具有重特征根的实对称矩阵的对角化
对于一个。阶实对称矩阵A,必然存在正交矩阵P.使得P *P一八为对角矩阵。 对于正交矩阵P的求法/线性代数》教材中一般是按以下几步完成的,l)求出A的全部特征值;n对每一个特征阮求出相应的特征向邑3)不同特征值的特征问量是相互正交的,R需将其单位化。对于rN根的特征值,先求出厂个线性无关的特征问量,然后再标准正交化,从而求得,个单位正交的特征向量,标准正交化了的特征问 构造成正交矩阵尸。 囚标准正交化的计算一般比较繁,这里介绍的另一方法是直接从特征N量空间里找正义的特征向量而不需要正交化步骤,在通常情况下,尤其是在厂较大时,这种方法更简便,现举例说明如厂 设: 厂2 一工 一11\ A。 D—112～IB L]～二 一 工 *J 门的特征方程为 Al—AA一Zll—l lA一2 一11 11—lA一;?1 D 一111 方一2 一以一 1)’(A-5)-0第5# 第二期 廖 莹:具有重特征根的实对称矩阵的对角化39 A一1为A的...&
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文[1」已就实对称矩阵正交相似于对角形矩阵的证明作了初步讨论,本文将就这一问题进行更为全面的讨论.引理1任意n阶复矩阵必相似于上三角形矩阵,即存在n阶可逆矩阵p,使得_,_户、2’」p一IAp一………’ 匕人」其中,几,,几2,…,凡为A的全部特征根. 引理2实对称矩阵的特征根为实数. 引理3设A与B为n阶实矩阵,则A与B在实数域上相似的充要条件是A是B在复数域上相似.即有实可逆矩阵P,使得P一1凡P一B的充要条件是有可逆复矩阵Q,使得Q一’AQ一B. 证明必要性显然,略去.今证充分性,设有可逆复矩阵Q,使得Q一‘AQ一B,且令Q~C+iD,其中C、D为实矩阵,i,-一1.而AQ一QB,于是AC一CB,AD一DB.因Q可逆,故}Q}~}C+iD}护0.这说明}C+功}不是零多项式,则有实数产,使}c+闷}并。,即实矩阵c十产D可逆,令p~C+阅,则有AP一AC+产A刀~CB+产BD~PB,于是,Q一’AP一B.这就证明了A与B在...&
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一、前言 关于化实对称矩阵A为对角形的讨论,大部分教科书中,都采用施密特正交化的方法来求出正交矩阵P,按常规是分三步进行: a.求{入E一A}的全部不同的特征根人:,又:,……,凡,它们都是A的特征根. b.对每个特征根凡,解齐次线性方程组(a石一A)X=o,求出它的一个基础解系: ail,必2,…,ai,,(1)对(1)施用施密特征交化得: 夕,;,月‘2,…,夕,,r(2)再把(2)单位化,得: 劝1,味:,…,从,‘(3) c.以粉;;,叭:,…,vir‘,……,从:,从:,……耘:为列向量的矩阵尸就是所求的正交矩阵.泪**。,。、南,二国,,‘二*,I.八二。.__(气,凡一1)。(气,月,)。I廿住小,寸、‘,甲,而女用珊访叮寸止少‘‘比百八尚一“,一又万一一下厂一灭P,一1一’.’一了万一下了戈八 、尸脚一1,尸邢一1,气尸l一尸11(4) 而(4)式的运算是较繁杂又难记,考虑到这种情况我们研究一种取代施密特正交化的...&
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实对称矩阵是应用最广的一种特殊矩阵,主要原因在于它可以表达二次型,且具有许多良好性质.如实对称矩阵的特征值皆为实数,并有完整的标准正交特征向量.也就是说,实对称矩阵可正交对角化.在高师数学专业的教学中,通常使用北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编写的《高等代数》教材.该教材结构性强,承前启后,富于思想性和启发性.笔者在教学中经常从优化内容结构、简化定理证明入手来培养学生的数学兴趣和应用能力,使学生普遍感到高等代数并非那么抽象,学习动力也明显增强.关于实对称矩阵可正交对角化的证明有多种方法.比如可以用若当标准形理论、对称变换理论和矩阵的秩理论等来证明该定理[1-3].文献[4-5]对文献[1-3]的证明进行了改进,得到更加简便和易于理解的方法,值得读者详加探究.本文介绍一种异于文献和教科书的新证明方法,此法结合了一些重要的线性代数分析技巧,包括不变子空间、正交补集和分块矩阵运算等,它在加深学生对高等代数本质理论的理解上大有益处...&
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0引言在高等数学线性代数部分,矩阵的相似变换是其重要内容.对于实对称矩阵,有如下结果:任意实对称矩阵,总正交相似于一对角阵.该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值,正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量.给定一实对称阵A,如何求正交相似变换矩阵P,使PAP-1=PAPT为对角阵.理论上的解决方法为:首先利用特征方程:|Iλ-A|=0求出全部特征值,针对不同特征值求出相应的完全特征向量系,合在一起构成实对称阵A的完全特征向量系.再利用施密特正交化法得到A的规范化正交特征向量系.以此作为列向量得到正交相似变换矩阵P,PAP-1=PAPT为对角阵,参见文献[1].此方法理论可行,但在具体操作时,由于要事先求出实对称阵A的全部特征值,操作上有如下困难:(1)特征方程:|λI-A|=0给出困难;(2)特征方程求根困难(5次以上的代数方程没有统一的求根公式).因此有必要寻求其他方法.在数值分析中,数学家Jacobi[2]曾对此问题进行研究...&
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1.引言对n阶实对称矩阵A,一定存在n阶正交矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵,即实对称矩阵必能正交相似对角化[1]。求正交矩阵P的常规方法为,先求出A的属于不同特征值的线性无关的特征向量,再分别经过施密特正交化方法将其正交单位化,便得到A的n个正交单位特征向量组,由这n个正交单位向量作列构成的正交矩阵P,可使得P-1AP为对角矩阵,且对角矩阵主对角线上的元素为A的特征值。但是,当特征值重数较高时,该方法计算量较大。将实对称矩阵A正交相似对角化的关键是求矩阵A的特征值和正交矩阵P。而矩阵P是由A的正交单位特征向量组构成,故求正交单位特征向量组是核心。本文通过作简单的初等行变换,便可得到n阶实对称矩阵A的n个正交单位特征向量,从而得到正交矩阵P可将实对称矩阵A正交相似对角化。2.理论分析及算法步骤定理1[2]设A为n阶实对称矩阵,A-λE可经初等行变换化为如下上三角形矩阵:L(λ)=éêêêùúúúl1(λ)0 l2(λ)0 0 l...&
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矩阵的特征值和特征向量
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官方公共微信设 为实对称矩阵 的一个3重特征根,则 ( ).A) 矩阵 的对应特征值 的特征向量线性无关； (B) 矩阵 的对应特征值 的特征向量两两正交； (C) 矩阵 有3个对应 的两两正交的特征向量; (D) 矩阵 的对应特征值 的特征向量的_百度作业帮
设 为实对称矩阵 的一个3重特征根,则 ( ).A) 矩阵 的对应特征值 的特征向量线性无关； (B) 矩阵 的对应特征值 的特征向量两两正交； (C) 矩阵 有3个对应 的两两正交的特征向量; (D) 矩阵 的对应特征值 的特征向量的
A) 矩阵 的对应特征值 的特征向量线性无关； (B) 矩阵 的对应特征值 的特征向量两两正交； (C) 矩阵 有3个对应 的两两正交的特征向量; (D) 矩阵 的对应特征值 的特征向量的个数恰好是3个.C.为什么对,为什么错?我觉得B和C是一样的啊,另外,我觉得特征根如果有重根,对应的特征向量不一定是两两正交的吧,应该是当对称阵对应的n个特征值互不相同时,才有两两相交吧?
你写完都不知道看一下,漏掉两个字母不觉得别扭吗假定矩阵是A,特征值是LB的意思是说A关于L的任何两个特征向量都正交,这显然是错的,即便要求两个特征向量线性无关都不能保证正交.C的意思是说存在（也就是能够找到）3个A关于L的特征向量使得它们两两正交,这个自然是对的,取特征子空间的正交基即可.如果分不清B和C说明逻辑比较混乱,这样的问题在微积分里面会暴露得更明显一些.至于A和D为什么错,这个太低级了吧.这个问题要点在于要知道实对称矩阵的重特征值仍然有完全特征向量系,并且不同特征值对应的特征子空间是互相正交的.至于每个特征子空间内部的特征向量的取法则没有太多的约束,线性无关就够了,只能说可以取成正交基.二次型化为标准型所用的正交矩阵是否唯一
不计向量顺序
10-01-10 &匿名提问 发布
您好&p align=center&&b&线性代数&/b&&b&总结&/b&   &b&一、课程特点&/b&&b&&/b& &b& &/b&&b&    &b&特点一：知识点比较细碎。&/b& &/b&如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。&/p&&b&特点二：知识点间的联系性很强。&/b&这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。&/p&复习线代时，要做到“融会贯通”。&/p&“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。&/p&  &b&二、行列式与矩阵&/b&&b&&/b& &b& &/b&第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。&/p&行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和 阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。 对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于 、 、 等的相关性质，及性质 （其中 为矩阵 的特征值）。 矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、 、 、 的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。   &b&三、向量与线性方程组&/b&&b&&/b& &b& &/b&向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。&/p&向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。&/p&解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式）&/p&&p align=center&还具有两种形式：（Ⅰ）矩阵形式 ，其中 ， ， （Ⅱ）向量形式 ，其中 &p align=center&,&p align=center&  向量就这样被引入了。&/p&1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当 时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式 中的 只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为0的 使上式成立；但向量部分中判断向量组 是否线性相关\无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。 2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系&/p&同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组 组成的矩阵 有 说明向量组的极大线性无关组中有 个向量，即 线性无关，也即等式 只有零解。所以，经过 &p align=center&“秩 → 线性相关\无关 → 线性方程组解的判定” 的逻辑链条，由 就可以判定齐次方程组 只有零解。当 时， 的列向量组 线性相关，此时齐次线性方程组 有非零解，且齐次线性方程组 的解向量可以通过 个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。 3）非齐次线性方程组与线性表示的联系非齐次线性方程组 是否有解对应于向量 是否可由 的列向量组 线性表示，即使等式 成立的一组数 就是非齐次线性方程组 的解。当非齐次线性方程组 满足 时，它有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示方法唯一”。 &b&性质1.对于方阵 有： &/b&    方阵 可逆ó ó 的行\列向量组均线性无关ó ó 可由克莱姆法则判断有唯一解， 而 仅有零解 对于一般矩阵 则有： ó 的列向量组线性无关 &p align=center&         ó 仅有零解， 有唯一解（如果有解） &b&性质2．&/b&齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组 是否有解对应于 是否可以由 的列向量组线性表出。 以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。&/p&&b&    &b&应记住的一些性质与结论&/b& &/b&&b&1&/b&&b&．向量组线性相关的有关结论：&/b&1）向量组 线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余 个向量线性表出。 2）向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。    3）若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示法唯一。 &b&2&/b&&b&．向量组线性表示与等价的有关结论：&/b&1） 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。&/p&2） 如果向量组 可由向量组 线性表示，则有 &p align=center&3） 等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；4） 任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。&/p&&b&3&/b&&b&．常见的线性无关组：&/b&1） 齐次线性方程组的一个基础解系；&/p&2） 、 、 这样的单位向量组； 3） 不同特征值对应的特征向量。&/p&&b&4&/b&&b&．关于秩的一些结论：&/b&1） ； 2） ； 3） ； 4） ； 5）若有 、 满足 ，则 ； 6）若 是可逆矩阵则有 ； 7）若 可逆则有 ； 8） 。 &b&4&/b&&b&．线性方程组的解：&/b&1） 非齐次线性方程组 有唯一解则对应齐次方程组 仅有零解； 2）若 有无穷多解则 有非零解； 3）若 有两个不同的解则 有非零解； 4）若 是 矩阵而 则 一定有解，而且当 时有唯一解，当 时有无穷多解； 5）若 则 没有解或有唯一解。  &b&四、特征值与特征向量&/b&&b&&/b&&b& &/b&相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下：&b&1&/b&&b&．特征值和特征向量的定义及计算方法&/b&就是记牢一系列公式如 、 、 和 。 常用到下列性质：&/p&若 阶矩阵 有 个特征值 ，则有 ； 若矩阵 有特征值 ，则 、 、 、 、 、 分别有特征值 、 、 、 、 、 ，且对应特征向量等于 所对应的特征向量； &b&2&/b&&b&．相似矩阵及其性质&/b&定义式为 ，此时满足 、 、 ，并且 、 有相同的特征值。 需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵 与矩阵 等价（ ）的定义式是 ，其中 、 为可逆矩阵，此时矩阵 可通过初等变换化为矩阵 ，并有 ；当 中的 、 互逆时就变成了矩阵相似（ ）的定义式，即有 ；矩阵合同的定义是 ，其中 为可逆矩阵。 由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若 与 合同或相似则 与 必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。 &b&3&/b&&b&．矩阵可相似对角化的条件&/b&包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量；充要条件2是 的任意 重特征根对应有 个线性无关的特征向量；充分条件1是 有 个互不相同的特征值；充分条件2是 为实对称矩阵。 &b&4&/b&&b&．实对称矩阵及其相似对角化&/b&阶实对称矩阵 必可正交相似于对角阵 ，即有正交矩阵 使得 ，而且正交矩阵 由 对应的 个正交的单位特征向量组成。 可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求 比较困难；但如果有矩阵 使得 满足 （对角矩阵）的话就简单多了，因为此时 &p align=center&而对角阵 的幂 就等于 ，代入上式即得 。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且 中的 、 也分别是由 的特征向量和特征值决定的。  &b&五、二次型&/b&&b&&/b&&b& &/b&本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 存在正交矩阵 使得 可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在 为实对称矩阵时的应用。 本章知识要点如下：&/p&&b&1&/b&&b&．二次型及其矩阵表示。&/b&&b&2&/b&&b&．用正交变换化二次型为标准型。&/b&&b&3&/b&&b&．正负定二次型的判断与证明。&/b&&b&&/b&&/B&&/B&&/B&
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我已按照&06年数学四考试大纲&和&07年考研数学四大纲变化详解&整理完毕。07数学四考试大纲 考试科目 微积分、线性代数、概率论 微 积 分 一、 函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、隐函数 分段函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。 2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解隐函数及反函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 5、了解数列极限和函数极限（包括坐极限和右极限）的概念。 6、理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其无穷小的关系。 7、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9. 了解连续函数的性质合初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质 二、 一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 平面曲线的切线与法线 导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系 导数的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 微分的概念和运算法则 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L’Hospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 考试要求增加 会求平面曲线的切线和法线方程；增加 了解柯西中值定理，掌握定理的简单应用； 1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念）。 2、掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数。 3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数 4、了解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分的形式的不变性，会求函数的微分。 5、理解罗尔（Rolle）定理和拉格郎日中值定理、掌握这两个定理的简单应用。 6、会用洛必达法则求极限。 7、掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用。 8、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线。 9、会作简单函数的图形。 三、 一元函数的积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton－Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 广义积分 定积分的应用。 考试要求 1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。 2、了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法。 3、会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题。 4、了解广义积分的概念，会计算广义积分 四、 多元函数微积分学 考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数的偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算 无界区域上的广义二重积分的计算。 考试要求 1、了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。 3、了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数 会求全微分，会用隐函数的求导法则。 4、了解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题。 5、了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，了解无界区域上的较简单的广义二重积分并会计算。 五、 常微分方程 考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程 考试要求 1、了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。 2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。 线 性 代 数 一、 行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 考试要求 1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2、会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。 二、 矩阵 考试内容 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算 考试要求 1、理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵，反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。 2、掌握矩阵的线性运算、乘法、以及它们的运算规律，掌握矩阵转置的性质，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。 3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。 4、了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。 5、了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。 三、 向量 考试内容 向量的概念 向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法。 考试要求 1、了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则。 2、理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。 3、理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。 4、了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。 5、了解内积的概念、掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。 四、 线性方程组 考试内容 线性方程组的克莱母（又译：克拉默）（Cramer）法则 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解。 考试要求 1、会用克莱母法则解线性方程组。 2、掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法。 3、理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的方法。 4、理解非齐次线性方程组的结构及通解的概念。 5、掌握初等行变换求解线性方程组的方法。 五、 矩阵的特征值和特征向量 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵。 考试要求 1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。 2、理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。 3、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。 六、 二次型 考试内容：二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准型 二次型及其矩阵的正定性考试要求：1、了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念。2、了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形。3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。概 率 论 一、 随机事件和概率 考试内容 随机事件与样本空间 事件的关系与运算完全事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 考试要求 1. 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算。 2、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握计算概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式等。 3、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 二、 随机变量及其概率分布 考试内容 随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的概率分布 随机变量函数的概率分布 考试要求 1. 理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数 F(x)=P{X≤x} (-∞＜x&+∞) 的概念及性质；会计算与随机变量相联系的事件的概率。 2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用。 3、掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。 4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(μ,σ2) 、指数分布及其应用，其中参数为λ（λ&0）的指数分布的密度函数为 5.会求随机变量函数的分布。 三、 随机变量的联合概率分布 考试内容 二维离散随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布。 考试要求 1、理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。 2、理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握两个随机变量的边缘分布和条件分布。 3、理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件；理解随机变量的不相关性与独立性的关系。 4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。 5、会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的分布；会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的分布。 四、 随机变量的数字特征 考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望 切比雪夫不等式 矩、协方差 相关系数及其性质 切比雪夫大数定律 伯努力大数定律 辛钦大数定律。 考试要求 1、理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数学特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。 2、会求随机变量函数的数学期望。 3、了解切比雪夫不等式。 五、 中心极限定理 考试内容 隶莫弗－拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理 列维－林德伯格（Levy－Lindberg）定理。 考试要求 1、了解隶莫弗－拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维－林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。2、增加 了解切比雪夫大数定律、伯努力大数定律、辛钦大数定律，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
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