分析方法的介绍59-63
4.1.1 零阶形变方程59-60
4.1.2 高阶形变方程60-61
4.1.3 最优收敛控制参数61-63
4.2 同伦分析方法与比例边界有限元法的结合63-67
4.2.1 结合的可能性研究与分析63
4.2.2 问题求解的基本过程63-65
4.2.3 结合的相关技术要点65-67
4.3 直接算法和迭代算法67-68
4.3.1 直接算法67
4.3.2 迭代算法67-68
4.4 本章小结68-71
第五章 基于同伦的SBFEM求解二维Poisson型非线性边值问题71-93
5.1 二维Poisson型非线性问题描述71-72
5.2 相关公式推导72-75
5.2.1 线性子问题控制方程72-73
5.2.2 比例边界有限元方程73-74
5.2.3 运算算子坐标变换74-75
5.3 算例求解及数值结果分析75-92
5.3.1 有限域算例75-87
5.3.2 无限域算例87-92
5.4 本章小结92-93
第六章 快速多极子边界元法介绍93-105
6.1 传统边界元法93-96
6.2 快速多极子方法的主要思想96-97
6.3 快速多极子边界元法97-104
6.3.1 快速多极子法的基本公式98-100
6.3.2 边界单元的树状结构划分100-102
6.3.3 GMRES算法102
6.3.4 快速多极子边界元法求解步骤102-104
6.4 本章小结104-105
第七章 快速多极子边界元法在海洋工程中的应用105-129
7.1 FMBEM求解直圆柱线性波绕射问题105-118
7.1.1 问题描述105-109
7.1.2 FMM基本公式109-111
7.1.3 数值计算结果111-118
7.2 FMBEM计算水下三维结构物的附加质量118-128
7.2.1 问题描述118-119
7.2.2 FMM基本公式119-121
7.2.3 数值计算结果121-128
7.3 本章小结128-129
第八章 总结与展望129-133
8.1 总结129-130
8.2 展望130-133
参考文献133-147
致谢147-148
攻读博士学位期间撰写的论文148-149
攻读博士学位期间参与的科研项目149-151
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摘 要：在传统的比例边界有限元中，相似中心是固定的，难以用其求解关于偏心域的场问题。本文引入移动相似中心的概念，建立新的比例边界坐标变换，并利用加权余量法将控制方程半弱化为关于径向坐标的二阶常微分方程，引入对
【题　名】基于移动相似中心的比例边界有限元方法
【作　者】张勇 林皋 胡志强 徐喜荣
【机　构】大连理工大学建设工程学部水利工程学院 大连116024 大连理工大学电子信息与电气工程学部 大连116024
【刊　名】《计算力学学报》2012年 第5期 726-733页　共8页
【关键词】移动相似中心 比例边界有限元 偏心环形域 静电场边值问题 Schur分解
【文　摘】在传统的比例边界有限元中，相似中心是固定的，难以用其求解关于偏心域的场问题。本文引入移动相似中心的概念，建立新的比例边界坐标变换，并利用加权余量法将控制方程半弱化为关于径向坐标的二阶常微分方程，引入对偶变量，将其降为系数矩阵为Hamilton矩阵的一阶常微分方程。对Hamilton矩阵进行Schur分解，得到微分方程的通解，代入边值条件可得关于积分常数的代数方程。此方法将比例边界有限元扩展到偏心域的边值问题，同时在径向是半解析的，解的精度高；仅需要离散求解域的一个边界，数据量小；在计算中仅需要对Hamilton矩阵进行Schur分解以及求解关于积分常数的代数方程，运算量少。将偏心环形域静电场边值问题的算例与解析解或其他数值方法计算结果的比较，表明此方法具有精度高、数据量小及运算量小的优点。
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