平面力系例题
解& （1）图解法
从两力的交点A出发、沿水平线方向往右按图画出Pl的大小；然后从B点画一与AB线成（1800-600）角的方向线，并用同一比例画P2，得矢量P2的箭头点C，连接AC，线段AC即表示合力R的大小与方向。用所定比例量取，得R＝950N，合力与水平线的夹角α＝27°。
（2）数解法
&&&&&&＝954N
&&&&&&&&& sinα1＝sinα＝sin60°＝0.<span
lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:9.0font-family:宋体;
color:#39&&&&&&&&& α1＝27°
由上面两种方法比较，可见所得结果是一致的，但作图法由于度量上的精度问题，以至合力的大小与方位可能会有微小的误差。
解& 先将梁从它所受的支座约束中脱离出来，画梁的脱离体，以及画作用在该脱离体上的已知外力P1和P2。其次，画A端固定铰的两约束反力VA，HA作用于梁A端，及画B端滚动铰支座的约束反力VB作用于梁B处，下图即为梁的受力图。
解& （1） 重物E受垂直向下的重力W作用。由于钢绳索只能承受拉力，且其力总是沿着绳索的方向，故钢绳索BD通过D点对E物体作用垂直向上的拉力NBD。下图是重物E的受力图。
（2）右图为BD绳索的受力图。重物反作用在绳索上的力N，BD与绳索作用在重物E上的NBD是作用在两物体上的一对作用力与反作用力。N，，BD是圆环B作用在BD绳索上的力。由于不计钢绳索的自重，故NBD＝N，BD＝N，，BD＝W。
（3）下图为圆环受力图。N，，，BD是绳索BD作用在圆环B上的力，与N，，BD为一对作用力与反作用力。NBA，NBC分别是钢绳BA、BC作用在圆环上的力。方向均沿绳索方向。
若AB，BC，BD为二力杆，通常分析B节点的受力情况可了解三杆件是受拉力还是压力。当实际力的方向为离开节点B时，该杆件受拉力；指向节点B时，该杆件受压力。
解 &（1）将AB横梁从钢索CE，DE中分离出来。它所受的约束反力是钢索CE，DE对横梁的拉力，以NCE，NDE表示。横梁自重以分布荷载集度q表示。画得横梁受力图，如下图所示。
（2）右图为吊钩E的受力图。吊钩E受CE，DE两钢索的拉力N，CE，N，DE。它们各与此两钢索对横梁的拉力NCE，NDE等值、共线、反向。吊钩E所受的约束反力是最上面的吊索拉力N。
（3）下图为整体受力图。以整体为研究对象时，由于NCE与N，CE；NDE与N，DE都是作用在同一对象上的等值、反向、共线的平衡力，它们互相抵消对整体不产生外效应，故不必画出。只需画出外荷载：横梁的自重q与上面吊索的约束反力N。
解 &由于ABC构架处于静力平衡状态，当只研究BC斜杆的受力情况时，可将BC杆假想地脱离构架，如下图，题意BC杆的自重不予考虑，因此，只在杆的两端通过铰链B和C分别受到约束反力RB和RC。根据光滑铰链的性质，这两个力必定分别通过B，C点。BC杆在此两个力作用下处于平衡，根据二力平衡的条件，这两个力必定沿同一直线且等值反向。所以，可以确定RB和RC的作用线应沿B和C的连线。至于力的指向，本题是压力（对于不同的受力情况，应由平衡条件确定）。
在工程上经常会遇到二力构件，二力构件所受约束反力的特点：两力必都沿作用点的连线。
解 &从整体考虑，人字梯所受的外力有铅垂力P与B，C处的约束反力。因梯子B，C端放在光滑的地平面上，由于光滑接触面（线）的约束反力只能是压力，它作用在接触处，方向为沿着接触表面在接触处的公法线而指向物体，所以，B，C端受到地面垂直向上的约束反力VB，VC。下图为人字梯整体的受力图。
取AB为研究对象，如下图所示。DE水平绳只能受拉力，不能受压力，从作用力与反作用力定律可知，AB在D处受DE方向的绳子拉力NDE。A为铰接点，约束反力方向未知，可分解为VA与HA，其指向可先行假设如图中所示。同理，可画出AC的受力图。
解&&& 令雨蓬、过梁及3m高砖墙的体积分别为V1，V2，V3，则
雨篷重&&&&&&&&&& W1＝γ1V1＝25×103×（70×10-3×1×4）＝7000N
过梁重&&&&&&&&&& W2＝γ1V2＝25×103×（350×10-3×240×10-3×4）＝8400N
砖墙重&&&&&&&&&& W3＝γ2V3＝19×103×（240×10-3×3×4）＝54700N
&&&&&&&各荷载作用位置如图所示。
使雨篷绕A点倾覆的因素是W1和P，它们对A点产生的力矩称为倾覆力矩，而阻止雨篷倾覆的因素是W2和W3，它们对A点产生的反力矩为抗倾覆力矩。分别计算如下:
倾覆力矩＝－W1×0.5－P×1＝－－1000×1＝－4500N·m
抗倾覆力矩＝＋W2×0.12＋W3×0.12
＝＋（）×0.12
＝＋7574.4Nm
由上面计算结果可知，抗倾覆力矩大于倾覆力矩，所以，雨篷不会倾覆。
解 &解题时直接求力臂h的大小稍觉麻烦，如利用合力矩定理，可较为方便地计算出P力对A点之矩。把P力分解为水平分力Px与垂直分力Py，
由合力矩定理得：
MA（P）＝M0（Px）＋MA（Py）＝0＋Psin30°×4＝2×0.5×4
解 &取AB梁为脱离体，由于梁处于平衡状态，故必有支座反力组成的力偶矩与外荷载M平衡。今B处支反力VB垂直于AB梁，所以，VA也垂直于AB梁，并假设VA，VB的方向如下图所示。由力偶平衡条件：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
-M＋VBl＝0&&&&&& 得& VB＝＝＝20kN
因VA与VB组成一个力偶，故 VA＝VB＝20kN
答案为正值，说明假设方向与实际相符合。
解 &该结构处于平衡状态，那么，取任意部位为脱离体均符合平衡条件。
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:12.0
font-family:宋体;color:#.先分析A点受力情况。如下图所示，点A作用三个汇交力。绳索AE对A点作用一个垂直向下、数值等于物体重量100N的力NAE，拉力NAD与NAB的大小未知，而方向已知。
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:12.0
font-family:宋体;color:#.作力多边形。以20mm等于100N的比例画力多边形。如图所示，以任意点a为起点，作力NAE的方向线ab边，取ab边长20mm得b点，由b点作力NAB方向线bc，与过a点作力NAB的方向线ac交于c点。
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:12.0
font-family:宋体;color:#．用相同比例量得NAD＝180N，NAB＝200N。
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:12.0
font-family:宋体;color:#．分析B点的平衡。如图所示，因为绳索ABC跨过无摩擦滑轮，力NAB＝200N在绳索中是常数，故NBC＝NAB＝200N。
5.研究C点的平衡。对于绳索BC，C处重物给绳索作用力NBC，同样绳索给重物的拉力为N，BC（见图）。NBC与N，BC是一对大小相等、方向相反作用在两个物体上的作用力与反作用力，故N，BC＝NBC＝200N。又因C点重物处于平衡状态，故C点悬挂的重物W＝N，BC＝200N。
&画受力分析图（见下图），
在A端受管道竖直向下的重力P＝4kN；根据题意，CD杆的重量不予考虑，CD杆中部无外力作用，C，D两端均为铰支连接，可见CD杆是一个二力杆，它通过C铰作用在AB杆上的力NCD作用线与它本身的轴线相重合，即与AB杆成45°夹角；B端为固定铰支座，支座反力RB的作用点为B点，方向待定。由于AB杆处在平衡状态，杆上仅作用三个力，现力NCD作用线与管重P力作用线汇交于O点，可知第三力RB的作用线必为OB连线方向，因此P，NCD，RB为作用在AB杆上的三力汇交平衡力系。由于P力数值与方向已知，NCD，RB的方向已知，故可用闭合的力多边形法则作图3-5c。图中力的比例尺为1cm＝2kN，量得ac与bc线段之长分别为3cm和4.2cm，所以，两力NCD和RB的大小分别为
&&&&&&&&&&&&&&&&&
NCD＝4.2×2kN＝8.4kN
&&&&&&&&&&&&&&&&&
RB＝3×2kN＝6kN
CD杆所受的力与图中的NCD等值、反向，所以，CD杆受力N，CD＝8.4kN，且是拉力。
注意，图中各力的数值与方向要力求正确，这样可提高图解法的精确度。
解& 先求各力在坐标轴上的投影：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
P2x＝P2cosφ＝200×cos30°＝173.2N
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
P3x＝－P3cosθ＝－100×cos60°＝－50N
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
P1y＝－250N
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
P2y＝－P2sinφ＝－200×sin30°＝－100N
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
P3y＝P3sinθ＝100×sin60°＝86.6N
用合力投影定理求合力R在坐标轴上的投影
&&&&&&&&&&&&&&&&
Rx＝∑x＝0＋173.2－50＝123.2N
&&&&&&&&&&&&&&&&
Ry＝∑y＝－250－100＋86.6＝－263.4N
求合力R的大小和方向
&&&&&&&&& 大小：&&&&
&&&&&&&& 方向：因为Ry是负值，Rx是正值，故R方向为右下方，与x轴的夹角：
&&&&&&&&&&&&&&&
解 &以滑轮A为研究对象。作用在它上面的力有四个，其中，AB杆与AC杆由于不考虑自重，两端为铰支，故是二力杆，力作用线与杆轴线重合。起重钢索AD段的拉力NAD以及它的铅垂段的拉力W虽然都作用在轮缘上，但是他们的大小相等，它们的合力通过轮心A。
因此，可将拉力NAD与铅垂力W＝15kN看作作用在轮心A上，即不计滑轮的尺寸，而将其看作是一点，这样当研究A节点的平衡问题时，列出两个平衡方程：
∑x＝0&&&&&&&&&& N1＋N2cos30°－NADsin40°＝0
∑y＝0&&&&&&&&&& N2sin30°－NADcos40°－W＝0
因为已知条件中NAD＝W＝15kN，故可解得方程组中两个未知量：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
N1＝－36.3kN
求得的N2为正值，N2力假设的方向正确，AC杆受压力；N1为负值，说明实际N1力的指向与所假设的方向相反，应为离开节点A，故AB杆受拉力。
解& 由题意知支架节点均简化为铰接，管道重以集中力的形式通过接触点垂直作用在支架上，支架间距为6m，每一支架承担6m长的管道重量，故：
P＝6×248＝1488N＝1.488kN
支架中BC杆为二力杆，所以，B铰处的约束反力RB必沿BC方向作用。而AC杆不是二力杆，A处约束反力方向未知，以HA及VA两分力代替。各反力指向先假定。
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:12.0
font-family:宋体;color:#．用一矩式方程组求解
∑MA＝0&&&&& P×1＋P×1.4－RBcos30°×1.26×tan30°＝０
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:9.0
font-family:宋体;color:#.488×1＋1.488×1.4－RBsin30°×1.26＝０
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:9.0
font-family:宋体;color:#.488×1＋1.488×1.4－RBsin30°×1.26＝０
得&&&&& RB＝5.67kN
∑y＝0&&&&& VA＋RBsin30°―P―P＝0
&&&&&&&&&&&
VA＝2.976－RBsin30°＝0.141kN
∑x＝0&&&&& RBcos30°－HA＝０
&&&&&&&&&&&&
HA＝4.91kN
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:12.0
font-family:宋体;color:#．用二矩式方程组求解，如上&&
∑MA＝0&&& 可求得&&& RB＝5.67kN
∑MB＝0&&&&& HA×＋1.488×1＋1.488×1.4＝0
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
＝tan30°＝1.26×tan30°＝0.727m
将值代入上式方程中求得&&&
HA＝4.91kN
∑y＝0方程与上面一矩式中的相同，可得VA＝0.141kN。这儿若再用∑x＝0方程，不能解出第四个未知量，故∑x＝0称不独立方程，只可将其作为校核之用。
∑x＝0&&&&&&&&&& －HA＋RBcos30°＝－4.91＋5.67×cos30°＝０
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:12.0
font-family:宋体;color:#．用三矩方程组求解
&&&&&&&&&& ∑MA＝0&&&&& 如上求得&&& RB＝5.67kN
&&&&&&&&&& ∑MB＝0&&&&& 如上求得&&& HA＝4.91kN
∑MC＝0&&&& &&&VA×<span lang=EN-US
style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:12.0font-family:宋体;color:#.26－<span
lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:9.0font-family:宋体;
color:#.488×０.26＋<span
lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:9.0font-family:宋体;
color:#.488×0.14＝0
得&&&&& VA＝0.141kN
上面三组平衡方程，在解题时，只需任选一组即可。
解 &画A，B两支座的约束反力如图所示。在求支座反力时，可将分布荷载q以集中力2q的形式作用在分布荷载的中点（图中虚线所示）。由平衡方程：
∑x＝0&&&&&&&&&& HA－Pcos60°＝0
&&&&& &&&&&&&&&&&HA＝＝10kN
∑MA＝0&&&&&&&&& VB×6－q×２×５－Psin60°×2＝0
&&&&&&&&&&&&&&&&
VB＝＝22.4kN
∑MB＝0&&&&&&&&& VA×6－Psin60°×4－q×２×1＝0
&&&&&&&&&&&&&&&&
VA＝＝14.9kN
为了检查计算结果的正确性，可用∑y＝0方程进行校核。
∑y＝0&&& &&&&&&VA＋VB－Psin60°－２q＝０
VA＋VB＝Psin60°＋２q
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:9.0
font-family:宋体;color:#.4＋14.9＝20sin60°＋２×10
<span lang=EN-US style='font-size:11.5mso-bidi-font-size:9.0
font-family:宋体;color:#.3＝37.3
说明前面计算结果正确。
解& 构件ADC与BEC通过铰C连在一起，并用铰A，B与地基连在一起，成为一个几何不变体系。铰A，B各有两个反力，故有四个未知数，VA，HA；VB，HB，它们的方向先假定如图所示。
先从三铰刚架整体考虑，可列出平衡方程：
∑MA＝0&&&&& &&&&&VB×4a－q×4a×2a－P×2a＝0&&&&&&&&&&&&&&&&&&
得&&&& &VB＝ &＝
∑MB＝0&&&&&&&&&& VA×4a＋P×2a－q×4a×2a＝0&&&&&&&&&&&&&&&&&&
得&&&&& VA＝＝
∑x＝0&&&&&&&&&&&&&&&&&
HA－HB＋P＝0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
从整体考虑只能列出三个平衡方程，无法解出四个未知量，所以要补充一个方程。为此，可取部分脱离体，现取CEB部分脱离体（如图3-21b所示），C铰处有一约束反力，分解为两个未知量VC、HC（方向可先假定），故脱离体共有三个未知量，但因本题意不要求解出VC、HC，故可取C为矩心，以求HB：
∑MC＝0&&&&&&&&&&&&
HB×3a＋q×2a×a－VB×2a＝0
以HB值代入式（c）中，得HA＝0
校核——取整体平衡，检查各力在y轴上的投影总和是否为零：
∑y＝0&&&&&&&&&&&&
VA＋VB－4qa＝＋－4qa＝0
再取任一点，如D点，检查各力对该点之矩的代数和是否为零：
∑MD＝0&&&&&&&&&& HA×3a＋Pa＋VB×4a－HB×3a－q×4a×2a
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
说明所求A，B支座反力正确。
该塔吊受平面平行力系W，G，P作用，为使它不倾倒，力系的合力作用线范围必须在AB之间
合力大小&&&&&&&&&&&&&&&&
R＝W＋G＋P＝W＋400＋100＝500＋W
若合力作用线位置在AA，，各力对塔身中心线OO，取矩，合力R力臂H＝1m：
R×H＝W×３－G×0.5－P×10
得&&&&&&&&&& W＝850kN
若合力作用线位置在BB，，各力对塔身中心线取矩：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
R，×H＝G×0.5＋P×10－W×３
（W＋500）×1＝400×0.5＋100×10－3W
得&&&&&&&&&& W＝175kN
所以，当塔吊有最大重量P＝100kN时，配重范围为850kN＞W＞175kN。
解& 在求支座反力时，可将分布荷载q以集中力6q作用在q荷载的中点C处（图中虚线所示）。画A，B的支座反力作用线，并假设方向向上。
∑MB＝0&&&&&& VA×4.5－P2×1.5－P1×3－6q×3＝0
VA＝＝66.7kN
∑MA＝0&&&&& VB×4.5－P1×1.5－P2×3－6q×1.5＝0
得&&&&&&& VB＝53.3kN
用∑y＝0进行校核
VA＋VB-P1-P2-6q＝66.7＋53.3-20-40-6×10＝0
可见计算正确。5&#46;1,画出图示悬臂梁的剪力和弯矩图qa2qaqa2q&#46;&#46;&#46;凸曲线&#46;可以形..
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画出图示悬臂梁的剪力和弯矩图
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