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设后三位数分别为X,Y,Z,列方程式x+1=yz-1=y2z+2=x+y+zz+2=x+yz+2=x+x+1y+1+2=x+x+1x+1+1+2=x+x+1x+4=2x+14-1=2x-xx=3,y=4,z=5 小颖家电话为3275345
解设最末一个数字为x2x+2=x+x-1+x-22x+2=3x-3x=55-1=45-2=3则号码为：3275345
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设最末尾的数字是x,则前两个数字分别为：x-1,x-2则：x+(x-1)+(x-2)-2x=23x-3-2x=2x=5则：x-1=4,x-2=3,所以：电话号码为：3275345
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2014北京市中考二模数学复习参考试题分类练习
近三年部分地区二模中高档试题分类汇编 一、规律类则点 B1 的坐标为，点 Bn 的坐标为．a b2 a 3b 4 a 2b 3 a 4b 5 1． （2012.6 门头沟 12）一组按规律排列的式子： ，? ， ，? ，?，其中第 2 8 4 166 个式子是 ，第 n 个式子是 （
n 为正整数） ．7．如图， ?AOB ? 45 ，过 OA 上到点 O 的距离分别为 1， 4，7，10，13，16，?的点作 OA 的垂线与 OB 相交， 得到并标出一组黑色梯形，它 们的面积分别为 s1 , s2 , s3 , ?，观察图中的规律，第 4 个黑色梯形的面积2． （2013.6 房山 12） 观察下列等式： ①a ?则根据此规律第 6 个等式为20 2 6 12 ? 9 ?； ? 3； ② a ? ? 5； ③a? ? 7； ④a? a a a a ，第 n 个等式为 ．S4 ? Sn ?， 第 n( n 为正整数) 个黑色梯形的面积 ． O3． （2013.6 东城 12）.如图，∠ ACD 是△ ABC 的外角， ?ABC 的平分线与 ?ACD 的平分线交于 点 A1 ， ?A1 BC 的平分线与 ?ACD 的平分线交于点 A2 ，?， 1 8． （2013.6 朝阳 12）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直 y 线 AB 与 x、y 轴分别交于点 A、B，且 A(-2，0)，B(0， 1)，在直线 AB 上截取 BB1=AB，过点 B1 分别作 x、y 轴 C3 B3 的垂线，垂足分别为点 A1 、C1，得到矩形 OA1B1C1；在 C2 B2 直线 AB 上截取 B1B2= BB1，过点 B2 分别作 x、y 轴的垂 C1 B1 线，垂足分别为点 A2 、C2，得到矩形 OA2B2C2；在直线 B AB 上截取 B2B3= B1B2，过点 B3 分别作 x、y 轴的垂线， A O A1 A2 A3 x 垂足分别为点 A3 、C3，得到矩形 OA3B3C3；??则第 3 个矩形 OA3B3C3 的面积是 ；第 n 个矩形 OAnBnCn 的面积是 （用含 n 的 式子表示，n 是正整数） ． 9．（2013.6 西城 12）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在第一象限， 点 B 在 x 轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1 是△OAB 的内切圆，且 P1 的坐标为(3,1)．1 n ( n ? 1)?An?1BC 的平分线与 ?An?1CD 的平分线交于点 An . 设 ?A ? ? ,则 ?A1 ＝ ； ?An ＝4． （2012.6 丰台 12）符号“ f ”表示一种运算，它对一些数的运算如 下：f (1) ? 1 ?2 2 2 2 ， f (2) ? 1 ? ， f (3) ? 1 ? ， f (4) ? 1 ? ，…， 1 2 3 4(n 为正整数) ； ．2利用以上运算的规律写出 f (n) ?f (1) f (2) f (3) ??? f (100) ?5． （2011.6 西城 12）对于每个正整数 n，抛物线 y ? x ? 若 An Bn 表 示 这 两 点 间 的距 离 ， 则 An Bn =2n ? 1(1) OA 的长为 与 x 轴交于 An，Bn 两点，，OB 的长为；n ( n ? 1)x?(2) 点 C 在 OA 的延长线上，CD∥AB 交 x 轴于点 D．将⊙P1 沿水平 方向向右平移 2 个单位得到⊙P2，将⊙P2 沿水平方向向右平移 2 个单位得到⊙P3， 按照同样的方法继续操作， 依次得到⊙P4， ??⊙Pn．若⊙P1， ⊙P2， ??（用含 n 的代数式表示） ； ．A1 B1? A2 B2?? A2 0 1 B 1 的值为 2011⊙Pn 均在△OCD 的内部，且⊙Pn 恰好与 CD 相切，则此时 OD 的长为 子表示）．（用含 n 的式6． （2012.6 西城 12） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A1 ，A2 ，A3 ， … 都在 y 轴上，对应的纵坐标分别为 1，2，3，…．直线 l1 ， l2 ， l3 ，…分别 经过点 A1 ， A2 ， A3 ，…，且都平行于 x 轴．以点 O 为圆心，半径为 2 的圆与直线 l1 在第一象限交于点 B1 ，以点 O 为圆心，半径为 3 的圆与直 线 l2 在第一象限交于点 B2 ，…，依此规律得到一系列点 Bn （n 为正整数） ， 1二、线段长1.（2012.6 延庆 17）已知：如图，在四边形 ABCD 中， ?C ? 60 ，?5. （2013.6 朝阳 19） ． 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AD = 4， ∠B=105? ， E 是 BC 边的中点， ∠BAE=30? ， 将△ABE 沿 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，连接 FC，求四边形 ABCF 的周长．?DAB ? 135? , BC ? 8 ， AB ? 2 6求 DC 的长．D A B CA FDBEC2.（2012.6 平谷 19）已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A=150°∠D=90°，AD=4，AB=6，CD= 4 3 ．求四边形 ABCD 的周长．D A6.（2013.6 东城 20） 已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC 交于点 M，过 M 作 ME⊥CD 于点 E.(1）求证：AM=2CM； （2）若 ?1 ? ? 2 ， CD ? 2B C3 ，求 ME 的值.3.(2013.6 西城 22)如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC= 6 ． 3(1) 求 BD 的长； (2) 求 AD 的长．4.（2013.6 丰台 19）如图，四边形 ABCD 中， CD= 2 ， ?BCD ? 90 ， ?B ? 60 ,???ACB ? 45? , ?CAD ? 30? ，求 AB 的长．7. （2013.6 朝阳 15）如图，为了测量楼 AB 的高度，小明在点 C 处测得 楼 AB 的顶端 A 的仰角为 30? ，又向前走了 20 米后到达点 D，点 B、D、C 在同一条直线上，并在点 D 测得楼 AB 的顶端 A 的仰角为 60? ，求楼 AB 的高． DABC 28. （2012.6 通州 19）已知相邻的两根电线杆 AB 与 CD 高度相同，且相距 BC=50m．小王为测量电 线杆的高度，在两根电线杆之间某一处 E 架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角 为 45° 、23° ，已知测角仪 EF 高 1.5m，请你帮他算出电线杆的高度． （精确到 0.1m，参考数据： sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.43）三、圆与切线 1. （2013.6 石景山 20）如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D， 过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 E． （1）求证：点 E 为 BC 中点； （2）若 tan ? EDC= 解：5 ，AD= 5 ，求 DE 的长． 29. （2012.6 朝阳 21）如图，港口 B 在港口 A 的东北方向，上午 9 时，一艘轮船从港口 A 出发，以 16 海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口 B 出发也向正东方向航行．上午 11 时 轮船到达 C 处，同时快艇到达 D 处，测得 D 处在 C 处的北偏东 60°的方向上，且 C、D 两地 相距 80 海里， 求快艇每小时航行多少海里？ （结果精确到 0.1 海里/时， 参考数据： 2 ? 1.414，3 ? 1.732 ， 5 ? 2.236）北 45°B60°D2.（2013.6 西城 21）．如图，以△ABC 的一边 AB 为直径作⊙O， ⊙O 与 BC 边的交点 D 恰好为 BC 的中点， 过点 D 作⊙O 的切线交 AC 边于点 E．东AC(1) 求证：DE⊥AC；10. (2012.6 西城 19)如图，某天然气公司的主输气管道途经 A 小区，继续 沿 A 小区的北偏东 60? 方向往前铺设，测绘员在 A 处测得另一个需要安装天然气的 M 小区位于北偏东 30?方向，测绘员 从 A 处出发，沿主输气管道 步行 2000 米到达 C 处，此时测得 M 小区位于北偏西 60?方向．现要在主输气管道 AC 上选择一个支管 道连接点 N，使从 N 处到 M 小区铺设的管道最短． (1)问：MN 与 AC 满足什么位置关系时，从 N 到 M 小区 铺设的管 道最短？ (2)求∠AMC 的度数和 AN 的长.OF 3 (2) 连结 OC 交 DE 于点 F，若 sin ?ABC ? ，求 的值． FC 433.（2013.6 东城 21）如图，点 A，B，C 分别是⊙O 上的点，∠B=60°，AC=3，CD 是⊙O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求 PD 的长．四、操作与实践 1.(2013.6 西城 22)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P ( x, y ) 经过变换 ? 得到点 P?( x?, y?) ，该变换记作? x ? ? ax ? by, (a, b 为 常 数 ) ． 例 如 ， 当 a ? 1 ， 且 b ? 1 时 ， ? ( x, y ) ? ( x ?, y ?) ， 其 中 ? ? y ? ? ax ? by? (?2,3) ? (1,?5) ．(1) 当 a ? 1 ，且 b ? ?2 时， ? (0,1) = (2) 若 ? (1, 2) ? (0, ?2) ，则 a = 重合，求 a 和 b 的值． ，b = ； ；(3) 设点 P ( x, y ) 是直线 y ? 2 x 上的任意一点， 点 P 经过变换 ? 得到点 P?( x?, y?) ．若点 P 与点 P?1 4.（2013.6 朝阳 20）如图，在△ABC 中，AC=BC，D 是 BC 上的一点，且满足∠BAD＝ ∠C，以 2 A AD 为直径的⊙O 与 AB、AC 分别相交于点 E、F.（1）求证：直线 BC 是⊙O 的切线； （2）连接 EF，若 tan∠AEF＝2.（2013.6 丰台 22）一动点沿着数轴向右平移 5 个单位，再向左平移 2 个单位，相当于向右平移 3 个单位．用实数加法表示为 5+（ ?2 ）=3． 若平面直角坐标系 xOy 中的点作如下平移：沿 x 轴方向平移的数量为 a（向右为正，向左 为负，平移 a 个单位） ，沿 y 轴方向平移的数量为 b（向上为正，向下为负，平移 b 个单位） ，4 ，AD＝4，求 BD 的长. 3O E B DF C则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量” ．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d} 的加法运算法则为 {a，b} ? {c，d } ? {a ? c，b ? d } ． （1）计算：{3，1}+{1，2}； （2）若一动点从点 A（1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点 B，再按照“平移量” {-1，2}平移到点 C；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点 D，在图中画出四边形 ABCD，5． （2013.6 丰台 20）已知：如图，直线 PA 交⊙O 于 A、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上 一点，且 AC 平分∠PAE，过点 C 作 CD⊥PA，垂足为点 D． （1）求证：CD 与⊙O 相切； （2）若 tan∠ACD=并直接写出点 D 的坐标； （3）将（2）中的四边形 ABCD 以点 A 为中心，顺时针旋转 90°，点 B 旋转到点 E，连结 AE、BE 若动点 P 从点 A 出发，沿△AEB 的三边 AE、EB、BA 平移一周． 请用“平移量”加法算式表示动 y 点 P 的平移过程．1 ，⊙O 的直径为 10，求 AB 的长． 2B A D POC1 O1xE43.（2012.6 东城 22）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程 x2 ? ?1 时，突发奇想：x2 ? ?1 在实数范围内无解，如果存在一个数 i，使 i 2 ? ?1 ，那么当 x2 ? ?1 时，有 x ? ? i，从而 x ? ? i 是方程 x2 ? ?1 的两个根． 据此可知：(1) i 可以运算，例如：i3=i2? i=-1× i=-i，则 i4= i2011=______________，i2012=__________________；2 (2)方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的两根为，（根用 i 表示） ．4.（2013.6 石景山 22） ．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 M、N、分别在 BC、AB 上， 将矩形 ABCD 沿 MN 折叠，设点 B 的对应点是点 E． （1）若点 E 在 AD 边上，BM=请分别按下列要求用直线将图 2 中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图 3 中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形； （2）在图 4 中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块 为直角三角形； （3）在图 5 中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一 块为钝角三角形．7 ，求 AE 的长； 2A NED（2）若点 E 在对角线 AC 上，请直接写出 AE 的取值范围： ． B C 5.（2012.6 燕山 22） 在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度 α （α &360° ）后，能与 M 自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，α 为这个旋转对称图形的一个旋转角. 例如，正方 形绕着它的对角线交点旋转 90° 、180° 、270° 都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90° 、 180° 、270° 都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角.请依据上述规定解答下列问题： （1）判断下列命题的真假： ① 等腰梯形是旋转对称图形. ② 平行四边形是旋转对称图形. （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是 120° 的是__________(写出所有正确结论 前的序号). ①等边三角形 ②有一个角是 60° 的菱形 ③正六边形 ④正八边形 （3）正五边形显然满足下面两个条件： ① 是旋转对称图形，且有一个旋转角是 72° . ② 是轴对称图形，但不是中心对称图形. 思考：还有什么图形也同时满足上述两个条件？请说出一种. 6.（2011.6 西城 22） 如图 1， 若将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 180°得到△COD， 则△AOB≌△COD． 此 时，我们称△AOB 与△COD 为“8 字全等型” ．借助“8 字全等型”我们可以解决一些图形的分割 与拼接问题．例如：图 2 中，△ABC 是锐角三角形且 AC＞AB， E 为 AC 的中点，F 为 BC 上一点 且 BF≠FC（F 不与 B，C 重合） ，沿 EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形． 57.（2012.6 门头沟 22）. 数学课上，同学们探究发现：如图 1，顶角为 36° 的等腰三角形具有一种特 性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 并且对其进行了证明. （1）证明后，小乔又发现：下面两个等腰三角形如图 2、图 3 也具有这种特性．请你在 图 2、图 3 中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两 个底角的度数；A 36?45? 图2图1 C45?36? 图336?（2）接着，小乔又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边 上的中线可以把它分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图 中标出此三角形的各内角的度数．（说明：要求画出的既不是等腰三角形，也不是直角三角形．） 8.（2013.6 东城 22）. 阅读并回答问题： 数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 作法：①在 OA，OB 上分别截取 OD，OE，使 OD=OE. ②分别以 D，E 为圆心，以大于 两弧在 ?AOB 内交于点 C. ③作射线 OC，则 OC 就是 ?AOB 的平分线 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：9.（2012.6 大兴 22） ．阅读材料 1： 把一个或几个图形分割后， 不重叠、 无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做 “分割――重拼” ． 如 图 1，一个梯形可以分割――重拼为一个三角形；如图 2，任意两个正方形可以分割――重拼为一 个正方形．1 DE 为半径作弧， 2（1）请你在图 3 中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并 将这两个四边形分别画在图 4，图 5 中；作法： ①利用三角板上的刻度，在 OA，OB 上分 别截取 OM，ON，使 OM=ON. ②分别过以 M，N 为 OM，ON 的垂线， 交于点 P. ③作射线 OP，则 OP 就是 ?AOB 的平分 线. 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决 下列问题： （1） 小聪的作法正确吗？请说明理由； （2） 请你帮小颖设计用刻度尺作 ?AOB 平分线的方法.（要求：不与小聪方法相同，请画出 图形，并写出画图的方法，不必证明）. 阅读材料 2： 如何把一个矩形 ABCD（如图 6）分割――重拼为一个正方形呢？操作如下： ①画辅助图:作射线 OX，在射线 OX 上截取 OM＝AB，MN＝BC．以 ON 为直径作半圆，过点 M 作 MI⊥OX， 与半圆交于点 I； ②如图 6，在 CD 上取点 F，使 AF＝MI ，作 BE⊥AF，垂足为 E．把△ADF 沿射线 DC 平移到△BCH 的 位置，把△AEB 沿射线 AF 平移到△FGH 的位置，得四边形 EBHG． （2）请依据上述操作过程证明得到的四边形 EBHG 是正方形.6（1）求抛物线的解析式； 四、代数综合 1． （2013.6 西城）已知关于 x 的一元二次方程 (m +1)x2 + 2mx + m ? 3 = 0 有两个不相等的实数根. (1)求 m 的取值范围； (2)当 m 取满足条件的最小奇数时，求方程的根. （2）将抛物线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 2 在直线 y ? ?1 下方的部分沿直线 y ? ?1 翻折，图象其余的部2分保持不变，得到的新函数图象记为 G ．点 M ? m, y1 ? 在图象 G 上，且 y1≤0 ． ①求 m 的取值范围； ②若点 N ? m ? k , y2 ? 也在图象 G 上，且满足 y2≥4 恒成立，则 k 的取值范围为 ．2． （2012.6 朝阳 22）已知二次函数 y ? x ? 2x ? c ．2（1）当 c＝－3 时，求出该二次函数的图象与 x 轴的交点坐标； （2）若－2＜x＜1 时，该二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 c 的取值范围．5．(2012.6 海淀 23）已知抛物线 y ? (m ? 1)x 2 ? (m ? 2) x ? 1与 x 轴交于 A、B 两点． 3． （2013.6 朝阳）23．已知关于 x 的一元二次方程 x2?(4?m)x?1?m = 0． （1）求证：无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）此方程有一个根是?3，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y?x2?(4?m)x?1?m 向右平移 3 个单位，得到一个新的抛物线，当直线 y?x?b 与这个新抛物线有且只有一个公共点时， 求 b 的值． （1）求 m 的取值范围； （2）若 m&1, 且点 A 在点 B 的左侧，OA : OB=1 : 3, 试确定抛物线的 解析式； （3）设（2）中抛物线与 y 轴的交点为 C，过点 C 作直线 l //x 轴, 将抛物线在 y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保 持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线 y ? 新图象只有一个公共点 P(x0, y0)且 y0?7 时, 求 b 的取值范围.y 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 x1 x?b 与 34．(2013.6 海淀 23）已知：抛物线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 2 过点 A(3, 4) ．26．(2011.6 海淀 23 ）已知关于 x 的方程 mx ? (3 ? 2m) x ? (m ? 3) ? 0 ，其中 m ? 0 。27（1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 x1 ， x 2 ，其中 x1 ? x2 ，若 y ?（1） 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；x2 ? 1 ，求 y 与 m 的函数关系式； 3x1（2） 若正整数 m 满足 8 ? 2m ? 2 ，设二次函数 y ? (1 ? m) x2 ? (4 ? m) x ? 3 的图象与 x 轴交于A、B 两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象． 请你结合这个新的图象回答： 当直线 y ? kx ? 3 与此图象恰好有三个公共点时， 求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的 k 值即可） ． 10.（2012.6 门头沟 23） 已知抛物线 y＝ax2＋x＋2. (1)当 a＝－1 时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式 y ? ? m 成立的 m 的取值范围。y(2)若代数式－x2＋x＋2 的值为正整数，求 x 的值； (3)若 a 是负数时，当 a＝a1 时，抛物线 y＝ax2＋x＋2 与 x 轴 的正半轴相交于点 M(m，0)；当 a＝a2 时，抛物线 y＝ax2＋x ＋2 与 x 轴的正半轴相交于点 N(n， 0). 若点 M 在点 N 的左边，y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x7． （2013.6 丰台 23）已知关于 x 的方程 x2 ? (m ? 2) x ? m ? 3 ? 0 . （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）设抛物线 y ? x2 ? (m ? 2) x ? m ? 3 与 y 轴交于点 M，若抛 物线与 x 轴的一个交点关于直线 y=-x 的对称点恰好是点 M，求 m 的值.O1x试比较 a1 与 a2 的大小. 11.（2013.6 石景山 23） ．如图，抛物线 y ? ? x ? ax ? b 过点 A（-1，0） ，B（3，0） ，其对称轴与 x 轴的交点为 C, 反2（备图）k 比例函数 y ? （x&0，k 是常数）的图象经过抛物线的 x顶点 D． （1）求抛物线和反比例函数的解析式． （2）在线段 DC 上任取一点 E，过点 E 作 x 轴平行线，交 y 轴于点 F、交双曲线于点 G，联结 DF、DG、FC、GC． y ①若△DFG 的面积为 4，求点 G 的坐标； ②判断直线 FC 和 DG 的位置关系，请说明理由； ③当 DF=GC 时，求直线 DG 的函数解析式． 解：8. （2013.6 东城 23.）已知：关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 （m 为实数）.（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：抛物线 y ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 总过 x 轴上的一个定点；2（3） 若 m 是整数， 且关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不相等的整数根时，2把抛物线 y ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 向右平移 3 个单位长度，求平移后的解析式．2Ox9.（2013.6 东城 23）. 已知关于 x 的方程 (1 ? m) x ? (4 ? m) x ? 3 ? 0 ．2五、几何综合 1、 (2012.6 延庆 24)（1）如图 1：在△ABC 中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想 AB 与 BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ； （2）如图 2：在△ABC 中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想 AB 与 BD+CD 数量关系 8并证明你的结论； （3）如图 3：在△ABC 中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD= ? （20°≤ ? ≤70°）时，直接写 出 AB 与 BD+CD 数量关系(用含 ? 的式子表示)。AAA求证：DP＝DQ. 同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面 两位同学的解题思路作为参考： 小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要 证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△ NCM 绕顶点旋转 到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.B D C图1B D C图2B D C图34、（2013.5 大兴）分别以△ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向△ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2，连结 D1D2. (1)如图 1，过点 C 作直线 HG 垂直于直线 AB 于点 H，交 D1D2 于点 G．试探究线段 GD1 与线段 GD2 的数量关系，并加以证明．2、 （2012.6 石景山 24）在△ ABC 中， AB ? AC , D 是底边 BC 上一点， E 是线段 AD 上一点,且 ∠ BED ? 2?CED ? ?BAC ． (1) 如图 1,若∠ BAC ? 90? ,猜想 DB 与 DC 的数量关系为 ； (2) 如图 2,若∠ BAC ? 60? ，猜想 DB 与 DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠ BAC ? ? ? ，请直接写出 DB 与 DC 的数量关系. A A（2）如图 2，CF 为 AB 边中线，试探究线段 CF 与线段 D1D2 的数量关系，并加以证明．E B图1EDCBD图2CD1 D2 C E2 A F 图2 BE13、 （2012.6 朝阳 24）如图，D 是△ ABC 中 AB 边的中点，△ BCE 和△ ACF 都是等边三角形，M、N 分 别是 CE、CF 的中点. F （1）求证：△ DMN 是等边三角形； （2）连接 EF，Q 是 EF 中点，CP⊥EF 于点 P. NM C A D B E5、 （2013?江西）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现： 在等腰△ABC 中，AB=AC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 1 9所示，其中 DF⊥AB 于点 F，EG⊥AC 于点 G，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则下列结论正 确的是 （填序号即可） ①AF=AG=1 AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB． 2AG、AD 于 P、H ． ① 求证：AG⊥CE； ② 如果 AD=4，DG= 2 ，求 CE 的长．●数学思考： 在任意△ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 2 所示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则 MD 与 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探究： 在任意△ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图 3 所示， M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，试判断△MED 的形状．答： ．7、 （2013.6 石景山 24） ．如图，四边形 ABCD 、 A1B1C1D1 是两个边长分别为 5 和 1 且中心重合的 正方形．其中，正方形 A1B1C1D1 可以绕中心 O 旋转,正方形 ABCD 静止不动． （1）如图 1，当 D、D1、B1、B 四点共线时，四边形 DCC1D1 的面积为 （2）如图 2，当 D、D1、A1 三点共线时，请直接写出 __；CD1 = _________； DD1 （ 3 ） 在 正 方 形 A1B1C1D1 绕 中 心 O 旋 转 的 过 程 中 ， 直 线 CC1 与 直 线 DD1 的 位 置 关 系 是______________,请借助图 3 证明你的猜想．D CD C1 D1OCD C1CD1 A1OC1 B1B1D1OB1A1A BA1BAAB图1图2图36、 （2012.6 平谷 24） ．如图 1，若四边形 ABCD、GFED 都是正方形，显然图中有 AG=CE，AG⊥CE． （1）当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 2 的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不 成立，请说明理由； （2）当正方形 GFED 绕 D 旋转到 B，D，G 在一条直线 （如图 3）上时，连结 CE，设 CE 分别交8、 （2011.6 平谷 24）已知：如图①，正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点， 过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG． （1）求证：EG=CG；F E P G10（2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45?，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1） 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是 否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）分析：从题目的条件出发，可以理解到它是正方形与直角 三角形的组合问题．题目的条件中只给了直角三角形的两条直 角边的长，没有给出角度，因此，不能利用直接求解的方法得 到结论．因此，解决问题的基本思路就确定了，要研究两条直 角边与所求线段之间的关系．C A B EO FE M 所以，我们可以利用前面讲的问题解决它，即还原两个全9、 （2013.6 东城 24 ）在矩形 ABCD 中， AB ? 4 ， BC ? 3 ， E 是 AB 边上一点， EF ? CE 交 AD 于 点 F ，过点 E 作 ?AEH ? ?BEC ，交射线 FD 于点 H ，交射线 CD 于点 N . （1）如图 1，当点 H 与点 F 重合时，求 BE 的长； （2）如图 2，当点 H 在线段 FD 上时，设 BE ? x ， DN ? y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并 写出自变量 x 的取值范围；EN等三角形与正方形的关系，或直接还原两个正方形之间的关系． BOBFO FCADCAD（3）连结 AC ，当以点 E，F，H 为顶点的三角形与△AEC 相似时，求线段 DN 的长.10、已知 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，AC=3，BC=5，以 AB 为边向外作正方形 ABEF，求正方形中心 O 与点 C 的连线长．1111、（2013?梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完 成以下两个探究问题：12、(2013.6 西城 24)在△ABC 中，AB=AC，AD， CE 分别平分∠BAC 和∠ACB，且 AD 与 CE 交于点 M．点N 在射线 AD 上，且 NA=NC．过点 N 作 NF⊥CE 于点 G，且与 AC 交于点 F，再过点 F 作 FH∥CE，且与 AB 交于点 H．(1) 如图 1，当∠BAC=60°时，点 M，N，G 重合． ①请根据题目要求在图 1 中补全图形； ②连结 EF， HM， 则 EF 与 HM 的数量关系是__________； (2) 如图 2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH； (3) 当∠BAC=36°时，我们称△ABC 为“黄金三角形” ，此时BC AC ? 5 ?1 2．若 EH=4，直接写出探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC 和 ED 重合），在 BC 边上有一动点 P． （1）当点 P 运动到∠CFB 的角平分线上时，连接 AP，求线段 AP 的长； （2）当点 P 在运动的过程中出现 PA=FC 时，求∠PAB 的度数． 探究二： 如图④， 将△DEF 的顶点 D 放在△ABC 的 BC 边上的中点处， 并以点 D 为旋转中心旋转△DEF， 使△DEF 的两直角边与△ABC 的两直角边分别交于 M、N 两点，连接 MN．在旋转△DEF 的过程中，△ AMN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．GM 的长．图1图2备用图13、 （2013.6 朝阳 25） 在□ABCD 中，E 是 AD 上一点，AE=AB，过点 E 作直线 EF，在 EF 上取一 点 G，使得∠EGB=∠EAB，连接 AG. （1）如图 1，当 EF 与 AB 相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG； （2）如图 2，当 EF 与 AB 相交时，若∠EAB= α（0? α90? ） ，请你直接写出线段 EG、AG、 BG 之间的数量关系（用含 α 的式子表示） ； （3）如图 3，当 EF 与 CD 相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段 EG、AG、BG 之间的数量关 系，并证明你的结论.A G F BF CEDGAEDAE GDF图1B图2CBC图31216、 （2011.6 海淀 24. ）在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，等边三角形 OAB 的一个顶点 为 A（2，0） ，另一个顶点 B 在第一象限内。 14、 （2013.6 朝阳 24． ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y? ax ?bx?4 与 x 轴交于点 A(?2，0)、B(6，0)，与 y 轴交于点 C，直线 CD∥x 轴，且与抛物线交于点 D，P 是抛物线上一动 点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PQ⊥CD 于点 Q，将△CPQ 绕点 C 顺时针旋转，旋转角为 α（0? α90? ） ，当2y（1）求经过 O、A、B 三点的抛物线的解析式； （2）如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形， 那么我们称这样的四边形为“筝形”。点 Q 在（1）的抛物线上，且以BO、A、B、Q 为顶点的四边形是“筝形，求点 Q 的坐标；（3）设3 cosα= ，且旋转后点 P 的对应点 P' 恰好落在 x 轴上时，求点 P 的坐标． 5y C A D B A y C D BOAB 的外接圆 M ，试判断（2）中的点 Q 与 M 的位OCAx置关系，并通过计算说明理由。 六、代几综合 1.(2013.6 海淀 25）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标是 ( 0,2 ) ，过点 A 作直线 l 垂直 y 轴，OxOx点 B 是直线 l 上异于点 A 的一点，且 ?OBA = a .过点 B 作直线 l 的垂线 m ，点 C 在直线 m 上，且 在直线 l 的下方， ?OCB = 2a .设点 C 的坐标为 ( x, y ) .15、 （2012.6 大兴 24） ．已知二次函数 y=ax2+bx+2，它的图像经过点（1，2） ． （1）如果用含 a 的代数式表示 b，那么 b= ； （2）如图所示，如果该图像与 x 轴的一个交点为（－1，0） ．①求二次函数的解析式；备用图（1） 判断△ OBC 的形状，并加以证明； （2） 直接写出 y 与 x 的函数关系式（不要求写自变量的取值 范围） ； （3） 延 长 CO 交 （ 2 ） 中所 求函 数的 图 象于 点 CD = CO × DO .②在平面直角坐标系中，如果点 P 到 x 轴的距离与点 P 到 y 轴的距离相等，则称点 P 为等距点．求 出这个二次函数图像上所有等距点的坐标． （3）当 a 取 a1,a2 时，二次函数图像与 x 轴正半轴分别交于点 M（m，0） ，点 N（n，0） ．如果点 N 在点 M 的右边，且点 M 和点 N 都在点（1，0）的右边． 试比较 a1 和 a2 的大小，并说明理由.D .求证：132.(2012.6 海淀 25.）在矩形 ABCD 中, 点 F 在 AD 延长线上，且 DF= DC, M 为 AB 边上一点, N 为 MD 的中 点, 点 E 在直线 CF 上（点 E、C 不重合）. （1）如图 1, 若 AB=BC, 点 M、A 重合, E 为 CF 的中点，试探究 BN 与 NE 的位置关系CE 及 的值, 并证明你的结论; BM4.(2013.6 西城 25)．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 和抛物线 W 交 于 A，B 两点，其中点 A 是抛物线 W 的顶点．当点 A 在直线 l 上运动时，抛 物线 W 随点 A 作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段 AB 的长度保持不 变． 应用上面的结论，解决下列问题： 如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1 : y ? x ? 2 ．点 A 是直 另一个交点为点 B． (1) 当 t ? 0 时，求抛物线 C1 的解析式和 AB 的长； (2) 当点 B 到直线 OA 的距离达到最大时，直接写出此时点 A 的坐标； 1 (3) 过 点 A 作 垂 直 于 y 轴 的 直 线 交 直 线 l2 : y ? x 于 点 C ． 以 C 为 顶 点 的 抛 物 线 2图1线 l1 上的一个动点，且点 A 的横坐标为 t ．以 A 为顶点的抛物线 C1 : y ? ? x2 ? bx ? c 与直线 l1 的（2）如图 2，且若 AB=BC, 点 M、A 不重合, BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否 成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由; （3）如图 3，若点 M、A 不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请 直接写出你的结论.B C E B C E M N A(M) N D F A D F B M A N D F E CC2 : y ? x ? mx ? n 与直线 l 2 的另一个交点为点 D．①当 AC⊥BD 时，求 t 的值； ②若以 A，B，C，D 为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的 t 的取值范围．2图1 3.（2011.6 海淀 25）已知图2图3ABC ，以 AC 为边在ABC 外作等腰ACD ，其中 AC ? AD 。(1)如图 1，若 ?DAC ? 2?ABC ， AC ? BC ，四边形 ABCD 是平行四边形，则 ?ABC ? ______； (2)如图 2，若 ?ABC ? 30? ，ACD 是等边三角形， AB ? 3 ， BC ? 4 。求 BD 的长；2 2 2 (3)如图 3，若 ?ACD 为锐角，作 AH ? BC 于 H。当 BD ? 4AH ?BC 时， ?DAC ? 2?ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。D A D A D A B C B C图2备用图BHC145.（2012.6 丰台 25） ．如图，将矩形 OABC 置于平面直角坐标系 xOy 中，A（ 2 3 ，0） ，C（0，2） ．(1) 抛物线 y ? ? x2 ? bx ? c 经过点 B、C，求该抛物线的解析式； （2）将矩形 OABC 绕原点顺时针旋转一个角度 ? （0° & ? &90° ） ，在旋转过程中，当矩形的顶点落 在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标； （3）如图（2） ，将矩形 OABC 绕原点顺时针旋转一个角度 ? （0° & ? &180° ） ，将得到矩形 OA’B’C’， 设 A’C’的中点为点 E， 联结 CE， 当? ? ° 时， 线段 CE 的长度最大， 最大值为 ．7.（2012.6 东城 25）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数yy ? ax2 +2ax ? c 的图像与 y 轴交于点 C (0,3) ，与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为 (-3,0)O x（1） 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； （2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线 OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1:2 的两部分，求出此时点 M 的坐标； （3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点 P 在何处时△ CPB 的面积最大？最大面积 是多少？并求出 此时点 P 的坐标.6.（2012.6 石景山 25）已知：抛物线 y＝－x2＋2x＋m-2 交 y 轴于点 A（0，2m-7） ．与直线 y＝ 2 x 交于点 B、C（B 在右、C 在左） ． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 E，在抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得 ?BFE ? ?CFE ，若存 在，求出点 F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线 OC 上有两个动点 P、Q 同时从原点出发，分别以每秒 5 个单位长度、每秒 2 5 个单 位长度的速度沿射线 OC 运动，以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三角形 PMQ（直角边 分别平行于坐标轴） ，设运动时间为 t 秒，若△PMQ 与抛物线 y＝－x2＋2x＋m-2 有公共点， 求 t 的取值范围．158.（2013.6 东城）定义：P，Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 长度的最小值叫做线段 a 与线段 b 的距离. 已知 O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点. （1）根据上述定义，当 m=2，n=2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是_____； 当 m=5，n=2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离是______ .9． （2014.5 门头沟）概念：点 P、Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 长度的最小值叫 做线段 a 与线段 b 的“理想距离”．已知 O（0，0） ，A（ 3 错误！未找到引用源。 ，1） ，B（m，n） ， C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．（1） 根据上述概念，根据上述概念，完成下面的问题（直接写答案）① 当 m= 2 3 错误！未找到引用源。 ，n=1 时，如图 13-1，线段 BC 与线段 OA 的理想距离 是 ；② 当 m= 2 3 错误！未找到引用源。 ，n=2 时，如图 13-2，线段 BC 与线段 OA 的理想距离 为 ；③ 当 m= 2 3 ，若线段 BC 与线段 OA 的理想距离为 3 ,则 n 的取值范围 （2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，求线段 BC 与线段 OA 的距离 d. 是 .（2）如图 13-3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 1 的圆上， 当 n≥1 时，线段 BC 与线段 OA 的理想距离记为 d，则 d 的最小值为 理由) （3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 1，线段 BC 的中点为 G， 求点 G 随线段 BC 运动所走过的路径长是多少？ (说明（3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2，若线段 BC 的中点为 M，直接写出点 M 随线段 BC 运动所形成的图形的周 长 .图 13-1 16图 13-2图 13-317
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