常微分方程习题答案62-第4页
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常微分方程习题答案62-4
两边从?到t积分：R(t)；exp(-?g(s)ds)?-?kg(s)dse；即R(t)?；?kg(s)dsexp(-?g(r)dr；)ds；又f(t)?1?k+R(t)；?k+k?g(s)exp(-?g(r)dr)ds；?k(1-1+exp(-?g(r)dr)=k；exp(?g(r)dr)；即f(t)?k?g(r)；7题假设函数f(x,y)于（x0,
两边从?到t积分： R(t)tttexp(-?g(s)ds)?-?kg(s)dsexp(-?g(r)dr)ds???tt即
R(t) ??kg(s)ds exp(-?g(r)dr)ds?s又 f(t) ?1?k+R(t)tt?k+k?g(s)exp(-?g(r)dr)ds?st?k(1-1+ exp(-?g(r)dr)=kssexp(?g(r)dr)tt即 f(t) ?k?g(r)?7题
假设函数f(x,y)于（x0,y0）的领域内是y的 不增函数，试证方程dy= f(x,y)满足条件y(xdx0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；证明：假设满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧有两个?(x),?(x)x则满足：?(x)= y0+?f(x,?(x))dxx0x?(x)= y0+?f(x,?(x))dxx0不妨假设?(x)??(x)，则?(x)-
?(x)?0而?(x)- ?xx?f(x,?(x))dx-?f(x,?(x))dx
x0x0x=?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dxx0又因为 f(x,y)在（x0,y0）的领域内是y的 增函数，则：f(x, ?(x))-f(x, ?(x))?0 则?(x)- ?(x)=x?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dx?0x0则?(x)- ?(x)?0所以
?(x)- ?(x)=0， 即 ?(x)= ?(x)则原命题方程满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；习 3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）： 1、y?2xdy4?x2?dy?dx??dx??解：令dydx?p，则y?2xp?x2p4，两边对x求导，得p?2p?2xdp423dpdx?2xp?4xpdx ?1?2xp3????2xdpdx?p???0 ?从1?2xp3?0得 p?0时，x??12p3,y??34p2；从2xdpdx?p?0得 x?c2c2p2,y?p?c， p?0 为参数，c?0为任意常数.c?x?2?p?经检验得? ，（p?0）是方程奇解.dy?dy?5、??2x?y?0 ?dx?dx?2?y?2c?c2??p?dy?22、x?y??dx???解：令dy2dx?p，则y?x?p，两边对x求导，得p?1?2pdpdx dpp?1dx?2p，解之得 x?2p?ln?p?1?2?c， 所以y?2p?p2?ln?p?1?2?c，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. 23、y?xdydx????dy?? ?dx?解：这是克莱洛方程，因此它的通解为y?cx??c2，?y?cx?1?c2从??
中消去c, ?x?c???c20得到奇解y??x2.24、??dy??xdy?y?0?dx??dx解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 y?cx?c2，??y?cx?c2从x?2c?0中消去c, ?得到奇解 y2?4y?0.解：令dy?p，则y?2xp?p2dx，两边对x求导，得 p?2p?2xdpdx?2pdpdx dx??2dppx?2，解之得 x??23p?cp?2，所以 y??1p23?cp?1，可知此方程没有奇解. 326、x??dy???y??dy???1?0?dx??dx?解：原y?xdydx?1?2，?dy??dx??这是克莱罗方程，因此其通解为y?cx?1c2，?从?y?cx?1?c2 中消去c，得奇解??x?2c?3?027x2?4y3?0.7、y?x??1?dy?2?dx?????dy??dx??解：令dydx?p，则y?x?1?p??p2，两边对x求导，得 x?ce?p?2p?2，所以 y?c?p?1?e?p?p2?2，可知此方程没有奇解. ?dy?28、x?2dx???x?a??0?? 22解：??dy???x?a? ?dx??xdyadx??x?xdy?????x?a???x?dx?????231yx2?2ax2????3? ?9?y?c?2?4x?x?3a?2 可知此方程没有奇解. 39、y?2x?dydx?1?3?dy?? ?dx?解：令dydx?p，则y?2x?p?133p， 两边对x求导，得 p?2?dpdx?p2dpdx dpdx?p?21?p2 解之得 x???p?2?22?3lnp?2?c，所以y??1323p?p?3p?4?6lnp?2?c，且 y?2x?23也是方程的解，但不是方程的奇解.210、??dy?dx???x?1?dy?y?0 ??dx解：y?xdydy?dy?2dx?dx???dx??这是克莱罗方程，因此方程的通解为y?cx?c?c2，?y?cx?c?c2从?中消去c,?x?1?2c得方程的奇解?x?1?2?4y?0.（二）求下列曲线族的包络. 1、y?cx?c2解:对c求导，得 x+2c=0,
c??x2, 2?xx2代入原方程得，y??x224??4，经检验得，y??x24是原方程的包络.2、c2y?cx2?1?0解：对c求导，得 2yc?x2?0,c??x22y，4代入原方程得xx44y2y?2y?1?0，即x4?4y?0，经检验得x4?4y?0是原方程的包络. 3、?x?c?2??y?c?2?4解：对c求导，得 C2(x-c)-2(y-c)=0,
c?x?y2,代入原方程得?x?y?2?8.经检验,得 ?x?y?2?8是原方程的包络.4、?x?c?2?y2?4c解：对c求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得4?y2?4?x?2? ，y2?4?x?1?,经检验，得y2?4?x?1?是原方程的包络.(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为数，则x?t?和y?t?在区间a?t?b上线形无关。 证明：假设在x?t?，y?t?在区间a?t?b上线形相关则存在不全为零的常数?，?，使得?Y?y?x???y??x??X?x?，y它与X轴、Y轴的截距分别为X?x?， Y?y?xy?，?x?t???y?t??0y?按条件有 x?yy??y?xy??a，化简得y?xy??ay?，1?y?这是克莱洛方程，它的通解为一族直线y?cx?ac1?c，??y?cx?ac它的包络是??1?c，??0?x?aac ?1?c??1?c?2消去c后得我们所求的曲线4ax??x?y?a?2.(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从?y?cx?f??c? ?0?x?f??c?中消去p后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程?y?cx?f??c??0?x?f??c?中消去c而得的曲线， 显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.
习题1. 设x?t?和y?t?是区间a?t?b上的连续函数，证明：如果在区间a?t?b上有x?t??t?y?t??常数或yx?t?常那么不妨设x?t?不为零，则有y?t?x?t????? 显然???为常数，与题矛盾，即假设不成立x?t?，y?t?在区间a?t?b上线形无关2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设x1?t?，x2?t?分别是非齐线形方程
dnxdn?1xdtn?a1?t?dtn?1???an?t?x?f1?t?（1）
dnxn?1?x?dtna1?t?ddtn?1??an?t?x?f2?t?（2）的解，则x1?t?+x2?t?是方程dnx1dtn?ax1?t?dn?dtn?1???an?t?x?f1?t?+f2?t?的解。证明：由题可知x1?t?，x2?t?分别是方程（1），（2）的解则：dnx1?t?1?t?dtn?adn?1x1?t?dtn?1???an?t?x1?t??f1?t?（3） dnx?12?t?x2?t?dtn?a1?t?dndtn?1???an?t?x2?t??f2?t? （4）那么由（3）+（4）得：dn故所求通解为：x?t??c1et?c2e?t?12cost?x1?t??dtnx2?t???a1?t?dn?1?x1?t??dtn?1x2?t??dxtdx1试验证??x 1???x?0有基本解组t，???a?t4.t??x221?tdt1?tdte，并求方程t2f1?t?+f2?t?即x1?t?+x2?t?是方程是dxdtnndxdt22?tdx1?tdt?11?tx?t-1的通解。?a1?t?dn?1xdtn?1???an?t?x?f1?t?+f2?t?的解：由题将t代入方程解。 3. 试验证dxdt22dxdt2t?t2?tdx1?tdt22?dt11?t11?tx?0得：t?t1?t?t1?t?0，即?x?0的基本解组为e,e，并求方程 dtdt?t1?tdt?dxdt22?x?cost的通解。t为该方程的解同理et也是该方程的解，又显然t，et线形无证明：由题将e代入方程tdxdt22?x?0得：e-e=0,tt关，故t，e是方程基本解组由题可设所求通解为x?t??c1?t?t?c2?t?et，则tdxdt22即et是该方程的解，同理求得et?tdx1?tdt?11?tx?0的?t也是该方程的解 线形无关，故e,et?t又显然e,edxdt22?t是有： ?x?0的基本解组。?c??t?et?c??t?e?t?0?12???t?t??c1?t?e?c2?t?e?cost由题可设所求通解为：x?t???c??t?t?c??t?et?0?12???t??c1?t??c2?t?e?t?1解之得：c1?t???t?c1,c2?t???te??t?e?t??c2 2c1?t?e?c2?t?et?t，则有：t故所求通解为x?t??c1t?c2e??t?1? 解之得：c1?t???14e?t5. 以知方程?sint??c1;c2?t???14e?cost?t??c2tdxdt22?x?0的基本解组为e,et?t，求此方?cost程适合初始条件x?0??1,x??0??0及x?0??0,x??0??1的基本解组 包含各类专业文献、文学作品欣赏、中学教育、幼儿教育、小学教育、行业资料、高等教育、常微分方程习题答案62等内容。　
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10-2 一阶微分方程
微​积​分
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来源：　　作者：崔凤午;
关于一类微分方程的求解方法的探讨　 考虑方程:(m+μxρyz)ydx+(n+νxρyz)xdy=0(1)其中m,n,μ,v,ρ,z均为常数。定理:若α,β满足mα-nβ=m-n,μα-νβ=μz-νρ+μ-ν且mν-nμ≠0,则方程(1)的通积分为:xα+1yβ+1(αm+1+ρ+αμ+1)+(β+n1-αm+1)yρ+β+1=c推论1:若α-1,ρ-2,方程(1)的通积分为:(αm+1+ρ+αμ+1xρyz)xα+1yβ+1=c推论2:若m=n,ρ+μ1=z+ν1则方程(1)的通积分为:mxy+ρ+μ1xβ+1yz+1=c例题:求方程x(4ydx+2xdy)+y3(3ydx+5xdy)=0的通积分。解:由方程得(3+4xy-3)xdy+(5+2xy-3)xdy=0属于方程(1),且m=3,μ=4,ρ=1,z=-3,n=5,ν=2解得:α=2,β=4由推论1,方程的通积分为x3y5+x4y2=c责任编辑:王丽萍关于一类微分方程的求解方法的探讨@崔凤午$白城师范学院!吉林白城137000(本文共计1页)　　　　　　　　　　
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　　　　　　一阶常微分方程的“分组凑全微分”解法_百度文库
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一阶常微分方程的“分组凑全微分”解法
《​高​等​数​学​》​(​本​科​)​教​材​在​讲​解​用​积​分​因​子​法​求​解​一​阶​常​微​分​方​程​时​都​提​到​一​般​用​观​察​法​求​积​分​因​子​。​本​文​介​绍​一​种​方​法​：​“​分​组​凑​全​微​分​”​,​这​种​方​法​的​优​点​在​于​它​所​采​用​的​积​分​因​子​是​通​过​计​算​的​方​法​而​不​是​观​察​的​方​法​得​到​的​,​在​求​解​我​们​常​见​的​一​阶​线​性​微​分​方​程​、​齐​次​方​程​、​伯​努​利​方​程​等​都​非​常​有​效​。
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求微分方程(y^2-3x^2)dy+2xydx=0 x=0,y=1时的特解 步骤详细的加分
提问者采纳
x;-y²)/t&sup3.;-3x²x)³-t)dx=0
==&gt.;(1-t)-3/x)dx=0;-y²;=C*1³(t-t³
∵当x=0时;ln│1+t│+ln│1-t│-3ln│t│=ln│x│+ln│C│
(C是积分常数)
==&-1&sup2：∵(y²x
==&gt解;-3)(xdt+tdx)+2tdx=0
==& ==&gt，y=1
∴0²-3)dy+2(y/-3)dt/)&#47，则dy=xdt+tdx
代入(1)得(t²-y²x&sup2.(1)
==&x)²y³(x²=Cx
==&gt.;=Cx
==&=-y³x
==&)dy+2xydx=0
∴((y/(1-t²(1-(y&#47，即x²(t&sup2.;)=dx&#47.;x(t²t]dt=dx/x)&sup2.;[1/=Cy&sup3.,y=1时的特解是x²(y&#47.;=0;)&#47.;(1+t)-1&#47.;-y²-3)dt+(t³+y³C=-1
故原微分方程满足x=0
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