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圆锥曲线解题技巧和方法综合
上传: 喻德文 &&&&更新时间： 10:28:51
圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 &&&&&&&&具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）与直线相交于a、b，设弦ab中点为m(x0,y0)，则有。 &&&&（2）与直线l相交于a、b，设弦ab中点为m(x0,y0)则有 （3）y2=2px（p&0）与直线l相交于a、b设弦ab中点为m(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p. & &&&典型例题&&&给定双曲线。过a（2，1）的直线与双曲线交于两点&&及，求线段的中点p的轨迹方程。 & （2）焦点三角形问题 &&&&椭圆或双曲线上一点p，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。& &&典型例题&&设p(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。 &&&&（1）求证离心率； &&&&（2）求的最值。 & （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 &&&直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题&&& &&&&（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 &&&&（2）设直线与抛物线的交点为a、b，且oa&ob，求p关于t的函数f(t)的表达式。 & （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 &&&&&1&若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 &2&若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：&求范围，找不等式&。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△nab的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：&最值问题，函数思想&。 最值问题的处理思路： &1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 & 典型例题 已知抛物线y2=2px(p&0)，过m（a,0）且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点a、b， |ab|&2p （1）求a的取值范围；
（2）若线段ab的垂直平分线交x轴于点n，求△nab面积的最大值。 & （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线l过原点，抛物线c&的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点a（-1，0）和点b（0，8）关于l的对称点都在c上，求直线l和抛物线c的方程。 & & & 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点q（2，0）和圆c：x2+y2=1,&动点m到圆c的切线长与|mq|的比等于常数（&0）,求动点m的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 & & & & （6）&存在两点关于直线对称问题 &&&&在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决） 典型例题&&&已知椭圆c的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆c上有不同两点关于直线对称 & & （7）两线段垂直问题 &&&&圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。 典型例题&&&&已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线c有两个不同的交点（如图）。 &&&&（1）求的取值范围； （2）直线的倾斜角为何值时，a、b与抛物线c的焦点连线互相垂直。 & & 四、解题的技巧方面： &&&&在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用&设而不求&的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明： （1）充分利用几何图形 &&&解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 &&典型例题&&&设直线与圆相交于p、q两点，o为坐标原点，若，求的值。 & & （2）&充分利用韦达定理及&设而不求&的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题&&&已知中心在原点o，焦点在轴上的椭圆与直线相交于p、q两点，且，，求此椭圆方程。 & （3）&充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 典型例题&&&求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。 & & （4）充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。 典型例题&&&&p为椭圆上一动点，a为长轴的右端点，b为短轴的上端点，求四边形oapb面积的最大值及此时点p的坐标。 & & & （5）线段长的几种简便计算方法 & ①&充分利用现成结果，减少运算过程 &&&&一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦ab长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 例&&&求直线被椭圆所截得的线段ab的长。 ②&结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 例&&&、是椭圆的两个焦点，ab是经过的弦，若，求值 & & ③&利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例&&&&&点a（3，2）为定点，点f是抛物线的焦点，点p在抛物线上移动，若取得最小值，求点p的坐标。 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1.&直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 ②点到直线的距离&&&③夹角公式： （3）弦长公式 直线上两点间的距离： &或 （4）两条直线的位置关系 ①=-1&&&②& 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） &&&&标准方程： &&&&距离式方程： &&&&参数方程： (2)、双曲线的方程的形式有两种 &&&&标准方程： &&&&距离式方程： (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ &&&& (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点m满足则动点m的轨迹是（&&&&&） a、双曲线；b、双曲线的一支；c、两条射线；d、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式： &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （其中） (6)、记住焦半径公式：（1），可简记为&左加右减，上加下减&。 &&&（2） &&&（3） (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？& 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设、，为椭圆的弦中点则有 ，；两式相减得 = 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ &&&&设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到12两个式子，然后1-2，整体消元&&&&&&，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点a、b、f共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。 例1、已知三角形abc的三个顶点均在椭圆上，且点a是椭圆短轴的一个端点（点a在y轴正半轴上）. （1）若三角形abc的重心是椭圆的右焦点，试求直线bc的方程; （2）若角a为，ad垂直bc于d，试求点d的轨迹方程. 分析：第一问抓住&重心&，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦bc的斜率，从而写出直线bc的方程。第二问抓住角a为可得出ab&ac，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点d的轨迹方程； 解：（1）设b（,）,c(,),bc中点为(),f(2,0)则有 两式作差有&&&(1) f(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得 直线bc的方程为 2)由ab&ac得&&（2） 设直线bc方程为，得 ， &代入（2）式得 ，解得或 直线过定点（0，，设d（x,y），则，即 所以所求点d的轨迹方程是。 4、设而不求法 例2、如图，已知梯形abcd中，点e分有向线段所成的比为，双曲线过c、d、e三点，且以a、b为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设c，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略, 建立目标函数，整理,化繁为简. &&&&&解法一：如图，以ab为垂直平分线为轴，直线ab为轴，建立直角坐标系，则cd&轴因为双曲线经过点c、d，且以a、b为焦点，由双曲线的对称性知c、d关于轴对称&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 依题意，记a，c，e，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 &&&&&&&&，& 设双曲线的方程为，则离心率 由点c、e在双曲线上，将点c、e的坐标和代入双曲线方程得 &&&&&&&&&&&&&&&&，&&&&&&&&&&&&&① &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&②&&&&&&&&&&&& 由①式得&&&&&&&&&，&&&&&&&&&&&&③ 将③式代入②式，整理得&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&， 故&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 由题设得， 解得&&&&&&&&&&&&&& 所以双曲线的离心率的取值范围为&&&&&&&&&& 分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式,&用的横坐标表示，回避的计算,&达到设而不求的解题策略． &&解法二：建系同解法一，， ，又，代入整理，由题设得， 解得&&&&&&&&&&&&&& 所以双曲线的离心率的取值范围为&&&&&&&&&& 5、判别式法 例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点b到直线的距离为，试求的值及此时点b的坐标。 分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.&从&有且仅有&这个微观入手，对照草图，不难想到：过点b作与平行的直线，必与双曲线c相切.&而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式.&由此出发，可设计如下解题思路：
解题过程略. 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓&有且仅有一点b到直线的距离为&，相当于化归的方程有唯一解.&据此设计出如下解题思路： & & & & & & & 简解：设点为双曲线c上支上任一点，则点m到直线的距离为： &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 于是，问题即可转化为如上关于的方程. 由于，所以，从而有
于是关于的方程 &&&&& &&&&& &&&&& &由可知： &方程的二根同正，故恒成立，于是等价于 . 由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得&&. 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性. 例4已知椭圆c:和点p（4，1），过p作直线交椭圆于a、b两点，在线段ab上取点q，使，求动点q的轨迹所在曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.&因此，首先是选定参数，然后想方设法将点q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. 由于点的变化是由直线ab的变化引起的，自然可选择直线ab的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点q在直线ab上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由a、b、p、q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线ab的方程代入椭圆c的方程，利用韦达定理即可. 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.& & & & & & & & & & & & &
& & 在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 简解：设，则由可得：， 解之得：&&&&&&&&&&&&&&（1） 设直线ab的方程为：，代入椭圆c的方程，消去得出关于&x的一元二次方程： &&&&&&（2） ∴&&& 代入（1），化简得：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3) 与联立，消去得： 在（2）中，由，解得&，结合（3）可求得& 故知点q的轨迹方程为：&&（）. 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.&这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而&引参、用参、消参&三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例5设直线过点p（0，3），和椭圆顺次交于a、b两点，试求的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展,&问题的根源在于对题目的整体把握不够.&事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量&&直线ab的斜率k.&问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. & & & & & & & & & & & & & 简解1：当直线垂直于x轴时，可求得; 当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 解之得&& 因为椭圆关于y轴对称，点p在y轴上，所以只需考虑的情形. 当时，，， 所以&===. 由&&,&解得&， 所以&&&， 综上&&. 分析2:&如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.&由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来.&一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式.&原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式. & & & & & & & & & & & & 简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 &&&&&&&&&（*） 则 令，则， 在（*）中，由判别式可得&， 从而有&&&&，所以&&&&&，解得&&&&&&. 结合得.& 综上，. 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.&本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里. 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。 例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，． （ⅰ）求椭圆的标准方程； （ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。 思维流程： & （ⅰ）&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & & &&&&&&&&&&&&&&&&&&& & & （ⅱ）
& & &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&消元&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & & &&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & 解题过程：& （ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则 又∵即&，∴&&& 故椭圆方程为& &&&（ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则 设，∵，故， 于是设直线为&，由得，&&&& ∵&又 得&&即 &&由韦达定理得 & 解得或（舍）&&经检验符合条件． 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零． 例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点． （ⅰ）求椭圆的方程： （ⅱ）若点d为椭圆上不同于、的任意一点，，当&内切圆的面积最大时，求&内心的坐标； 思维流程： （ⅰ）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & （ⅱ）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & & & & & & & & & & 解题过程：&（ⅰ）设椭圆方程为，将、、代入椭圆e的方程，得 解得.∴椭圆的方程&．
（ⅱ），设&边上的高为 &当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为． &设&的内切圆的半径为，因为&的周长为定值6．所以， &所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为. 点石成金：
例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点. （ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程； （ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 思维流程： （ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 将代入，&消去整理得&&&& 设&& 则&&&& 由线段中点的横坐标是，&&&得，解得，符合题意。 所以直线的方程为&，或&.&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （ⅱ）解：假设在轴上存在点，使为常数. ①&当直线与轴不垂直时，由（ⅰ）知&&&& 所以 &&&&&&&&&&&&&将代入，整理得& 注意到是与无关的常数，&从而有，&此时&& ②&当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时，&亦有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &综上，在轴上存在定点，使为常数. 点石成金： &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点m（2，1），平行于om的直线在y轴上的截距为m（m&0），交椭圆于a、b两个不同点。 &&&（ⅰ）求椭圆的方程； &&&（ⅱ）求m的取值范围； &&&（ⅲ）求证直线ma、mb与x轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程： 解：（1）设椭圆方程为 则&&&&&&&&&&&&&&∴椭圆方程为 （ⅱ）∵直线l平行于om，且在y轴上的截距为m 又kom=&&&&&&&&&&&&&&&&& 由 ∵直线l与椭圆交于a、b两个不同点，&&&&& （ⅲ）设直线ma、mb的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设& 则 由
故直线ma、mb与x轴始终围成一个等腰三角形. 点石成金：直线ma、mb与x轴始终围成一个等腰三角形 例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 &（1）求双曲线的方程； &（2）已知直线交双曲线于不同的点c，d且c，d都在以b为圆心的圆上，求k的值. &&思维流程： 解：∵（1）原点到直线ab：的距离. &&&&&故所求双曲线方程为& （2）把中消去y，整理得&. &&&&&设的中点是，则 &&&&& &&& 即 故所求k=&. 点石成金:&c，d都在以b为圆心的圆上bc=bdbe& 例11、已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆c上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． &&&（ⅰ）求椭圆c的标准方程； &&&（ii）若直线y=kx+m与椭圆c相交于a、b两点（a、b不是左右顶点），且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 思维流程： 解：（ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为， 由已知得：， &&&&&椭圆的标准方程为． （ii）设． 联立 得 ，则
又． 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点， ，即.& ． ． ． 解得：，且均满足． 当时，的方程，直线过点，与已知矛盾； 当时，的方程为，直线过定点． 所以，直线过定点，定点坐标为． 点石成金：以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点&ca& 例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点p在双曲线右支上. （ⅰ）若当点p的坐标为时,,求双曲线的方程； （ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程： 解：（ⅰ）(法一)由题意知,,&, ,&（1分） 解得&.&&由双曲线定义得:& ,& &所求双曲线的方程为:&&& &(法二)&因,由斜率之积为,可得解. （ⅱ）设, &(法一)设p的坐标为,&由焦半径公式得,,，& 的最大值为2,无最小值.&此时, 此时双曲线的渐进线方程为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (法二)设,. (1)当时,&,& 此时&. (2)当,由余弦定理得:
, ,,综上,的最大值为2,但无最小值.&(以下法一) & & &圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 &&&&&&&&具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）与直线相交于a、b，设弦ab中点为m(x0,y0)，则有。 &&&&（2）与直线l相交于a、b，设弦ab中点为m(x0,y0)则有 （3）y2=2px（p&0）与直线l相交于a、b设弦ab中点为m(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p. & &&&典型例题&&&给定双曲线。过a（2，1）的直线与双曲线交于两点&&及，求线段的中点p的轨迹方程。 & （2）焦点三角形问题 &&&&椭圆或双曲线上一点p，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。& &&典型例题&&设p(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。 &&&&（1）求证离心率； &&&&（2）求的最值。 & （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 &&&直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题&&& &&&&（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 &&&&（2）设直线与抛物线的交点为a、b，且oa&ob，求p关于t的函数f(t)的表达式。 & （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 &&&&&1&若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 &2&若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：&求范围，找不等式&。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△nab的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：&最值问题，函数思想&。 最值问题的处理思路： &1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 & 典型例题 已知抛物线y2=2px(p&0)，过m（a,0）且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点a、b， |ab|&2p （1）求a的取值范围；
（2）若线段ab的垂直平分线交x轴于点n，求△nab面积的最大值。 & （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线l过原点，抛物线c&的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点a（-1，0）和点b（0，8）关于l的对称点都在c上，求直线l和抛物线c的方程。 & & & 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点q（2，0）和圆c：x2+y2=1,&动点m到圆c的切线长与|mq|的比等于常数（&0）,求动点m的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 & & & & （6）&存在两点关于直线对称问题 &&&&在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决） 典型例题&&&已知椭圆c的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆c上有不同两点关于直线对称 & & （7）两线段垂直问题 &&&&圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。 典型例题&&&&已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线c有两个不同的交点（如图）。 &&&&（1）求的取值范围； （2）直线的倾斜角为何值时，a、b与抛物线c的焦点连线互相垂直。 & & 四、解题的技巧方面： &&&&在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用&设而不求&的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明： （1）充分利用几何图形 &&&解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 &&典型例题&&&设直线与圆相交于p、q两点，o为坐标原点，若，求的值。 & & （2）&充分利用韦达定理及&设而不求&的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题&&&已知中心在原点o，焦点在轴上的椭圆与直线相交于p、q两点，且，，求此椭圆方程。 & （3）&充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 典型例题&&&求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。 & & （4）充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。 典型例题&&&&p为椭圆上一动点，a为长轴的右端点，b为短轴的上端点，求四边形oapb面积的最大值及此时点p的坐标。 & & & （5）线段长的几种简便计算方法 & ①&充分利用现成结果，减少运算过程 &&&&一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦ab长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 例&&&求直线被椭圆所截得的线段ab的长。 ②&结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 例&&&、是椭圆的两个焦点，ab是经过的弦，若，求值 & & ③&利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例&&&&&点a（3，2）为定点，点f是抛物线的焦点，点p在抛物线上移动，若取得最小值，求点p的坐标。 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1.&直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 ②点到直线的距离&&&③夹角公式： （3）弦长公式 直线上两点间的距离： &或 （4）两条直线的位置关系 ①=-1&&&②& 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） &&&&标准方程： &&&&距离式方程： &&&&参数方程： (2)、双曲线的方程的形式有两种 &&&&标准方程： &&&&距离式方程： (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ &&&& (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点m满足则动点m的轨迹是（&&&&&） a、双曲线；b、双曲线的一支；c、两条射线；d、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式： &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （其中） (6)、记住焦半径公式：（1），可简记为&左加右减，上加下减&。 &&&（2） &&&（3） (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？& 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设、，为椭圆的弦中点则有 ，；两式相减得 = 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ &&&&设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到12两个式子，然后1-2，整体消元&&&&&&，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点a、b、f共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。 例1、已知三角形abc的三个顶点均在椭圆上，且点a是椭圆短轴的一个端点（点a在y轴正半轴上）. （1）若三角形abc的重心是椭圆的右焦点，试求直线bc的方程; （2）若角a为，ad垂直bc于d，试求点d的轨迹方程. 分析：第一问抓住&重心&，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦bc的斜率，从而写出直线bc的方程。第二问抓住角a为可得出ab&ac，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点d的轨迹方程； 解：（1）设b（,）,c(,),bc中点为(),f(2,0)则有 两式作差有&&&(1) f(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得 直线bc的方程为 2)由ab&ac得&&（2） 设直线bc方程为，得 ， &代入（2）式得 ，解得或 直线过定点（0，，设d（x,y），则，即 所以所求点d的轨迹方程是。 4、设而不求法 例2、如图，已知梯形abcd中，点e分有向线段所成的比为，双曲线过c、d、e三点，且以a、b为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设c，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略, 建立目标函数，整理,化繁为简. &&&&&解法一：如图，以ab为垂直平分线为轴，直线ab为轴，建立直角坐标系，则cd&轴因为双曲线经过点c、d，且以a、b为焦点，由双曲线的对称性知c、d关于轴对称&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 依题意，记a，c，e，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 &&&&&&&&，& 设双曲线的方程为，则离心率 由点c、e在双曲线上，将点c、e的坐标和代入双曲线方程得 &&&&&&&&&&&&&&&&，&&&&&&&&&&&&&① &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&②&&&&&&&&&&&& 由①式得&&&&&&&&&，&&&&&&&&&&&&③ 将③式代入②式，整理得&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&， 故&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 由题设得， 解得&&&&&&&&&&&&&& 所以双曲线的离心率的取值范围为&&&&&&&&&& 分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式,&用的横坐标表示，回避的计算,&达到设而不求的解题策略． &&解法二：建系同解法一，， ，又，代入整理，由题设得， 解得&&&&&&&&&&&&&& 所以双曲线的离心率的取值范围为&&&&&&&&&& 5、判别式法 例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点b到直线的距离为，试求的值及此时点b的坐标。 分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.&从&有且仅有&这个微观入手，对照草图，不难想到：过点b作与平行的直线，必与双曲线c相切.&而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式.&由此出发，可设计如下解题思路：
解题过程略. 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓&有且仅有一点b到直线的距离为&，相当于化归的方程有唯一解.&据此设计出如下解题思路：
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