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已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1（x）+f2（x），且满足下列条件：①f1（x）是D上的增函数；②f2（x）是D上的减函数；③函数f2（x）的值域A?[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．（1）（i）&问函数y=sinx+cosx是否是区间(0，π4)上的“偏增函数”？并说明理由；（ii）证明函数y=sinx是区间(0，π4)上的“偏增函数”．（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）（i）&y=sinx+cosx是区间(0，π4)上的“偏增函数”．记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，显然f1（x）=sinx在(0，π4)上单调递增，f2（x）=cosx在(0，π4)上单调递减，且f2（x）=cosx∈（22，1）?[0，+∞），又y=f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)在(0，π4)上单调递增，故y=sinx+cosx是区间(0，π4)上的“偏增函数”．（ii）证明：y=sinx=(sinx-cosx)+cosx=2sin(x-π4)+cosx，记f1(x)=2sin(x-π4)，f2(x)=cosx，显然f1(x)=2sin(x-π4)在(0，π4)上单调递增，f2（x）=cosx在(0，π4)上单调递减，且f2（x）=cosx∈（22，1）?[0，+∞），又y=f（x）=f1（x）+f2（x）=sinx在(0，π4)上单调递增，故y=sinx是区间(0，π4)上的“偏增函数”．&（2）证明：①当b＞0时，令f1（x）=（k+1）x，f2（x）=-x+b，D=（0，b），显然D=（0，b）?[0，+∞），∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上单调递增，f1（x）=（k+1）x在（0，b）上单调递增，f2（x）=-x+b在（0，b）上单调递减，且对任意的x∈（0，b），b＞f2（x）＞f2（b）=0，因此b＞0时，必存在一个区间（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数．②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f1（x）=（k+1）x-c，f2（x）=-x+b+c，D=（0，b+c）?[0，+∞），显然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上单调递增，f1（x）=（k+1）x-c在（0，b+c）上单调递增，f2（x）=-x+b+c在（0，b+c）上单调递减，且对任意的（0，b+c），b+c＞f2（x）＞f2（b+c）=0，因此b≤0时，必存在一个区间（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数”．综上，对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性分段函数与抽象函数
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
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与“已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1..”考查相似的试题有：
247770331798266979464948774321437382若把函数y=sinx的图像向左平移π/4个单位后将横坐标缩小为原来的1/2得到f(x)的图像（1）试求函数y=f（x）的单调增区间、对称轴方程（2）若函数y=f（x)的定义域为[0,π/2],求f（x）的值域.（3）若把f（x）的图像向右平_百度作业帮
若把函数y=sinx的图像向左平移π/4个单位后将横坐标缩小为原来的1/2得到f(x)的图像（1）试求函数y=f（x）的单调增区间、对称轴方程（2）若函数y=f（x)的定义域为[0,π/2],求f（x）的值域.（3）若把f（x）的图像向右平移w个单位是偶函数,求正数w的最小值.
1.&&&&&f(x)=sin(2x+π/4)&&单调递增区间&(-3π/8+kπ,&π/8+kπ)&&&&&&k∈Z对称轴&x=π/8+kπ/2&&&(k∈Z)2.&&&&&f(0)=sin(π/4)=√2/2,&f(π/8)=1,&f(π/2)=-√2/2在定义域&[0,π/2]&内,值域是&[-√2/2,1]3.&&&&&f(x)=sin(2x+π/4)&向右移动至少&3π/4&个单位可得偶函数&sin(2x+π/4-3π/4)=sin(2x-π/2)=-cos2x已知奇函数y=f（x）定义域是[-4，4]，当-4≤x≤0时，y=f（x）=-x2-2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求函数f（x）的单调递增区间．考点：；；．专题：．分析：（1）设 0≤x≤4，则4≤-x≤0，由已知可得f（-x）=-x2 +2x，再利用y=f（x）是奇函数可得，-f（x）=-x2 +2x，从而求出函数在0≤x≤4 时的解析式，即可得到函数在[-4，4]上的解析式．（2）画出函数f（x）的图象，结合图象可得函数的最值，从而求出函数的值域．（3）结合图象可得函数f（x）的单调递增区间．解答：解：（1）设 0≤x≤4，则4≤-x≤0，由于当-4≤x≤0时，y=f（x）=-x2-2x，故f（-x）=-x2 +2x．再由函数y=f（x）是奇函数可得，-f（x）=-x2 +2x，故 f（x）=x2 -2x．故函数f（x）的解析式为 f（x）=2-2x&，&&-4≤x≤0x2&-2x&，&&&0＜x≤4&&．（2）画出函数f（x）的图象，结合图象可得，当x=-4时，函数f（x）取得最小值为-8，当x=4时，函数f（x）取得最大值为8，故函数的值域为[-8，8]．（3）结合图象可得，函数f（x）的单调递增区间为[-4，-1]、[1，4]．点评：本题主要考求查函数的解析式的方法，求函数的单调性及单调区间，求函数的最值，函数的奇偶性的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　日期：日☆☆☆☆☆推荐试卷&
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已知函数f（x）=ax2+x+1（a∈R）（Ⅰ）若a∈（0，14]，求解关于x的不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若方程f（x）=0至少有一个负根，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）当a=14时，方程14x2+x+1=0的△=1-4a=0，则不等式14x2+x+1＞0的解为：{x|x≠-2}；当a∈（0，14]时，方程ax2+x+1=0的△=1-4a＞0，∴方程的解是x=-1±1-4a2a，ax2+x+1＞0的解集为：{x|x＞-1+1-4a2a或x＜-1-1-4a2a}，综上，不等式f（x）＞0的解集：{x|x＞-1+1-4a2a或x＜-1-1-4a2a}，（Ⅱ）∵方程f（x）=0至少有一个负根，∴方程f（x）=0有一个负根或有两个负根，当a=0时，方程变为x+1=0，得x=-1，故符合题意；当a≠0时，方程的两个根设为：x1，x2，则△=1-4a≥0x1+x2=-1a＜0x1ox2=1a＞0或△=1-4a≥0x1ox2=1a＜0解得，a＜0或0＜a≤14，综上得，a的取值范围是：（-∞，14]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax2+x+1（a∈R）（Ⅰ）若a∈（0，14]，求解关于x的不等式f（..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用，一元二次不等式及其解法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用一元二次不等式及其解法
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。一元二次不等式的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式称为一元二次不等式．
一元二次不等式的解集：
使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。
同解不等式：
如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式，如果一个不等式变形为另一个不等式时，这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形。&二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：&
解不等式的过程：
解不等式的过程就是将不等式进行同解变形，化为最简形式的同解不等式的过程．变形时要注意条件的限制，比如：分母是否有意义，定义域是否有限制等．
解一元二次不等式的一般步骤为：
(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集．
解含有参数的一元二次不等式：
(1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(2)转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于零）后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(3)如果判别式大于零，但两根的大小还不能确定，此时再以两根的大小作为分类标准进行分类讨论。
发现相似题
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例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x y)=f(x) f(y),且当x》0
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